Следствие основной леммы вариационного исчисления

1 Лекция 13 Следствие основной леммы вариационного исчисления (Необходимое условие экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления) Рассмотрим задачу 𝑏 𝐽(𝑦) = ∫𝑎 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝑑𝑥 ; 𝑒𝑥𝑡𝑟 ; 𝑦(𝑎) = 𝑦𝑎 ; 𝑦(𝑏) = 𝑦𝑏 , 𝑦 ∈ С1[𝑎, 𝑏] Эта задача называется задачей с закрепленными концами. Пусть 𝑦0 – решение задачи с закрепленными концами. Допустимые значения h: h∈ С1 [𝑎, 𝑏], ℎ(𝑎) = 0, ℎ (𝑏) = 0. Тогда 𝑏 𝛿𝑦(𝑦0 , ℎ) = ∫𝑎 [𝐹 (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ + 𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ′ ] 𝑑𝑥 = 0 ∀ ℎ из допустимого множества. Преобразуем: 𝑏 0 = ∫𝑎 [𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ + 𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ′ ] 𝑑𝑥 = по частям, учтём, что h(a)=h(b)=0 = 𝑏 = ∫𝑎 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ 𝑑𝑥 + (𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ )ℎ)| 𝑏 𝑑 ∫𝑎 𝑑𝑥 (𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ ))ℎ 𝑑𝑥 − лемме 𝑏 𝑎 − =0 𝑏 = ∫𝑎 (𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ ) − 𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ ) − 𝑑 𝑑 𝑑𝑥 (𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ ))ℎ 𝑑𝑥 => по осн. 𝐹′ ′ (𝑥, 𝑦0 , 𝑦0′ ) 𝑑𝑥 𝑦 =0 (∗) Уравнение (*) называется уравнением Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Уравнение Эйлера – это дифференциальное уравнение II порядка, его решения зависят от двух произвольных постоянных. Уравнение Эйлера в развернутом виде: 𝑦 ′′ 𝐹𝑦 ′ 𝑦′ + 𝑦 ′ 𝐹𝑦𝑦 ′ + 𝐹𝑥𝑦 − 𝐹𝑦 = 0. Замечание. Краевая задача (*) не всегда имеет решения, а если имеет, то, может, и не единственное. 6. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера Случай 1. 𝑏 𝐽 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝑑𝑥 𝑎 Здесь 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑦), не зависит от y. В этом случае 𝐹𝑦′ = 0 => уравнение Эйлера имеет вид 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦(𝑥 )) = 0. (1) Это уравнение является нелинейным относительно y(x), но не является дифференциальным. Решения этого уравнения, как правило, не удовлетворяют заданным граничным условиям. 2 Пример. 1 𝐽 (𝑦) = ∫ 𝑦 2 (𝑥 ) 𝑑𝑥 Уравнение Эйлера для этого уравнения имеет вид y(x) = 0. Случай 2. Функция F линейно зависит от 𝑦 ′ , т.е. 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 𝐴(𝑥, 𝑦) + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑦′. Тогда 𝐹𝑦′ = 𝐴′𝑦 + 𝐵𝑦′ ∙ 𝑦 ′ ; 𝐹𝑦′ = 𝐵; 𝑑 𝐹′𝑦 − 𝐹𝑦′ = −𝐵𝑥′ + 𝐴′𝑦 + 𝑦 ′ 𝐵𝑦′ − 𝐵′𝑦 ∙ 𝑦 ′ = −𝐵𝑥′ +𝐴′𝑦 𝑑𝑥 т.