Сопротивления материалов

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра «Строительная механика» Л.П. Миронов КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2011 УДК 539.3/.6 (075.8) ББК Ж 121я73 М 641 Рецензенты: Кафедра «Механика деформируемого твердого тела» Тихоокеанского государственного университета (заведующий кафедрой доктор технических наук А.Д. Ловцов) Доктор технических наук, профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Дальневосточного государственного технического университета К.П. Горбачев Миронов, Л.П. М 641 Краткий курс сопротивления материалов : учеб. пособие / Л.П. Миронов. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2011. – 114 с. : ил. Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направлений подготовки дипломированных специалистов 190200 «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», 190300 «Подвижной состав железных дорог», 270100 «Строительство», 270200 «Транспортное строительство» по дисциплине «Сопротивление материалов». Материал изложен в объеме десяти дидактических единиц (разделов дисциплины), принятых в системе федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования, содержит примеры решения типовых задач. Пособие включает тезаурус – основные термины, используемые в сопротивлении материалов. Пособие предназначено студентам второго курса всех форм обучения для подготовки к прохождению электронного тестирования. УДК 539.3/.6 (075.8) ББК Ж 121я73 © ДВГУПС, 2011 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено с учётом многолетнего опыта преподавания курса «Сопротивление материалов» в Дальневосточном государственном университете путей сообщения. Обстоятельных и «классических» учебников, дополнительной высококачественной учебной литературы по сопротивлению материалов издано немало. К написанию настоящего пособия автора подтолкнули два обстоятельства, связанные с изменениями в учебных процессах технических вузов последних лет. Во-первых, постоянное уменьшение учебных часов, отводимых на изучение дисциплины, при сохраняющихся высоких требованиях Государственного образовательного стандарта к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы при подготовке дипломированного специалиста. Во-вторых, стала проводиться обязательная проверка знаний студентов в форме федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования. Хотя принятая система оценки уровня знаний критикуется, по её результатам судят о работе и квалификации преподавательских коллективов. Целью настоящего пособия является предоставление студентам основных сведений курса «Сопротивление материалов». В пособии нет выводов формул, доказательств тех или иных положений, исторических сведений. Всё это следует искать в учебниках. Количество примеров решения задач невелико, глубина пояснений различна. В пособие включены те разделы курса (дидактические единицы), которые присутствуют в вопросах интернет-экзамена. В дополнение к разделам приведён тезаурус – тематический словарь основных терминов, используемых в сопротивлении материалов. Пособие будет полезно студентам при подготовке к защите расчётнографических работ, зачёту и экзамену. Все замечания и пожелания будут приняты автором с благодарностью. 3 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1. Введение Сопротивление материалов – научная дисциплина, изучающая инженерные методы расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и машин. Прочность – способность твердого тела не разрушаться под действием внешних нагрузок. Жесткость – способность элемента конструкции незначительно изменять свою форму и размеры под действием внешних нагрузок. Устойчивость – способность элемента конструкции сохранять начальную форму упругого равновесия. Сопротивление материалов основывается как на теоретических, так и на опытных данных. Все виды элементов сооружений и машин можно свести к четырём формам: стержню, пластинке, оболочке и массиву (рис. 1.1). Объектом исследования в сопротивлении материалов является стержень (брус). б а в г д Рис. 1.1. Формы элементов конструкций: а – прямой стержень; б – кривой брус; в – пластинка; г – оболочка; д – массив Возникновение науки о сопротивлении материалов связывают со знаменитым итальянским ученым Галилео Галилеем (1564–1642). Ознакомиться с историей сопротивления материалов можно в учебниках [1–4]. 1.2. Внешние и внутренние силы Внешние силы, действующие на конструкцию, разделяют на активные силы (нагрузку) и реакции опор. По характеру действия различают сосредоточенные силы, измеряемые в ньютонах (Н, кН), распределенную 4 нагрузку, измеряемую в ньютонах на метры (Н/м, кН/м), если нагрузка распределена вдоль линии, или в ньютонах на метр квадратный (Н/м2, кН/м2), если нагрузка распределена по поверхности, сосредоточенный момент, измеряемый в ньютонометрах (Нм, кНм) (рис. 1.2). Реакции опор вычисляют через активные силы методами теоретической механики. а F (кН) б q (кН/м) в 2 q (кН/м ) г М (кНм) Рис. 1.2. Виды внешних нагрузок: а – сосредоточенная сила; б – распределенная по длине стержня нагрузка; в – распределенная по поверхности пластинки нагрузка; г – сосредоточенный момент Под действием внешних сил стержень деформируется, при этом между отдельными частями стержня появляются дополнительные силы взаимоZ действия, называемые внутренними силами. Если стержень мысленно рассечь плоскостью, перпендикулярной к продольной оси стержня Z, то по всей площади поперечного сечения от Y одной части стержня на другую часть MY X будут передаваться внутренние силы. QX QY Отбросим правую часть стержня. MX Внутренние силы, передающиеся от неё на левую часть (рис. 1.3), по отноZ шению к левой части стержня станоN MZ вятся внешними силами и могут быть представлены главным вектором и главным моментом. Центром приве- Рис. 1.3. Внутренние усилия в стержне дения принимается центр тяжести поперечного сечения стержня, через который проводят координатные оси X,Y, лежащие в плоскости сечения, и ось Z, перпендикулярную плоскости поперечного сечения. Главный вектор раскладывается на силы N, Qx, Qy, а главный момент – на моменты Mx, My, Mz. Указанные шесть величин называют внутренними усилиями (внутренними силовыми факторами) стержня. Каждое из них имеет своё название: N – продольная (нормальная) сила, Qx и Qy – поперечные (перерезывающие) силы, Мх и Мy – изгибающие моменты, Мz – крутящий момент. 5 Для определения внутренних усилий используют метод сечений. Он заключается в выполнении четырех действий: • разрезать стержень плоскостью поперечного сечения на две части; • отбросить одну из частей стержня; • заменить действие отброшенной части стержня на оставшуюся часть внутренними усилиями; • уравновесить оставшуюся часть стержня. В общем случае можно составить шесть уравнений равновесия: суммы проекций всех сил на оси X, Y, Z и суммы моментов всех сил относительно этих осей. Первые буквы начальных слов указанных действий образуют слово РОЗУ, которое полезно запомнить для ассоциации с термином «метод сечений». 1.3. Напряжения и деформации в точке Векторная величина, равная интенсивности внутреннего усилия в произвольной точке сечения стержня, называется напряжением. Разли- dN , перпендикулярное плоскости сеdA dQy dQx , τy = , лежащие в плосчения, и касательные напряжения τ x = dA dA чают нормальное напряжение σ= кости сечения (рис. 1.4). dA dN z y dQy dA y τy σ dQx x τx z Рис. 1.4. Напряжения в точке тела Напряжения можно вычислить на любой бесконечно малой площадке dA, проходящей через точку твердого тела. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием Н  материала в точке. Напряжения измеряют в паскалях 1 Па = 1 2  , но чаще м   в мегапаскалях (1 МПа = 106 Па) или в килоньютонах на сантиметр квадраткН  кН  ный  2  , что удобнее в практических расчетах. 1 2 = 10 МПа . см  см  6 Около некоторой точки К твердого тела выделим бесконечно малый элемент dx×dy×dz (рис. 1.5). Его деформированное положение в плоскости xKy показано пунктирными линиями. Определяют относительные линейные деформации в направлении координатных осей ε x = ∆dx ∆dy и εy = , а также угол сдвига γ xy . dx dy z y y dy γxy dy + ∆dy dz x К dx x К dx + ∆dx Рис. 1.5. Линейные и угловые деформации бесконечно малого элемента около точки К При вращении координатных осей вокруг точки К указанные деформации будут изменяться. Совокупность относительных линейных деформаций и углов сдвига для произвольных осей, проведенных через выбранную точку, называется деформированным состоянием материала в точке. В общем случае оно определяется шестью относительными деформациями: ε x , ε y ,ε z , γ xy , γ yz , γ zx . 1.4. Основные понятия и допущения Деформация – изменение взаимного расположения частиц тела, приводящее к изменению размеров и, обычно, формы тела. Полная деформация может состоять из упругой деформации и остаточной деформации. Упругая деформация исчезает после удаления внешней нагрузки, размеры и форма тела возвращаются к начальным значениям, остаточная (пластическая) деформация сохраняется после удаления нагрузки. Упругость – свойство тела получать упругую деформацию. Пластичность – свойство тела накапливать остаточную деформацию. Изотропность – свойство материала сохранять упругие свойства одинаковыми по всем направлениям. Если упругие свойства материала зависят от направлений, то такая особенность называется анизотропностью. 7 Основные допущения, принятые в сопротивлении материалов: • тело считается сплошным (без пустот, трещин и т. п.) и однородным, т. е. свойства материала во всех точках одинаковы; • материал тела изотропный; • напряжения в точке тела прямо пропорциональны деформациям в этой точке; • перемещения точек тела при деформировании малы по сравнению с размерами тела. Основные принципы, используемые в сопротивлении материалов. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): какая-либо величина (напряжение, деформация, перемещение и т. д.), вызываемая несколькими силами, равна сумме величин, создаваемых каждой силой в отдельности. Принцип (гипотеза) плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Рис. 1.6. Иллюстрация принципа Сен-Венана [1] Принцип Сен-Венана (рис. 1.6): распределение напряжений и деформаций существенно зависит от способа приложения внешних сил только вблизи места нагружения, а в частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие элементы конструкции рассматриваются в сопротивлении материалов? 2. Что понимается под прочностью элемента конструкции? 3. Что понимается под жёсткостью элемента конструкции? 4. Какие деформации называются упругими? 5. Какие деформации называются пластическими? 6. Что такое напряжение в деформируемом теле? Назовите два вида напряжений. 7. Какие внутренние усилия могут возникнуть в поперечном сечении стержня? 8. Какой метод используют для определения внутренних усилий? Какие действия предполагает этот метод? 9. В чем заключается принцип Сен-Венана? 10. В чем заключается принцип независимости действия сил? 8 2. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 2.1. Продольная сила Осевым растяжением (сжатием) называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только продольная сила N. Растягивающие продольные силы считаются положительными, а сжимающие – отрицательными. График, показывающий изменение продольной силы вдоль оси стержня, называется эпюрой продольных сил (Эп.N). Для построения Эп.N стержень разделяют на участки, на каждом из которых находят продольную силу методом сечений как функцию внешних сил и координаты Z, определяющей положение поперечного сечения. Затем строят графики полученных функций. Пример 2.1. Стержень (рис. 2.1, а) для построения эпюры продольных сил разделяем на два участка. Проведя на верхнем участке произвольное сечение 1–1, выделяем верхнюю часть стержня, заменяя действие нижней части положительной продольной силой N1 (рис. 2.1, б). Из уравнения равновесия в виде ΣFz = N1 − F = 0 находим N1 = F = 8 кН при любом значении z1. График этой функции – прямая, параллельная оси z. Нижний участок стержня рассекаем сечением 2–2, выделяем верхнюю часть стержня, заменяя действие нижней части положительной продольной силой N2 (рис. 2.1, в). Из уравнения равновесия в виде ΣFz = N 2 + q z2 − F = 0 получаем N2 = = 8–10 z2 при 0 ≤ z2 ≤ 2 м . График этой функции – наклонная прямая с ординатами на концах участка 8 и –12 кН (рис. 2.1, г). а в б F = 8 кН 1м 1 1 F 8 z1 N1 q = 10 кН/м 2м г F 2 2 q z2 z N2 z 12 Эп.N (кН) Рис. 2.1. Построение эпюры продольных сил: а – заданный стержень; б, в – отсеченные части стержня; г – эпюра N 9 2.2. Напряжения и деформации При растяжении стержня его длина увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются (рис. 2.2). Изменение длины ∆l называется абсолютной продольной деформацией, а изменения поперечных размеров ∆b и ∆h – абсолютными поперечными деформациями. По этим величинам вычисляют относительную продольную деформацию ε = ∆l и отl ∆b ∆h = . b h ε′ Опытами установлено, что отношение µ = остаётся постоянным ε носительную поперечную деформацию ε′ = для каждого материала и находится в интервале 0...0,5. Параметр µ = ε′ называется коэффициентом Пуассона. ε F F h l l+∆l h–∆h b b–∆b Рис. 2.2. Деформации растянутого стержня В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые, согласно гипотезе плоских поперечных сечений, равномерно распределены по всей площади сечения (рис. 2.3, а) и равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения σ= N . A Между нормальными напряжениями и относительной продольной деформацией существует зависимость, называемая законом Гука: σ = Eε , в которой коэффициент пропорциональности Е называется модулем упругости. Модуль упругости определяется опытным путем и является важной характеристикой материала. Единицы измерения модуля упругости совпадают с единицами измерения напряжений (МПа, кН/см2). 10 Абсолютную продольную деформацию вычисляют по формуле ∆l = Nl , EA где произведение ЕА называется жёсткостью при растяжении (сжатии). а б F F F σ=N/A N=F F F σα=σ/2 F α=45° τmax=σ/2 Рис. 2.3. Нормальные напряжения в сечениях стержня: а – в поперечном; б – в наклонном Анализ напряженного состояния показывает, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, в продольных сечениях нет никаких напряжений, а в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения. Наибольшие касательные напряжения равны половине нормальных напряжений в поперечном сечении и действуют на площадках, наклоненных под углом 45° к продольной оси стержня (рис. 2.3, б). Различие в способах приложения внешних сил к стержню сказывается на распределении деформаций и напряжений только на сравнительно коротких участках стержня вблизи места приложения сил (рис. 2.4). В этом заключается принцип Сен-Венана, подтверждаемый опытами. F/2 F F/3 F/3 F/3 h a=(1...1,5) h a F/2 a Рис. 2.4. На левом участке стержня распределение напряжений не зависит от способа приложения нагрузки 2.3. Испытания материалов на растяжение и сжатие Для определения характеристик конструкционных материалов на специальных машинах и установках проводят испытания образцов, изготовленных из различных материалов. Форма, размеры образцов, порядок 11 испытаний регламентируются техническими условиями для возможности сопоставления полученных результатов. В процессе испытаний фиксируются величины растягивающих или сжимающих сил, продольных деформаций, автоматически вычерчиваются диаграммы зависимости между деформациями образцов ∆l и усилиями в образцах N . От полученных диаграмм переходят к диаграммам напряжений, на которых по оси абсцисс откладывают относительную продольную деформацию ∆l , а по оси ординат – норl N мальное напряжение σ = . Вид таких A образца ε = Рис. 2.5. Диаграммы напряжений для различных материалов: 1 – бронза; 2 – углеродистая сталь; 3 – никелевая сталь; 4 – марганцовистая сталь диаграмм показан на рис. 2.5. На диаграмме напряжений пластичной стали (рис. 2.6) можно отметить несколько точек, которые соответствуют механическим характеристикам прочности материала. Предел пропорциональности σ пц – наибольшее напряжение, при котором ещё справедлив закон Гука. Предел упругости σ у – напряжение, при котором относительная продольная остаточная деформация имеет малую величину (0,02...0,05 %). Предел текучести σТ – напряжение, при котором деформации возрастают без увеличения усилия в образце. Если площадка текучести (горизонтальный участок на диаграмме напряжений) отсутствует или выражена неявно, то определяют условный предел текучести σ0,2 – напряжение, при котором остаточная деформация равна 0,2 %. Временное сопротивление (предел прочности) σ В ( σ пч ) – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке на образец. Тангенс угла наклона прямолинейного участка ОА на диаграмме напряжений (рис. 2.6) равен модулю упругости материала. Пусть некоторой точке L на диаграмме растяжения (рис. 2.7) соответствует усилие в стержне F и удлинение образца ∆l. При разгрузке образца график будет изображаться прямой LL1, проходящей параллельно начальному участку диаграммы ОА. Отрезок OL1 равен остаточной деформации ∆lост , а отрезок L1L2 равен упругой деформации ∆lупр . Полная деформация, соответствующая точке L, получается как сумма ∆l = ∆lост + ∆lупр . 12 F L F M А σ = F/A D B C σТ K σВ (σПЧ) A σУ σпц α O O α L L 2 1 • • ∆lост ∆lупр ост ε =∆l/l ∆l M1 р ∆lост ∆l Рис. 2.6. Диаграмма напряжений пластичной стали • M2 ∆l • р ∆lупр Р Рис. 2.7. Диаграмма растяжения при повторном нагружении При повторном нагружении образца диаграмма, показанная на рис. 2.7 пунктиром, будет вначале изображаться слабо искривленной линией L1L, а после достижения точки L пойдет так, как будто не было разгрузки и повторного нагружения. Криволинейность участка L1L вызывается необратимыми потерями энергии деформации, а сама кривая L1L называется петлей гистерезиса. Во многих случаях искривленностью участка L1L пренебрегают и считают его прямолинейным. Разрыву образца соответствует точка М. Полная деформация ∆lР, предшествующая разрыву, изображается отрезком ОМ2, а после разрур шения образца можно измерить остаточную деформацию ∆lост , равную отрезку ОМ1. Диаграмма напряжений при разгрузке и повторном нагружении имеет аналогичный вид (рис. 2.8). После нагружения образца выше площадки текучести, разгрузки и при повторном нагружении изменяются некоторые свойства материала: • повышается предел пропорциональности (от величины σ пц до величины σ пц ); • исчезает площадка текучести; • уменьшается деформация, предшествующая разрушению (отрезок L1M2 вместо отрезка ОМ2), поэтому материал становится менее пластичным. Указанные изменения свойств называются наклепом. Наклеп может быть полезен, например, для уменьшения деформаций тросов и цепей грузоподъемных машин, или вреден, например, при динамических нагрузках. н 13 σ M L А σ нпц σ пц α O L1 L2 M1• M2 ε Рис. 2.8. Диаграмма напряжений при повторном нагружении Перед испытанием образца измеряют его расчетную длину L0 и размеры поперечного сечения, по которым находят начальную площадь поперечного сечения А0. После разрыва образца измеряют новую длину L1 и новые размеры поперечного сечения в месте разрыва для вычисления площади поперечного сечения А1. Вычисляют характеристики пластичности материала: L1 − L0 100 % ; L0 А0 − А1 • относительное остаточное сужение ψ = 100 % . А0 • относительное остаточное удлинение δ= Для испытания на сжатие изготовляют стальные и чугунные цилиндрические образцы (рис. 2.9) диаметром d0 = 6…25 мм. Отношение L0 / d0 = 1…2. Диаграмма сжатия стального образца (рис. 2.10, а) начинается с прямолинейного участка ОА, затем график искривляется, площадка текучести явно не выражается даже для пластичной стали. При испытаниях определяют усилия FП и FТ, по которым вычисляют предел пропорциРис. 