Сопротивление материалов

ХАКАССКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал ФГАОУ ВО «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» кафедра СТРОИТЕЛЬСТВО Е.В. Логинова СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Методические указания для студентов заочной формы обучения направления 08.03.01 «Строительство» Абакан 2020 УДК 539.316 К89 Рецензенты: О. Н. Хегай, канд. техн. наук, доц., зав. каф. «Городское строительство и хозяйство» ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова»; А. В. Валинецкий, канд. техн. наук, директор ООО «Абаканпроект» К89 Кузнецова, Т. Г. Сопротивление материалов: учеб. пособие / Т. Г. Кузнецова, Н. Н. Королькова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Абакан: Сиб. федер. ун-т; ХТИ – филиал СФУ, 2009. – 132 с. Содержит общие требования к выполнению практических и контрольной работ по курсу «Сопротивление материалов», краткие теоретические сведения, основные расчетные формулы, условия задач и примеры их решения, числовые данные и расчетные схемы. Приведены справочные данные, необходимые для решения заданий. Предназначено для студентов заочной формы обучения, обучающихся по специальностям 08.03.01 – «Строительство». © Логинова Е.В., 2020 © ХТИ – филиал СФУ, 2009 3 ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов является одной из первых инженерных дисциплин, при освоении которой студенты встречаются с реальными расчетами и элементами проектирования деталей машин и конструкций, а это значит, что данная дисциплина формирует профессиональные навыки будущего специалиста. Сопротивление материалов как инженерная и общетеоретическая наука имеет свою богатую событиями историю. Проблема обеспечения прочности конструкций различного назначения решается человечеством на всем протяжении его истории, трансформировавшись из задачи о прочности хижины в задачу о прочности современного небоскреба или авиалайнера. В древности и в средние века эти задачи решались методом проб и ошибок, что вело к многочисленным авариям и человеческим жертвам. Первые попытки обоснованного научного решения задачи прочности конструкционного элемента совпадают по времени с эпохой великих географических открытий XV–ХVII вв. и обусловлены необходимостью создания судов значительной грузоподъемности. Именно к этому периоду относятся опыты Леонардо да Винчи по определению прочности проволок и канатов. Однако основоположником сопротивления материалов как науки принято считать великого итальянца Г. Галилея, который поставил серию специальных экспериментов по оценке прочности изгибаемых деревянных брусьев в зависимости от соотношения размеров и сделал попытку их теоретического осмысления. Другой важнейший этап истории сопротивления материалов связан с именами английских ученых Р. Гука и Т. Юнга. Первому принадлежит приоритет в открытии и четкой формулировке фундаментального закона сопротивления материалов, согласно которому деформация, т. е. изменение размеров конструкционного элемента, прямо пропорциональна приложенной к нему силе. Как писал Р. Гук, «какова сила, таково и перемещение». Несколько позже, в конце XVIII в. Т. Юнг придал этому утверждению законченную математическую формулировку с одновременным истолкованием механического смысла используемой здесь константы материала, известной ныне как модуль упругости – модуль Юнга. Сопротивление материалов в современном понимании в основном сложилось к концу XIX – началу XX вв. как результат совместных усилий ученых и инженеров ведущих мировых держав. Здесь нельзя не отметить заслуг российской школы механиков. 4 Современная техника, использующая новейшие технологии и материалы, предъявляет все более жесткие требования к качеству и экономичности инженерных объектов, что требует постоянного развития науки о сопротивлении материалов и смежных дисциплин. Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов конструкций. Прочность – это свойство твердых тел воспринимать действие сил без разрушения. Расчет на прочность позволяет производить подбор оптимальных поперечных размеров сечений элементов конструкций, исключающий возможность их разрушения либо появления в них остаточных деформаций под действием заданных нагрузок. Жесткость – свойство твердых тел незначительно менять свои размеры и форму под действием сил. Расчет на жесткость позволяет определять допустимые деформации конструкции при их эксплуатации. Устойчивость – свойство твердых тел сохранять первоначальную форму равновесия. Расчет на устойчивость позволяет определять предельные нагрузки, при которых конструкция не теряет устойчивости. В современной технике возрастает значение проблем прочности и надежности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, стремлением уменьшить степень технического риска. В последние годы идет быстрый