Сопротивление материалов
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА
Чистопольский филиал «Восток»
Кафедра приборостроения
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Задачи к лекциям
для квалификации 200100 – бакалавр техники и технологии
Разработали:
доцент
А.В. Сачков,
старший преподаватель
А.В. Горелов
Чистополь 2013
СОДЕРЖАНИЕ
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ.............................................. 3
Эпюры внутренних усилий при растяжении и сжатии ............................. 3
Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Запас прочности ......... 4
СМЯТИЕ ................................................................................................................. 5
Деформация смятия. Условный расчет на прочность при смятии......... 5
СРЕЗ ......................................................................................................................... 6
Расчет на прочность при срезе........................................................................ 6
КРУЧЕНИЕ ............................................................................................................ 7
Эпюры внутренних моментов при кручении .............................................. 7
Расчет на прочность вала при кручении ...................................................... 9
ИЗГИБ ................................................................................................................... 11
Эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов
при изгибе.......................................................................................................... 11
Расчет на прочность балки при изгибе ....................................................... 13
Определение прогиба и углов поворота сечения балки .......................... 14
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ .................................................................... 17
Расчет на прочность валов при совместном действии изгиба и
кручения ............................................................................................................ 17
2
Лекция №2
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Эпюры внутренних усилий при растяжении и сжатии
Пример 1
Задание.
Болтовое
соединение
(рис. 2.1)
нагружено
осевой
растягивающей силой Fa 1000 Н. В соединении болт М6 с наружным
диаметром
резьбы
d 6 мм
и
внутренним
диаметром
резьбы
d1 5,621 мм, затянут гайкой с моментом затяжки Tзат 720 Нмм.
Принять приблизительно осевую силу затяжки болта Fзат
Tзат
и
0,2d
построить эпюру внутренней продольной силы болта.
Рис. 2.1. Болтовое соединение
Решение. Руководствуясь приведенной выше последовательностью,
построим расчетную схему болта затянутого гайкой (рис. 2.2). Находим
реакцию R в опоре из уравнения равновесия
R Fзат Fa , Fзат
720
600 Н ,
0,2 6
R 600 1000 1600 Н .
Далее, под расчетной схемой построим нулевую линию параллельную
детали. Разбиваем деталь на участки, в данном случае он один. Методом
сечения рассекаем деталь на две части, отбрасываем левую часть и с учетом
правила знаков записываем уравнение равновесия для внутренней силы N в
3
сечении.
N Fзат Fa , N 1600 H .
Строим эпюру (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Расчетная схема и эпюра растягивающей силы
Лекция №4
Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Запас прочности
Пример 2
Задание. Рассчитать болт на прочность при растяжении. Необходимые
данные взять из примера 1. Предположить, что болт сделан из стали 20.
Пределы прочности для стали т 260 МПа .
Решение. Нормальное напряжение в детали при растяжении
р
N 4 Fзат
,
Sр
d12
S р – площадь сечения.
Подставляя исходные данные, находим
р
4 1600
64,5 МПа .
3,14 5,6212
Условие прочности выполняется
64,5 МПа 260 МПа .
Пример 3
Задание. Определить запас прочности болта. Необходимые данные
4
взять из примера 2.
Решение. Для детали запас прочности
n
260
10,7 .
24,2
СМЯТИЕ
Деформация смятия. Условный расчет на прочность при смятии
Пример 4
Задание. На шпонку размерами b h l (2×2×6, мм) со стороны
ступицы зубчатого колеса редуктора действует сила F
2T
, которая
d
пытается провернуть колесо на валу редуктора, вызывая смятие на боковых
поверхностях шпонки (рис. 4.1). Крутящий момент T 500 Нмм , диаметр
d 6 мм , размер k h t1 , t1 1,2 мм .
Рис. 4.1. Схема нагружения шпонки при смятии
Сделать проверочный расчет шпонки на смятие. Материал шпонки сталь
30, в 510 МПа .
Решение. При смятии должно выполняться условие прочности
см см ,
где см – предел прочности при смятии см 0,8 в , см – нормальное
напряжение в детали при смятии
5
см
F
2T
2T
,
S cм dlk dl h t1
S cм – площадь поверхности смятия.