2.9. Образец ональности σП = FП/А0 и предел текучести σТ = FТ/А0. для испытания Если площадка текучести выражена неявно, то опрена сжатие деляют условный предел текучести σ0,2 как напряжение, соответствующее остаточной деформации ε = 0,2 %. Величины предела пропорциональности и предела текучести стали при сжатии оказываются близкими к их значениям при растяжении. Стальной образец при сжатии сплющивается, не разрушаясь. Предел прочности стали при сжатии не определяется и условно принимается равным пределу прочности при растяжении. 14 Диаграмма сжатия чугунного образца не имеет ярко выраженного прямолинейного участка и, постепенно искривляясь, обрывается в момент разрушения образца (рис. 2.10, б). а б F F В Fmax А FТ FП О О ∆l ∆l Рис. 2.10. Диаграммы сжатия образцов: а – стального; б – чугунного Для чугуна вычисляют предел прочности при сжатии σ пч = Fmax , где A0 – площадь поперечного A0 сечения образца до испытания. Продольные деформации чугунного образца незначительны. Образец получает слабовыраженную бочкообразную форму, на нем появляются трещины, наклоненные под углом 45° к оси образца. Разрушение происходит путем среза по одной из наклонных площадок (рис. 2.11). Рис. 2.11. Разрушение чугунного образца при сжатии 2.4. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Для прочностных расчетов используют метод допускаемых напряжений, метод разрушающих нагрузок и метод предельных состояний. В методе допускаемых напряжений вводится понятие допускаемого напряжения [σ], величина которого получается делением опасного напряжения σоп на коэффициент запаса прочности n [σ] = σоп . n Опасным напряжением принимается либо предел текучести, либо предел прочности. Коэффициент запаса прочности n >1, он учитывает естественный разброс результатов опытов по определению σоп, неточ15 ность значения внешней нагрузки, условия эксплуатации конструкции и ряд других факторов. Условие прочности имеет вид σ max = N ≤ [σ] . A Для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, вводят два различных допускаемых напряжения [σ] р и [σ]сж . Условие прочности позволяет решать три типа задач: • при заданных нагрузках, размерах поперечного сечения и допускаемых напряжениях проверять прочность стержня σ max = N ≤ [σ] ; A • при заданных нагрузках и величине допускаемых напряжений определять площадь, а затем размеры поперечного сечения A≥ N ; [σ] • при заданных размерах поперечного сечения и величине допускаемых напряжений определять величину допускаемой продольной силы в стержне N ≤ [σ]A . В методе разрушающих нагрузок условие прочности имеет вид: F ≤ [F ], где F – величина действующей нагрузки на конструкцию; [F ] – величина допускаемой нагрузки. Методы предельных состояний и разрушающих нагрузок изучаются в курсе строительных конструкций. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какое правило знаков принимается для продольной силы? 2. Что называется эпюрой продольных сил? 3. Как вычислить нормальные напряжения в поперечном сечении стержня? 3. Как вычислить наибольшие касательные напряжения в стержне? На каких площадках они действуют? 4. Что называется коэффициентом Пуассона? 16 5. Что называется модулем упругости материала? 6. Запишите формулу закона Гука. 7. Назовите механические характеристики прочности материала. 8. Назовите характеристики пластичности материала. 9. Что такое наклёп? 10. Как вычислить удлинение растянутого стержня? 11. Запишите условие прочности по методу допускаемых напряжений. 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 3.1. Виды напряженного состояния Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке. Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. Наибольшее главное напряжение обозначается σ1, наименьшее – σ3, а промежуточное – σ2, поэтому σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1). б а σ2 в σ2 σ3 σ1 σ1 σ1 σ1 σ1 σ3 σ2 σ1 σ2 Рис. 3.1. Виды напряженного состояния в точке: а – линейное; б – плоское; в – объемное 3.2. Плоское напряженное состояние Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боко17 вым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.2, а). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z, а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 3.2, б). а y y б σy τyx dy τxy σx x τxy z x τyx t dx σx σy Рис. 3.2. Плоское напряженное состояние Согласно закону парности касательных напряжений τ yx = τ xy , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках равны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях. Главные площадки (рис. 3.3) составляют угол α0 с исходными площадками, величину которого определяют из выражения tg 2α 0 = y σmin 2τ xy . σx − σ y σy τyx σmax Главные площадки τxy σx σx α0>0 τxy x σmax τyx 18 σy σmin Исходные площадки Рис. 3.3. Главные площадки и главные напряжения Главные напряжения, обозначаемые как σ max и σ min , вычисляют по формуле σ + σy 1 2 σ max = x ± (σ x − σ y )2 + 4 τ xy . 2 2 min Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45° τmax = σ max − σ min 2 . Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации εx = ∆( dx ) ; dx εy = ∆( dy ) dy и угловая деформация (относительный сдвиг) в виде угла сдвига γ xy (рис. 3.4, б). а y б σy τyx y γxy ∆(dy) τxy σx σx dy τxy x x dx τyx ∆(dx) σy Рис. 3.4. Плоское напряженное состояние: а – напряжения; б – деформации Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука: 19 εx = 1 (σ x − µσ y ); E εy = 1 (σ y − µσ x ). E Здесь E – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода); µ – коэффициент Пуассона. Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 3.5). τ σmin=σ3=-τ Площадки чистого сдвига σmax=σ1= τ τ τ 45° γ σmin=σ3=-τ σmax=σ1=τ τ Главные площадки Рис. 3.5. Напряжения и деформации при чистом сдвиге Такой случай называется чистым сдвигом, а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений σ max = τ = σ1 ; σmin = −τ = σ3 . Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину γ , которая называется углом сдвига (рис. 3.4 и 3.5). Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге τ = Gγ , где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см2. Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее ча20 сто записывают в следующей форме: G= E . 2 (1 + µ ) 3.3. Объемное напряженное состояние В общем случае на гранях бесконечно малого элемента могут действовать нормальные и касательные напряжения, положительные направления которых показаны на рис. 3.6. y σy σz τyx τyz τzx τxy τxz σx σx τzy τzy x τzx τxy τxz τyz τyx z σz σy Рис. 3.6. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда Нормальные напряжения снабжаются индексом, который указывает координатную ось, вдоль которой направлено напряжение. Из условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда вытекает закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно линии пересечения этих площадок, равны по величине. Поэтому τ yx = τ xy ; τ zx = τ xz ; τ yz = τ zy . Доказывается, что вокруг любой точки тела можно выделить такой бесконечно малый элемент, на гранях которого отсутствуют касательные напряжения, и могут действовать только нормальные напряжения. Грани такого элемента называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих гранях – главными напряжениями. 21 Главные напряжения обозначают σ1 , σ2 , σ3 , причем индексы расставляют так, чтобы по алгебраическому значению первое главное напряжение было самым большим, а третье главное напряжение – самым маленьким: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Напряжения, действующие на гранях бесконечно малого параллелепипеда, можно записать в виде таблицы, называемой тензором напряжений: σx  Tσ = τ xy τ  xz τ yx σy τ yz τ zx   τ zy . σ z  Значения главных напряжений получают из решения кубического уравнения σ3 − I1 σ2 + I 2 σ − I 3 = 0. Коэффициенты этого уравнения I1, I2, I3 называют первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. При любых исходных осях x, y, z, т. е. при любой ориентации в пространстве граней элементарного параллелепипеда, для данной точки значения инвариантов остаются неизменными I1 = σ x + σ y + σ z = const; I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − τ2yx − τ2zy − τ2xz = const; I 3 = σ x σ y σ z − σ x τ2yz − σ y τ2zx − σ z τ2xy + 2τ yx τ zy τ xz = const . Экстремальное касательное напряжение в точке действует на площадке, наклоненной под углом 45° к максимальному и минимальному из трех главных напряжений, и равно их полуразности (рис. 3.7). 22 σ2 45° σ3 = σmin σ1=σmax τ max = σ1 − σ3 2 Рис. 3.7. Положение и величина наибольшего касательного напряжения Деформации бесконечно малого элемента при объемном напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации εx = и угловые деформации ∆( dx ) ∆( dy ) ∆( dz ) ; εy = ; εz = dx dy dz γ xy ; γ yz ; γ zx . Указанные деформации записывают в виде тензора деформаций   εx  1 TД =  γ yx 2  1 γ zx  2 1 2 γ yx εy 1 2 γ yz  γ zx  2  1 γ yz  . 2  εz   1 Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для любых направлений, проведённых через точку тела, называется деформированным состоянием в точке. Существуют такие три ортогональных направления, для которых углы сдвига отсутствуют, а относительные удлинения ε1, ε2 , ε3 таковы, что ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 . Указанные направления называются главными осями де23 формированного состояния, а деформации ε1 , ε 2 , ε 3 – главными деформациями в точке. По аналогии с главными напряжениями деформации ε1 и ε3 имеют экстремальные значения по сравнению с деформациями по другим направлениям. Между деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука: τ xy 1 (σ x − µ (σ y + σ z )), γ xy = ; E G τ 1 ε y = (σ y − µ (σ x + σ z )), γ yz = yz ; E G 1 τ ε z = ( σ z − µ ( σ x + σ y )), γ zx = zx . E G εx = 3.4. Расчёты на прочность при сложном напряженном состоянии Напряженное состояние в точке называется предельным, если происходит физическое разрушение материала или возникают пластические деформации. Для того чтобы при оценке прочности материалов, находящихся в сложном напряженном состоянии, использовать характеристики прочности, полученные в опытах на растяжение и сжатие, каждому сложному напряженному состоянию ставится в соответствие равнопрочное ему линейное напряженное состояние (рис. 3.8). Такое линейное напряженное состояние называется эквивалентным. а σ2 б σ3 σЭКВ σ1 σ1 Равнопрочность σ3 σ2 σЭКВ Рис. 3.8. Равнопрочные напряженные состояния: а – исходное сложное; б – эквивалентное линейное Для перехода от главных напряжений σ1 , σ 2 , σ 3 к эквивалентному напряжению σ экв используют различные теории прочности, предпола24 гающие те или иные причины наступления предельного напряженного состояния (критерии прочности). Известны четыре классические теории прочности. Первая – теория наибольших нормальных напряжений, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные нормальные напряжения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется при растяжении хрупких материалов. Вторая – теория наибольших относительных деформаций, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные относительные удлинения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется при сжатии хрупких материалов. Третья – теория наибольших касательных напряжений, согласно которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные касательные напряжения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Четвёртая – энергетическая теория, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда удельная потенциальная энергия деформации, затраченная на изменение формы тела, достигает предельной величины для материала. Эта теория применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Есть ряд теорий прочности, которые не объясняют причину разрушения, а прогнозируют прочность материала по результатам опытов при простых деформациях. Среди таких теорий для строительных материалов, более прочных при сжатии, чем при растяжении, часто применяют теорию прочности О. Мора. Выражения эквивалентных напряжений, вычисляемых по разным теориям прочности, приведены в табл. 3.1. Таблица 3.1 Эквивалентные напряжения Теории прочности Первая Вторая Третья Четвёртая σ экв σ1 σ1 − µ ( σ 2 + σ 3 ) σ1 − σ 3 1 2 О. Мора ((σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2 ) σ1 − kσ 3 , где раст σ пч k = сж σ пч – отношение пределов прочности материала при растяжении и сжатии 25 Условие прочности по любой теории прочности: σ экв ≤ [σ]. Для частного случая плоского напряженно- σ го состояния (рис. 3.9) после выражения главных напряжений через исходные напряжения получаем условия прочности в виде следующих формул: III σ экв = σ2 + 4τ2 ≤ [σ]; IV σ экв = σ 2 + 3τ2 ≤ [σ]. τ τ σ τ τ Рис. 3.9. Частный случай плоского напряженного состояния Эти формулы используют при расчетах стальных стержней, когда стержень получает деформации кручения и растяжения (сжатия), кручения и изгиба, кручения с растяжением и изгибом. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется напряженным состоянием материала в точке? 2. Какие бывают виды напряжённого состояния? 3. Какие напряжения называются главными? 4. Какие площадки называются главными? 5. Что такое чистый сдвиг? 6. Чему равны главные напряжения при чистом сдвиге и как они направлены? 7. В чём заключается закон парности касательных напряжений? 8. Что такое тензор напряжений? 9. Что такое тензор деформаций? 10. Запишите формулу закона Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях. 11. Какое напряжённое состояние называется предельным? 12. Сколько вы знаете классических теорий прочности? 13. Какое условие связывает заданное сложное напряжённое состояние и эквивалентное ему линейное напряжённое состояние? 14. Для каких материалов применяют третью и четвёртую теории прочности? 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР 4.1. Статические моменты площади 26 Поперечное сечение стержня представляет собой плоскую фигуру, для которой определяют некоторые геометрические характеристики, простейшей из которых является площадь, обоA y значаемая буквой А (рис. 4.1). Статическим моментом площади относительно оси называется сумма произC ведений элементарных площадок dA на dA их расстояния до этой оси, взятая по всей y yC площади. ρ O Статические моменты площади отноxC x сительно осей x и y: x S x = ∫ ydA , S y = ∫ xdA . A Рис. 4.1. Поперечное сечение стержня A Обычно статические моменты площади измеряют в кубических сантиметрах (см3). Статические моменты площади могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями. Все такие оси проходят через одну точку – центр тяжести фигуры. Статический момент площади относительно некоторой оси равен произведению площади на расстояние от центра тяжести до этой оси (рис. 4.1): S x = ∫ ydA = AyC ; S y = ∫ xdA = AxC . A A Это свойство позволяет находить положение центра тяжести сложной фигуры. Для этого сложную фигуру разбивают на простые части, для которых известны площади А1, А2, . . . , Аn и координаты центров тяжести этих площадей (рис. 4.2). Тогда координаты центра тяжести xC = S y A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn S A y + A2 y2 + ... + An y n = ; yC = x = 1 1 . A A1 + A2 + ... + An A A1 + A2 + ... + An 27 xi y x1 Ai C1 A1 y1 Ci C yC yi y2 O O An Cn C2 A2 x2 yn x xC xn Рис. 4.2. Определение координат центра тяжести фигуры 4.2. Моменты инерции площади Осевым моментом инерции площади называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до выбранной оси, взятая по всей площади: I x = ∫ y 2 dA ; I y = ∫ x 2 dA . A A Полярным моментом инерции площади относительно выбранной точки (полюса) называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до полюса, взятая по всей площади: I p = ∫ ρ 2 dA . A Поскольку ρ = x + y (рис. 4.1), то полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно-перпендикулярных осей, проходящих через полюс, т. е. I P = I x + I y . Центробежным моментом инерции площади относительно координатных осей называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до осей, взятая по всей площади: 2 2 2 I xy = ∫ xydA . A Моменты инерции площади обычно измеряют в сантиметрах в 4-й степени (см4). Осевые и полярный моменты инерции площади всегда положительны, а центробежный момент инерции площади может быть 28 любого знака или равняться нулю (табл. 4.1). Таблица 4.1 Моменты инерции простых фигур относительно центральных осей Прямоугольник Равнобедренный треугольник Ix = y x h Iy = bh y ; 12 hb3 12 3 ; x h/ 3 A = bh b b Треугольник 2h/3 h 2h/3 h h/3 b bh3 Ix = ; 36 hb3 Iy = ; 48 bh A= 2 Круг bh3 Ix = 36 x bh A= 2 πd 4 πr 4 ; Ix = I y = = 64 4 πd 4 πr 4 Ip = = ; 32 2 πd 2 A= = πr 2 4 y ; x d=2r Окончание табл. 4.1 Кольцо d=2r Полукруг d r = ; D R x πD 4 Ix = 1− α 4 = 64 4 πR = 1− α 4 ; D=2R 4 πD 4 πR 4 4 Iр = 1− α = 1− α 4 ; 32 2 2 πD A= 1− α 2 = πR 2 1− α 2 4 y α= ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) x r d=2r 0,424r πd 4 πr 4 I x = 0 ,11 r ; I y = = ; 32 8 2 2 πd πr A= = 8 2 4 29 Если известны моменты инерции площади относительно центральных осей фигуры, то моменты инерции относительно осей, параллельных центральным осям (рис. 4.3), вычисляют по формулам: I x = I xC + a 2 A ; I y = I y C + b 2 A ; I xy = I xC yC + abA . yC y C A xC a O x b Моменты инерции площади изменяются Рис. 4.3. К вычислению моментов при повороте координатных осей вокруг инерции площади А относительно начала координат (рис. 4.4). Относительно параллельных осей повернутых осей моменты инерции площади вычисляют по формулам: I x1 = I x cos 2 α + I y sin 2 α − I xy sin 2α ; I y1 = I x sin 2 α + I y cos 2 α + I xy sin 2α ; I x1y1 = Ix − I y 2 sin 2α + I xy cos 2α . Среди осей, проходящих через центр тяжести площади, есть такие взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей – главными центральными моментами инерции. Если известны моменты инерции площади относительно произвольных осей I x , I y , I xy (рис. 4.5), то главные моменты инерции I max , I min вычисляют по формуле I + Iy 1 2 I max = x ± ( I x − I y )2 + 4 I xy , 2 2 min а угол α 0 между осью x и главной осью u ляют через тангенс двойного угла tg 2α 0 = − 30 (I u = I max , I v = I min ) опреде2 I xy Ix − Iy . y y1 v A y u α x1 α>0 x α>0 O x Рис. 4.5. Произвольные (x, y) и главные центральные (u, v) оси фигуры Рис. 4.4. К вычислению моментов инерции площади А относительно повернутых осей Ось симметрии фигуры всегда является главной центральной осью. Сумма моментов инерции площади относительно взаимно-перпендикулярных осей есть величина постоянная: I max + I min = I x + I y . 4.3. Моменты сопротивления и радиусы инерции Осевым моментом сопротивления площади относительно главной центральной оси называется отношение момента инерции относительно этой оси к расстоянию от оси до наиболее удалённой от неё точки (рис. 4.6): Wx = Iy Ix ; Wy = . ymax xmax Моменты сопротивления простых фигур (табл. 4.1): • прямоугольник Wx = • треугольник Wx = • круг Wx = πd 3 32 • кольцо Wx = = πd 6 bh 4 , Wy = hb 2 6 ; 2 24 πr 3 3 bh 2 y ; ymax ; x (1 − α ) = π4r (1 − α ). 