процесс роста математических знаний. В сопротивлении материалов все большее место в связи с использованием ЭВМ занимают численные методы. Методы изучения сопротивления материалов не остаются постоянными. Они изменяются вместе с возникновением новых задач и новых требований практики, с появлением новых вычислительных средств. Поэтому на первый план в сопротивлении материалов выходит разработка общих подходов построения математических моделей прочностной надежности изделий. Надежностью называют свойства изделий выполнять заданные функции, сохраняя при этом эксплуатационные показатели в определенном пределе в течение требуемого промежутка времени. Прочностной надежностью называют отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции. Отказом называют нарушение работоспособности. Теоретические положения сопротивления материалов опираются на законы и теоремы теоретической механики, физики и материаловедения. 5 Целью дисциплины является обеспечение базы инженерной подготовки и приобретение знаний, необходимых для изучения последующих общетехнических и специальных дисциплин. Задачей изучения дисциплины является овладение теоретическими основами и практическими методами расчетов элементов конструкций и машин. При изучении сопротивления материалов необходимо: – самостоятельно освоить теоретический материал, при этом обратить особое внимание на усвоение физической сущности явлений, используемые допущения и ограничения; – теоретический материал законспектировать, ответить на вопросы для самопроверки; – после изучения и усвоения теоретического материала выполнить контрольные работы; – на лабораторных работах исследовать способность конструкционных материалов к сопротивлению внешним нагрузкам. Лабораторные работы выполняют во время экзаменационной сессии. Студент допускается к сдаче экзамена после выполнения, проверки и защиты контрольной и практических работ. У студентов заочной формы обучения при изучении сопротивления материалов наибольшие затруднения вызывает решение задач. Вместе с тем именно эта практическая часть курса в большей степени способствует развитию инженерного мышления, приобретению необходимых навыков расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость. Данное учебное пособие призвано помочь студентам в освоении методики расчетов, приобретении навыков инженерных расчетов. Контрольные работы включают задачи по основным разделам курса в соответствии с ФГОСТ ВПО: расчеты на прочность и жесткость при простейших деформациях, геометрические характеристики сечений, сложное сопротивление, расчеты на устойчивость, расчеты на динамические нагрузки. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ТЕМА 1. Основные понятия Литература: [1, гл. 1], [2, гл. 1, гл. 2]. Цель учебной дисциплины «Сопротивление материалов». Основные определения. Реальный объект и расчётная схема. Классификация 6 тел по геометрическим параметрам. Гипотезы о свойствах материала. Классификация внешних сил. Опорные устройства и реактивные силы. Внешние силы, метод сечений и внутренние усилия. Виды простого и сложного сопротивления. Напряжения: полные, нормальные, касательные. Деформации линейные и угловые. Перемещения. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение прочности и жестокости. 2. Дайте определение напряжения и деформации. 3. Какие деформации называют упругими, какие – остаточными? 4. В чём различие между деформациями и перемещениями? 5. Какие напряжения называют полными, нормальными, касательными? 6. В чём заключается сущность метода сечений? 7. Что такое внутренние силы? Как они определяются? ТЕМА 2. Растяжение и сжатие Литература:[1, гл. 2], [2, гл. 4 и 5]. Определение центрального растяжения-сжатия. Продольная сила и её эпюры. Нормальные напряжения в поперечном сечении, условие прочности. Три вида расчетов: проектировочный, проверочный, определение допускаемой нагрузки. Экспериментальное изучение механических характеристик материалов. Диаграммы напряжений: условная и истинная. Закон Гука при одноосном растяжении-сжатии. Механические характеристики прочности пластичности. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса прочности. Деформации продольные и поперечные, коэффициент Пуассона. Перемещения поперечных сечений и их эпюры. Потенциальная энергия упругой деформации. Статически неопределимые задачи: методика раскрытия неопределимости, температурные и монтажные напряжения. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение растяжению-сжатию. 2. Как строится диаграмма растяжения или сжатия? 3. Что называется пределом пропорциональности, упругости, текучести, прочности? 4. Как формулируется закон Гука? 5. Что называется удельной работой разрушения? 6. В чём разница между пластичными и хрупкими материалами? 7. Как формулируется условие прочности? 