Подставляя исходные данные, находим
см
2 500
34,7 МПа ,
6 6 2 1,2
см 0,8 510 408 МПа ,
34,7 МПа 408 МПа .
Условие прочности выполняется.
СРЕЗ
Расчет на прочность при срезе
Пример 5
Задание. На шпонку размерами b h l (2×2×6, мм) со стороны
ступицы зубчатого колеса редуктора действует сила F
2T
, которая
d
пытается провернуть колесо на валу редуктора, вызывая внутреннюю
перерезывающую силу Q в сечении шпонки А – А (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Схема нагружения шпонки при срезе
Сделать проверочный расчет шпонки на срез. Необходимые данные
взять из примера 4.
6
Решение. При срезе должно выполняться условие прочности
– предел прочности при срезе 0,3 ,
ср ср ,
где
ср
ср
в
ср – касательное
напряжение в детали при срезе
ср
Q
F
2T
,
S cр S cр dbl
S cр – площадь срезаемого сечения (прямоугольного сечения в данном
случае).
Подставляя исходные данные, находим
ср
2 500
13,9 МПа ,
626
0,3 510 153 МПа ,
ср
13,9 МПа 153 МПа .
Условие прочности выполняется.
Лекция №7
КРУЧЕНИЕ
Эпюры внутренних моментов при кручении
Пример 6
Задание. На выходной вал редуктора действует со стороны зубчатого
зацепления сила Fn 56 180 Н (рис. 7.1), которая нагружает вал крутящим
моментом T .
7
Рис. 7.1. Схема нагружения выходного вала в пространстве
Окружная сила в зацеплении Ft 56 Fn 56 cos 20 , диаметр колеса
d 6 50 мм . Построить эпюру крутящего момента на валу.
Решение. Руководствуясь приведенной выше последовательностью,
построим расчетную схему вала (рис. 7.2). Крестиками покажем места
приложения и снятия крутящего момента. Далее, под расчетной схемой
построим нулевую линию параллельную детали.
Разбиваем деталь на участки, в данном случае он один. Методом
сечения рассекаем деталь на две части, отбрасываем левую часть и с учетом
правила знаков записываем уравнение равновесия для крутящего момента T
в сечении.
T Ft 56
d6
d
Fn56 cos 20 6 ,
2
2
T 180 cos 20
Строим эпюру (рис. 7.2).
8
50
4288,6 Hмм
2
Рис. 7.2. Расчетная схема и эпюра крутящего момента
Расчет на прочность вала при кручении
Пример 7
Задание. На вал редуктора действуют две окружные силы со стороны
зубчатого зацепления Ft12 20 Н и Ft 34 (рис. 7.3), которые нагружают вал
крутящим моментом T .
Рис. 7.3. Схема нагружения вала в пространстве
Материал вала сталь со значением предела прочности при кручении
10 МПа .
кр
Построить
эпюру
крутящего
момента
и
сделать
проектировочный расчет вала, предположив, что в сечении вала действует
9
только крутящий момент. Диаметр колеса d1 50 мм .
Решение. Построим расчетную схему вала (рис. 7.4). Методом сечения
рассекаем вал на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила
знаков записываем выражение для внутреннего момента в сечении.
T Ft12
T 20
d1
,
2
50
500 Нмм .
2
Строим эпюру (рис. 7.4).
Рис. 7.4. Расчетная схема и эпюра крутящего момента
Далее найдем d – диаметр вала
d 3
d 3
T
,
0,2 кр
500
6,3 мм .
0,2 10
Исходя из конструктивных соображений (учтя, что вал будет находиться
в подшипниках), увеличим полученное значение до целого числа,
окончательно приняв d 7 мм .
10
Лекция №8
ИЗГИБ
Эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов
при изгибе
Пример 8
Задание. На выходной вал редуктора (рис. 8.1) действует со стороны
зубчатого зацепления сила Fn 56 60 Н , которая нагружает вал изгибающим
моментом M и перерезывающей силой Q . Принять l1 2d , l 2 3d ,
d 6 мм – диаметр вала. Построить эпюры перерезывающей силы и
изгибающего момента на валу. Недостающие данные взять из примера 6.
Решение. Найдем l1 и l 2
l1 2d 2 6 12 мм ,
l 2 3d 3 6 18 мм .
Построим расчетную схему выходного вала (рис. 8.1) с указанием
опорных реакций. Делим вал на два участка. За участок принимаем отрезок
вала между точками приложения активных и реактивных сил. Далее находим
численные значения реакций опор. Для этого составляем уравнения
равновесия для моментов.
M A 0,
RB l1 Fn56 l1 l 2 0 ,
RB
Fn56 l1 l 2 6012 18
150 Н ,
l1
12
MB 0,
R Al1 Fn56 l 2 0 ,
RA
Fn56 l 2 60 18
90 Н .
l1
12
Сделаем проверку. Сумма всех сил должна быть равна нулю.
11
RB R A Fn 56 150 90 60 0 .
Построим эпюру перерезывающей силы. Методом сечения рассекаем
вал на первом участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом
правила знаков записываем выражение для внутренней силы в сечении на
первом участке.
QI Fn56 ,
QI 60 Н .
Затем рассекаем вал на две части на втором участке, отбрасываем левую
часть и записываем выражение для внутренней силы в сечении на втором
участке.
QII Fn56 RB ,
QII 60 150 90 Н .
Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Расчетная схема и эпюры перерезывающей силы и
изгибающего момента
Построим эпюру изгибающего момента. Методом сечения рассекаем вал
12
на первом участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила
знаков записываем выражение для изгибающего момента в сечении на
первом участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала
зависит от расстояния x1 между точкой приложения силы создающей момент
и точкой сечения.
M I Fn56 x1 0 x1 l 2 ,
M I 0 x1 0 ,
M I 60 18 1080 Нм x1 l 2 .
Затем рассекаем вал на две части на втором участке, отбрасываем левую
часть и записываем выражение для изгибающего момента в сечении на
втором участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала
зависит от расстояния x2 между точкой приложения силы создающей
момент и точкой сечения.
M II Fn56 l 2 x2 RB x2 0 x2 l1 ,
M II 60 18 1080 Нм x2 0 ,
M II 6018 12 150 12 0 x2 l1 .
Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 8.1). Из эпюры
видно, что опасное (наиболее нагруженное) сечение проходит через опору
B.
Лекция №10
Расчет на прочность балки при изгибе
Пример 9
Задание. Сделать проверку вала на прочность при изгибе. Материал
вала сталь 20 т 250 МПа . Недостающие данные взять из примера 8.
Решение. Должно выполняться условие прочности
и max и .
Так как сталь 20 пластичный материал и ведет себя одинаково при
растяжении и сжатии, то и т 250 МПа .
13
Максимальное нормальное напряжение в детали при изгибе
и max
М max M max
,
Wос
0,1d 3
Wос – осевой момент сопротивления сечения (круглого сечения в данном
случае).
и max
M max 1080
50 МПа .
3
3
0,1d
0,1 6
50 МПа 250 МПа ,
и max и .
Условие прочности выполняется.
Лекция №11
Определение прогиба и углов поворота сечения балки
Пример 10
Определить прогибы и углы поворота поперечных сечений консольной
балки длины l , показанной на рис. 11.1, под действием нагрузки F .
Жесткость балки на изгиб EJ z . Построить эпюры внутренних силовых
факторов.
Рис. 11.1. Схема нагружения консольной балки
Решение. Построим эпюры Q M z , по длине балки.
Составляем расчетную схему (рис. 11.2). Делим балку на участки. В
данном случае он один. Далее находим численные значения реакций опор
M и R . Для этого составляем уравнения равновесия.
14
M A 0,
Fl M 0 ,
M Fl .
X 0,
R F 0,
RF.
Построим эпюру перерезывающей силы. Методом сечения рассекаем
балку на участке на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила
знаков записываем выражение для внутренней силы в сечении на первом
участке.