3 4 4 32 Полярным моментом сопротивления W p называется xmax отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра фигуры до наиболее удалённой точки: для круга Рис. 4.6. К вычисле- Wp = πd 3 16 = πr 3 2 , для кольца W p = πd 3 16 (1− α ) 4 нию моментов сопро= тивления Wx и Wy 31 = πr 3 (1 − α ). 4 2 Моменты сопротивления измеряют в кубических сантиметрах (см3). Радиусами инерции называют выражения ix = Iy Ix и iy = . A A Радиусы инерции измеряют в сантиметрах (см). 4.4. Примеры вычисления геометрических характеристик Пример 4.1. Определить положение центра тяжести фигуры (рис. 4.7). Y 4 8 С С2 2 4 5 Yc = 3,67 10 С1 О X 2 8 Xc = 4,67 Рис. 4.7. Нахождение центра тяжести фигуры (все размеры в см) Разделяем фигуру на два прямоугольника, назначаем координатные оси X, Y, указываем координаты центров тяжести прямоугольников С1, С2. Площади прямоугольников А1 = 4⋅10 = 40 см2, А2 = 8⋅4 = 32 см2; xC = S y A1x1 + A2 x2 40 ⋅ 2 + 32 ⋅ 8 = = = 4 ,67 см ; A A1 + A2 40 + 32 yC = S x A1 y1 + A2 y2 40 ⋅ 5 + 32 ⋅ 2 = = = 3 ,67 см. A A1 + A2 40 + 32 Центр тяжести (точка С) должен находиться на прямой С1С2. Пример 4.2. Вычислить моменты инерции фигуры (рис. 4.8) относитель32 но осей X и Y. Y, Y1, Y2 X2 3 9 С2 8 2,5 5 С1 О Разделяем фигуру на прямоугольник и треугольник, показываем центры тяжести С1 и С2 этих фигур, проводим центральные оси X1, Y1 прямоугольника и X2, Y2 треугольника. Пользуемся данными табл. 4.1 и формулами перехода от центральных осей к параллельным им осям: X1 X I y = I y1 + I y 2 = 5 5 Ix = 10 Рис. 4.8. Вычисление моментов инерции фигуры (все размеры в см) 2 3 5 ⋅ 10 12 I x1 + a12 A1 + I x2 + 2,5 ⋅ 5 ⋅ 10 + 10 ⋅ 9 36 + 9 ⋅ 10 3 48 + a22 A2 3 +8 2 4 = 604,2 см ; 10 ⋅ 9 2 = 10 ⋅ 5 12 3 + 4 = 3499,2 см . Пример 4.3. Показать главные центральные оси фигур (рис. 4.9). Рис. 4.9. Главные центральные оси симметричных фигур Любая ось симметрии фигуры является главной центральной осью. Вторая главная ось перпендикулярна оси симметрии. Если фигура имеет две оси симметрии с одинаковыми моментами инерции, то любая другая центральная ось такой фигуры тоже будет главной, и моменты инерции относительно любой центральной оси будут одинаковыми. Таким свойством обладает не только круг, но и квадрат, а также любой правильный многоугольник, вписанный в круг. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Как вычислить статический момент площади относительно оси? 2. Относительно какой оси статический момент площади равен нулю? 3. По каким формулам можно определить координаты центра тяжести фигуры? 33 4. Что называется осевым, центробежным, полярным моментом инерции площади? 5. В каких единицах измеряют моменты инерции площади? 6. По каким формулам вычисляют моменты инерции прямоугольника, треугольника, круга относительно центральных осей? 7. Какие оси называются главными? 8. Какие моменты инерции называются главными? 9. Как определить положение главных центральных осей фигуры? 10. Как вычислить главные моменты инерции? 11. Что такое момент сопротивления? 12. Что такое радиус инерции? 5. КРУЧЕНИЕ И СДВИГ 5.1. Крутящий момент Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент Мк. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на оставшуюся часть стержня со стороны отброшенной части момент направлен против хода часовой стрелки. Стержень, испытывающий деформацию кручения, называется валом. График, показывающий изменение крутящего момента вдоль оси вала, называется эпюрой крутящих моментов (Эп.Мк). Для построения Эп.Мк вал разделяют на участки, на каждом из которых крутящий момент находят методом сечений, а затем строят графики полученных уравнений. М1 = 12 кНм М2 = 5 кНм а l1 l2 М1 Мк1 М2 б z z1 Мк2 М2 z в z2 7 г Эп.Мк (кНм) 5 Рис. 5.1. Построение эпюры крутя34 щих моментов: а – заданный вал; б, в – отсечённые части вала; г – эпюра крутящих моментов Пример 5.1. Вал (рис. 5.1, а) для построения эпюры крутящих моментов разделяем на два участка. Проведя на левом участке произвольное сечение, выделяем правую часть вала, заменяя действие левой части положительным крутящим моментом Мк1 (рис. 5.1, б). Из уравнения равновесия в виде ΣM z = = M k 1 – M 1 + M 2 = 0 находим M k 1 = = M 1 – M 2 = 12–5 = 7 кНм при любом значении z1. График этого уравнения – прямая, параллельная оси z. Правый участок вала рассекаем сечением с координатой z2, выделяем правую часть вала, заменяя действие левой части положительным крутящим моментом Мк2 (рис. 5.1, в). Из уравнения равновесия ΣM z = M k 2 + M 2 = 0 находим M k 2 = − M 2 = –5 кНм при любом значении z2. График этого уравнения – прямая, параллельная оси z. 5.2. Деформации и напряжения при кручении Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, скручиваемый моментами МК (рис. 5.2). Левый конец стержня будем считать неподвижным. Образующие, нанесенные на поверхности стержня, оставаясь прямыми, поворачиваются на одинаковый угол γ (угол сдвига). Правый торец стержня, оставаясь плоским, поворачиваφ γ ется на угол φ, называемый углом закруМk чивания. Размеры стержня не изменяются. Если крутящий момент M k по длине Мk стержня остаётся постоянным, то угол закручивания вычисляют по формуле Рис. 5.2. Деформации стержня при кручении: φ – угол закручивания; γ – угол сдвига ϕ= Mk l , GI p где l – длина стержня; G – модуль сдвига; I p – полярный момент инерции площади поперечного сечения. Произведение GI p называется жесткостью сечения при кручении. В поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения, направленные перпендикулярно радиусу (рис. 5.3) и вычисляемые по формуле τ= Mk ρ, Ip где ρ – расстояние от центра сечения до той точки, в которой вычисляют напряжение. 35 б a в τmax τ Мk τmax Мk ρ τmax τmax Рис. 5.3. Касательные напряжения при кручении: а – напряжения в точке; б – эпюра напряжений для круглого поперечного сечения; в – эпюра напряжений для кольцевого поперечного сечения Максимальные касательные напряжения возникают в точках контура поперечного сечения, их определяют по формуле τmax = Mk , Wp где W p – полярный момент сопротивления сечения. 5.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении Условие прочности τmax = Mk ≤ [τ], где [τ] – допускаемые касательWp ные напряжения, позволяет решать задачи трёх типов: • проверочный расчет: τmax = Mk ≤ [τ]; Wp Mk с последующим определением разме[τ] ров поперечного сечения через момент сопротивления W p ; • определение допускаемой нагрузки: M k ≤ W p [τ] с последующим выражением внешней нагрузки через крутящий момент M k . M l Условие жесткости ϕ = k ≤ [ϕ], где [ϕ] – допускаемый угол закруG Ip • подбор сечения: Wp ≥ чивания стержня, позволяет решать задачи трёх типов: • проверочный расчет: 36 ϕ= Mk l ≤ [ϕ]; G Ip Mk l с последующим определением размеG [ϕ] ров поперечного сечения через момент инерции I p ; G I p [ϕ] • определение допускаемой нагрузки: M k ≤ с последующим i выражением внешней нагрузки через крутящий момент M k . • подбор сечения: Ip ≥ 5.4. Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения Поперечные сечения прямоугольной формы при кручении стержня не остаются плоскими, а искривляются по некоторой поверхности. Точки поперечного сечения перемещаются вдоль продольной оси стержня. Это явление называется депланацией сечения. Если депланации всех поперечных сечений стержня одинаковы, то такой случай кручения называется свободным кручением, а в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Если депланации меняются по длине стержня, то кручение называется стеснённым, а в поперечных сечениях помимо касательных напряжений возникают и нормальные напряжения. На рис. 5.4 показано свободное кручение стержня [1]. Методами сопротивления материалов задачу о нахождении касательных напряжений решить невозможно. Для расчета на кручение используют результаты, полученные методами теории упругости, но этим результатам придают вид формул, используемых в сопротивлении материалов. Распределение касательных напряжений при свободном кручении по разным линиям поперечного сечения показано на рис. 5.5. Наибольшие напряжения возникают в точках, расположенных посередине длинных сторон прямоугольника. В центре сечения и в угловых точках напряжения отсутствуют. 37 Рис. 5.4. Свободное кручение стержня прямоугольного поперечного сечения Максимальные напряжения вычисляют по формуле τmax = τ′ Mk , Wk где Wk = β b – момент сопротивления при h≥b кручении. Коэффициент β зависит от соотношения сторон прямоугольника β = β ( h/b) . Касательные напряжения в точках посередине коротких сторон выражаются через наибольшие напряжения τ' = γτmax , b где γ = γ ( h / b ) ≤ 1. Рис. 5.5. Распределение Угол закручивания стержня находят по 3 M l 4 формуле ϕ = k , где I k = αb называGI k τmax касательных напряжений ется моментом инерции при кручении. Коэффициент α зависит от соотношения сторон прямоугольника α = α ( h / b) . В табл. 5.1 приведены величины коэффициентов α, β, γ. Для стержней должны выполняться два условия: Mk ≤ [τ]; Wk M kl • условие жесткости ϕ = ≤ [ϕ]. GI k • условие прочности 38 τmax = Таблица 5.1 Коэффициенты для расчета прямоугольных сечений при кручении h/b α β γ 1 0,140 0,208 1 1,5 0,294 0,346 0,859 2 0,457 0,493 0,795 3 0,790 0,801 0,753 6 1,789 1,789 0,742 10 3,123 3,123 0,742 Эти условия используют для проверки прочности и жесткости, для подбора размеров поперечного сечения, для определения максимального (допускаемого) внешнего момента. 5.5. Расчёты на сдвиг Пример 5.2. Определить допускаемую нагрузку на болт из условия прочности на срез головки болта (рис. 5.6). Допускаемые напряжения на срез [τср] заданы. Деформация сдвига применительно к металлическим элементам называется б а срезом. h τср В данном случае срез головки болта происходит по цилиндрической поверхности диаметром d, высотой h и площадью d Аср = πdh. Из условия равновесия болта F (рис. 5.6, б) получаем F = τср Аср = [τср] πdh. F Предполагается, что касательные Рис. 5.6. К расчёту болта: а – схема болта; б – нагрузки на болт напряжения равномерно распределены по поверхности среза. Пример 5.3. Определить из условия прочности на срез диаметр заклёпок в заклёпочном соединении (рис. 5.7) при известной нагрузке F и допускаемых напряжениях на срез [τср]. Считается, что сила F распределяется поровну между всеми заклёпками, поэтому на одну заклёпку приходится нагрузка Fз =F/n = F/4, где n = 4 – число заклёпок, расположенных по одну сторону от стыка листов. 2 Каждая заклёпка срезается по двум площадкам площадью A = π d /4 каждая. Касательные напряжения среза τ ср считаются равномерно распределёнными по площадкам среза. Условие прочности на срез получает вид 4F F F τср = з = = ≤ [ τср ] , где m = 2 – число срезов одной заклёпки. 2 mA nmA nmπd 39 F F Fз/2 F F Fз Fз/2 d Рис. 5.7. Заклёпочное соединение Из условия прочности находим d ≥ F . 2π [τср ] КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется эпюрой крутящих моментов? 2. Как вычислить касательные напряжения в произвольной точке круглого поперечного сечения вала? 3. Как вычислить наибольшие касательные напряжения в прямоугольном поперечном сечении вала? 3. Как вычислить угол закручивания вала? 4. Запишите условие прочности при кручении. 5. Запишите условие жёсткости при кручении. 6. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ 6.1. Изгибающий момент и поперечная сила Плоским изгибом называется такой вид деформации стержня, при котором все внешние нагрузки, включая опорные реакции, лежат в одной из главных плоскостей стержня (yOz или xOz на рис. 6.1) и вызывают искривление оси стержня в этой плоскости. Изгибаемый стержень называется балкой. В поперечном сечении балки могут возникать два внутренних усилия – изгибающий момент M x (или M y ) и поперечная сила Q y (или Qx ). Если поперечная сила отсутствует, то изгиб называется чистым, а при наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. В дальнейшем бу40 дем рассматривать балки с поперечными сечениями, симметричными относительно оси y, и нагруженными силами в плоскости yOz. При изгибе продольная ось балки искривляется, поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются, продольные волокна либо растягиваются, либо сжимаются (рис. 6.2). y F1 q F2 Сжатие z O Растяжение x Рис. 6.1. Изгиб стержня в плоскости yOz Рис. 6.2. Деформированное положение балки Для внутренних усилий приняты следующие правила знаков. Изгибающий момент считается положительным, если растянуты нижние и сжаты верхние волокна. Поперечная сила считается положительной, если стремится повернуть МX < 0 МX > 0 выделенную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 6.3). Между изгибающим моментом Qy > 0 Qy < 0 M x , поперечной силой Q y и интенсивностью распределенной нагрузРис. 6.3. Правила знаков ки q существуют дифференциальдля внутренних усилий в балке ные зависимости dQ y d 2M x dM x = Qy ; = q; = q. dz dz dz 2 График, показывающий изменение изгибающего момента вдоль оси балки, называется эпюрой изгибающих моментов (Эп.Мх). График, показывающий изменение поперечной силы вдоль оси балки, называется эпюрой поперечных сил (Эп.Qy). Для построения эпюр находят опорные реакции балки, потом балку разделяют на участки, на каждом из которых получают методом сечений уравнения M x и Q y , а затем строят графики полученных функций. Ординаты эпюры M x откладывают со стороны растянутых волокон балки (положительные – вниз от оси, отрицательные – вверх от оси). Положительные ординаты эпюры Q y откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз от оси графика. 41 Пример 6.1. Построить эпюры внутренних усилий в балке (рис. 6.4, а). Находим опорные реакции: ∑ M A = RB ⋅ 4 − F ⋅ 5 ,5 − q ⋅ 4 ⋅ 2 = 0 , откуда 8 ⋅ 5 ,5 + 12 ⋅ 4 ⋅ 2 = 35 кН; 4 ∑ M B = − R A ⋅ 4 − F ⋅ 1,5 + q ⋅ 4 ⋅ 2 = 0 , RB = откуда RA = − 8 ⋅ 1,5 + 12 ⋅ 4 ⋅ 2 = 21 кН. 4 Контроль реакций (рис. 6.4, б) ∑ Fy = R A − q ⋅ 4 + RB − F =21 − 12 ⋅ 4 + 35 − 8 = 56 − 56 = 0. Балку разделяем на два участка. Строим эпюру изгибающих мо- а ментов. Рассекаем балку на левом участке поперечным сечением, расположенным на расстоянии z1 от левого конца, и рассматриваем левую часть б балки. Действие правой части балки заменяем положительными внутренними усилиями Мх1 и Qy1 (рис. 6.4, в). Вычисляем сумму моментов всех сил относительно точки k, приравнивая в её нулю q=12 кН/м кН А B 1,5 м 4м y q=12 кН/м кН F=8 кН B А RA z2 RB z1 y z1/2 y y F=8 кН k Mx2 k qz1 z1 ∑ M k = M x1 − RA z1 + qz1 = 0 , 2 F=8 кН RA=21кН Qy2 Mx1 Qy1 12 Эп.Mх(кНм) 18,375 г откуда M x1 = 21z1 − 6 z12 . Получено уравнение параболы, д для построения графика этого уравнения вычисляем моменты в трёх точках – по концам левого участка и в точке экстремума. 1,75 18 2 Эп.Qy(кН) 21 8 27 Рис. 6.4. Построение эпюр Мх и Qy 42 При z1 = 0 M x1 = 0. При z1 = 4 м M x1 = 21 ⋅ 4 − 6 ⋅ 4 = −12 кНм . Определяем положение сечения с экстремальным изгибающим мо2 dM x1 = 21 − 12 z1 = 0 , откуда z1 = 21 / 12 = 1,75 м . dz1 2 Тогда M x1 = 21 ⋅ 1,75 − 6 ⋅ 1,75 = 18,375 кНм . ментом: Рассекаем балку на правом участке поперечным сечением, расположенным на расстоянии z2 от правого конца, и рассматриваем правую часть балки. Действие левой части балки заменяем положительными внутренними усилиями Мх2 и Qy2 (рис. 6.4, в). Вычисляем сумму моментов всех сил относительно точки k, приравнивая её нулю ∑ M k = − M x 2 − Fz2 = 0 , откуда M x 2 = −8 z2 . Получено уравнение прямой, для построения эпюры вычисляем моменты по концам участка. При z2 = 0 M x 2 = 0 , при z2 = 1,5 м, M x 2 = −8 ⋅ 1,5 = −12 кНм . Строим эпюру поперечных сил. В сечении на левом участке балки (рис. 6.4, в) находим поперечную силу из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось y , заменив распределённую нагрузку её равнодействующей: ΣFy = RA − qz1 − Q y1 = 0 , откуда Qy1 = 21 − 12 z1. Получено уравнение прямой. На левом конце участка ( z1 = 0) Qy1 = 21 кН, на правом конце участка ( z1 = 4 м) Qy1 = 21–12⋅4 = –27 кН. В сечении на правом участке балки (рис. 6.4, в) находим поперечную силу из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось y : ∑ Fy = Qy 2 − F = 0 , откуда Qy 2 = F = 8 кН для всех поперечных сечений. Проверка эпюр M x и Q y выполняется с использованием следующих особенностей графиков. В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q y должен быть скачок на величину силы, а на эпюре M x – перелом. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M x должен быть скачок на величину этого момента. На участке балки, где нет распределённой нагрузки, величина Q y постоянна, а эпюра M x изображается наклонной прямой, при этом тангенс угла наклона этой прямой равен величине Q y . На участке балки, где есть равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q , эпюра Q y изображается наклонной прямой, тангенс угла наклона которой равен q , а эпюра M x изображается параболой. В том сечении, где Q y = 0 , момент M x имеет экстремальное значение. 43 6.2. Напряжения и деформации при изгибе Рассмотрим вначале случай плоского чистого изгиба (рис. 6.5), при котором отсутствует поперечная сила, а в любом сечении возникает только изгибающий момент M x . Используем две гипотезы. Гипотезу плоских сечений: Сжатие поперечные сечения, плоские Мх Мх до деформации, остаются плоскими и после деформации. Гипотезу линейного напряженного состояния: продольНейтральный слой Растяжение ные волокна стержня растягиваются или сжимаются и не Рис. 6.5. Деформация балки при чистом изгибе давят друг на друга, выполняется закон Гука σ = Eε . Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки изменяются по линейному закону, а по ширине сечения остаются постоянными. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией (осью), она всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения. Нормальные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле σ= Mx y, Ix где M x – изгибающий момент; I x – момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси; y – расстояние от нейтральной оси до той точки, в которой вычисляют напряжение. Знак напряжений («плюс» при растяжении, «минус» при сжатии) указывают по физическому смыслу в зависимости от знака изгибающего момента (рис. 6.6, 6.7). Y X Эпюра нормальных напряжений σ Z y MX MX Рис. 6.6. Распределение нормальных напряжений σ по высоте поперечного сечения балки 44 Y Y σmin σmin X X σmax σmax Рис. 6.7. Эпюры нормальных напряжений для различных поперечных сечений балки при положительном изгибающем моменте (нейтральная ось Х проходит через центр тяжести поперечного сечения) При наличии, кроме изгибающего момента M x ещё и поперечной силы Q y , изгиб называется поперечным изгибом (рис. 6.8). Y X Z Изгибающий момент МХ Поперечная сила QY Рис. 6.8. Поперечный изгиб балки (показана отсеченная часть балки с внешними нагрузками и внутренними усилиями МХ и QY) Связанные с поперечной силой деформации сдвига приводят к искривлению поперечных сечений, но эти изменения слабо сказываются на распределении нормальных напряжений и поэтому формулу σ= Mx y исIx пользуют и при поперечном изгибе. Возникающие при сдвигах касательные напряжения действуют в поперечных и продольных сечениях балки (рис. 6.9). Величина касательных напряжений определяется по формуле Журавского 45 Q y S xотс τ= , b Ix отс где Qy – поперечная сила; S x – статический момент отсечённой площади поперечного сечения Aотс относительно нейтральной оси x ; b – ширина поперечного сечения в том месте, где вычисляют напряжения; I x – момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x . Y Y X Aотс C τ Z yC K X b Рис. 6.9. Касательные напряжения τ в поперечном и продольном сечениях балки При нахождении касательного напряжения в точке К (рис. 6.9) следует провести через эту точку прямую, параллельную оси Х. Часть площади по одну сторону от этой прямой называют отсечённой площадью Aотс , статический момент которой относительно оси Х равен произведению отсечённой площади на расстояние от её центра тяжести до оси Х S x = Aотс yc . По ширине поперечного сечения касательные напряжения распределены равномерно, а по высоте сечения – в зависимости от формы сечения. Эпюры напряжений для различных случаев показаны на рис. 6.10. отс x x h b x τmax τmax τmax = 1,5 Qy/bh Рис. 6.10. Эпюры касательных напряжений для различных поперечных сечений балки 46 6.3. Расчеты на прочность при изгибе Условие прочности по нормальным напряжениям σmax = Mx ≤ [σ], Wx где σ max – наибольшее по модулю напряжение в поперечном сечении; Ix – осевой момент сопротивления; ymax M x – изгибающий момент; Wx = [σ] – допускаемые нормальные напряжения. Условие прочности по касательным напряжениям τ max = Q y S xотс bI x ≤ [τ] , где τ max – наибольшее по модулю напряжение в поперечном сечении; [τ] – допускаемые касательные напряжения. Если для материала балки заданы различные допускаемые нормальные напряжения при растяжении и сжатии, то условия прочности применяют отдельно к наиболее растянутым и к наиболее сжатым волокнам балки. Пример 6.2. Для балки (рис. 6.11, а) необходимо: • проверить прочность при b = 6 см, F = 15 кН, [σ ] = 160 МПа, [τ] = = 80 МПа; • определить допускаемую величину силы F; • подобрать размер t коробчатого поперечного сечения при F = 15 кН. Строим эпюры внутренних усилий (рис. 6.11, в, г). Для прямоугольного поперечного сечения вычисляем момент сопротивления Wx = bh2 6 = 6 ⋅ 12 6 2 3 = 144 см . Проверяем условие прочности по нормальным напряжениям σ max M xmax 2,1 ⋅ 15 ⋅ 100 2 = = = 21,9 кН/см = 219 МПа > [160]. Wx 144 Проверяем условие прочности по касательным напряжениям τmax = 1,5 Q bh = 1,5 ⋅ 2,5 ⋅ 15 6 ⋅ 12 = 0,78 кН/см = 7,8 МПа < [80]. 2 47 1,5F F 0,6 м x h = 2b x 4t 0,6 м 3t б 0,6F в 2,1F b Эп.Мх г 6t а 4t Эп.Qy F 2,5F Рис. 6.11. Расчет балки на прочность: а – схема балки; б – формы поперечного сечения: в – эпюра изгибающих моментов; г – эпюра поперечных сил По касательным напряжениям прочность балки обеспечена, а по нормальным напряжениям – нет. Определяем, какую нагрузку может выдержать балка при заданных разmax мерах поперечного сечения. Наибольший изгибающий момент M x = 2,1F 2 ,1 F 2 ,1 F ⋅ 100 подставляем в условие прочности σmax = = ≤ [16], откуда Wx 144 16 ⋅ 144 = 11кН . получаем F ≤ 210 Для определения размера t коробчатого поперечного сечения вначале находим его момент инерции как разность моментов инерции внешнего и 3 3 4t ( 6t ) 3t ( 4t ) внутреннего прямоугольников I x = − = 56 t 4 . Затем полу12 12 4 Ix 56 t = = 18,67 t 3 , чаем выражение для момента сопротивления Wx = ymax 3t 2,1 F 2,1 ⋅ 15 ⋅ 100 которое подставляем в условие прочности σmax = = ≤ [16] , 3 Wx 18,67 t откуда получаем t = 2,2 см. 6.4. Перемещения балки при изгибе При изгибе поперечное сечение балки получает два перемещения – вертикальное v, называемое прогибом, и угол поворота φ (рис. 6.12). Изогнутая ось балки называется упругой линией. Между прогибами и углами поворота существует дифференциальная зависимость 48 v Прогиб v ϕ= φ z dv . dz Уравнение упругой линии балки можно найти из решения дифференциального уравнения Угол поворота φ Рис. 6.12. Перемещения поперечного сечения балки d 2v M x = с учетом опорных dz 2 E I x закреплений. Обычно для вы- M M P dz , где E Ix l – уравнение изгибающих моментов от внешней нагрузки; M – числения перемещений применяют формулу Мора ∆ = ∑ ∫ MP уравнение изгибающих моментов от единичной нагрузки вспомогательного состояния; E I x – изгибная жесткость поперечного сечения балки. Интегрирование выполняют по длине каждого участка балки, и полученные результаты суммируют по всем участкам. Порядок вычисления перемещения по формуле Мора. 1. Построить от заданной внешней нагрузки эпюру изгибающих моментов M P . 2. Назначить вспомогательное состояние балки для определения искомого перемещения. В этом состоянии балка нагружается только вертикальной силой, равной единице, в той точке, прогиб которой определяют, либо только сосредоточенным моментом, равным единице, в том сечении, угол поворота которого находят. 3. Построить эпюру изгибающих моментов M от единичной нагрузки во вспомогательном состоянии балки. 4. Вычислить интегралы в формуле Мора «перемножением» эпюр ∫ l M MP = (M ) ⋅ (M P ) . E Ix «Перемножение» эпюр можно выполнить тремя приёмами (правилами): 1. Пусть однозначная грузовая эпюра имеет произвольное очертание. Площадь этой эпюры – Ω. Вспомогательная эпюра изображается прямой линией в пределах всего участка. Ординату вспомогательной эпюры, расположенной под точкой С – центром тяжести грузовой эпюры, – обозначим yC (вариант 1 на рис. 6.13). Тогда ∫ l M M P dz Ω yC = . E Ix E Ix 49 M M P dz l = × ∫ . E Ix 6 E Ix l × (2ac + 2bd + ad + bc ). EI x = const l Вариант 1 C Эп. МР yc Эп. M Вариант 2 a b Эп. МР d Эп. M c e b Вариант 3 Если точка С и ордината yC расположены по одну сторону от оси стержня, то интеграл принимает положительное значение, иначе – отрицательное значение. Этот прием вычисления интеграла Мора называется правилом Верещагина. 2. Пусть обе эпюры изображаются прямыми линиями (вариант 2 на рис. 6.13). Известны ординаты эпюр по концам участка. Применяя правило Верещагина, после преобразований получаем следующее выражение, называемое формулой трапеций a Эп. МР f d Эп. M c l/2 l/2 Если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по Рис. 6.13. Эпюры грузового и вспомогательного состояний на участке балки одну и ту же сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным, если – по разные стороны, то отрицательным. В частных случаях эпюры могут иметь вид прямоугольников или треугольников. 3. Пусть грузовая эпюра изображается кривой, а вспомогательная эпюра – прямолинейная (вариант 3 на рис. 6.13). Используя формулу Симпсона для приближенного вычисления интеграла при разделении длины участка на две одинаковые части, получаем следующее выражение, называемое универсальной формулой (формулой Симпсона) ∫ l M M P dz l = ( ac + 4ef + bd ) . E Ix 6 E Ix Как в формуле трапеций, если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по одну и ту же сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным, если отложены по разные стороны, – то отрицательным. Универсальную формулу можно использовать и для случая прямолинейной грузовой эпюры. 50 При положительном ответе направление перемещения совпадает с направлением единичного воздействия во вспомогательном состоянии, если ответ получается отрицательным, то направление перемещения противоположно направлению единичного воздействия во вспомогательном состоянии. Пример 6.3. Для балки, рассмотренной в примере 6.1 (рис. 6.4), вычислить прогиб vc и угол поворота φc конца консоли С. Балка выполнена из двутавра № 18 (Ix = 1290 см4), модуль упругости стали Е = 2⋅104 кН/см2. q = 12 кН/м φc F = 8 кН а А vC С B 1,5 м 4м 2м 12 Эп. МР (кНм) б 18 F=1 в Эп. M 1 (м) г 0,75 1,5 M=1 д Эп. M 2 (–) е 0,5 1 Рис. 6.14. Определение перемещений: а – заданная балка; б – грузовая эпюра M P ; в – первое вспомогательное состояние; г – первая вспомогательная эпюра; д – второе вспомогательное состояние; е – вторая вспомогательная эпюра Грузовая эпюра изгибающих моментов повторена на рис. 6.14, б. На рис. 6.14, в, г показаны вспомогательное состояние и соответствующая эпюра изгибающих моментов, необходимые для вычисления прогиба точки С. На рис. 6.14, д, е показаны вспомогательное состояние 51 и соответствующая эпюра изгибающих моментов, необходимые для вычисления угла поворота сечения С. Для вычисления прогиба следует «перемножить» эпюры M P и M 1. На левом участке (в пролете) используем универсальную формулу, на правом участке (на консоли) применяем формулу трапеций: 4 vc = ( M 1 ) ⋅ ( M P ) = =− 6 E Ix 15 EI x =− ( −4 ⋅ 0 ,75 ⋅ 18 + 1,5 ⋅ 12) + 15 ⋅ 10 4 6 2 ⋅ 10 ⋅ 1290 1,5 6 E Ix 2 ⋅ 1,5 ⋅ 12 = = −0,58 см (вверх). Для вычисления угла поворота следует «перемножить» эпюры M P и M 2 . На левом участке (в пролете) используем универсальную формулу, на правом участке (на консоли) применяем правило Верещагина: ϕс = ( M 2 ) ⋅ ( M P ) = = 7 E Ix = 7 ⋅ 10 4 4 2 ⋅ 10 ⋅ 1290 4 6 E Ix ( 4 ⋅ 0 ,5 ⋅ 18 − 1⋅ 12) − 12 ⋅ 1,5 ⋅ 1 2 E Ix = = 0,00271 рад = 0 ,00271⋅ 57 ,3 = 0 ,16o . Сечение С поворачивается против хода часовой стрелки. 6.5. Справочные данные для балок (табл. 6.1) Таблица 6.1 Усилия и перемещения в балках Схемы балок, эпюры изгибающих моментов и поперечных сил RA=Fb/l F RB=Fa/l A B a φА v φВ b l Fb/l Эп.М Fab/l Fa/l 52 Эп.Q Прогибы, углы поворотов EI = const v= 2 2 Fa b Fab  b  ; ϕA = 1 +  ; 3 EIl 6 EI  l Fab  a  ϕB = 1 +  , 6 EI  l при a = b = l / 2 : Fl 3 Fl 2 v= ; ϕ A = ϕB = 48 EI 16 EI Окончание табл. 6.1 Схемы балок, эпюры изгибающих моментов и поперечных сил RA=ql/2 A B v l EI = const 4 5 ql v= RB=ql/2 φА l/2 Прогибы, углы поворотов φВ Эп.М 384 EI ; ql 3 ϕ A = ϕB = 24 EI ql2/8 ql/2 Эп.Q ql/2 R=F M=Fl F φ φ Fl 3 v= ; 3 EI Fl 2 ϕ= 2 EI ql 4 v= ; 8EI ql 3 ϕ= 6 EI v l Fl Эп.М F Эп.Q R=ql M=ql2/2 q φ φ v l ql2/2 ql Эп.М Эп.Q 53 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие внутренние усилия возникают в изгибаемом стержне? 2. Какие правила знаков принимаются для изгибающего момента и поперечной силы? 3. Что называется эпюрой изгибающих моментов (поперечных сил)? 4. Какой дифференциальной зависимостью связаны между собой изгибающий момент и поперечная сила? 5. Какой линией изображается эпюра изгибающих моментов на участке балки, на котором нет распределённой нагрузки? 6. Какой линией изображается эпюра изгибающих моментов на участке балки, занятом равномерно распределённой нагрузкой? 7. Какие две гипотезы используют при определении нормальных напряжений в балке? 8. Как проходит нейтральная ось в поперечном сечении балки? 9. По какому закону изменяются нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки? 10. По какой формуле вычисляют касательные напряжения в балке? 11. Запишите условие прочности по нормальным напряжениям. 12. В каких точках прямоугольного поперечного сечения балки возникают наибольшие касательные напряжения? 13. Какие перемещения поперечного сечения балки возникают при изгибе? 14. Какие состояния балки необходимо рассмотреть при определении перемещений по формуле Мора? 15. Как назначают вспомогательное состояние при определении перемещения поперечного сечения балки по формуле Мора? 16. Какие приёмы (правила) используют для вычисления интеграла Мора? 17. Как определить направление перемещения, вычисленного по формуле Мора? 7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 7.1. Косой и пространственный изгиб Косым изгибом называется такой случай изгиба, когда плоскость, в которой располагается внешняя нагрузка (силовая плоскость), не совпадает ни с одной главной плоскостью балки (рис. 7.1, а). Пространственный изгиб создаётся внешними нагрузками, лежащими в обеих главных плоскостях балки (рис. 7.1, б). 54 Силовая плоскость а Y Y б X X Z Z Рис. 7.1. Косой (а) и пространственный (б) изгиб Внешнюю нагрузку при косом изгибе можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. Поэтому косой изгиб можно рассматривать как одновременный изгиб балки в двух главных плоскостях. Исходя из принципа независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при косом и пространственном изгибе вычисляют по формуле σ= M Mx y + y x, Ix Iy где M x , M y – изгибающие моменты; I x , I y – моменты инерции площади поперечного сечения; x, y – координаты точки, в которой вычисляют напряжение. Изгибающие моменты считают положительными, если в точках первой координатной четверти поперечного сечения возникают растягивающие напряжения. Нейтральная ось (нулевая линия), в точках которой нормальные напряжения равны нулю, разделяет поперечное сечение на растянутую и сжатую части. Эта ось, как и при плоском изгибе, проходит через центр тяжести поперечного сечения. Положение нейтральной оси определяется углом ϕ , который она составляет с осью x : tgϕ = − M yIx M xI y . В случае косого изгиба формула принимает вид tgϕ = − Ix tgα , Iy 55 где α – угол наклона силовой Нейтральная ось (нулевая линия) y плоскости к оси y (рис. 7.2). Нормальные напряжения при косом и пространственном изгибе пропорциональны расстоянию точки от нулевой линии и получают наибольшие (по модулю) значения в Опасная К опасных точках, которые наиболее точка удалены от нулевой линии. Условие прочности составляется для опасных точек поперечα ного сечения балки: σmin M M σ = x yот + y xот ≤ [σ] , Ix Iy След силовой плоскости Опасная точка x φ σmax σК Эпюра σ Рис. 7.2. Нормальные напряжения при косом изгибе где xот , yот – координаты опасной точки; [σ] – допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие. Для поперечных сечений в виде прямоугольника, двутавра, коробки условие прочности можно записать в виде: σ= Mx My + ≤ [σ], Wx Wy где Wx , W y – моменты сопротивления поперечного сечения. В этом случае опасной точкой будет одна из угловых точек поперечного сечения. 7.2. Внецентренное растяжение (сжатие) Деформация внецентренного растяжения возникает в стержне, нагруженном двумя равными по величине силами, действующими вдоль прямой, параллельной продольной оси z (рис. 7.3, а). Если направления сил поменять на противоположные, то возникнет деформация внецентренного сжатия. Во всех поперечных сечениях стержня появляются три внутренних усилия – продольная сила N и два изгибающих момента Mx и My (рис. 7.3, б). Далее рассматриваем массивные стержни, для которых можно не учитывать искривление оси стержня. Используя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения вычисляют по формуле σ= 56 M N Mx + y + y x, A Ix Iy которая после подстановки выражений внутренних усилий через внешнюю силу F и преобразований получает вид σ= F  xF x y F y  1 + 2 + 2  , A  iy ix  где x F , y F – координаты точки приложения силы F; x, y – координаты точки, в которой вычисляют напряжение; i x , i y – радиусы инерции поперечного сечения. а F y y F б x yF x F z z N=F My=FxF xF Mx=FyF Рис. 7.3. Внецентренно растянутый стержень (а); внутренние усилия в поперечном сечении (б) Нулевая линия (нейтральная ось), в точках которой нормальные напряжения отсутствуют, не проходит через центр тяжести поперечного сечения, а отсекает на координатных осях отрезки (рис. 7.4), длины которых определяют по формулам: i y2 ix2 ax = − ; a y = − . xF yF y ax Нулевая линия xF Опасная точка Точка приложения силы F yF О x К σmax ay Опасная точка σК σmin Эп.σ Рис. 7.4. Эпюра нормальных напряжений 57 Точки с наибольшими напряжениями (опасные точки) – это точки, самые удалённые от нулевой линии. Условия прочности составляют для опасных точек с координатами ( xот , yот ) σ max = где F  xF xот yF yот  1 + + 2  ≤ [σ], A  i y2 ix  [σ ] – допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие. Для внецентренно сжатых стержней из хрупкого материала нежелательно появление растягивающих напряжений. Этого можно избежать, если точка приложения внешней силы будет расположена достаточно близко к центру тяжести поперечного сечения. Ядром сечения называется замкнутая выпуклая область вокруг центра тяжести, при нахождении силы F внутри которой или на её границе во всех точках поперечного сечения возникают напряжения одного знака (рис. 7.5). y 2 y 1 2 x 1 y 1 h/6 2 h 1 1 x 2 2 h/6 x 1 1 1 2 2 b/6 b/6 2 2 1 d/4 d b Рис. 7.5. Ядро сечения для различных поперечных сечений: 1 и 2 – вершины ядра, соответствующие нулевым линиям 1–1 и 2–2 Для построения ядра сечения следует проводить нулевые линии касательно к контуру поперечного сечения и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы F: i y2 xF = − ; ax ix2 yF = − , ay где ax , a y – отрезки, отсекаемые нулевыми линиями на координатных осях. Полученные точки являются вершинами ядра сечения и соединяются между собой прямыми линиями. 58 7.3. Растяжение (сжатие) с изгибом Рассмотрим случай, когда внешние нагрузки создают продольную деформацию стержня (растяжение или сжатие) и изгиб в двух главных плоскостях стержня. Влиянием поперечных сил будем пренебрегать и учитывать только продольную силу N, изгибающие моменты Мх и Мy (рис. 7.6). Изгибающие моменты считают положительными, если в точках первой координатной четверти поперечного сечения возникают растягивающие напряжения. На рис. 7.6 все внутренние усилия показаны положительными. б а y y Mx y x x z N z My x Рис. 7.6. Сложное сопротивление: а – стержень с внешними нагрузками; б – внутренние усилия в поперечном сечении Пользуясь принципом независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения с координатами (х, y) вычисляют по формуле σ= My N Mx + y+ x. A Ix Iy Нулевая линия (нейтральная ось), в точках которой нормальные напряжения отсутствуют, не проходит через центр тяжести поперечного сечения, а отсекает на координатных осях отрезки (рис. 7.7), длины которых определяют по формулам: ax = − NI y AM y , ay = − NI x . AM x Опасные точки – самые удалённые от нулевой линии. Условия прочности составляют для опасных точек с координатами ( xот , yот ): 59 σ max = где M N Mx + yот + y xот ≤ [σ], A Ix Iy [σ ] – допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие. y ax xК К Нулевая линия Опасная точка yК О x ay σmax σК Опасная точка σmin Эп.σ Рис. 7.7. Эпюра нормальных напряжений при положительных N, Mx, My 7.4. Растяжение (сжатие) с кручением При наличии в поперечном сечении стержня продольной силы и крутящего момента материал стержня находится в условиях плоского напряженного состояния, поэтому для прочностных расчетов необходимо применять теории (гипотезы) прочности (подразд. 3.3). Положение опасных точек зависит от формы поперечного сечения стержня. В круглом поперечном сечении опасными являются точки контура, так как в них действуют самые большие касательные и нормальные напряжения (рис. 7.8). Эти напряжения вычисляют по формулам: τ = τ max = Mk N ; σ= . Wp A Условие прочности по третьей теории прочности III σ экв = σ2 + 4τ2 ≤ [σ], а по четвертой теории прочности IV σ экв = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ] . 60 Эп. τ Эп. σ M F МК z N Рис. 7.8. Напряжения в поперечном сечении стержня В стержне прямоугольного поперечного сечения наибольшие касательные напряжения возникают в двух точках, расположенных посередине длинных сторон прямоугольника, а нормальные напряжения одинаковы во всех точках (рис. 7.9). Поэтому указанные две точки являются опасными точками и для них составляют условие прочности: III IV σ экв = σ2 + 4 τ2 ≤ [σ] или σ экв = σ2 + 3 τ2 ≤ [σ], где σ = M N , τ = τ max = k . A Wk Эп. τ M τmax Эп. σ F МК N Опасные точки Рис. 7.9. Напряжения в поперечном сечении стержня Момент сопротивления при кручении Wk = βb , где b – меньший размер прямоугольника, а коэффициент β зависит от соотношения сторон прямоугольника β = β( h / b) и принимается по табл. 5.1. 3 61 7.5. Изгиб с кручением При изгибе с кручением в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты Мх, Мy, крутящий момент Мк и в некоторых случаях поперечные силы Qx, Qy. Поперечными силами будем пренебрегать. Далее рассматриваем стержни круглого поперечного сечения. Изгибающие моменты Мх и Мy всегда можно заменить одним изгибающим моментом М и = М х2 + М y2 , который действует в наклонной плоскости. Точки пересечения этой плоскости с контуром поперечного сечения являются опасными, в них возникают наибольшие по модулю нормальные σmax и наибольшие касательные напряжения τmax (рис. 7.10, б). а Плоскость изгиба y б τmax My Mx σmax x x z z Mz σmax τmax Опасные точки Рис. 7.10. Изгиб с кручением: а – внутренние усилия; б – напряжения Напряжения вычисляют по формулам: σ max = Mи ; Wx τ max = Mk . Wp Расчет на прочность проводят с использованием теорий прочности: III 2 2 IV 2 2 σ экв = σ max + 4τ max ≤ [σ ] или σ экв = σ max + 3τ max ≤ [σ ] . Используя соотношение между моментами сопротивления W p = 2Wx , условия прочности можно привести к следующему виду M x2 + M y2 + M k2 M и2 + M k2 = ≤ [σ]; Wx Wx 62 M x2 + M y2 + 0 ,75 M k2 M и2 + 0 ,75 M k2 = ≤ [σ]. Wx Wx Выражение в числителе каждой из этих формул называют расчетным моментом M расч . πD3 Осевой момент сопротивления для круга Wx = , для кольца 32 4 πD 3   d   Wx = 1−   . 32   D   7.6. Примеры сложного сопротивления Участок I – плоский изгиб, I F участок II – кручение и F пространственный изгиб, который для стержня круглого поперечного сечения можно заменить плоским изгибом в наклонной плоскости Участок I – II F растяжение, I участок II – F растяжение, плоский изгиб и кручение Участок I – растяII F жение, участок II – пространственный изгиб, который для I стержня круглого F поперечного сечения можно заменить плоским изгибом в наклонной плоскости II Участок I – плоский изгиб F I и кручение, участок II – F кручение и пространственный изгиб, который для стержня круглого поперечного сечения можно заменить плоским изгибом в наклонной плоскости Участок I – плоский II изгиб, участок II – плоский изгиб и кручение II I F II I Участок I – плоский изгиб, участок II – внецентренное растяжение F 63 F I Участок I – сжатие, участок II – внецентренное сжатие Участок I – растяжение, участок II – внецентренное растяжение F I II II КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 1. Какие правила знаков принимаются для изгибающего момента при сложном сопротивлении стержня? 2. Как проходит нулевая линия (нейтральная ось) в поперечном сечении стержня при косом изгибе? 3. Как проходит нулевая линия (нейтральная ось) в поперечном сечении стержня при внецентренном растяжении? 4. Как найти опасную точку в поперечном сечении при косом изгибе, внецентренном растяжении, растяжении с изгибом в одной или двух плоскостях? 5. Каким свойством обладают точки ядра сечения? 6. Как изменится прочность внецентренно сжатого стержня, если точку приложения внешней силы удалять от центра тяжести поперечного сечения? 7. Где расположены опасные точки круглого поперечного сечения стержня при изгибе с кручением? 8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 8.1. Критическая сила Деформированное состояние центрально-сжатого стержня (рис. 8.1, а) может быть устойчивым или неустойчивым. Если вывести стержень из первоначального состояния малой дополнительной горизонтальной силой Р, то он окажется искривлённым (рис. 8.1, б). После удаления силы Р стержень либо возвращается в первоначальное прямолинейное состояние (рис. 8.1, в), либо остаётся искривлённым (рис. 8.1, г). Первый случай соответствует устойчивому деформированному состоянию стержня, второй случай – неустойчивому деформированному состоянию. 64 а F г в б F FFК P Рис. 8.1. Состояния сжатого стержня: а – исходное; б – стержень с дополнительной поперечной нагрузкой Р; в – прямолинейный стержень после удаления силы Р; г – криволинейный стержень после удаления силы Р Между устойчивым и неустойчивым состояниями теоретически существует промежуточное, называемое критическим состоянием, при котором стержень после удаления силы Р может остаться в равновесии как в прямолинейном состоянии, так и в криволинейном. При заданных размерах стержня вид его деформированного состояния зависит от величины сжимающей силы. Наибольшая величина сжимающей силы, при которой деформированное состояние стержня ещё устойчивое, называется критической силой, обозначаемой FК (рис. 8.1) Превышение величины критической силы приводит к потере устойчивости, при которой малые поперечные нагрузки приводят к большим изгибным перемещениям стержня и возможному его разрушению. Отношение критической силы к площади поперечного сечения стержня называют критическим напряжением σ к = Fк . A В том случае, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности материала σ пц , потеря устойчивости начинается при упругом деформировании стержня и критическую силу вычисляют по формуле Эйлера π2 EI , Fк = (µl )2 где EI – изгибная жёсткость; l – геометрическая длина стержня; µ – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способов за65 крепления концов стержня (табл. 8.1). Произведение µl называется приведённой длиной стержня. Для сжатых стержней вводится безразмерная характеристика, называемая гибкостью λ = µl , где i = i I – радиус инерции поперечного сечения. A π2 E Формула Эйлера справедлива при условии λ ≥ λ 0 = . σпц Таблица 8.1 Критические силы при разных закреплениях сжатых стержней Схемы стержней и формы потери устойчивости Коэффициент Критическая сила FК µ F F F F 1 2 0,7 0,5 π2 EI Fк = 2 l π2 EI Fк = 4l 2 π2 EI Fк = 0 ,49l 2 4π2 EI Fк = l2 Если критическое напряжение превышает предел пропорциональности материала, то потеря устойчивости сопровождается появлением пластических деформаций и критическую силу вычисляют по формуле Ясинского Fк = A ( a − bλ ) , где A – площадь поперечного сечения стержня; a и b – коэффициенты, зависящие от материала стержня; λ – гибкость стержня. Для малоуглеродистой стали принимают а = 310 МПа, b = 1,14 МПа, для дерева а = 29,3 МПа, b = 0,194 МПа. Для коротких массивных стержней с гибкостью λ < (30...40) потеря устойчивости практически не происходит, так как прежде возникают большие пластические деформации. В этом случае условно принимают, что критические напряжения равны пределу текучести материала. Зависимость между критическими напряжениями и гибкостью стержня называется полным графиком критических напряжений (рис. 8.2). 66 σК Прямая Ясинского σ к = a − bλ 2 Гипербола Эйлера σ к = π E 2 λ σт σпц λ 30–40 λ0 Рис. 8.2. Полный график критических напряжений Пример 8.1. Найти критическую силу для стального стержня круглого поперечного сечения диаметром 5 см, жестко защемлённого нижним концом при свободном верхнем конце, для двух значений длины стержня – 30 см и 75 см. Модуль упругости Е = 2,1⋅105 МПа, предел пропорциональности σ пц = 200 МПа. 2 5 π2 Е 3 ,14 ⋅ 2,1⋅ 10 Гибкость λ 0 = = = 102 . Радиус инерции круга σ пц 200 d i= 4 = 5 4 = 1,25 см, момент инерции I = πd 4 64 Гибкость стержня при длине 30 см λ = = 3,14 ⋅ 5 64 2 ⋅ 30 4 = 30,7 см4. µl = = 48 < 102 , поэтому i 1,25 используем формулу Ясинского Fк = A ( a − bλ ) = 3,14 ⋅ 5 4 2 −1 (310 − 1,14⋅ 48) 10 = 501 кН. Гибкость стержня при длине 75 см λ = µl 2 ⋅ 75 = = 120 > 102 , поэтому i 1,25 применяем формулу Эйлера π2 EI 3 ,14 2 ⋅ 2 ,1 ⋅ 10 5 ⋅ 10 −1 ⋅ 30 ,7 Fк = = = 282 ,5 кН. 2 (µl )2 ( 2 ⋅ 75 ) 8.2. Расчеты сжатых стержней на устойчивость Для сжатых стержней должно выполняться условие устойчивости σ= F ≤ [σ]уст , в котором допускаемые напряжения на устойчивость поA 67 лучаются делением критических напряжений на коэффициент запаса устойчивости [σ]уст = σк . Принято выражать величину [σ]уст через n уст величину основных допускаемых напряжений при расчетах на прочность [σ]уст = ϕ[σ], где множитель ϕ называется коэффициентом продольного изгиба. Этот коэффициент зависит от гибкости и материала стержня, его величина меньше единицы и находится из справочных таблиц. Для практических расчётов условие устойчивости записывают в виде σ расч = F ≤ [σ] . ϕA Таблица 8.2 Коэффициент продольного изгиба φ λ Сталь Дерево λ Сталь Дерево λ Сталь Дерево 10 20 30 40 0,99 0,97 0,95 0,92 0,99 0,97 0,93 0,87 50 60 70 80 0,89 0,86 0,81 0,75 0,80 0,72 0,61 0,48 90 100 110 120 0,69 0,60 0,52 0,45 0,38 0,31 0,26 0,22 Примечание. Коэффициенты φ приведены для малоуглеродистой стали марок Ст3, Ст4. Пример 8.2. Определить допускаемую нагрузку для стержня из примера 8.1 при длине стержня 75 см, если [σ] = 160 МПа = 16 кН/см2. Для гибкости стержня λ = 120 из табл.8.2 принимаем φ = 0,45 и из условия устойчивости получаем F ≤ ϕA[σ] = 0,45 3,14 ⋅ 5 2 16 = 141,3 кН. 4 Пример 8.3. Определить диаметр круглого поперечного сечения деревянной стойки длиной 4 м, шарнирно закрепленной по концам и сжимаемой силой 140 кН. Допускаемое напряжение [σ] = 12 МПа. Поскольку в уравнении устойчивости две неизвестные величины – площадь А и коэффициент φ, задача подбора сечения решается путем попыток. Первая попытка: F 140 2 • задаем φ = 0,5, вычисляем площадь A ≥ = = 233,3 см ; ϕ[σ] 0,5 ⋅ 1,2 • определяем диаметр 68 d= 4A π = 4 ⋅ 233,3 3,14 = 17,2 см ; • вычисляем гибкость λ= µl 1 ⋅ 400 = = 93. i 17,2/4 Находим коэффициент φ по табл. 8.2: φ = 0,35. Так как это значение коэффициента значительно отличается от первоначального, назначаем новое, промежуточное значение φ. Вторая попытка: F 140 2 • задаем φ = 0,4, вычисляем площадь A ≥ = = 292 см ; ϕ[σ] 0,4 ⋅ 1,2 • определяем диаметр • вычисляем гибкость d= λ= 4A π = 4 ⋅ 292 3,14 = 19,3 см ; µl 1 ⋅ 400 = = 82,9. i 19,3/4 По табл. 8.2 находим φ = 0,45. Поскольку новое значение φ больше предыдущего, уменьшаем величину диаметра и проверяем условие устойчивости. µl 1 ⋅ 400 Назначаем d = 19 см, определяем гибкость λ = = = 84,2 , i 19/4 2 находим по табл. 8.2 φ = 0,44, вычисляем площадь A = πd /4 = 3,14 ⋅ 192/4 = F 140 = 283,4 см2 и расчетные напряжения σ расч = = = ϕA 0,44 ⋅ 283,4 = 1,12 кН/см2 = 11,2 МПа < [12]. Условие устойчивости выполняется. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какое деформированное состояние сжатого стержня считается устойчивым? 2. Что такое критическая сила? 3. Что такое критическое напряжение? 4. При каком условии критическую силу вычисляют по формуле Эйлера? 5. При каком условии критическую силу вычисляют по формуле Ясинского? 6. По какой формуле вычисляют гибкость стержня? 7. От чего зависит коэффициент продольного изгиба φ? 69 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ 9.1. Общие сведения о динамическом нагружении Во всех предыдущих разделах курса рассматривалось статическое нагружение конструкции, при котором внешние силы увеличиваются медленно и в любой момент времени они уравновешиваются внутренними силами упругости. В ряде случаев внешние нагрузки за относительно короткий промежуток времени изменяют свою величину или положение, или направление. При этом конструкция приходит в движение, в ней возникают силы инерции, которые дополняют внешние силы. Согласно известному в теоретической механике принципу Даламбера движущееся тело можно рассматривать как находящееся в равновесии, если к нему дополнительно приложить силы инерции. Расчет конструкций с учетом инерционных сил называют динамическим расчетом. Часто динамическое значение некоторого фактора Фдин (опорной реакции, продольной силы, изгибающего момента, напряжения, перемещения и т. п.) выражают через статическое значение этого фактора Фст и динамический коэффициент Кд Фдин = Фст К д . Величину Фст определяют по формулам, рассмотренным в предыдущих разделах курса, а величину динамического коэффициента находят в зависимости от конкретной задачи. 9.2. Движение тела с постоянным ускорением Пример 9.1. Груз Q поднимается с постоянным ускорением a (рис. 9.1). Рассекаем трос и рассматриваем равновесие груза, пренебрегая массой троса. Усилие в тросе обозначаем Nдин, к весу груза Q добавляем силу инерции J = am, направленную всегда в сторону, противоположную ускорению. Масса груза m = Q . g Получаем N дин = Q + J = Q + a  Q a = Q 1 +  . g g   При неподвижном грузе N ст = Q , поэтому N дин = N ст 1 +  a  и выg ражение в скобках есть динамический коэффициент для рассмотренной задачи К д = 1 + 70 a , где g – ускорение свободного падения. g Пример 9.2. Груз массой m (рис. 9.2) вращается в вертикальной плоскости на проволоке длиной l с постоянной угловой скоростью ω. При каком числе оборотов в минуту нормальные напряжения в проволоке с площадью поперечного сечения А достигнут величины допускаемых напряжений [σ]? Рассматриваем равновесие груза в крайнем нижнем положении. Массой проволоки пренебрегаем. Усилие в тросе обозначаем Nдин, к весу груза Q = mg добавляем силу инерции J = anm, направленную в сторону, противоположную нормальному ускорению an. a ω=const a= const Nдин Nдин l Q m Q Q J=anm J=am Рис. 9.1. Равноускоренный подъём груза Рис. 9.2. Равномерное вращение груза 2  πn  Ускорение an = ω l =   l , где n – число оборотов в минуту. 30   2 Получаем N дин = Q + J = mg + ω lm . Упрощаем задачу, пренебрегая веπ2 n 2 2 сом груза по сравнению с инерционной силой. Тогда N дин = ω lm = lm . 900 N дин π2 n 2lm Нормальные напряжения σ дин = = = [σ], откуда искомое A 900 A 30 A[σ] число оборотов в минуту n = . π ml 2 9.3. Ударное действие нагрузки Рассмотрим действие на упругую пружину груза весом G, падающего с высоты h (рис. 9.3, а). Будем считать, что для материала пружины выполняется закон Гука, перемещения точек пружины малы, груз G после 71 контакта с пружиной остаётся на пружине, масса пружины отсутствует. В реальной конструкции после соприкосновения с пружиной груз будет некоторое время совершать вертикальные колебания. Мы рассмотрим начальный промежуток времени, когда переG мещение верхнего конца пружины бу- а б в дет наибольшим (динамическим) и G h равным δд рис. 9.3, б). Если груз G δд δст прикладывать статически, то перемещение верхнего конца пружины будет меньшим и равным δст (рис. 9.3, в). Считается, что вся работа груза, совершенная на пути h + δд, переходит в потенциальную энергию деформации пружины. После некоторых преобРис. 9.3. Удар падающим грузом разований получают формулу  2h δ д = δ ст 1 + 1 + δ ст    ,  где выражение в скобках есть динамический коэффициент К д = 1+ 1+ 2h . δ ст В полученной формуле h – высота падения груза; δ ст – перемещение той точки, на которую падает груз, от статического приложения веса падающего груза. Случай, когда h = 0 и К д = 2 называется внезапным приложением нагрузки. Если отношение 2h значительно больше единицы, то динамический δст коэффициент можно вычислять по приближенной формуле К д ≈ 1+ 2h 2h ≈ . δ ст δ ст Рассмотренная выше пружина может быть заменена некоторой упругой конструкцией, обладающей собственной массой M = G0/g, где G0 – вес этой массы, а g – ускорение свободного падения. В этом случае массу всей кон72 струкции заменяют приведённой массой kM, которую помещают в точку удара, и динамический коэффициент вычисляют по формуле К д = 1+ 1+ 2h . δ ст (1 + kG0 / G ) Для некоторых частных случаев значения коэффициента приведения массы k и перемещений δ ст показаны на рис. 9.4. G G δ ст = l Gl EA l/2 δ ст k=1/3 Gl 3 = 48 EI k=17/35 G l/2 l δ ст Gl 3 = 3 EI k=0,236 Рис. 9.4. Перемещения δст и коэффициенты приведения массы k 9.4. Колебания упругих систем Рассмотрим невесомую балку, на которой находится сосредоточенная масса М (рис. 9.5, а). Если пренебречь горизонтальными и угловыми перемещениями массы, то её положение при колебаниях в любой момент времени можно определить одним параметром – вертикальным перемещением (прогибом балки). Такую балку называют системой с одной степенью свободы. Реальные конструкции имеют бесконечно много степеней свободы, но в расчетных схемах различными приёмами число степеней свободы часто уменьшают до конечного числа, в простейшем случае – до одной степени свободы. Именно такие системы рассматриваются в сопротивлении материалов. Если отклонить массу от положения равновесия и отпустить, то масса вместе с балкой начнёт колебаться. Такие колебания называют свободными. В системах с числом степеней свободы больше единицы выделяют особый случай свободных колебаний, называемых собственными, анализ которых имеет важное значение. В системе с одной степенью свободы собственные и свободные колебания совпадают. 73 Незатухающие колебания y(t) б а М yi+1 A yi yст t y(t) Положение статического равновесия A T Затухающие колебания Рис. 9.5. Свободные колебания системы с одной степенью свободы: а – отклонения массы; б – графики колебаний Уравнение свободных колебаний имеет вид y(t ) = A sin (ωt + υ) , где y(t ) – отклонение массы в произвольный момент времени от положения статического равновесия; ω – круговая частота колебаний (число колебаний за промежуток времени 2π секунд); А – амплитуда колебаний; υ – сдвиг по фазе. Круговая частота выражается через период колебаний Т (рис. 9.5, б) ω = 2π / T и вычисляется в секундах в минус первой степени (с–1). Если в начальный момент времени (t = 0) масса отклонена на вели2 чину y0 и имеет скорость v0, то амплитуда A = сдвиг υ = arctg ω v  y +  0  , фазовый ω 2 y0 . v0 Круговая частота ω является важнейшей характеристикой колебательного процесса. Для её вычисления можно использовать следующие выражения: ω= 1 = Mδ11 g , yст где M – масса; δ11 – перемещение точки, где находится масса, от единичной силы (податливость системы); g – ускорение свободного падения; y ст – перемещение точки, где находится масса, от веса этой массы. 74 Для некоторых частных случаев величины y ст показаны на рис. 9.4, где следует принять G = Mg и yст = δ ст . График свободных колебаний представляет незатухающую синусоиду (сплошная линия на рис. 9.5, б). В реальной конструкции свободные колебания со временем затухают из-за наличия разнообразных сил сопротивления (пунктирная кривая на рис. 9.5, б). Установлено, что для строительных конструкций Т и ω затухающих колебаний практически не отличаются от соответствующих значений незатухающих колебаний. Мерой затухания колебаний принимают логарифмический декремент колебаний δ = ln yi . yi +1 В расчетах часто используют техническую частоту n = 1/T = ω/2π , выраженную в герцах (кол/с). Если к массе прикладывается внешняя сила F(t), изменяющаяся по некоторому закону, то вызванные этой силой колебания называют вынужденными. Рассмотрим частный случай, когда F(t) = F sinθt, такая нагрузка называется вибрационной. Эта нагрузка создаётся вращением некоторой неуравновешенной массы, делающей n оборотов в минуту. Тогда круговая частота нагрузки θ = πn / 30 . Колебания системы складываются из свободных и вынужденных, но свободные колебания через некоторое время исчезают и остаются только периодические вынужденные колебания y(t ) = yст K д sin θt . Амплитуда вынужденных колебаний получается при sin θt = 1 ymax = yст K д , Kд 4 где динамический Kд = 1 . 1 − θ2 / ω2 коэффициент На рис. 9.6 показан график зависимости абсолютной величины ди2 намического коэффициента K д от соотношения частот вынужденных и 1 свободных колебаний θ / ω . θ При совпадении частот свободных ω и вынужденных колебаний динамиче0,5 1,5 2 1 ский коэффициент стремится к бескоРис. 