8. Что называется коэффициентом запаса прочности? 7 9. Какие задачи называют статически неопределимыми и каков порядок их расчета? ТЕМА 3. Сдвиг и кручение Литература: [1, гл. 4 и 6], [2, гл. 8 и 9]. Понятие о чистом сдвиге, диаграмма напряжений, закон Гука и потенциальная энергия упругой деформации при сдвиге. Связь между модулями упругости первого и второго рода и коэффициентом Пуассона. Расчёт элементов конструкций на сдвиг. Определение кручения. Крутящие моменты и их эпюры. Напряжённое состояние при кручении круглого бруса. Касательные напряжения в поперечном сечении и углы закручивания при кручении круглого бруса. Условия прочности и жёсткости вала. Статически неопределимые задачи при кручении. Понятие о кручении бруса некруглого сечения и тонкостенного стержня (открытого и замкнутого профиля). Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение абсолютного и относительного сдвига. 2. Как формулируется закон Гука при сдвиге? 3. Какова связь между модулем продольной упругости Е, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона μ? 4. Как находится условная площадь смятия заклепок? 5. По какому сечению в заклёпочном соединении производится проверка листов на разрыв? 6. Что называется крутящим моментом, как он определяется и какую размерность имеет? 7. Как определить величину касательного напряжения в произвольной точке круглого бруса (вала)? 8. Каковы законы распределения касательных напряжений в брусе круглого, кольцеобразного и прямоугольного сечений? Назовите их максимальные значения. 9. Что такое полярный момент инерции и полярный момент сопротивления? 10. Как находится величина относительного и абсолютного угла поворота сечения (закручивания)? 11. Как находится максимальный крутящий момент и производится расчет на прочность и жёсткость вала? ТЕМА 4. Геометрические характеристики плоских сечений Литература: [1, гл. 5], [2, гл. 2]. Основные определения и общие свойства геометрических характеристик сечений. Геометрические характеристики простых и состав- 8 ных сечений. Изменения моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции. Вопросы для самопроверки: 1. По каким формулам находят центр тяжести составных плоских сечений? 2. Что такое осевой, полярный и центробежный моменты инерции сечения? 3. Назовите основные свойства моментов инерции. 4. Какая связь между осевыми и полярным моментами инерции? 5. Запишите формулу для вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей. Относительно каких из этих осей момент инерции минимален? 6. Какие оси сечения называют главными, а какие главными центральными? 7. По каким формулам вычисляют моменты инерции плоских фигур (круга, кольца, прямоугольника, треугольника)? ТЕМА 5. Прямой поперечный изгиб Литература: [1, гл. 7], [2, гл. 3 и 10]. Определение прямого поперечного изгиба. Поперечная сила и изгибающий момент, их эпюры. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и интенсивностью нагрузки. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе. Центр изгиба тонкостенных поперечных сечений. Условия прочности и рациональные формы сечений балок. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балок и его интегрирование для определения перемещений. Метод начальных параметров для определения перемещений. Условие жёсткости балок. Потенциальная энергия упругой деформации при изгибе балок. Вопросы для самопроверки: 1. Как находят поперечные силы Q и изгибающие моменты М в каком-либо сечении балки? 2. Какой изгиб называют плоским чистым и плоским поперечным? 3. Что такое нейтральный слой и нейтральная линия (ось) и как они располагаются в сечении балки при плоском изгибе? 4. Как изменяются по сечению нормальные и касательные напряжения при плоском изгибе? В каких точках сечения они максимальны? 5. Как записывается условие прочности балок? 9 6. Укажите физический смысл начальных параметров в универсальном уравнении изогнутой оси балки и граничные условия для их нахождения. ТЕМА 6. Теория напряжённо-деформированного состояния в точке и теории прочности Литература:[1, гл. 3 и 8], [2, гл. 6 и 7]. Определение линейного, плоского и объёмного напряженного состояния в точке. Полное, нормальное и касательное напряжения при плоском напряженном состоянии. Главные оси и главные напряжения. Экстремальные касательные напряжения. Круговая диаграмма Мора. Деформированное состояние в точке. Обобщённый закон Гука для изотропного материала. Изменение объема. Удельная потенциальная энергия упругой деформации: полная, изменения объёма, изменения формы. Необходимость создания теорий прочности. Основные теории прочности: теория наибольших нормальных напряжений, теория наибольших относительных удлинений, теория максимальных касательных напряжений, теория удельной потенциальной энергии изменения формы; теория Мора. Условия прочности по этим теориям. Вопросы для самопроверки: 1. Назовите виды напряжённого состояния в точке. 