е. уравнение Эйлера таково: −𝐵𝑥′ (𝑥, 𝑦(𝑥 ))+𝐴′𝑦 (𝑥, 𝑦(𝑥 )) = 0 (2) Уравнение (2) не является дифференциальным. Замечание. ′ Если 𝐴𝑦 = 𝐵𝑥′ (3) , то уравнение (2) превращается в тождество: 0 = 0. Тогда экстремалями задачи с закрепленными концами являются все функции y ∈ С1 [𝑎, 𝑏], удовлетворяющие условиям 𝑦(𝑎) = 𝑦𝑎 ; 𝑦(𝑏) = 𝑦𝑏 . Действительно, если выполняется (3), то ∃ 𝑈(𝑥, 𝑦): 𝑈𝑥′ = 𝐴; 𝑈𝑦′ = 𝐵; Тогда 𝑏 𝑏 ′) 𝐽 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 𝑑𝑥 = ∫ (𝐴(𝑥, 𝑦) + 𝐵 (𝑥, 𝑦)𝑦 ′ ) 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 [𝑈𝑥′ (𝑥, 𝑦) 𝑎 + 𝑈𝑦′ ′ 𝑏 𝑑𝑈 (𝑥, 𝑦(𝑥 )) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 = 𝑈(𝑏, 𝑦(𝑏)) − 𝑈(𝑎, 𝑦(𝑎)) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 1[𝑎, 𝑏], удовлетворяющей условиям 𝑦(𝑎) = 𝑦𝑎 ; 𝑦(𝑏) = 𝑦𝑏 . =∫ ∙ 𝑦 ] 𝑑𝑥 = ∫ Пример (задача о геодезических линиях на плоскости). Требуется найти плоскую кривую наименьшей длины, соединяющую две фиксированные точки на плоскости, то есть требуется найти минимум функционала 𝑏 𝑙(𝑦) = ∫𝑎 √1 + (𝑦 ′ )2 𝑑𝑥. Случай 3. 𝐹 = 𝐹 (𝑦 ′ ), 𝑑 − 𝐹𝑦′′ (𝑦 ′ ) = 0 <=> 𝐹𝑦′′ (𝑦 ′ ) = 𝑐 𝑑𝑥 Всякая линейная функция 𝑦 = 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 является решением этого уравнения: 𝐹𝑦′′ (𝑐1) = 𝑐. Если функция 𝐹𝑦′′ строго монотонна, то других решений, кроме 𝑦 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2, нет. Пример (задача о геодезических линиях на плоскости). Требуется найти плоскую кривую наименьшей длины, соединяющую две фиксированные точки на плоскости, то есть требуется найти минимум функционала 𝑏 𝑙(𝑦) = ∫𝑎 √1 + (𝑦 ′ )2 𝑑𝑥. В этом случае экстремалями являются линейные функции 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2. 3 Случай 4. Функция F зависит только от переменных x и 𝑦 ′ : 𝐹 = 𝐹 (𝑥, 𝑦 ′ ). Уравнение Эйлера имеет вид 𝑑 ′ 𝐹 (𝑥, 𝑦 ′ ) = 0 <=> 𝐹𝑦′′ (𝑥, 𝑦 ′ ) = 𝑐. 𝑑𝑥 𝑦′ Это уравнение является дифференциальным уравнением I порядка. Случай 5. Функция F не зависит от переменной x: 𝐹 = 𝐹 (𝑦, 𝑦 ′ ). Пусть существуют непрерывные производные 𝐹𝑦′ ′ 𝑦′ ≠ 0, а решение уравнения Эйлера имеет вторую производную 𝑦 ′′ . Справедливо следующее тождество: 𝑑 𝑑 𝑑 (−𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ + 𝐹) = −𝑦 ′′ ∙ 𝐹𝑦′ ′ −𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ + 𝐹𝑦′ 𝑦′ + 𝐹𝑦′ ′ ∙ 𝑦 ′′ = 𝑦 ′ (− 𝐹𝑦′ ′ + 𝐹𝑦′ ) = 0. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Отсюда В силу уравнения Эйлера 𝑑 (𝐹 − 𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ ) = 0. 𝑑𝑥 То есть −𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ + 𝐹 = с Если решение этого уравнения имеет производную 𝑦 ′ (𝑥 ) ≠ 0, то оно является и решением уравнения Эйлера. Итог. 1. 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑦) Уравнение Эйлера 𝐹𝑦′ = 0 2. 𝐹 = 𝐴(𝑥, 𝑦) + +𝐵(𝑥, 𝑦)𝑦 ′ 𝐴′𝑦 ≠ 𝐵𝑥′ −𝐵𝑥′ +𝐴′𝑦 = 0 3. 𝐹 = 𝐴 + 𝐵𝑦 ′ 𝐴′𝑦 = 𝐵𝑥′ −𝐵𝑥′ +𝐴′𝑦 = 0 4. 𝐹 = 𝐹 (𝑥, 𝑦 ′ ) 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦 ′ ) = 𝑐 𝟓. 