9.6. Изменение динамического нечно большому значению. Это явлекоэффициента при вибрационной нагрузке ние называется резонансом. 3 75 Действие даже малой силы при резонансе многократно возрастает, что может привести к разрушению конструкции. Отношение θ = 0 ,8 K1,2 соотω ветствует зоне резонанса и не допускается в конструкциях и машинах. При действии вибрационной нагрузки F(t) = F sinθt конструкция нагружается силой F· Kд, постоянной нагрузкой, и далее выполняется статический расчёт. Пример 9.2. На стальной консольной балке прямоугольного поперечного сечения 8×2 см (рис. 9.7) находится электродвигатель массой М = 70 кг, к которому прикладывается а х F(t) вертикальная вибрационная нагрузка 2 см F(t) = F0 sinθt = 0,15 sinθt кН. Эта 8 см М нагрузка создаётся при вращении неуравновешенной массы, делающей n = l = 1,2 м = 100 оборотов в минуту. Необходимо вычислить наибольшие нормальные б F=1 напряжения в балке и определить, при какой длине балки наступит резонанс. δ11 В момент возникновения наибольшей инерционной силы на балку дей- в Р=Мg+F0Kд ствует вес массы электродвигателя и динамическая сила F0Kд (рис. 9.7, в). Для вычисления динамического коэфРис. 9.7. Консольная балка: а – схефициента Кд необходимо определить ма балки и поперечное сечение; б – круговые частоты свободных и вынуж- податливость δ11; в – расчётная денных колебаний. нагрузка на балку Податливость δ11 (рис. 9.7, б) находим согласно рис. 9.4 3 l3 1,2 −5 δ11 = = = 5,4 ⋅ 10 м/Н . 5 6 3 3 EI x 3 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 10 (0,08 ⋅ 0,02 /12) Частота свободных колебаний ω= 1 1 −1 = = 16,26 с . −5 М δ11 70 ⋅ 5,4 ⋅ 10 Частота вынужденных колебаний θ= 76 πn 30 = 3,14 ⋅ 100 30 −1 = 10,5 c . Динамический коэффициент Kд = 1 1 − θ /ω 2 2 = 1 2 1 − 10,5 /16,26 2 = 1,715 . Расчётная нагрузка на балку (рис. 9.7, в) P = Mg + F0 K д = 70 ⋅ 9,8 + 150 ⋅ 1,715 = 943,2 Н = 0,943 кН . Изгибающий момент в крайнем левом поперечном сечении балки M = Pl = 0,943 ⋅ 1,2 = 1,132 кНм , наибольшие нормальные напряжения в M 1,132 ⋅ 100 2 = = 21,23 кН/см = 212,3 МПа . 2 Wx 8 ⋅ 2 /6 Резонанс наступает при условии θ = ω . В данном случае получаем 11 3 3 EI x 3 EI x 3 ⋅ 2 ⋅ 10 (0,08 ⋅ 0,02 /12) 3 3 θ= , откуда l = = = 1,61 м . 2 Ml 3 Mθ2 70 ⋅ 10,5 этом сечении σ max = 9.5. Прочность при напряжениях, периодически меняющихся во времени а F F A R=F б R=F σА в t Рис. 9.8. Изгиб колёсной пары вагона: а – нагрузки на колёсную пару; б – расчетная схема; в – изменение напряжений в точке А Рассмотрим ось колёсной пары железнодорожного вагона (рис. 9.8). Со стороны кузова вагона на ось передаются силы F, а со стороны рельсов – опорные реакции R. Ось работает как балка, изгибаемая по кривой, обращенной выпуклостью вверх. Наметим точку А в растянутой части поперечного сечения. При движении вагона через пол-оборота колеса точка А перейдёт в сжатую часть поперечного сечения, ещё через пол-оборота снова окажется в растянутой части. Напряжения в точке А будут изменяться во времени согласно графику на рис. 9.8, в. Подобного вида изменение напряжений часто встречается в элементах машин, механизмов, строительных конструкций. Установлено, что если уровень напряжений превышает определённую величину, в элементе конструкции возни77 кают и накапливаются мелкие повреждения, которые приводят к появлению микротрещин. Развиваясь и сливаясь, микротрещины образуют макротрещины, которые становятся причиной разрушения. Процесс постепенного возникновения повреждений при переменных во времени напряжениях, приводящий к образованию трещин и дальнейшему разрушению, называют усталостью материала. Возникающие трещины называют усталостными трещинами. Сопротивление материала усталостному разрушению называют выносливостью. σ Пусть напряжения изменяются по гармоσmax ническому закону (рис. 9.9). σa Однократное полное изменение напряжений на участке графика называется циклом σa напряжения, а длина этого участка – периоσ σmin m дом цикла. t Цикл напряжений характеризуют следуюПериод цикла щие величины: σmax – наибольшее напряжение; σmin – наименьшее напряжение; σm – Рис. 9.9. Циклические среднее напряжение цикла; σa – амплитудное напряжения напряжение цикла. Обычно расчётом вначале определяют напряжения σmax и σmin, через которые находят σm = (σmax + σmin)/2 и σa = (σmax – σmin)/2. При необходимости используют и обратные соотношения σmax = σm + σa и σmin = σm – σa. Важное значение в прочностных расчётах имеет коэффициент асимметрии цикла r = σ min . Различают различные виды циклов напряσ max жений (рис. 9.10). σ а б в г t r>0 r<0 r = –1 r=0 Рис. 9.10. Циклы напряжений: а – знакопостоянный; б – знакопеременный; в – симметричный; г – пульсационный (отнулевой) 78 Особо выделяют симметричный цикл (σmin= – σmax, r = –1) и пульсационный (отнулевой) цикл (σmin = 0, r = 0). Циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии называются подобными циклами. Для изучения выносливости материалов проводят испытания с использованием специальных машин, позволяющих создавать различные виды деформаций. Наиболее простыми являются испытания стальных образцов круглого поперечного сечения на чистый изгиб при симметричном цикле напряжений. Изготавливают партию однотипных образцов диаметром 6–8 мм в количестве до нескольких десятков. Поверхность образцов полируют. Образец нагружают по схеме, идентичной рис. 9.8, б, и вращают вокруг продольной оси. Первые образцы испытывают при напряжениях, близких к предельным (пределу текучести или пределу прочности). Затем уровень напряжений уменьшают. При каждом испытании устанавливают количество циклов, выдержанных образцами σmax до усталостного разрушения. Результаты испытаний представляют в виде графика в полулогарифмической системе координат (рис. 9.11), где σmax – наибольшее напряжение цикла, а N – σ–1 lgN число циклов, которые выдержал образец. Такой график называется кривой 4 5 5 6 7 10 10 10 10 10 N усталости (кривой Вёлера). Каждому Рис. 9.11. Кривая усталости испытанию соответствует своя точка. Начиная с некоторой точки, график изображается горизонтальной прямой, которой соответствует уровень напряжений, выдерживаемый образцами без разрушения при любом числе циклов. Наибольшее напряжение σmax, которое образец может выдержать без усталостного разрушения неограниченное число циклов, называется пределом выносливости материала и обозначается σr (r – коэффициент асимметрии цикла). Предел выносливости при симметричном цикле σ–1, при отнулевом цикле σ0. Многочисленными испытаниями установлено, что если образец из чёрного металла выдерживает 107 циклов, то он выдержит и большее число циклов. Поэтому число N = 107 считается базовым числом циклов для чёрных металлов. Для образцов из цветных металлов кривая усталости не имеет горизонтального участка, поэтому для таких металлов базу принимают N = 5⋅107 и более циклов, а предел выносливости обозначают σ–1N. 79 Получение кривой усталости – длительный и затратный процесс, поэтому предел выносливости определяют при симметричном цикле напряжений как наиболее опасном для элементов конструкции, и реже – при отнулевом цикле. На основании опытных данных установлены приблизительные сооти ношения между пределами выносливости при изгибе σ −1 , растяжении– о о и о и сжатии σ −1 , кручении τ−1 : для стали σ −1 = 0,7σ −1 ; чугуна σ −1 = 0,65 σ −1; и сталей и легких сплавов τ −1 = 0,55 σ −1 ; чугуна τ−1 = 0,8 σ −1 . Пределы выносливости стали при растяжении–сжатии, изгибе и кручении можно приближённо выразить q через предел прочности σ В : и σ0−1 = 0 ,28 σ В ; σи−1 = 0 ,40 σ В ; τ −1 = 0 ,22 σ В . d σmax σном=qb/(b–d) На выносливость деталей машин, 2 элементов конструкций влияют мно- 2 гие факторы, среди которых выделим σ=q концентрацию напряжений, качество 1 поверхности и масштабный фактор. 1 b Рассмотрим растянутую пластину, в которой на оси симметрии сделано круглое отверстие (рис. 9.12). Норq мальные напряжения в сечении 1–1 Рис. 9.12. Концентрация одинаковы во всех точках. Нормальнапряжений вблизи отверстия ные напряжения в сечении 2–2 распределяются неравномерно по ширине сечения. Вблизи отверстия величина напряжений σmax значительно больше, чем номинальные напряжения σном, вычисляемые по формуле сопротивления материалов σном = N/A = qb/(b–d). Местное увеличение напряжений называется концентрацией напряжений. Концентрация возникает в местах изменения размеров поперечного сечения, отверстий, выточек, контакта упругих тел и т. п. Концентрация напряжений проявляется при всех видах деформаций – растяжении, сжатии, изгибе, кручении. Степень концентрации учитывается коэффициентом концентрации, который бывает двух видов. Теоретический коэффициент концентрации напряжений α σ вычисляется по формуле ασ = σmax . Величина этого коэффициента находится по формулам теории σном упругости или с помощью экспериментальных методов. Для пластинки, по80 казанной на рис. 9.12, α σ ≥ 3 и зависит от соотношения d / b . Значения α σ для различных очагов концентрации можно найти в справочной литературе. Эффективный (действительный) коэффициент концентрации напряжений K σ равен отношению предела выносливости стандартного лабораторного образца к пределу выносливости образца с концентратором напряжений. Для симметричного цикла напряжений K σ = σ −1 . σ −1k Эффективный коэффициент меньше теоретического и может определяться по эмпирической формуле K σ = 1 + q (α σ − 1) , где множитель q < 1 называется коэффициентом чувствительности материала к местным напряжениям. Для конструкционных сталей q ≈ 0,6K 0,8 . Как указывалось выше, поверхность лабораторных образцов полируется. Любой дефект поверхности (царапина, надрез и т. п.) является концентратором напряжений и может стать очагом образования усталостной трещины. Качество поверхности детали учитывают коэффициентом влияния σ −F1 F шероховатости поверхности K F = , где σ −1 и σ −1 – пределы выσ −1 носливости образцов с полированной и шероховатой поверхностью. Опытами установлено, что с увеличением абсолютных размеров образцов и деталей предел выносливости уменьшается. Это обстоятельство σ d−1 учитывают введением масштабного коэффициента K d = , где σ −1 и σ −1 σ d−1 – пределы выносливости стандартного образца диаметром 6...10 мм и образца диаметром d , сопоставимым с поперечным размером детали. Расчёты на прочность при переменных во времени напряжениях проводят по различным методикам, привязанным к конкретным объектам, материалам, видам напряжённого состояния. Ниже рассматривается методика, наиболее распространённая в учебной литературе по сопротивлению материалов, применительно к деформациям растяжениясжатия и изгиба деталей машин. Если наибольшее напряжение цикла равно пределу выносливости, то такой цикл называется предельным циклом. Результаты испытаний образцов при различных коэффициентах асимметрии циклов представляют в виде диаграммы предельных амплитуд (кривая на рис. 9.13, а). Каждая точка в системе координат σm–σа соответствует некоторому циклу напряжений. Предельные циклы отображаются точками кривой АВ. Точки, лежащие ниже кривой АВ, отвечают безопасным циклам, а точки, 81 расположенные выше кривой АВ, соответствуют опасным циклам, которые приведут к усталостному разрушению. σа а σа б А А L K D σ-1 E σ0/2 σ * a 45° σ0/2 σm С В σт E P σa σm σm σв Рис. 9.13. Диаграмма предельных амплитуд: а – построение диаграммы; б – определение коэффициента запаса прочности Точка А отображает симметричный предельный цикл (σа = σmax = σ-1), точка В соответствует постоянным во времени напряжениям (σа = 0, σm = σв), приводящим к разрушению, т. е. временному сопротивлению. Построение диаграммы предельных амплитуд требует многочисленных сложных испытаний, поэтому используют приближённое изображение этой диаграммы. Первый вариант схематизации заключается в замене кривой АВ прямой АС, для чего необходимо знать предел выносливости σ-1 и предел текучести материала σт. Во втором варианте схематизированной диаграммы кривая АВ заменяется двумя прямыми. Прямая АС проводится из точки С под углом 45° до пересечения в точке Е с продолжением прямой АD, для построения которой нужно знать пределы выносливости при симметричном цикле σ–1 и при отнулевом цикле σ0. Условие усталостной прочности состоит в том, что фактический коэффициент запаса прочности детали (элемента конструкции) nR должен быть больше нормативного коэффициента запаса прочности [n] nR ≥ [n]. Пусть рабочему циклу напряжений соответствует точка Р(σm, σa) на рис. 9.13, б. Факторы, снижающие усталостную прочность детали, относят к переменной составляющей напряжений – амплитуде цикла и вычисляют приведённую амплитуду σ a по формуле σ a = σ a * * Kσ . K F Kd Отмечают точку К( σ m , σa ) и, принимая, что рабочий цикл и предельный цикл подобные, проводят прямую через точки О и К, продолжая её * 82 до пересечения с диаграммой предельных амплитуд в точке L. Тогда nR = OL . В зависимости от вида схематизированной диаграмOK мы предельных амплитуд можно записать аналитическое выражение коэффициента nR . Для диаграммы на рис. 9.13, б получаем nR = где ψ = σ −1 Kσ σa + ψσ m KF Kd , σ −1 − 0 ,5σ0 есть тангенс угла наклона прямой АЕ к оси абсцисс. 0 ,5σ0 Для элементов стальных мостов, испытывающих преимущественно растяжение, условие усталостной прочности имеет вид σ max ≤ γ υ mR , 1 ; ξ – коэффициент режи Кσ   Кσ  + 0 ,25  −  0 ,79 − 0 ,25  r  0 ,79 ξ ξ     ма нагружения; m – коэффициент условий работы; R – расчётное согде γ υ = противление по пределу текучести стали. Для элементов строительных конструкций условие усталостной прочности имеет вид σ max ≤ αγ υ Rυ , где α – коэффициент, учитывающий число циклов нагружений; γ υ – коэффициент, зависящий от коэффициента асимметрии цикла и вида деформации; Rυ – расчётное сопротивление усталости, зависящее от временного сопротивления материала. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Если груз поднимается с помощью троса с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения, то чему равен динамический коэффициент? 2. Чему равен динамический коэффициент при внезапном приложении нагрузки? 3. Как изменится динамический коэффициент при ударе, если учитывать массу конструкции, по которой наносится удар? 4. Что называют круговой частотой колебаний? 5. Запишите формулу для вычисления круговой частоты собственных колебаний системы с одной степенью свободы. 6. Какая нагрузка называется вибрационной? 7. От чего зависит динамический коэффициент при вибрационной 83 нагрузке? 8. Что такое резонанс и почему он опасен для конструкций? 9. Что такое коэффициент асимметрии цикла напряжений? 10. Что называют усталостью материала? 11. Что такое предел выносливости материала? 12. Что такое концентрация напряжений? 10. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 10.1. Степень статической неопределимости Статически неопределимыми называются такие системы, опорные реакции в которых и (или) внутренние усилия невозможно определить только из уравнений статики (уравнений равновесия). По сравнению с системами статически определимыми указанные системы имеют дополнительные связи, которые называют лишними связями. Усилия, возникающие в лишних связях, называют лишними неизвестными. Термин «лишние» следует понимать как «избыточные», а не как «ненужные». Наличие лишних связей делает систему более жёсткой и более экономичной. Степенью статической неопределимости n называется разность между числом неизвестных искомых усилий Н и числом независимых уравнений равновесия У для их нахождения: n = Н – У. На рис. 10.1 показаны системы один раз статически неопределимые: балка, для которой можно составить три уравнения равновесия при четырёх неизвестных реакциях R1–R4; шарнирно-стержневая система, для которой можно составить два уравнения равновесия при трёх неизвестных усилиях N1–N3; вал, для которого можно составить одно уравнение равновесия при двух неизвестных моментах М1 и М2. а R2 R1 F R3 б R4 N1 N2 N3 в М М1 М2 F Рис. 10.1. Статически неопределимые системы: 84 F а – при изгибе; б – при растяжении; в – при кручении Для расчета статически неопределимых систем применяют несколько методов, из которых в сопротивлении материалов рассматривают метод сил. 10.2. Метод сил 10.2.1. Основная система и лишние неизвестные В методе сил заданная n раз статически неопределимая система превращается в статически определимую систему удалением n лишних связей и заменой их лишними неизвестными Х1, Х2, ..., Хn. Эта заменяющая система называется основной системой. Основная система должна быть не только статически определимой, но и геометрически неизменяемой, т. е. такой, в которой перемещения точек или элементов возможны только вследствие деформаций стержней. Связи системы могут быть внешними, которые прикрепляют систему к земле, и внутренними, которые соединяют отдельные части системы между собой. Усилия во внешних связях – это опорные реакции, усилия во внутренних связях – это силы (моменты) взаимодействия частей системы между собой. Для балки (рис. 10.2, а), один раз статически неопределимой, основную систему можно выбрать удалением опоры или введением шарнира в поперечное сечение, расположенное над промежуточной опорой. В первом случае лишним неизвестным является опорная реакция, во втором случае – изгибающий момент, прикладываемый к левой и к правой частям основной системы. Удалить горизонтальную опорную связь нельзя, так как оставшиеся связи не препятствуют горизонтальному перемещению балки, а определить реакции оставшихся опор из уравнений равновесия по-прежнему невозможно. а б в Х1 Х1 Х1 Х1 Х2 Х1 Х2 Х1 Х2 Х1 Х3 Х2 Х2 Х3 Х1 Х3 Х3 Х1 А Рис. 10.2. Назначение основных систем и лишних 85 неизвестных: а – для балки; б, в – для рам Рама (рис. 10.2, б), имеющая один замкнутый контур, три раза статически неопределима (для шести опорных реакций есть три уравнения равновесия). Основную систему можно получить, удаляя три внешние связи (лишние неизвестные – реакции правой опоры) или разделяя раму на две части, удаляя тем самым три внутренние связи между этими частями рамы (лишние неизвестные – поперечная сила, продольная сила, изгибающий момент). Степень статической неопределимости рамы, показанной на рис. 10, в можно найти по формуле n = 3K–Ш, где К – число замкнутых контуров, Ш – число простых шарниров. Тогда n = 3⋅2 – 3 = 3. Для получения основной системы может быть удалена одна из четырёх внешних связей и две внутренние связи. Удалять вертикальную опорную связь нельзя, так как оставшиеся три связи будут пересекаться в одной точке (опоре А), что делает систему изменяемой (возможен поворот системы как жесткого целого вокруг точки А). 10.2.2. Канонические уравнения Для нахождения лишних неизвестных составляют дополнительные к уравнениям статики уравнения, которые называют уравнениями совместности деформаций. Их смысл заключается в том, что перемещения точек основной системы по направлению лишних неизвестных должны совпадать с перемещениями этих точек в заданной системе, а там эти перемещения равны нулю. Рассмотрим два раза статически неопределимую балку, показанную на рис. 10.3, а. Основная система (рис. 10.3, б) получена удалением двух опор. Основная система с лишними неизвестными и внешней нагрузкой называется эквивалентной системой (рис. 10.3, в). Чтобы деформации и усилия в эквивалентной системе совпали с деформациями и усилиями заданной системы, необходимо выполнение двух условий: прогибы точек В и С равны нулю. Каждый из прогибов создаётся силами Х1, Х2 и F и может быть представлен суммой трёх слагаемых: ∆ B = ∆ B ( X 1 ) + ∆ B ( X 2 ) + ∆ B ( F ) = ∆1( X 1 ) + ∆1( X 2 ) + ∆1F = 0; ∆ C = ∆ C ( X 1 ) + ∆ C ( X 2 ) + ∆ C ( X 2 ) = ∆ 2 ( X 1 ) + ∆ 2 ( X 2 ) + ∆ 2 F = 0. Перемещения от лишних неизвестных можно записать так: ∆ i = δ ik X k 86 (i , k = 1,2) , где δik – перемещение в основной системе по направлению i -го неизвестного, вызванное неизвестным X k , равным единице. Тогда δ11 X 1 + δ12 X 2 + ∆1F = 0 , δ X + δ X + ∆ = 0. 2F  21 1 22 2 А F В а С В в F Х2 Х1 F б г ∆1 R1 С ∆2 R2 Рис. 10.3. Статически неопределимая балка: а – заданная схема; б – основная система; в – эквивалентная система; г – изогнутая ось балки при произвольных значениях R1, R2 Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил, они записываются по определённому порядку (канону), их число равно степени статической неопределимости системы. Каждое каноническое уравнение отрицает перемещение в основной системе по направлению соответствующего неизвестного от действия всех неизвестных и внешней нагрузки. Перемещения δik и ∆ iF определяют по формуле Мора в зависимости от вида деформаций стержней: • при изгибе δik = ∑ ∫ l M i M k dz M M dz ; ∆ iF = ∑ ∫ i F ; EI EI l • при растяжении и сжатии δik = ∑ ∫ l • при кручении δik = ∑ ∫ l N i N k dz N N dz ; ∆ iF = ∑ ∫ i F ; EA EA l M K i M K k dz M M dz ; ∆ iF = ∑ ∫ K i K F . GI p GI p l 87 В этих формулах M i , N i , M Ki – изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент в стержне от единичного неизвестного Хi; M k , N k , M Kk – изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент в стержне от единичного неизвестного Хk; M F , N F , M KF – изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент в стержне от внешней нагрузки; EI , EA, GI p – жесткости при изгибе, растяжении, кручении. Интегрирование выполняют по длине каждого участка стержня, а затем суммируют значения интегралов по всем участкам и стержням основной системы. Интегралы вычисляют с помощью правил (формул), изложенных в подразд. 6.4. Для этого необходимо в основной системе построить эпюры внутренних усилий от единичных значений лишних неизвестных и от внешней нагрузки. Решая систему канонических уравнений, вычисляют лишние неизвестные, после чего усилия в заданной системе (расчетные усилия) можно найти по формуле S расч = S F + S1 X 1 + S 2 X 2 + K + S n X n , где под S подразумевается изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент. Для контроля результатов расчета выполняют деформационные проверки, заключающиеся в нахождении перемещений по направлению лишних неизвестных, которые заведомо раны нулю: ( S i ) ⋅ ( S расч ) = 0 , т. е. результат «перемножения» любой единичной эпюры на расчётную эпюру равен нулю. 10.2.3. Примеры расчета статически неопределимых систем Пример 10.1. Построить эпюру продольных сил для стержня, показанного на рис. 10.4, а, определить нормальные напряжения на участках стержня. При двух неизвестных опорных реакциях R1 и R2 есть одно уравнение равновесия (ΣFy = 0), поэтому степень статической неопределимости n = = Н–У = 2–1 = 1. Основную систему назначаем, удаляя верхнюю опору стержня (рис. 10.4, б), принимая лишним неизвестным Х1 – реакцию в удалённой опоре (рис. 10.4, в). Каноническое уравнение получает вид δ11 X 1 + ∆1F = 0. Стержень от внешней нагрузки испытывает деформации растяжения и сжатия, поэтому строим в основной системе эпюры продольных сил от неизвестного Х1 = 1 (рис. 10.4, г) и от нагрузки F (рис. 10.4, д). Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением построенных эпюр, используя правило Верещагина 88 δ11 = (N1 ) ⋅ (N1 ) = 1⋅ 2l ⋅ 1 EA + Находим X1 = − y R2 а б 1⋅ l ⋅ 1 1,5 EA = 4l 1,5 EA ; ∆1F = (N1 ) ⋅ ( N F ) = − Fl ⋅ 1 . 1,5 EA ∆1F − Fl ⋅ 1,5 EA F =− = ⋅ δ11 1,5 EA ⋅ 4l 4 в г X1 е д ж X1=1 1 А F/4 F/4 2l F F F 3F/4 F 1,5А l F/4 1 R1 Эп.N1 Эп.N F X 1 ⋅ Эп.N1 Эп.N расч Рис. 10.4. Статически неопределимый стержень: а – заданная схема; б – основная система; в – эквивалентная система; г – вспомогательное состояние и эпюра продольных сил; д – грузовое состояние и эпюра продольных сил; е – график Х1· Эп.N1; ж – расчетная эпюра продольных сил Расчетную эпюру получаем так: Эп.N расч = Эп.N F + Х 1 ⋅ Эп.N1. Результат показан на рис. 10.4, ж. Выполняем деформационную проверку (N1 ) ⋅ (N расч ) = 1⋅ 2l ( F / 4) + 1⋅ l (− 3 F/ 4 ) = EA 1,5 EA Fl  2 2   −  = 0. EA  4 4  Нормальные напряжения в поперечных сечениях верхнего участка стержня σ = Nв F / 4 F = = , в поперечных сечениях нижнего участка Aв A 4A 89 N н − 3F / 4 F = =− . Aн 1,5 A 2A σ= Пример 10.2. Построить эпюру крутящих моментов для вала, показанного на рис. 10.5, а, найти наибольшие касательные напряжения. При двух неизвестных опорных моментах М1 и М2 есть одно уравнение равновесия (Σmz = 0), поэтому степень статической неопределимости n = = Н–У = 2–1 = 1. Основную систему назначаем, удаляя правую опору вала (рис. 10.5, б), принимаем в качестве лишнего неизвестного Х1 – момент в удалённой опоре (рис. 10.5, в). Каноническое уравнение получает вид δ11 X 1 + ∆1F = 0. Стержень от внешней нагрузки испытывает деформации кручения, поэтому строим в основной системе эпюры крутящих моментов от неизвестного Х1 = 1 (рис. 10.5, г) и от внешнего момента М (рис. 10.5, д). M1 a M2 M z 0,8 Dг M l l Х1 = 1 1 Эп.М К 1 1 Эп.М КF д б M 0,371M Х 1Эп.М К 1 е M в Х1 0,371M ж 0,629M Эп .М Красч Рис. 10.5. Статически неопределимый вал: а – заданная схема; б – основная система; в – эквивалентная система; г – вспомогательное состояние и эпюра крутящих моментов; д – грузовое состояние и эпюра крутящих моментов; е – график Х1· Эп.МК1; ж – расчетная эпюра крутящих моментов 90 Полярный момент инерции поперечного сечения левого участка πD 4 , полярный момент инерции поперечного сечения правого Ip = 32 πD 4 пр участка I p = (1 − 0,84 ) = 0,59 I p . 32 Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением построенных эпюр, используя правило Верещагина 1⋅ l ⋅ 1 1⋅ l ⋅ 1 2,695 l + = ; GI p 0 ,59 GI p GI p Ml ⋅ 1 = (M K 1 ) ⋅ (M KF ) = − . GI p δ11 = (M K 1 ) ⋅ (M K 1 ) = ∆1F Находим X1 = − − Ml ⋅ GI p ∆1F =− = 0 ,371 M . δ11 GI p ⋅ 2,695 l Расчетную эпюру получаем так: Эп.M Красч = Эп.M KF + Х 1 ⋅ Эп.M K 1 . Результат показан на рис. 10.5, ж. Выполняем деформационную проверку (M K 1 ) ⋅ (M Красч ) = 0,629 Ml (− 1) + (− 0,371 M ) l (− 1) = 0 ,59 GI p GI p Ml (− 0 ,629 + 0 ,629) = = 0. GI p Полярный момент сопротивления поперечного сечения левого участ- πD3 ка W p = , полярный момент сопротивления поперечного сечения 16 правого участка W pпр ( ) πD 3 = 1 − 0 ,8 4 = 0 ,59 W p . 16 Наибольшие касательные напряжения на левом участке вала τ л max M Kл 0 ,629 M 3 ,20 M = л = = , Wp πD 3 / 16 D3 на правом участке вала 91 τ пmax M Kп 0 ,371 M 3 ,20 M л = п = = = τ max . 3 3 Wp D 0 ,59 πD / 16 Пример 10.3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки (рис. 10.6, а). При четырёх неизвестных опорных реакциях R1…R4 есть три уравнения равновесия, поэтому степень статической неопределимости n = Н–У = = 4–3 = 1. Основную систему назначаем, удаляя правую опору балки (рис. 10.6, б), принимаем в качестве лишнего неизвестного Х1 реакцию в удалённой опоре (рис. 10.6, в). Каноническое уравнение получает вид δ11X 1 + ∆1F = 0. Балка испытывает деформацию плоского изгиба, поэтому строим в основной системе эпюры изгибающих моментов от неизвестного Х1 = 1 (рис. 10.6, г) и от нагрузки F (рис. 10.6, д). Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением построенных эпюр, используя правило трапеций ∆1F l l3 δ11 = (M 1 ) ⋅ (M 1 ) = (2 ⋅ l ⋅ l ) = ; 6 EI 3 EI 4 Fl 3 l Fl 2l Fl   = (M 1 ) ⋅ (M F ) = − + . 2 l =− 3 ⋅ 6 EI  3 3 3 81 EI Находим ∆1F − 4 Fl 3 ⋅ 3 EI 4 F X1 = − =− = ⋅ δ11 27 81 EI ⋅ l 3 Расчетную эпюру получаем так: Эп.M расч = Эп.M F + Х 1 ⋅ Эп.M 1 . Результат показан на рис. 10.6, ж. 92 R1 F EI=const а R3 R4 l/3 Fl/3 R2 F Эп.М F д 2l/3 е 4Fl/27 X 1Эп.М 1 8Fl/81 б F 15Fl/81 в X1 Эп.М 1 г Эп.М расч ж 23F/27 8Fl/81 и l 2l/3 Эп.Q расч X1=1 4F/27 Рис. 10.6. Статически неопределимая балка: а – заданная схема; б – основная система; в – эквивалентная система; г – вспомогательное состояние и эпюра изгибающих моментов; д – грузовое состояние и эпюра изгибающих моментов; е – график Х1· Эп.М1; ж – расчетная эпюра изгибающих моментов; и – расчетная эпюра поперечных сил Деформационная проверка, заключающаяся в равенстве нулю результата перемножения эпюр (M 1 ) ⋅ M расч , выполняется, в чём рекомендуем самостоятельно убедиться читающего этот текст. Поперечная сила в любом сечении правого участка балки Qпр = − X 1 = ( ) = − 4 F / 27 , в любом сечении левого участка балки Qлев = − X 1 + F = = 23 F / 27 (рис. 10.6, и). Пример 10.4. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для рамы (рис. 10.7, а). 93 а R4 в б С X1 EI=const l q q R2 В А R3 l R1 г е д X1=1 Эп.М F Эп.М1 q 2 ql /16 X 1Эп.М 1 l l ql2/16 l/2 и ж ql2/8 ql/16 к 9ql/16 ql2/16 Эп.М расч Эп.N расч Эп.Q расч ql2/16 7ql/16 ql/16 3ql2/32 Рис. 10.7. Статически неопределимая рама: а – заданная схема; б – основная система; в – эквивалентная система; г – вспомогательное состояние и эпюра изгибающих моментов; д – грузовое состояние и эпюра изгибающих моментов; е – график Х1· Эп.М1; ж – расчетная эпюра изгибающих моментов; и – расчетная эпюра поперечных сил; к – расчетная эпюра продольных сил При четырёх неизвестных опорных реакциях R1…R4 есть три уравнения равновесия, поэтому степень статической неопределимости рамы n = Н–У = = 4–3 = 1. Основную систему назначаем, удаляя верхнюю опору рамы (рис. 10.7, б), принимаем в качестве лишнего неизвестного Х1 реакцию в удалённой опоре (рис. 10.7, в). Каноническое уравнение получает вид δ11X1 + ∆1F = 0. Рама испытывает деформацию плоского изгиба, поэтому строим в основной системе эпюры изгибающих моментов от неизвестного Х1 = 1 (рис. 10.7, г) и от нагрузки q (рис. 10.7, д). 94 Находим коэффициенты канонического уравнения перемножением построенных эпюр, используя правило трапеций при вычислении δ11 и универсальную формулу при вычислении ∆1F l 2l 3 δ11 = (M 1 ) ⋅ (M 1 ) = (2 ⋅ l ⋅ l ) 2 = ; 6 EI 3 EI 2 l  l ql  ql 4 4 =− ∆1F = (M 1 ) ⋅ (M F ) = − . 6 EI  2 8  24 EI Вычисляем ∆1F − ql 4 3 EI ql X1 = − =− = ⋅ δ11 24 EI 2l 3 16 Расчетную эпюру изгибающих моментов получаем так: Эп.M расч = = Эп.M F + Х 1 ⋅ Эп.M 1. Результат показан на рис. 10.7, ж. Деформационная проверка: (M 1 ) ⋅ (M расч ) = l 6 EI  ql 2  l  2l  +  16  6 EI  ql 2 l 3ql 2   l  = 0. −4 16 2 32   Поперечная сила на участке АС QAC = –X1 = –ql/16. Находим опорную реакцию R1 (рис. 10.7, а) из уравнения моментов всех сил относительно точки В: R4l – R1l + ql2/2 = 0, откуда с учетом того, что R4 = Х1 = ql/16, получаем R1 = 9ql/16. Поперечная сила на левом конце участка АВ QAB = R1 = 9ql/16, а на правом конце участка АВ QBA = 9ql/16 – ql = – 7ql/16. Расчетная эпюра поперечных сил показана на рис. 10.7, и. Продольная сила на участке АС отсутствует, а на участке АВ N = Х1 = = 9ql/16 (рис. 10.7, к). КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие системы называют статически неопределимыми? 2. Что называют основной системой метода сил? 3. Что называют лишними неизвестными в методе сил? 4. Какой физический смысл канонических уравнений метода сил? 5. Как делается деформационная проверка результатов расчёта статически неопределимой системы? 95 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В учебном пособии в краткой форме изложено содержание тех разделов сопротивления материалов, которые включены в федеральный интернет-экзамен в сфере профессионального образования. Содержание, объем и глубина разделов курса соответствуют тем вопросам и задачам, которые предъявлялись студентам на интернетэкзаменах в последние несколько лет. Включённый в состав учебного пособия тезаурус позволяет студентам быстро найти ответы на многие вопросы для самоконтроля знаний, помещённые в конце каждого раздела. 96 Учебное пособие поможет студентам подготовиться к защите расчётно-графических работ, предусмотренных учебными планами, к зачёту и к экзамену по сопротивлению материалов. ТЕЗАУРУС Внецентренное растяжение Стержень нагружен двумя одинаковыми по велиF чине растягивающими силами, направленными в F противоположные стороны вдоль прямой, не проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Внецентренное сжатие F Стержень нагружен двумя одинаковыми по велиF чине сжимающими силами, направленными в про97 тивоположные стороны вдоль прямой, не проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Внутренние усилия После рассечения стержня плоскостью Выделенная часть стержня поперечного сечения на выделенную Y часть стержня со стороны отброшенной MY X части передаются внутренние силы, QY QX MX распределённые по всей площади поперечного сечения. Статический эквивалент этих сил состоит из шести внутZ ренних усилий: продольной силы N, поN MZ перечных сил QX и QY , изгибающих моментов MX и MY, крутящего момента MZ. Временное сопротивление Характеристика прочности материала, равная отношению наибольшей нагрузки, выдержанной образцом, к геометрической характеристике его поперечного сечения. Для растяжения и сжатия σ в = Fmax ; для кручения A0 K M max τв = . Другое название этой характеристики – предел прочности. Wp Выносливость Сопротивление материала усталостному разрушению. Гибкость Характеристика сжатого стержня, вычисляемая по формуле λ = µl , где i µ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; i – радиус инерции поперечного сечения стержня. Главные оси Взаимно-перпендикулярные оси плоской фигуры, относительно которых центробежный момент инерции площади равен нулю, а осевые моменты инерции площади принимают экстремальные значения. Главные площадки Взаимно-перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Главные напряжения Нормальные напряжения на главных площадках. Индексы главных 98 напряжений устанавливаются по правилу σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3 . Деформационная проверка Определение в статически неопределимой системе перемещения, заведомо равного нулю. Выполняется перемножением расчётной и единичной эпюр внутренних усилий, результат вычисления должен равняться нулю. Деформация Изменение взаимного расположения частиц твердого тела, приводящее к изменению размеров и (или) формы тела. Простые деформации: растяжение, сжатие, кручение, сдвиг, чистый изгиб. Диаграмма предельных амплитуд Каждая точка на диаграмме соответствует некоторому циклу напряжений. Предельные циклы отображаются точками кривой АВ, безопасные циклы – точками, лежащими ниже кривой АВ, опасные циклы – точками, лежащими выше кривой АВ. σа А D σ-1 E σ0/2 45° С σ0/2 σm В σт σв Динамический коэффициент Число, показывающее, во сколько раз некоторый параметр упругой системы (внутреннее усилие, напряжение, перемещение и т. п.) при динамической нагрузке превышает этот же параметр при статической нагрузке: при ударе К д = 1+ 1+ при вибрационной нагрузке K д = 2h ; δ ст 1 1 − θ2 / ω2 при равномерном подъёме груза К д = 1 + ; a . g Допускаемое напряжение Расчетная характеристика материала, получаемая делением опасного напряжения на коэффициент запаса прочности: [σ] = σ оп τ ; [τ] = оп n n Опасным напряжением считают или предел текучести или предел прочности материала. Жесткость 1. Способность тела сопротивляться изменению формы и размеров от внешних нагрузок. 99 2. Характеристики поперечных сечений стержня при различных деформациях: EA – при растяжении и сжатии; EI x , EI y – при изгибе; GI p – при кручении; GA / kформ – при сдвиге. Закон Гука Формулы, устанавливающие связь между относительными деформациями и напряжениями: при растяжении и сжатии σ = Eε ; при плоском напряженном состоянии E   1   σ = ( ε + µσ ) x x y   1− µ2 ε x = E ( σ x − µσ y )   или    ; 1 E ε y = ( σ y − µσ x ) σ y = ( ε y + µσ x ) 2   E   1− µ при чистом сдвиге τ = Gγ ; при объемном напряжённом состоянии τ xy  1  ε = ( σ − µ ( σ + σ ), γ = , x x y z xy  E G   τ yz  1  , . ε y = ( σ y − µ( σ x + σ z ), γ yz = E G   1 τ zx ε z = ( σ z − µ( σ x + σ y ), γ zx = .  E G  Е и G – модули упругости материала при растяжении (сжатии) и сдвиге; σ – нормальное напряжение; τ – касательное напряжение; ε – относительная продольная деформация; γ – относительный сдвиг; µ – коэффициент Пуассона. Закон парности касательных напряжений Касательные напряжения на взаимноy τyx перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку. τxy τxy x τ yx = −τ xy τyx Изгиб Вид деформации, при котором ось стержня искривляется. 100 Различают плоский изгиб, когда все внешние нагрузки расположены в одной из главных плоскостей стержня, пространственный изгиб, когда внешние нагрузки расположены в двух главных плоскостях стержня, косой изгиб, когда внешние нагрузки расположены в одной плоскости, не совпадающей с главной плоскостью стержня. При чистом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, а при поперечном изгибе кроме изгибающих моментов возникают ещё и поперечные силы. Изгибающий момент Внутреннее усилие в поперечY ном сечении стержня, равное сумме моментов элементарных внутренних сил относиX тельно главной центральной y оси поперечного сечения. Изгибающий момент в поперечZ ном сечении стержня вычисM x = ∫ σydA ляют как сумму моментов всех A внешних нагрузок, располоdN = σdA женных с одной стороны от сечения, относительно центра dA тяжести сечения. При положительном изгибающем моменте МX>0 ось балки искривляется выМX<0 пуклостью вниз. Интеграл Мора Si S p dz используется для вычисления перемещений упруB l гих стержневых систем. Si – внутреннее усилие в стержне во вспомогательном состоянии; S p – внутреннее усилие в стержне в грузовом (заданном) состоянии; B – жесткость Интеграл ∫ Интеграл Мора (окончание) Sp B Растяжение и сжатие Si Ni Np Изгиб Mi Mp EA EI x Сдвиг Qi Qp M ki M kp Деформация Кручение GA / k GI p или GI k 101 Канонические уравнения В методе сил: уравнения совместности деформаций (перемещений), отрицающие перемещения в основной системе по направлению лишних неизвестных от действия всех лишних неизвестных и внешней нагрузки δ11 X 1 + δ12 X 2 + K + δ1n X n + ∆1 p = 0 δ21 X 1 + δ22 X 2 + K + δ 2n X n + ∆ 2 p = 0 . . . . . . . . . . . . .  δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + K + δ nn X n + ∆ np = 0 Касательное напряжение y dA dN z Интенсивность внутренних сдвигающих усилий (поперечных сил) QX, QY в сечении стержня. dQy dQx τx = x dQ x dA τy = dQ y dA Колебания Изменение положения твёрдого тела, происходящее с определённой повторяемостью во времени. Различают колебания упругих систем: свободные, которые совершает система, выведенная из положения статического равновесия и предоставленная самой себе; собственные, как частный случай свободных колебаний, при которых все массы колеблются с одинаковой частотой и сохраняется форма колебаний; вынужденные, которые совершает система под действием внешних сил. Концентрация напряжений Резкое возрастание напряжений в местах изменения размеров поперечного сечения, отверстий, выточек, контакта упругих тел и т. п. Косой изгиб Частный случай сложного сопротивления, при коy тором все внешние нагрузки, включая опорные реакции, расположены в одной плоскости, не сов0 x z падающей с главными плоскостями стержня xOz и yOz. F Коэффициент асимметрии цикла σ Отношение минимального напряжения цикла σmax σmin напряжений к максимальному r = t Коэффициент концентрации напряжений 102 σmin . σmax Теоретический коэффициент α σ = σmax . σном Эффективный (действительный) коэффициент K σ = K σ = 1 + q ( α σ − 1) σ −1 , σ −1k Коэффициент Пуассона Отношение относительной поперечной деформации растянутого стержня к относительной продольной деформации этого стержня µ= ε попер . ε прод Для различных материалов µ = 0 ... 