2. Какие элементы напряженного состояния существуют в точке и какие из них являются независимыми? 3. Дайте определение понятиям «главные площадки», «главные напряжения». 4. Как найти главные площадки и главные напряжения в точке? 5. Как определяются экстремальные касательные напряжения? 6. Дайте краткий обзор теорий прочности. ТЕМА 7. Сложное сопротивление Литература: [1, гл. 9], [2, гл.12]. Косой изгиб прямого бруса: определение, эпюры изгибающих моментов, напряжения в поперечном сечении, нулевая (нейтральная) линия, условия прочности, перемещения. Внецентренное растяжение-сжатие прямого бруса: определение, эпюры внутренних усилий, напряжения в поперечном сечении, нулевая (нейтральная) линия, условия прочности, ядро сечения. Изгиб с кручением бруса круглого и прямоугольного сечений: определение, эпюры изгибающих и крутящих моментов, напряжённое 10 состояние в характерных точках сечения, условия прочности по 3-й и 4-й теориям прочности. Общий случай сложного сопротивления: одновременное растяжение (сжатие), изгиб в двух плоскостях и кручение. Плоские и пространственные рамы: определение, эпюры внутренних усилий. Расчёт на прочность по 3-й и 4-й теориям прочности. Вопросы для самопроверки: 1. Перечислите виды сложного сопротивления. 2. Какой случай изгиба называется косым изгибом? 3. Как найти положение нейтральной (нулевой) линии при косом изгибе? 4. Как вычислить перемещения при косом изгибе? 5. Для каких случаев поперечного сечения не возникает косого изгиба? 6. Запишите формулу для вычисления нормальных напряжений при внецентренном растяжении-сжатии. Чему равно напряжение в центре тяжести сечения? 7. Как найти положение нейтральной (нулевой) линии при внецентренном растяжении-сжатии? 8. Как строится ядро сечения? 9. Как найти опасное сечение при изгибе с кручением? 10. В каких точках поперечного круглого и прямоугольного сечений возникают наибольшие нормальные напряжения σ и наибольшие касательные напряжения τ при изгибе с кручением? 11. Запишите условие прочности круглого и прямоугольного сечений при изгибе с кручением. Как найти расчётный момент для круглого сечения? ТЕМА 8. Общие методы определения перемещений в брусе при произвольной нагрузке Литература: [1, гл. 11], [2, гл. 13]. Потенциальная энергия деформации бруса при произвольной нагрузке. Теорема Кастилиано. Интеграл Мора. Способ Верещагина. Вопросы для самопроверки: 1. Как записывается выражение для потенциальной энергии через внутренние усилия? 2. Какие члены интеграла Мора сохраняются при решении плоских рам? При решении стержневых систем? 3. В чём сущность способа Верещагина? ТЕМА 9. Расчёт статически неопределимых стержневых систем 11 Литература: [1, гл. 12], [2, гл. 14]. Понятие о степенях свободы и связях. Необходимые и лишние связи. Метод сил: канонические уравнения и коэффициенты этих уравнений, грузовое, единичное и суммарное состояния. Выбор основной системы для плоских рам и замкнутого контура. Учёт прямой и обратной симметрии. Вопросы для самопроверки: 1. Как определяется степень статической неопределимости? 2. Что называется заданной, основной, эквивалентной системами? 3. С помощью каких уравнений находят величины лишних реактивных усилий? 4. Какие перемещения называют главными, какие – побочными? 5. Какие упругие системы называют симметричными, какие – кососимметричными? Какие основные системы целесообразно для них принимать? 6. Назовите симметричные и обратно симметричные внутренние усилия. 7. В какой последовательности ведется расчёт статически неопределимых систем? ТЕМА 10. Расчёт тонкостенных сосудов и толстостенных труб Литература: [1, гл. 16], [2, гл, 16 и 17]. Геометрия тонкостенной оболочки вращения (резервуара или сосуда). Разрешающие уравнения по безмоментной теории. Пример расчётов на прочность цилиндрических, конических, сферических оболочек (сосудов). Определение толстостенного цилиндра (трубы). Напряжения и расчёт на прочность. Случай составных цилиндров. Вопросы для самопроверки: 1. Какая оболочка называется тонкостенной? 2. Напишите уравнение Лапласа для определения напряжений в тонкостенных симметрично нагруженных оболочках вращения. 3. Какой из двух сварных (заклёпочных) швов цилиндрического тонкостенного сосуда должен быть более прочным – в меридиональном направлении или окружном? 4. Какой сосуд называется толстостенным? Какой – составным? 5. Какое напряжение в толстостенной трубе будет растягивающим, а какое сжимающим? ТЕМА 11. Устойчивость сжатых стержней Литература: [I, гл. 13], [2, гл. 19]. 