Спектральное представление непериодических сигналов

Лекция 3 Спектральное представление непериодических сигналов В теории спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов используют искусственный прием, формально заменяя такие сиг­налы периодическими с бесконечно большим интервалом (периодом) следо­вания . Положим, что некоторая заданная функция u(t) аналитически описывает одиночный импульсный (иногда называемый финитным) сигнал конечной дли­тельности (рис. 2.12, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом T (рис. 2.12, б), получим перио­дическую последовательность аналогичных импульсов . Для того чтобы вне искусственно введенного интервала 0, Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импуль­сов. В пределе, при увеличении пе­риода и все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и пе­риодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом . В этом случае выражения (2.14) и (2.15) сохраняют смысл. Подставив формулу (2.15) в (2.14), запишем периодическую функцию : Так как период следования , то Легко заметить, что при увеличении периода следования импульсов T линейчатый спектр будет все более плотным. В предельном случае, когда период , равные расстояния между спектральными линиями уменьшаться настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды от­дельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов и превращается в d, дискретная переменная - в мгновенную (текущую) частоту , а сум­ма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов станет одиночным импульсом u(t), и выражение (2.21) запишется в виде: Здесь интеграл в скобках является комплексной функцией частоты. Обозначив его как (1) получим (2) Соотношения (1) и (2) носят фундаментальный характер в теории сигналов и называются соответственно прямым и обратным преобразова­ниями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты . Таким образом, интеграл Фурье (1) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами. Функцию называют спектральной плотностью Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот . В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину . Необходимо отметить, что дискретный спектр периодического и спек­тральная плотность непериодического сигналов имеют разные размерности Дискретный спектр имеет размерность амплитуды (В или А). Спектральная плотность имеет размерность В/Гц или А/Гц. Вследствие того что непериодический сигнал u(t) и его спектральная плотность S() взаимно однозначно связаны парой преобразований Фурье последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность по заданной форме сигнала, и наоборот, его форму по спектральной плотности. Пример 2.2. Задано напряжение в виде прямоугольного импульса, имеющего амплитуду Е и длительность (рис. 2.13, а). Определить его спектральную плот­ность. Решение. Так как анализируемый сигнал расположен на временном интервале , то в соответствии с (2.23), получим На рис. 2.13, б показан модуль спектральной плотности прямоугольного импульса напряжения. Рис. 2.13. Прямоугольный импульс: а — временная диаграмма; б— спектральная плотность Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямо­угольного импульса (2.25) и спектра периодической последовательности таких же импульсов (2.16), нетрудно заметить, что модуль спектральной плотности и огибающая гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд.