Случайные величины.

Тема 2. Случайные величины и их числовые характеристики. Лекция № 4. Случайные величины. План: §1. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины. §2. Дискретные случайные величины. Примеры распределений. §3. Непрерывные случайные величины. Примеры распределений. §4. Нормальный закон распределения. §1). Рассматривая приведенные ранее примеры случайных экспериментов (подбрасывание игрального кубика, подбрасывание монеты, выбор шара из урны), мы видим, что в большинстве случаев результат случайного эксперимента может быть описан некоторым числом. В частности, при подбрасывании игрального кубика, результат есть число выпавших очков из следующих возможных: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, так как оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены.В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины. Будем далее обозначать случайные величины греческими буквами ξ, η и т. д., а их возможные значения – соответствующими строчными латинскими буквами x, y, z. Например, если случайная величина ξ имеет три возможных значения, то они обозначаются так: х 1, х2, х3. Можно сказать, что какие именно числовые значения СВ ξ мы будем иметь в результате данного конкретного эксперимента, однозначно определяется осуществившимся в результате данного случайного эксперимента элементарным исходом u, а это означает, что СВ ξ является числовой функцией аргумента u. Сформулируем строгое определение СВ ξ. Пусть U={u} – множество элементарных исходов, S – сигма-алгебра событий, Р – определенная на S вероятностная функция, т. е. тройка (U, S, P) определяет вероятностное пространство. Определение 1. Случайной величиной называется действительная функция ξ= ξ(u), определенная на множестве U, если для любого x  R множество тех исходов u, для которых ξ(u)0, m=0, 1, 2, …Постоянная λ называется параметром распределения Пуассона. Таблица распределения для закона Пуассона выглядит следующим образом: ξ pm 1   e 1! e … 2  2 2! …  e  …  …  e  m m m! Проверим выполнение теоремы 1 (воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции еλ):  m  m! m 0  e   e   (1    2 2!  ...  m m!  ...)  e   e   1 . §3). Если СВ ξ принимает любые значения из некоторого промежутка (a,b), то она относится ко второму типу СВ. Определение 6. Случайная величина ξ называется непрерывной (НСВ), если существует неотрицательная функция р такая, что x  R функция f(х) удовлетворяет равенству 3 x F ( x)   f (t )dt ,  где F – функция распределения СВ ξ. Функция f(х) называется плотностью распределения СВ ξ. Функция распределения F(x) НСВ ξ непрерывна на всей числовой прямой. Для НСВ ξ при любом конкретном значении x0  R имеет место равенство Р(ξ = х0) = 0, т. е. вероятность каждого отдельного значения для НСВ равна нулю. Функция плотности распределения р(х) СВ ξ обладает следующими свойствами: 1). Функция f ( x)  0 на всей области определения. Д-во: следует из О. 6. 2). Для любых x1, x2  R вероятность события ( x1    x2 ) , если ξ – НСВ, вычисляется по формуле b P (a    b)   f ( x)dx . a Д-во: По свойству 5 функции распределения и по О. 6, получим: P(a    b)  F (b)  F (a)  Для 3). любых b a a b a b    a  a  f ( x)dx   f ( x)dx  (  f ( x)dx   f ( x)dx)   f ( x)dx   f ( x)dx . x1, x2  R вероятности событий совпадают: P (a    b)  P (a    b)  P ( a    b)  P (  a; b ) и равны: b P (  a; b )   f ( x)dx . a Геометрическая интерпретация свойства 3: P(  a; b )  SD , где D – это фигура. ограниченная сверху графиком функции плотности y=f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми х=а и х=b соответственно (см. рис. 1).  4).  f ( x)dx  1.  Геометрическая интерпретация свойства 4: Площадь криволинейной трапеции D, ограниченной сверху графиком функции плотности y=f(x), а снизу – осью Ох, равна 1 (см. рис. 2). 5). x  D f ( x ) функция плотности НСВ ξ f(х) есть производная функции распределения F(x) этой СВ в точке х, т. е. f ( x )  F ( x ) . 4 Определение 7. НСВ ξ называется равномерно распределенной на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.  