12 Понятие устойчивости для идеального стержня. Формула Эйлера для критической силы центрально сжатого стержня и пределы её применимости. Понятие о потери устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Зависимость критических напряжений от гибкости стержня. Расчёты на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений. Особенности задачи продольно-поперечного изгиба. Вопросы для самопроверки: 1. В чём суть потери устойчивости сжатой стойки? 2. Что такое критическая сила? По каким формулам она вычисляется? 3. Как учитывается влияние способа закрепления концов стержня? 4. Дайте определение гибкости стержня. 5. Изобразите график зависимости критических напряжений от гибкости. 6. Как записать условие устойчивости по коэффициенту φ? ТЕМА 12. Расчёты при динамическом воздействии Литература: [1, гл. 14], [2, гл. 20, 21]. Виды динамического воздействия. Учёт сил инерции при расчёте движущихся с ускорением элементов конструкции: расчёты при поступательном и вращательном движении с постоянным и переменным ускорением. Расчёты при ударном нагружении. Свободные и вынужденные колебания балки с одной степенью свободы: перемещения и напряжения, понятие резонанса. Вопросы для самопроверки: 1. Как определяются напряжения в элементах конструкций при равномерном поступательном движении? При вращательном движении? 2. Что такое динамический коэффициент? Как он определяется с учётом и без учёта массы ударяемой упругой системы? 3. Как вычисляют напряжения при ударном воздействии? 4. Какие колебания называются свободными, а какие – вынужденными? 5. Что такое резонанс? Почему он опасен? 6. Что называется системой с одной степенью свободы? 7. Как найти период свободных колебаний? 8. Как вычислить напряжения при колебаниях с одной степенью свободы? 9. Как выполнить расчёт балки на прочность при вынужденных колебаниях? ТЕМА 13. Расчеты на усталостную прочность Литература: [1, гл. 15], [2, гл. 22]. 13 Расчёты на прочность при циклически меняющихся во времени напряжениях. Явление усталости. Циклы напряжений. Кривая усталости Вёллера и предел выносливости. Влияние концентрации напряжений, размера и чистоты обработки детали на предел выносливости. Диаграммы Хея и Кинасошвили для предельных амплитуд. Определение запаса прочности детали при чистом сдвиге и одноосном напряженном состоянии. Запас усталостной прочности детали при сложном напряженном состоянии. Вопросы для самопроверки: 1. Что называется пределом выносливости? 2. Какие эмпирические зависимости имеются между пределом выносливости и пределом прочности для различных материалов и типов нагружения? 3. Какие виды циклов напряжения существуют? Дайте их краткую характеристику. 4. Как влияют на величину предела выносливости концентрация напряжений, масштабный фактор, состояние поверхности, среда? 5. Как устанавливают допускаемые напряжения при переменных напряжениях? Каковы практические меры по борьбе с изломами усталости? СОДЕРЖАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» В расчётах рассматриваются типовые и наиболее часто встречающиеся элементы или конструкции в целом. Типовые элементы схематизированы. Студенту необходимо выполнить: № п/п 1 2 3 4 Вид работ Практическая работа 1 Практическая работа 2 Практическая работа 3 Контрольная работа Темы Растяжение-сжатие Изгиб Перемещение Кручение Геометрические характеристики плоских сечений и изгиб стержней Сложное сопротивление: -Внецентренное растяжение-сжатие -изгиб с кручением Устойчивость сжатых стержней Динамические нагрузки № задачи Задача 1 Задача 4 Задача 5 Задача 2 Задача 3 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 14 В задаче 1 тема «Растяжение-сжатие» выполняется расчёт статически определимого ступенчатого стержня. Расчёт ступенчатого стержня иллюстрируется построением эпюр продольных сил, напряжений и продольных перемещений. В задании необходимо оценить и сделать вывод о прочности и жесткости стержня. В задаче 2 «Кручение» выполняется расчёт статически неопределимого вала. Расчёт иллюстрируется построением эпюр крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. В задаче 3 «Геометрические характеристики плоских сечений» определяется положение главных осей и производится вычисление главных моментов инерции сечений, составленных из отдельных элементов. Задача 4, 5 «Изгиб», «Перемещение» посвящена расчёту двух балок на изгиб, в которых производится построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор различных типов сечений и определение перемещений. Задачи 6, 7, 8 «Сложное сопротивление и устойчивость» включает: В задаче 6 выполняется расчет на прочность при внецентренном сжатии колонны. В задаче 7 определяются размеры вала при изгибе с кручением. Расчёт иллюстрируется построением эпюр внутренних усилий и напряжений. В задаче 8 выполняется расчёт центрально сжатой стойки на устойчивость. Задача 9 «Динамическое нагружение». В задаче 8 определяется расчет балки при ударе. При выполнении контрольной и практических работ следует придерживаться следующих