Случайные события, алгебра событий, различные определения вероятности

ЛЕКЦИЯ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ, АЛГЕБРА СОБЫТИЙ, РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Определение. Пространство элементарных событий - это множество всех возможных взаимоисключающих исходов опыта. (Исход опыта -ω понятие неопределяемое, интуитивное.) Обозначается: Ω = (ω1 , ω2 ,..., ω n ,...) Определение. Случайное событие подмножество из Ω . Обозначается: A , B и т. д. это некоторое Пример 1. Сначала подбрасывается монета. Если выпал герб ( Г ) , то подбрасывается игральная кость, если решетка ( Р) , то снова подбрасывается монета. Имеем: Ω = {Г1, Г 2, Г 3, Г 4, Г 5, Г 6, РГ , РР}. А - выпало четное число очков; А = {Г 2, Г 4, Г 6}; В - выпала хотя бы одна «решетка»; В = {РГ , РР}. Определение. С называется объединением А и В (обозначается: С = А + В ), если в результате опыта проходит хотя бы одно из событий А или В . Определение. С называется произведением А и В (обозначается: С = А ⋅ В ), если в результате опыта происходят оба события А и В одновременно. События А и В называются равновозможными, если есть основания считать что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Пример 2. Бросаются две монеты. Г - присваивается одно очко, Р - ноль очков. Рассматриваются события: А → ∑ = 0 , В → ∑ = 1; С → ∑ = 2 . Очевидно, что В - выпадает чаще, чем А и C, т. е. эти исходы неравновозможны. Определение. Разностью событий А \ В называется множество элементов ω из Ω, ω ∈ А , но ω∉ В , противоположным событию А(А) называется множество элементов ω из Ω, ω ∉ А . Эти понятия хорошо иллюстрируются следующей диаграммой (рис 1). Прямоугольник соответствует Ω , А и В - овалы. Очевидны свойства этих операций: А + В = В + А, А + (В + С ) = ( А + В ) + С = А + В + С . А⋅ В = В ⋅ А, А ⋅ (В ⋅ С ) = ( А ⋅ В ) ⋅ С = А ⋅ В ⋅ С . А ⋅ (В + С ) = ( А ⋅ В ) + ( А ⋅ С ) . Однако не все арифметические свойства выполняются: например, вообще говоря, ( А + В ) \ В ≠ А . Определение. А и В - несовместны, если их произведениепустое множество ( А ⋅ В = ∅). Определение. Множество называется алгеброй событий, если оно является такой системой подмножеств Ω , что 1. Ω ∈ 2. если А ∈ , В∈ , то А + В ∈ , А\ В∈ . Пример 3. а) ={ Ω ,∅} - минимальная алгебра. = { А , А , Ω , ∅}- алгебра, порождённая событием А . б) в) - алгебра, порожденная системой всех (включая и пустое множество) подмножеств Ω . Вероятность (аксиоматическое определение) Рассмотрим и Ω. Определение. Вероятностью события называется действительное число, которое ставится в соответствие ∀А ∈ , (обозначается Р( А) ), такое что: 1. Р(Ω ) = 1 2. ∀А ∈ ⇒ 0 ≤ Р ( А) ≤ 1 , ∀В ∈ , А ⋅ В = ∅ ⇒ Р ( А + В ) = Р ( А) + Р ( В ) . 3. ∀А ∈ Соотношения 1), 2) и 3) называются аксиомами, и соответствующее определение Р( А) - аксиоматическими. Следствия: 1. Р (∅) = 0 Имеем: Ω + Ω = Ω , Ω ⋅ Ω = ∅, Ω = ∅, получим: Р(Ω + Ω ) = Р(Ω ) + Р(Ω ) = Р(Ω ) = 1 ⇒ Р (Ω ) = 0 , следовательно: Р (∅) = 0 . 2. При В ⊆ А , Р( А \ В ) = Р( А) − Р(В ) . Действительно, см. рис. 2, следует, что А = В + ( А \ В ), кроме того В ⋅ ( А \ В ) = ∅. Поэтому из аксиомы 3) получим: Р ( А) = Р ( В ) + Р ( А \ В ) ⇒ Р ( А \ В ) = Р ( А) − Р ( В ) . 3. Очевидно, что Р ( А) = 1 − Р ( А) , так как А + А = Ω и А ⋅ А = ∅, то по аксиоме 3) получим: Р(А + А) = Р (А) + Р( А) = Р(Ω ) = 1 ⇒ Р (А) = 1 − Р( А) . 4. Теорема сложения. Покажем, что если А ⋅ В ≠ ∅, то: Р ( А + В ) = Р ( А) + Р ( В ) − Р ( А ⋅ В ) . Действительно, см. рис. 1 [(а) - (с)] получим: А + В = А + (В \ ( А ⋅ В )) , кроме того: А ⋅ (В \ ( А ⋅ В )) = ∅ и В ⊇ ( А ⋅ В ) , используя аксиому 3) и свойство 2, имеем: Р( А + В ) = Р( А) + Р(В \ ( А ⋅ В )) = Р( А) + Р(В ) − Р( А ⋅ В ) . В общем случае для событий А1 , А2 ,..., Аn имеет место формула (теорема сложения)  n  n Р ∑ Ai  = ∑ P( Ai ) − ∑ ∑ P Ai ⋅ A j +  i =1  i =1 1≤ i < j ≤ n n  n   + ∑ ∑ ∑ P( A1 ⋅ A2 ⋅ Ak ) + ... + (− 1) P ∏ Ai  . 1≤ i < j < k ≤ n  i =1  Доказывается по индукции. ( Замечание 1. Ввиду целесообразно представлять несовместимых событий. ) сложности этого выражения событие А в виде суммы Замечание 2. Так как следствия 1-4 получены из аксиом 1)-3) при всех последующих определениях вероятности классическом, геометрическом, статическом, проверка выполнения аксиом - обязательна. Классическое определение вероятности Если Ω состоит из конечного числа n равновозможных элементов, , то для ∀A ∈ k Р ( A) = , n где k - число элементов из Ω принадлежащих А . Заметим, что из определения Ω = (ω1 , ω2 ,..., ωn ) следует, что ∀i ≠ j ⇒ ωi ∩ ω j = ∅. Проверку аксиом сделать самостоятельно. Пример 4. Найти вероятность того, что в примере 2 в сумме выпадет 2 очка. Решение: Рассмотрим 4 очевидно равновозможных события в примере 1. A1 = (Р, Р ) → ∑ = 0 A2 = (Р, Г ) → ∑ = 1 A3 = ( Г , Р ) → ∑ = 1 A4 = ( Г , Г ) → ∑ = 2 Имеем, по определению 1 Р( А4 ) = . 