𝐹 = 𝐹 (𝑦, 𝑦 ′ ) 𝐹 − 𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ = 𝑐 Комментарий Не является дифференциальным уравнением, решение ∃ !, если удовлетворяет граничным условиям Не является дифференциальным уравнением, решение ∃ !, если удовлетворяет граничным условиям Под знаком интеграла стоит полный дифференциал, 𝐽(𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ∀ 𝑦 ∈ С1[𝑎, 𝑏] является решением, если удовлетворяет граничным условиям Дифференциальное уравнение I порядка, не содержит явно y Дифференциальное уравнение I порядка, не содержит явно x 4 7. Задача о брахистохроне Кривая наискорейшего спуска называется «брахистохрона» (эту задачу сформулировал Бернулли в 1696 году). 𝑣= Время 𝑥1 𝑇(𝑦) = ∫ √1 + (𝑦 ′ )2 √2𝑔𝑦 𝑑𝑆 𝑑𝑡 ; 𝑇 = ∫𝛾 𝑑𝑆 𝑣 𝑑𝑥 → min y 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔𝑦 => 𝑣 = √2𝑔𝑦 Краевые условия 𝑦(0) = 0, 𝑦(𝑥1 ) = 𝐻. 𝐹 = 𝐹 (𝑦, 𝑦 ′ ) => уравнение Эйлера 2 𝐹 − 𝑦 ′ 𝐹𝑦′ ′ = с. 1 + (𝑦 ′ )2 𝑦′ ′ √ −𝑦 ∙ =𝑐 2𝑔𝑦 √2𝑔𝑦√1 + (𝑦 ′ )2 1 =𝑐 √2𝑔𝑦√1 + (𝑦 ′ )2 1 >0 √𝑦√1 + (𝑦 ′ )2 = √2𝑔𝐶 𝑦(1 + (𝑦 ′ )2 ) = 𝑐0 > 0 𝑦 ′ = ±√ с0 −𝑦 𝑦 , где с0 = 1 2𝑔𝐶 2 > 0. Очевидно, что 𝑦 ′ > 0 из смысла задачи . Отсюда 𝑑𝑦 с−𝑦 =√ 𝑑𝑥 𝑦 Ищем решение в параметрическом виде: 𝑥 = 𝑥 (𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡). 𝑐 𝑐 𝑡 2 Положим 𝑦(𝑡) = − 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑐𝑠𝑖𝑛 ( ). Тогда 2 2 2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2( ) 𝑦′ 2 , =√ 𝑡 𝑥′ 𝑠𝑖𝑛2 ( ) 2 следовательно, 𝑡 𝑡 𝑡 𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2= 2, ′ 𝑡 𝑥 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐 ′ 2 𝑡 𝑥 = 𝑐𝑠𝑖𝑛 ( ) = (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡), 2 2 5 𝑐 𝑥 = (𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 ) + 𝑐1. 2 ( ) Но 𝑥 0 = 0 => 𝑐1 = 0. То есть если задача имеет решение, то этим решением является 𝑥(𝑡) = 𝑐/2 (𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) { . 𝑦(𝑡) = 𝑐/2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) Это уравнение является уравнением циклоиды. 𝒃 ⃗ ) = ∫𝒂 𝑭(𝒙, 𝒚 ⃗ , ⃗⃗⃗ 8. Функционалы вида 𝑱( 𝒚 𝒚′ ) 𝒅𝒙 Рассмотрим функционалы вида 𝑏 𝐽( 𝑦 ) = ∫𝑎 𝐹(𝑥, 𝑦, ⃗⃗⃗ 𝑦 ′ (𝑥) ) 𝑑𝑥 → extr (1) ⃗⃗⃗′ (𝑥 ) = (𝑦1 (𝑥 ), … , 𝑦𝑚 (𝑥 )) ∈ 𝐶 1[𝑎, 𝑏] 𝑦 𝑦(𝑎) = ⃗⃗⃗⃗ 𝑦𝑎 ; 𝑦(𝑏) = ⃗⃗⃗⃗ 𝑦𝑏 . (2) 𝑚 𝑚 Пусть F ∈ 𝐶 [𝑎, 𝑏] × 𝑅 × 𝑅 ; существуют производные: 𝐹𝑦′𝑖 , 𝐹𝑦′ ′ ∈ С [𝑎, 𝑏] × 𝑅 𝑚 × 𝑅 𝑚 . 𝑖 Пусть ⃗⃗⃗⃗ 𝑦0 ∈ С1[𝑎, 𝑏] – вектор-функция, являющаяся решением задачи (1)-(2). Фиксируем все компоненты 𝑦0𝑖 , кроме компоненты с номером i. Тогда 𝑦0𝑖 − есть точка экстремума функционала 𝐽𝑖 (𝑦𝑖 ) = 𝐽(𝑦01 , … , 𝑦0,𝑖−1, 𝑦𝑖 , 𝑦0,𝑖+1, … , 𝑦0𝑚 ) = 𝑏 ′ ′ = ∫𝑎 𝐹(𝑥, 𝑦01 , … , 𝑦0,𝑖−1, 𝑦𝑖 , 𝑦0,𝑖+1, … , 𝑦0𝑚 , 𝑦01 , … , 𝑦𝑖′ , … , 𝑦0𝑚 ) 𝑑𝑥 . В силу необходимого условия экстремума для этого простейшего функционала вектор-функция ⃗⃗⃗⃗ 𝑦0 должна удовлетворять уравнению Эйлера: 𝑑 − 𝐹𝑦′ ′ (𝑥, 𝑦, ⃗⃗⃗ 𝑦 ′ ) + 𝐹𝑦′𝑖 (𝑥, 𝑦, ⃗⃗⃗ 𝑦 ′ ) = 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑚 . (3) 𝑑𝑥 𝑖 ̅̅̅̅̅̅ Эти уравнения должны выполняться ∀ 𝑖 = 1, 𝑚 , следовательно, получена система уравнений Эйлера. Решения системы (3) называются экстремалями функционала (1).