требований (при их нарушении работа не рассматривается): 1. Студент обязан для каждой задачи взять из таблиц номер расчётной схемы и числовые данные в соответствии с номером (шифром) своей зачетной книжки и буквами русского алфавита, которые следует расположить под шифром, например: шифр буквы 2 а 7 б 3 в г 5 д. 15 Вертикальные столбцы таблиц задач обозначены внизу определённой буквой (а, б, в, г или д). Надо взять только одно число, стоящее в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Каждую задачу нужно начинать с выбора схемы по первому столбцу таблиц, далее из других столбцов выписать числовые значения тех величин, которые показаны на выбранной схеме. Например, для варианта Аз – 60235 исходные данные для задачи 1 (стр. 19) выписываем из табл. 2.1: схема V; l1 = 62 см, l2 = 72 см, l3 = 30 см; А1 = 8 см2, А2 = 6 см2, А3 = 4 см2; F1 = 80 кН, F2 = 80 кН, F3 = 80 кН. 2. В заголовке контрольной работы должны быть чётко написаны: номер контрольной работы, название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью). 3. Контрольную работу следует выполнять на листах писчей бумаги формата А4. Печать с одной стороны. Допускаются и рукописные работы. 4. Перед решением каждой задачи надо написать полностью её условие с числовыми данными, составить аккуратный эскиз в масштабе и указать все величины, необходимые для расчёта. 5. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными и грамотными, без сокращения слов, объяснениями и чертежами, на которых все входящие в расчёт величины должны быть представлены числами. Надо избегать многословных пояснений и пересказа учебника. 6. Необходимо приводить размерность всех величин. При решении задач используется международная система единиц (СИ), которая в настоящее время обязательна во всех областях науки и техники. 7. Не следует вычислять большое число значащих цифр, следует ограничиваться 3–5 цифрами в зависимости от смысла вычисляемой величины. 8. После проверки контрольной работы преподавателем студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки в соответствии со сделанными ему замечаниями. Отдельно от работы исправления не принимаются и не рассматриваются. 16 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОМАТА МЕТОД СЕЧЕНИЙ Объектом изучения сопротивления материалов является прямой брус – тело, длина которого значительно больше его поперечных размеров. Под действием внешних сил (нагрузок), приложенных к брусу, он деформируется. В сопротивлении материалов рассматриваются только упругие деформации, т. е. такие деформации, которые исчезают после снятия нагрузки. Деформации могут быть линейными, характеризующими изменение размеров тела, и угловыми, свидетельствующими об изменении формы тела. Перемещения неразрывно связаны с деформациями – как линейными, так и угловыми. Перемещаться могут отдельные точки, линии, сечения, участки конструкции. Линейное перемещение характеризуется расстоянием между новым и прежним положением точек, сечений и т. д., угловое – изменением положения линий, сечений и др. Все частички внутри ненагруженного тела находятся в равновесном состоянии. Под действием внешних сил тело деформируется, расстояния между частицами нарушаются, в связи с чем появляются элементарные силы механического взаимодействия, стремящиеся возвратить частички в прежнее положение. Эти силы называются внутренними, их размерность – ньютон (Н). Они являются упругими, т. к. исчезают после снятия нагрузки. Для определения внутренних сил используют метод сечений, который заключается в следующем: нагруженное тело мысленно рассекается плоскостью (перпендикулярно его оси) на две части, одна из которых отбрасывается (рис. 1.1, а). К сечению оставшейся части прикладываются силы, действовавшие до разреза (внутренние силы). Оставшаяся часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и внутренних сил (рис. 1.1, б). Qy y F2 F2 My F2 F1 xN Mx F3 Fn F3 а) б) Рис. 1.1 Qz Mz в) z F3 17 Силы, действующие в сечении, можно привести к центру тяжести сечения и разложить по координатным осям (рис. 1.1, в), получив 6 силовых факторов: N – продольная сила; Q y , Qz – поперечные силы; M x – крутящий момент; M y , M z – изгибающие моменты, которые определяются из уравнений равновесия:  Fx  0,  M x  0;  Fy  0,  M y  0; (1.1)  Fz  0,  M z  0. Напряжение – это мера интенсивности распределения внутренних сил в точке. В поперечном сечении бруса выделим вокруг точки К элементарную площадку A (рис. 1.2), тогда на ней возникает элементарная сила F . Полное напряжение P в точке K определяется по формуле: P  lim F A0 A . (1.2) В качестве единицы измерения напряжения в системе СИ принят Н Паскаль:  Пa  =  2  . м  F2 σ A K τ K F F3 Рис. 1.2 P Рис. 1.3 Полное напряжение P можно разложить на составляющие (рис. 1.3): τ – касательное напряжение, действует в плоскости сечения; σ – нормальное напряжение, действует по нормали к плоскости сечения. 