0 ,5 Критическая сила Наибольшее значение силы F, при котором деформиF рованное состояние центрально сжатого стержня ещё устойчивое. Критическое напряжение Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня, центрально сжатого критической силой Fk: σ k = Fk ; A π2 E по формуле Эйлера σ k = 2 ; λ по формуле Ясинского σ k = a − bλ Кручение Mz z Mz Вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент Mz, а поперечные сечения поворачиваются вокруг продольной оси стержня Z. Лишние неизвестные В методе сил: усилия Х1, Х2, . . . , Хn в отбрасывемых или разрезаемых связях статически неопределимой системы, принимаемые в качестве основных неизвестных. Метод сечений Метод определения внутренних усилий в поперечном сечении стержня, заключающийся в выполнении четырёх действий: 1) разрезать стержень плоскостью, перпендикулярной к продольной оси стержня Z, на 103 две части; 2) отбросить одну часть стержня; 3) заменить действие отброшенной части стержня на оставшуюся часть внутренними усилиями; 4) уравновесить оставшуюся часть стержня (составить уравнения равновесия, включающие внешние нагрузки и внутренние усилия). Первые буквы слов, набранных курсивом, образуют известное слово РОЗУ. Метод сил Метод расчёта статически неопределимых систем, в котором основными неизвестными (лишними неизвестными) принимаются некоторые реакции опор или внутренние усилия в стержнях. Модуль сдвига Коэффициент пропорциональности между относительτ γ ным сдвигом γ и касательными напряжениями τ при чистом сдвиге: τ = Gγ . τ τ τ Модуль упругости Коэффициент пропорциональности между нормальными напряжениями σ и относительной продольной деформацией ε при растяжении (сжатии): σ = Eε . σ σ 1 1+ ε Момент инерции Геометрическая характеристика площади фигуры. Осевые моменты 2 2 инерции I x = ∫ y dA , I y = ∫ x dA y A A A Центробежный момент инерции I xy = ∫ xydA . dA A 2 Полярный момент инерции I p = ∫ ρ dA . y ρ A x x Момент сопротивления Геометрическая характеристика площади фигуры. Осевые моменты со- Iy Ix , Wy = , где I x , I y – главные центральные ymax xmax моменты инерции площади фигуры; ymax , xmax – расстояния от главных противления: Wx = центральных осей до наиболее удаленных точек фигуры. 104 Полярный момент сопротивления: W p = Ip , где I p – полярный момент ρmax инерции, ρ max – расстояние от центра сечения до самой удалённой точки. Напряжение Мера интенсивности внутренних усилий в сечении стержня. Различают нормальное напряжение σ, действующее перпендикулярно к сечению, касательное напряжение τ , действующее в плоскости сечения. Обычно напряжения измеряют в мегапаскалях (1 МПа =106 Н/м2) или в килоньютонах на квадратный сантиметр (кН/см2) 1 кН/см2 = 10 МПа. Напряженное состояние в точке Совокупность напряжений, действующих на всевозможных площадках, проходящих через точку твердого тела. Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное. Нормальное напряжение Интенсивность внутренних нормальных (продольных) усилий N в сечении стержня. y dA dN z dQy σ= dQx dN dA x Нулевая линия Прямая линия в поперечном сечении стержня, во всех точках которой отсутствуют нормальные напряжения. При изгибе стержня нулевая линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. При наличии продольной силы нулевая линия проходит в стороне от центра тяжести поперечного сечения. Опасная точка Такая точка в поперечном сечении стержня, в которой действуют наибольшие по модулю напряжения (нормальные, касательные или расчетные). Опора 105 R H R R H М Устройство, прикрепляющее стержень к «земле». Виды опор: Шарнирно-подвижная, в которой возникает одна реакция, направленная вдоль опорного стержня. Шарнирно-неподвижная, в которой возникают две реакции – вертикальная и горизонтальная. Жесткая заделка (защемление), в которой возникают три реакции – две силы (вертикальная и горизонтальная) и опорный момент. Основная система В методе сил: геометрически неизменяемая и статически определимая система, получаемая из заданной статически неопределимой системы удалением некоторого числа связей (внешних или внутренних). Перемещение Внешние воздействия на стержень вызывают линейные перемещения отдельных точек и угловые перемещения поперечных сечений. K V z K U N φ L θ φ V – вертикальное перемещение точки К (прогиб), U – горизонтальное перемещение точки К, φ – угол поворота поперечного сечения К. θ – угол закручивания поперечного сечения L относительно сечения N. Пластичность Свойство материала накапливать остаточную деформацию. 106 Поперечная сила Внутреннее усилие QX, QY в поперечном сечении стержня, равное сумме проекций элементарных внутренних сил на одну из главных центральных осей. Поперечная сила вычисY ляется как сумма всех X внешних сил, расположенных по одну сторону τ zx от сечения стержня, на ось Х или Y. dA Поперечная сила считаZ ется положительной, есτ zy Qx = ∫ τ zx dA ли она стремится повернуть выделенную часть A стержня по ходу часовой A стрелки. Qy = ∫ τ zy dA A Правило Верещагина Правило вычисления интеграла Мора ω C Эп.S0 yс Si S0 dz путем перемножения эпюр внутренB l них усилий Si и S0 : ∫ Эп.Si Si S0 dz ωyc ∫ B = B , где ω – площадь «грузовой» l эпюры S0 ; yc – ордината «вспомогательной» эпюры Si , взятая под центром тяжести эпюры S0 ; B – жесткость поперечного сечения стержня, постоянная на участке длиной l . l Предел выносливости Наибольшее напряжение цикла, при котором деталь не разрушается при любом числе циклов напряжений, переменных во времени. Обозначение предела выносливости – σ r (или τ r ), где r – коэффициент асимметрии цикла; σ −1 (или τ −1 ) – предел выносливости при симметричном цикле напряжений. Предел пропорциональности Наибольшее напряжение, при котором ещё выполняется закон Гука σ = Eε (или τ = Gγ ). Обозначение – σ пц (или τ пц ). 107 Предел прочности Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке на образец при испытании на растяжение, сжатие или кручение. Обозначение – σ пч (или τ пч ). Другое название – временное сопротивление σв ( τв ). Предел текучести Напряжение, при котором деформации образца при испытании на растяжение, сжатие или кручение возрастают, а внешняя нагрузка остается постоянной. Обозначение – σТ (или τТ ). Предел упругости Напряжение, при котором в растянутом образце появляются незначительные остаточные деформации ( ε ост = 0 ,02 − 0 ,05 % ). Обозначение – σ у . Прогиб Вертикальное перемещение точки на продольной оси балки при изгибе. Продольная сила Внутреннее усилие N в поперечном сечении стержня, равное сумме проекций элементарных внутренних y dA сил на продольную ось стержня Z. Продольная сила вычисляется как σ сумма проекций всех внешних сил, z x расположенных по одну сторону от N = ∫ σdA сечения, на ось Z. Продольная сила считается положительной при растяA A жении и отрицательной при сжатии стержня. Прочность Способность твердого тела не разрушаться под действием приложенных к нему нагрузок. Радиус инерции Геометрическая характеристика фигуры, вычисляемая относительно главной центральной оси по формуле ix = Ix . Единица измерения – A сантиметр (см). Растяжение Вид деформации, при которой длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. В поперечных сечениях растянутого стержня возникает одно внутреннее усилие – продольная (нормальная) сила N. Реакция Сила, возникающая в опорной связи стержня, от действия внешних нагрузок или других причин (например, от изменения температуры, перемещения опор). 108 Резонанс Значительное увеличение амплитуды вынужденных колебаний, возникающее при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний упругой системы. Сжатие Вид деформации, при которой длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. В поперечных сечениях сжатого стержня возникает одно внутреннее усилие – продольная (нормальная) сила N. Статический момент площади Геометрическая характеристика фигуры, выy A числяемая по формулам S x = ∫ ydA , dA A S y = ∫ xdA . Измеряется в кубических санти- С y yс x x xс A метрах (см3). Для практических расчетов S x = Ayc , S y = Axc , где A – площадь фигуры; xc , yc – координаты центра тяжести фигуры. Текучесть Свойство пластических материалов деформироваться при неизменной нагрузке. Нагрузка Площадка текучести Деформация O Угол закручивания Перемещение поперечного сечения стержня при кручении. z Θ – угол закручивания Угол поворота Перемещение поперечного сечения стержня при изгибе. K φ-угол поворота Угол сдвига Деформация бесконечно малого элемента при чистом сдвиге. τ τ K φ γ – угол сдвига τ τ 109 Упругость Свойство материала деформироваться под действием внешних нагрузок и возвращаться к первоначальным размерам после удаления нагрузок. Условие жесткости Ограничение величины перемещения элемента конструкции при его деформировании. ∆ max ≤ [∆ ] , где [∆ ] – допускаемая величина перемещения (прогиба, угла закручивания и т. д.). Условие прочности Ограничение величины наибольших напряжений. В методе допускаемых напряжений: • при растяжении и сжатии σ= N Aнетто ≤ [σ]; • при кручении стержня круглого (кольцевого) поперечного сечения τ max = Mk ≤ [τ]; Wρ • при кручении стержня некруглого поперечного сечения τ max = Mk ≤ [τ]; Wk σ max = Mx ≤ [σ]; Wx • при плоском изгибе • при косом (пространственном) изгибе σ max = My Mx yот + xот ≤ [σ]; Ix Iy • при внецентренном растяжении (сжатии) σmax = F x x y y  1 + F 2от + F 2 от  ≤ [σ]; A  ix i y  • при косом изгибе с растяжением (сжатием) σmax = M N Mx + yот + y xот ≤ [σ]; A Ix Iy • при изгибе с кручением (стержень круглого поперечного сечения) σ расч = 110 M расч Wx ≤ [σ]; Условие прочности (окончание) • по первой теории прочности σ Iрасч = σ1 ≤ [σ] ; • по второй теории прочности σ IIрасч = σ1 − µ (σ2 + σ3 ) ≤ [σ] ; • по третьей теории прочности σ III расч = σ1 − σ3 ≤ [σ]; • по четвертой теории прочности 2 2 2 σ IV расч = 0 ,5 ( σ12 + σ 23 + σ31 ) ≤ [σ], где σ12 = σ1 − σ2 ; σ23 = σ2 − σ3 ; σ31 = σ3 − σ1 ; • при частном случае плоского напряженного состояния ( σ x = σ , σ y = 0 , τ xy = τ ) 2 2 σ III расч = σ + 4 τ ≤ [σ] ; 2 2 σ IV расч = σ + 3 τ ≤ [σ] Условие устойчивости σ расч = F ≤ [σ] . ϕA Усталость материала Процесс постепенного возникновения повреждений при переменных во времени напряжениях, приводящий к образованию трещин и последующему разрушению. Устойчивость сжатого стержня Способность центрально-сжатого стержня под действием малых поперечных нагрузок незначительно искривляться, а после удаления этих нагрузок возвращаться (полностью или частично) в первоначальное положение. Формула Журавского Формула для вычисления касательных Qy S xотс напряжений в балке τ = . bI x Qy – поперечная сила; S xотс = Аотс yc – статический момент отсеченной площади; b – ширина поперечного сечения; Ix – момент инерции площади по- y С yc Аотс x τ b перечного сечения. 111 Формула Эйлера Формула для вычисления критической силы центрально-сжатого стержня Fk = π2 EI x (µl )2 E – модуль упругости материала стержня; I x – момент инерции площади поперечного сечения стержня; µ – коэффициент, зависящий от способов закрепления стержня; l – длина стержня. Формула Ясинского Формула для вычисления критической силы центрально-сжатого стержня Fk = ( a − bλ ) A . A – площадь поперечного сечения стержня; λ – гибкость стержня; a , b – коэффициенты, зависящие от материала стержня. Циклы напряжений σ а б г в t r>0 r< 0 r = -1 r=0 а – знакопостоянный; б – знакопеременный; в – симметричный; г – пульсационный (отнулевой); r – коэффициент асимметрии цикла. Частота колебаний Круговая частота ω – число колебаний за промежуток времени 2π 1 = Mδ11 g . yст ω Техническая частота n – число колебаний за одну секунду, n = . 2π секунд; для системы с одной степенью свободы ω = Чистый изгиб М 112 М Вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – изгибающий момент М. Чистый сдвиг τ τ τ Частный случай плоского напряженного состояния, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения τ . τ Эпюра График, показывающий изменение некоторого фактора (внутреннего усилия, напряжения, перемещения) вдоль одной координатной оси стержня. Ядро сечения Выпуклая область вокруг центра тяжести поперечного сечения внецентренно Сечение Y Ядро сечения сжатого (растянутого) стержня. При поh/6 мещении внутри этой области или на её X h h/6 границе внешней силы во всех точках поперечного сечения возникают нормальb/6 b/6 ные напряжения одного знака. b 113 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Александров, А.В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – 4-е изд., испр. – М. : Высш. шк., 2004. – 560 с. 2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов : учеб. для студентов вузов / В.И. Феодосьев. – 10-е изд., перераб. и доп. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 588 с. 3. Саргсян, А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов : учеб. для вузов. / А.Е. Саргсян. – 2-е изд., испр. и доп. – М. : Высш. шк., 2000. – 286 с. 4. Сопротивление материалов : учеб. пособие / П.А. Павлов, Л.К. Паршин, Б.Е. Мельников, В.А. Шерстнев. – СПб. : Лань, 2003. – 528 с. 114 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................... 3 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.................................................................. 4 1.1. Введение .......................................................................................... 4 1.2. Внешние и внутренние силы ........................................................... 4 1.3. Напряжения и деформации в точке ................................................ 6 1.4. Основные понятия и допущения ..................................................... 7 2. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ .................................................. 9 2.1. Продольная сила ............................................................................. 9 2.2. Напряжения и деформации........................................................... 10 2.3. Испытания материалов на растяжение и сжатие ........................ 11 2.4. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии......................... 15 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ.... 17 3.1. Виды напряженного состояния ..................................................... 17 3.2. Плоское напряженное состояние .................................................. 17 3.3. Объемное напряженное состояние .............................................. 21 3.4. Расчёты на прочность при сложном напряженном состоянии ... 24 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР .......... 26 4.1. Статические моменты площади .................................................... 26 4.2. Моменты инерции площади .......................................................... 28 4.3. Моменты сопротивления и радиусы инерции .............................. 31 4.4. Примеры вычисления геометрических характеристик .................... 32 5. КРУЧЕНИЕ И СДВИГ .......................................................................... 34 5.1. Крутящий момент ........................................................................... 34 5.2. Деформации и напряжения при кручении .................................... 35 5.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении ........................ 36 5.4. Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения ........ 37 5.5. Расчёты на сдвиг ........................................................................... 39 6. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ ......................................... 40 6.1. Изгибающий момент и поперечная сила ...................................... 40 6.2. Напряжения и деформации при изгибе ........................................ 44 6.3. Расчеты на прочность при изгибе ................................................. 47 6.4. Перемещения балки при изгибе ................................................... 48 6.5. Справочные данные для балок ..................................................... 52 7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ .......................................................... 54 7.1. Косой и пространственный изгиб .................................................. 54 7.2. Внецентренное растяжение (сжатие) ........................................... 56 7.3. Растяжение (сжатие) с изгибом .................................................... 59 7.4. Растяжение (сжатие) с кручением ................................................ 60 7.5. Изгиб с кручением .......................................................................... 62 7.6. Примеры сложного сопротивления ............................................... 63 115 8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ .......................................... 64 8.1. Критическая сила ........................................................................... 64 8.2. Расчеты сжатых стержней на устойчивость ................................. 67 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ ....................................... 70 9.1. Общие сведения о динамическом нагружении ............................ 70 9.2. Движение тела с постоянным ускорением ................................... 70 9.3. Ударное действие нагрузки ........................................................... 71 9.4. Колебания упругих систем ............................................................ 73 9.5. Прочность при напряжениях, периодически меняющихся во времени ..................................................................................... 77 10. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.............................. 84 10.1. Степень статической неопределимости ..................................... 84 10.2. Метод сил ..................................................................................... 85 10.2.1. Основная система и лишние неизвестные ........................... 85 10.2.2. Канонические уравнения........................................................ 86 10.2.3. Примеры расчета статически неопределимых систем ........ 88 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................... 96 ТЕЗАУРУС .................................................................................................. 97 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................ 114 116 Учебное издание Миронов Леонид Петрович КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие Редактор Н.В. Смышляева Технический редактор Н.В. Ларионова ———————————————————————————— План 2011 г. Поз. 4.22. Подписано в печать 21.04.2011. Гарнитура Arial. Печать RISO. Уч.-изд. л. 6,5. Усл. печ. л. 7,3. Зак. 153. Тираж 250 экз. Цена 107 руб. ———————————————————————————— Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47. 117