1  , x  [ a, b] . f ( x; a, b)   b  a   0, x  [a, b] Постоянные a и b называются параметрами равномерного распределения. Так как график функции плотности равномерного распределения p (x) изображается в виде прямоугольника (см. рис. 3), то такое распределение также часто называют прямоугольным. Найдем, по формуле ( ), функцию распределения Fξ(x) равномерного закона: 1). Пусть xb. тогда 1 1 ba F ( x)   f (t )dt   0dt   dt   0dt  0   t ba  0  1. ba ba ba   a b x a b x Таким образом, функция равномерного распределения имеет вид: 0, x  a  x  a F ( x)   ,a  x  b . b  a 1, x  b  График функции Fξ(x) изображен на рисунке 4. Определение 8. Показательным или экспоненциальным называют распределение вероятностей НСВ ξ, если ее плотность распределения имеет вид  0, x  0 , f ( x; )   x   e , x  0 где θ>0. Постоянная θ называется параметром показательного распределения. Найдем функцию распределения показательного закона. 1). Пусть x<0, тогда F ( x)  x x    f (t )dt   0dt  0 . 2). Пусть x  0 , тогда 5 x F ( x)    x  x 1 f (t )dt   0dt    e x dt  0    ( )  e t d (t )   e t 0x  (e x  e 0 )  1  e x .  Таким образом, функция показательного распределения имеет вид  0, x  0 . F ( x)   x 1  e , x  0 Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рисунке 5. §4). Нормальное распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. Впервые оно рассматривалось А. Муавром еще в 1733 году. Некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто и изучено независимо друг от друга К. Гауссом (1809 г.) и П. Лапласом (1812 г.). Оба ученых пришли к нормальному закону в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Определение 9. НСВ ξ называется нормально распределенной (или распределенной по закону Гаусса), если ее плотность распределения задается формулой  1 f ( x; a,  )  e  2 2 ( x a )2 2 2 , где a,  2 - действительные числа, называемые параметрами нормального распределения (σ>0). Соответствующая функция распределения НСВ ξ, имеющей нормальное распределение, обозначается F(x; a, σ2) и, в соответствии с определением, задается соотношением x  1 F ( x; a,  )   e  2  2 ( t a )2 2 2 dt . Условимся называть нормальный закон распределения с параметрами a  0 и σ2=1 стандартным, а его функции плотности и распределения обозначать соответственно f(x; 0, 1) и F(x; 0, 1). На основе функции стандартного нормального распределения вводится функция Лапласа, которая имеет вид: x Ф( x)  1  t2 1   e 2 dt . 2 0 Задание: записать формулы, задающие функции f(x; 0, 1) и F(x; 0, 1). Функции f(x; 0, 1), F(x; 0, 1) и Ф(х) – табулированы, т. е. для них составлены статистические таблицы их значений в зависимости от различных значений аргумента х. Сформулируем специфические свойства нормального закона распределения, в основе которых лежит функция Лапласа: 1). Функция распределения нормальной СВ ξ - F(x; a, σ2) x  R удовлетворяет равенству: 6 F ( x; a ,  2 )  Ф ( xa  ) 1 , 2 где Ф(х) – это функция Лапласа ( ). 2). Вероятность того, что значение нормальной СВ ξ попадет в промежуток <х1, х2>, находится по формуле:  x a  x a P (  x1 , x2 )  Ф 2   Ф 1 .       Определение 10. Нормальной кривой (кривой Гаусса) называется график плотности нормального распределения, т. е. график функции  1 y e  2 ( x a )2 2 2 . Проведем полное исследование нормальной кривой и построим ее график. 1). В соответствии со свойствами показательной функции, нормальная кривая определена на всей оси Ох. 2). Так как параметр σ>0 по определению и ех>0 x  R , то при всех значениях х функция ( ) принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох. 3). Функция ( ) ни четная, ни нечетная, не периодическая, но можно заметить, что разность (х-а) содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график нормальной кривой симметричен относительно прямой х=а. 4). Предел функции ( ) при неограниченном возрастании модуля аргумента равен нулю: lim y ( x)  x  1 lim  2 1 ( x a )2 e 2 2  1 1 lim  0, б.б.  2 х  x  т. е. ось Ох является горизонтальной асимптотой графика нормальной кривой. Других асимптот нет. 5). Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную: 7