18 Тема 1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (N), а все остальные усилия равны нулю. Правило знаков: растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 2.1, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 2.1, б). N N а) N N б) Рис. 2.1 Продольная сила в произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, причем если внешняя сила растягивает отсеченную часть стержня, то ее следует брать со знаком «плюс». Для наглядного изображения распределения усилий по длине бруса строят эпюру продольных сил. Эпюра – это график, показывающий изменение усилий по длине бруса. При построении эпюры аргументом является координата поперечного сечения, а функцией – продольная сила. В поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле: N σ , (2.1) A где A – площадь поперечного сечения. Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях по длине бруса строится эпюра нормальных напряжений. При ее построении аргументом является координата поперечного сечения, а функцией – нормальное напряжение. Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид: 19 N max (2.2)  σadm , A где σmax и Nmax – соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном сечении, т. е. в сечении, где возникают наибольшие напряжения; σadm – допускаемое напряжение. σ max  Допускаемое напряжение зависит от предела текучести σ y (для пластичных материалов): σ adm  σy (2.3) [ n] или от предела прочности σu (для хрупких материалов): σ (2.4) σ adm  u , [ n] где [n] – нормальный коэффициент запаса прочности. Изменение длины бруса l (удлинение или укорочение), имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что продольная сила во всех сечениях одинакова, определяется по формуле: N l l  , (2.5) EA где N – продольная сила в сечении; l – длина бруса; E – модуль упругости – физическая константа, характеризующая жесткость материала при линейной деформации (определяется по таблице справочника), для стали E  2 105 МПа, A – площадь поперечного сечения бруса. Произведение EA называется жесткостью сечения бруса при растяжении-сжатии. В случае, если брус имеет ступенчато-переменное сечение, то изменение его длины определяется как сумма изменений длин участков, в пределах каждого из которых A  const , N  const : n N i li (2.6) . i 1 i 1 EAi Перемещением сечения (λ) называется изменение положения сечения относительно неподвижного сечения (опоры). Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение  произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. n l   li =  20 Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине. Эпюру перемещений следует строить от защемленного конца бруса, для которого λ  0 . Задача 1 Стальной ступенчатый стержень находится под действием продольных сил, приложенных по концам или в центре соответствующего участка (рис. 2.2). Требуется: 1. Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. 2. Оценить прочность стержня, если  adm  160 МПа Данные взять из табл. 2.1. Таблица 2.1 № строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Схема по рис. 2.2. I II III IV V VI VII VIII IX X д Длина участков l , см Площадь поперечного сечения A, cм2 Нагрузка F , кН l1 l2 l3 A1 A2 A3 F1 F2 F3 30 40 50 60 70 62 52 42 32 26 а 70 66 60 56 50 46 40 62 52 72 б 20 30 40 50 60 70 66 56 46 36 в 4 6 8 10 12 10 8 6 4 10 г 12 10 10 6 4 6 10 10 12 8 а 6 8 12 4 8 12 4 8 6 4 б 60 80 120 60 120 160 100 120 60 120 в 80 60 80 40 100 120 80 100 80 100 г 100 120 40 100 80 60 40 80 100 80 д 21 Схемы к задаче 1 II I II I 2 F3 l3 F2 l2 l3 À3 À3 F2 l2 À2 l1 F3 А1 l3 À3 F2 À2 l2 F1 l1 F1 À2 F3 À1 l1 À1 F1 IV V F1 F2 l2 À2 À3 l3 À2 F2 l1 À1 F3 F1 A3 l3 l3 l3 l1 VI À1 l2 l1 À1 F1 À2 F2 F3 À3 F3 VII I VII À3 l l3 F3 l2 l1 F2 F1 IX F1 À1 À3 l3 3 À2 l2 l1 F3 F2 F3 À2 À1 l2 l1 À3 F1 À2 F2 À 1 22 X À3 l3 l2 l1 F2 F1 À2 À1 F3 Рис. 2.2 Пример решения задачи 1 Для заданного стального стержня (рис. 2.3, а) требуется: 1. Построить эпюры N, σ, λ. 2. Оценить прочность бруса, если σadm  160 МПа, F1  40 кН, А3  10 см2 , l1  30 cм , . l3  50 см Решение: 1. Разбиваем стержень на участки. Для данного стержня получается 6 участков. 2. Строим эпюру продольных усилий (эпюра N ). Продольную силу в поперечном сечении определяем, проецируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса. N1 = 0 кН; N2 = F1= 40 кН; N3 = F1= 40 кН; N4 = F1 – F2 = 40 – 120 =80 кН; N4 = F1 – F2 = 40 – 120 =80 кН; N5 = F1 – F2 = 40 – 120 =80 кН; N6 = F1 – F2 + F3 = 40 – 120 + 180 = 100 кН; F2  120 кН, F3  180 кН, A1  5 cм2 , Эпюру N начинаем строить со свободного конца, то есть с I участка. 3. Строим эпюру нормальных напряжений (эпюра  ). 