Случайные величины. Дискретная случайная величина

1 Случайные величины. Дискретная случайная величина Большинство явлений и процессов характеризуется количественными параметрами, которые изменяются случайным образом, поэтому случайные величины являются основными объектами изучения и управления. Под случайной величиной (сокращённо с.в.) понимают величину, принимающую в результате опыта то или иное значение, причём заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z,…, а принимаемые ими значения − соответствующими малыми буквами x , y , z , ... С.в. называется дискретной (сокращённо ДСВ), если множество её значений конечное или счётное, она принимает отдельные изолированные друг от друга значения. Счётным называется бесконечное множество, элементы которого можно пере 1 1 1  нумеровать с помощью чисел натурального ряда, например, 1, , ,..., 2 ,... . n  4 9  Примеры ДСВ: Х − число очков, выпадающее при бросании игральной кости, Y − количество выстрелов до первого попадания в цель, Z − число вызовов, поступающих на телефонную станцию в единицу времени, S − число выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты. С.в. называется непрерывной (сокращённо НСВ), если множество её значений несчётное, она может принимать любые значения из некоторого промежутка . Примеры НСВ: X − время безотказной работы прибора, Y − расстояние от центра мишени до пробоины при попадании, Z − дальность полёта снаряда и т.д. Для полного описания случайной величины нужно указать закон её распределения. Законом распределения случайной величины называется любой способ (табличный, графический или аналитический) задания соответствия между множеством её возможных значений и вероятностями того, что с.в. примет то или иное значение из этого множества. 2 Универсальным способом задания закона распределения для любых случайных величин является задание функции распределения F ( x ) . Для дискретных случайных величин можно также задавать закон распределения в виде ряда распределения или многоугольника распределения, а для непрерывных – в виде плотности вероятности f ( x ) . Рассмотрим подробнее эти способы. Дискретная случайная величина (ДСВ) Пусть Х – дискретная случайная величина, имеющая n различных возможных значений x1 , x 2 , ..., x n . При этом случайные события A1 = {X = x1 } , образуют полную группу A2 = {X = x 2 } , ... , An = {X = x n } попарно несовместных событий. Обозначим p1 , p2 , ..., pn вероятности этих событий, т.е. pk = P {X = xk } , k = 1, 2, ..., n . Таким образом, каждому возможному значению xk ДСВ Х ставится в соответствие число pk , т.е. имеется функциональная зависимость между возможными значениями ДСВ и соответствующими вероятностями. Эта зависимость является простейшей формой закона распределения ДСВ. Таблица, в которой перечислены все возможные значения xk ДСВ Х и указаны их вероятности pk называется рядом распределения дискретной случайной величины Х. Ряд распределения изображен на рис. 1. Рис. 1 Значения xk обычно располагают в порядке возрастания. Поскольку события А1, А2,...,Аn образуют полную группу, сумма их вероятностей равна единице: n ∑ pk = 1 . k =1 Графически ряд распределения представляют в виде многоугольника распределения, который также называют полигоном распределения. При этом 3 на оси Ох откладывают xk , на оси Оу − pk , точки ( xk , pk ) соединяют ломаной. Пример. В корзине 3 зрелых и 5 незрелых яблок, наудачу берут 3. Написать ряд распределения ДСВ Х , равной количеству незрелых яблок среди отобранных. Решение. ДСВ Х может принимать значения 0, 1, 2, 3. Находим соответствующие вероятности: p1 = P {X = 0} = p3 = P {X = 2} = C50 ⋅ C33 C83 C52 ⋅ C31 C83 C51 ⋅ C32 15 1 , p = P {X = 1} = , = = 56 2 56 C3 8 = 30 , p = P {X = 3} = 56 4 C53 ⋅ C30 C83 = , 10 . 