4 ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ЗАДАЧА О ВЫБОРКЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Определение. Перестановкой из n элементов называются последовательности по n элементов, отличающиеся порядком. Если Pn - число перестановок, то Pn = n!. Определение. Размещением из n элементов по m называются соединения из m элементов, взятых из n , отличающиеся составом и порядком. n! Α mn = , (n − m)! где Α mn - число размещений. Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются соединения из m элементов, взятых из n, отличающиеся только составом. n! Сnm = , m!(n − m )! где Cnm - число сочетаний. Доказывается по индукции. Принцип умножения. Пусть: Рассмотрим: A = {A1 , A2 ,..., An } B = {B1 , B2 ,..., Bm }. C = {A1B1 , A2 B1 ,..., Ai B j ,..., An Bm }. Очевидно, что С состоит из n ⋅ m элементов. Задача о выборке Имеется N приборов, из них n - бракованных. Наудачу выбираем M приборов из N . Найти вероятность того, что среди них m - бракованных (все приборы внешне одинаковы). Решение. При случайном выборе m элементов из N без учета порядка выбора получим всего С NM - равновозможных выборок. Благоприятствующими будут выборки при которых m бракованных приборов выбираются случайно из n , бракованных всего Cnm -равновозможных случаев, при этом остальные M − m приборов должны быть небракованными и выбираются из N − n небракованных. Число таких выборок равно C NM−−nm , по принципу умножения получаем, что число благоприятных случаев равно Cnm ⋅ C NM−−nm , а по классическому определению вероятности имеем: Сnm ⋅ C NM−−nm P (из M выбранных m - бракованных) = . C NM Пример 1. Написанное слово на картоне ЛИЛИИ разрезали по буквам, затем полученные карточки выкладываем в ряд наудачу. Какова вероятность того, что получится первоначальное слово. Решение: Для получения равновероятных исходов пронумеруем буквы Л1 , Л 2 , И1 , И 2 , И 3 . Всего возможно равновероятных исходов - P5 = 5!; благоприятными будут исходы, когда буквы Л1 , Л 2 стоят на 1-ом и 3-ем месте, или наоборот, т. е. 2 исхода, и одновременно 3 буквы И1 , И 2 , И 3 стоят на остальных местах в произвольном порядке - всего различных случаев будет 2!⋅3!= 12 . 12 1 Р= = . 120 10 Пример 2. В группе 10 студентов, из них 3 отличника. Наудачу (по номерам зачеток) выбрали 4-х студентов. Найти вероятность того, что среди них 2 отличника. Имеем: 4!6!3!7! 3 С32 ⋅ С71 Р= = = . 4 10!2!1!2!5! 10 С10 Геометрическое определение вероятности Пусть на отрезок АВ длины L наудачу брошена точка. При этом известно: 1) точка обязательно попадает на АВ 2) попадание точки на любой отрезок ∈ AB не зависит от места расположения этого отрезка, а зависит только от его длины 3) точка не может попасть одновременно на два непересекающихся отрезка, принадлежащих AB . Тогда вероятность того, что точка l попадет на отрезок A1B1 ∈ AB длины l , равна . L Это определение распространяется на любую область D с площадью S d и область d с площадью S d - вероятность попасть в S d при условиях, аналогичных 1)-3) равна d . SD Аналогично и для объемных тел. Выполнение аксиом вероятности следует проверить (самостоятельно). Пример 3. Задача о встрече. На анализатор в течение 1 часа поступает сигналы с 2-х реле. Анализатор выдает сигнал, если время между поступлениями сигналов не превышает 20 минут. Найти вероятность поступление сигнала с анализатора. Решение: обозначим x - время поступления сигнала с 1-ого анализатора, y - со второго. Введем оси x ⊥ y с единицей измерения 1 час. По условию 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , то есть x и y принадлежат области D (см. рис.3). Чтобы получить сигнал анализатора, необходимо, чтобы x , y принадлежал области D , которая определяется следующими неравенствами: 1. Пусть x > y , тогда для получения сигнала требуется, чтобы: 1 x − y ≤ r. 3 2. При y > x , имеем: 1 y−x≤ r 3 Таким образом, область d определяется условием: 1 x− y ≤ , 3 на рисунке 3 область d заштрихована. Вероятность того, что сигнал с анализатора поступит (событие А ) равна: 2  1 2   1 − 2 ⋅ ⋅    2  3   5 S d  Р ( А) = = = . SD l 9