23 Для этого определим нормальные напряжения на каждом участке: 1  0 ; 2  N 2 40  103   80 МПа ; A1 5  10  4 3  N 3 40 103   40 МПа A2 10 104 4  N 4  80 103   80 МПа A2 10 104 5  N 5 80 103   80 МПа A3 10 104 6  N 6 100 103   100 МПа A3 10 104 По полученным значениям строим эпюру  (рис. 2.3, в). 4. Проверяем прочность стержня:  max  100МПа   adm  160МПа Условие прочности выполняется. 5. Построим эпюру перемещений (эпюра  ). Для этого определим перемещения характерных сечений, в каждом из которых они равны сумме перемещения предыдущего сечения ( i1 ) и деформации участка ( li ): i  i 1  li , где Δl относительное удлинение. По границам участков, начиная от жесткой заделки (где   0 ) отмечаем буквами (a, b, c, d, e, f) характерные сечения (рис. 2.3, а). λà  0; λb  λ а  lаb  λ а  N6  l3 3 2  100 10  0, 25  1, 25 104 (м); E  A3 2 1011 10 104 24 λ c  λb  lсb  λb  N5  l3 2 2  1, 25 104  80 10  25 10  E  A3 2 1011 10 104 3  (1, 25  1) 104  0, 25 104 (м);  d   c   cd   c  N4  l2 2 2  0,25 10  4  80 10  30 10  E  A2 2 1011  8 10  4 3  0,25  1,5 10  4  1,25 10  4 м  ;  e   d   de   d  N 3  l2 2 2  1,25 10 4  40 10  30 10  E  A2 2 1011  8 10 4 3   1,25  0,75 10 4  0,5 10 4 м  ;  h  le   eh   e  N 2  l1 2 2  0,5 10 4  40 10 15 10  E  A1 2 1011  5 10 4 3  0,5 10 4  0,6 10 4  0,1 10 4 м  ;  g   h  lhg  0,1  10 4  0  0,1  10 4 м  . По полученным значениям строим эпюру λ (рис. 2.3, г). 25 Эпюра σ Эпюра N а) l3 А3 l2 А2 l1 А1 б) a a F b 3 a ac a дa F е a ha 2 кН 6  МПа  м в) г) 100 100 5 Эпюра λ  10 1,25 80 4 80 0,25 100 1,25 40 3 40 2 80 0,5 F1 1 g aа) 0,1 в) б) Рис. 2.3 г) 4 26 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ТЕМА 1. Основные понятия Литература: [1, гл. 1], [2, гл. 1, гл. 2]. Цель учебной дисциплины «Сопротивление материалов». Основные определения. Реальный объект и расчётная схема. Классификация тел по геометрическим параметрам. Гипотезы о свойствах материала. Классификация внешних сил. Опорные устройства и реактивные силы. Внешние силы, метод сечений и внутренние усилия. Виды простого и сложного сопротивления. Напряжения: полные, нормальные, касательные. Деформации линейные и угловые. Перемещения. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение прочности и жестокости. 2. Дайте определение напряжения и деформации. 3. Какие деформации называют упругими, какие – остаточными? 4. В чём различие между деформациями и перемещениями? 5. Какие напряжения называют полными, нормальными, касательными? 6. В чём заключается сущность метода сечений? 7. Что такое внутренние силы? Как они определяются? ТЕМА 2. Растяжение и сжатие Литература:[1, гл. 2], [2, гл. 4 и 5]. Определение центрального растяжения-сжатия. Продольная сила и её эпюры. Нормальные напряжения в поперечном сечении, условие прочности. Три вида расчетов: проектировочный, проверочный, определение допускаемой нагрузки. Экспериментальное изучение механических характеристик материалов. Диаграммы напряжений: условная и истинная. Закон Гука при одноосном растяжении-сжатии. Механические характеристики прочности пластичности. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса прочности. Деформации продольные и поперечные, коэффициент Пуассона. Перемещения поперечных сечений и их эпюры. Потенциальная энергия упругой деформации. Статически неопределимые задачи: методика раскрытия неопределимости, температурные и монтажные напряжения. Вопросы для самопроверки: 1. Дайте определение растяжению-сжатию. 2. Как строится диаграмма растяжения или сжатия? 27 3. Что называется пределом пропорциональности, упругости, текучести, прочности? 4. Как формулируется закон Гука? 5. Что называется удельной работой разрушения? 6. В чём разница между пластичными и хрупкими материалами? 7. Как формулируется условие прочности? 8. Что называется коэффициентом запаса прочности? 9. Какие задачи называют статически неопределимыми и каков порядок их расчета? 28 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной 1. Дарков, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989 (и других лет издания). – 624 с.: ил. 2. Ицкович, Г. М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / Г. М. Ицкович, Л. С. Минин, А. И. Винокуров. – М.: Высшая школа, 1999.– 592 с.: ил. 3. Писаренко, Г. С. Сопротивление материалов / Г. С. Писаренко, В. А. Агарёв, А. Л. Квитка и др.; ред. Г. С. Писаренко. – Киев: Вища школа, 1989 (и других лет издания) – 775 с. 4. Сопротивление материалов: методические указания и контрольные работы для студентов-заочников всех специальностей технических высших учебных заведений / А. В. Дарков, Б. И. Кутуков – 14-е изд. – М.: Высшая школа, 1985. – 35 с. Дополнительный 1. Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – 4-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 2004. – 560 с.: ил. 2. Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев и др. – Киев: Наукова думка, 1996 (и других лет издания) – 736 с.