QI F .
Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 11.2).
Рис. 11.2. Расчетная схема и эпюры перерезывающей силы и
изгибающего момента консольной балки
Построим эпюру изгибающего момента. Методом сечения рассекаем
балку на две части, отбрасываем левую часть и с учетом правила знаков
записываем выражение для изгибающего момента в сечении на первом
участке. Изгибающий момент в сечении оставшейся части вала зависит от
15
расстояния x1 между точкой приложения силы создающей момент и точкой
сечения.
M I Fx1 0 x1 l ,
M I 0 x1 0 ,
M I Fl x1 l .
Строим эпюру согласно полученным значениям (рис. 11.2).
Определим прогиб, используя дифференциальное уравнение упругой
линии. С учетом направления оси y
y' '
Интегрируя
один
раз,
M z x M I
Fx
.
EJ z
EJ z
EJ z
получим
выражение
для
угла
поворота
поперечных сечений
Fx
F
F x2
x y '
dx C
C,
xdx C
EJ z
EJ z 2
EJ z
где C – константа интегрирования, для ее определения воспользуемся
сечениями, где мы заранее знаем значения . Например, в точке A , l 0 .
Таким образом
F l2
l
C 0,
EJ z 2
F l2
C
.
EJ z 2
Аналитическое выражение для угла поворота сечений имеет вид
F x2
F l2
.
x
EJ z 2 EJ z 2
Интегрируя второй раз полученное выражение, определим прогибы
балки
16
F x2
F x2
y x
C dx D
dx C dx D
2
2
EJ
EJ
z
z
F x3
Cx D
EJ z 6
Константу интегрирования D определяем из условия равенства нулю
прогиба в точке A
F l3
F l3
y l
D 0,
EJ z 6 EJ z 2
F l3
D
EJ z 3
Аналитическое выражение для прогиба примет вид
F x3
F l2
F l3
.
yx
x
EJ z 6 EJ z 2
EJ z 3
При x 0 прогиб будет максимален
F l3
.
y 0
EJ z 3
Знак
минус
означает,
что
балка
прогибается
в
сторону
противоположную положительному направлению оси y
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Лекция №13
Расчет на прочность валов при совместном действии изгиба и
кручения
Пример 11
Задание. На выходной вал редуктора действует со стороны зубчатого
зацепления сила Fn 56 , которая нагружает вал изгибающим моментом M и
перерезывающей силой Q и крутящим моментом T . Окружная сила в
зацеплении
Ft 56 Fn56 cos 20 . Диаметр колеса d 6 40 мм . Сделать
17
проверку на прочность выходного вала. Материал вала сталь со значением
предела прочности III
0,33
в , в 440 МПа . Недостающие данные
3,8
взять из примера 8.
Решение. Так как вал испытывает сложное сопротивление (изгиб и
кручение), воспользуемся для расчета теорией прочности. Примем в качестве
расчетной четвертую теорию прочности, так как она наиболее полно и точно
подтверждается экспериментами. Согласно этой теории
2
2
T
M
3
3
3
,
1
d
,
2
d
По условию (из примера 8) Максимальный изгибающий момент
M 1080 Нмм , d 6 мм ,
III 0,33 в 0,33 400 34,7 МПа .
3,8
3,8
Найдем крутящий момент T
T Ft 56
40
d
d
Fn56 cos 20 60 cos 20 1127,6 Нмм .
2
2
2
Подставляя получим
2
эквIV
2
M
T
3
3
3
,
1
d
,
2
d
2
2
1080
1127,6
3
67,4 МПа
3
3
,
1
6
,
2
6
эквIV .
Условие прочности не выполняется. Для выполнения условия прочности
можно увеличить диаметр вала. Найдем безопасный диаметр вала из условия
прочности.
18
2
2
M
T
d 6
3
,
1
,
2
2
2
1080
1127,6
6
3
7,3 мм
,
1
37
,
4
,
2
37
,
4
Исходя из конструктивных соображений (учтя, что вал будет находиться
в подшипниках), увеличим полученное значение до целого числа,
окончательно приняв d 8 мм .
19