56 4 Проверка: ∑ pk = p1 + p2 + p3 + p4 = 1 . k =1 Ряд распределения ДСВ Х: Пример. Построить многоугольник распределения с.в. Х для ряда распределения, заданного таблицей: Решение. Многоугольник распределения изображён на рисунке : 4 Функция распределения случайной величины и её свойства Ряд распределения можно построить только для дискретной случайной величины, для непрерывной нельзя даже перечислить все её возможные значения. Универсальным способом задания закона распределения для любых случайных величин служит функция распределения. Функцией распределения F ( x ) случайной величины Х называется функция, которая для любого действительного значения x равна вероятности события {X < x} , т.е. F ( x) = P (X < x) , x ∈ ( −∞ , +∞ ) . (1) Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F ( x ) − это вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое на числовой оси изображается точкой, лежащей левее точки x , т.е. случайная точка Х попадёт в интервал ( −∞ , x ) : Свойства функции распределения 1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , т.к. это вероятность. 2. F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0 , т.к. F ( −∞ ) = P ( X < − ∞ ) = P ( V ) = 0 , где V – невозx →− ∞ можное событие. 3. F ( +∞ ) = lim F ( x ) = 1 , т.к. F ( +∞ ) = P ( X < + ∞ ) = P (U ) = 1, где U – достоx →+ ∞ верное событие. 4. P ( a ≤ X < b ) = F ( b ) − F ( a ) . Доказательство. Обозначим, как показано на рисунке, события: A = {X < a} , B = {X < b} , C = {a ≤ X < b} . 5 Очевидно, B = A + C , причём события А и С несовместны. По аксиоме сложения: P ( B ) = P ( A ) + P (C ) . Получили: P ( X < b ) = P ( X < a ) + P ( a ≤ X < b ) . F(b) F( a) откуда P ( a ≤ X < b ) = F ( b ) − F ( a ) – ч.т.д. 5. F ( x ) − неубывающая функция, т.е., если x1 < x 2 , то F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) . Доказательство. Пусть x1 < x 2 . В соответствии с пунктом (4): F ( x 2 ) − F ( x1 ) = P ( x1 ≤ X < x 2 ) ≥ 0 , т.к. вероятность не бывает отрицательной. Поэтому F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) . Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, её график имеет вид: Функция распределения дискретной случайной величины Вычислим функцию распределения ДСВ Х, имеющей ряд распределения Будем присваивать x различные значения и находить для них функцию распределения по формуле: F ( x ) = P ( X < x ) . Пусть x1 < x 2 < ... < x n . 1. Если x ≤ x1 , то событие {X < x} невозможное, т.к. у ДСВ нет значений, меньших x , следовательно, F ( x ) = 0 . 2. Если x1 < x ≤ x 2 , то событие {X < x} = {X = x1 } , F ( x ) = P ( X < x ) = P ( X = x1 ) = p1 . 6 3. Если x 2 < x ≤ x 3 , то событие {X < x} = {X = x1 } + {X = x 2 } , причём события в правой части равенства несовместны. По аксиоме сложения: F ( x ) = P ( X < x ) = P ( X = x 1 ) + P ( X = x 2 ) = p1 + p2 . 4. Действуя аналогично для каждого следующего промежутка, наконец, получим, что если x > x n , то событие {X < x} = {X = x1 } + {X = x2 } + ... + {X = x n } , причём события в правой части равенства несовместны. F ( x ) = P ( X < x ) = p1 + p2 + ... + pn = 1 . Окончательно получили: x ≤ x1 ; 0, p , x1 < x ≤ x 2 ;  1 x2 < x ≤ x3 ;  p1 + p2 , F (x) =   p1 + p2 + p3 , x 3 < x ≤ x 4 ; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  x > xn . 1, (2) График этой функции имеет вид: Пример. Найти функцию распределения для ДСВ Х, заданной рядом распределения: 7 Решение. По формуле (2) находим: 0, 0.3,  F (x) =  0.4, 1, x ≤ −2.4, − 2.4 < x ≤ 3.1, 3.1 < x ≤ 5.2, x > 5.2. .