Системы счисления и действия в них

Лекция: Системы счисления и действия в них Рассматриваются основные понятия числовых систем, правила их построения, выполнение действий в них. Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)р или хр . Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину. Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом: (x)10 = xnpn + xn–1pn–1 + ... + x1p1 + x0p0 . Наиболее используемые в информатике системы счисления, кроме, естественно, десятичной, – это: 1) двоичная, над алфавитом Х = {0,1}; 2) восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; 3) шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15. Пример. 11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 4 + 1 = 1310 , 1578 = 1 x 82 + 5 x 81 + 7 x 80 = 64 + 40 + 7 = 11110 , A6F16 = 10 x 256 + 6 x 16 + 15 x 1 = 267110 . В большинстве систем счисления вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова. Такая система счисления называется позиционной ; в противном случае система называется непозиционной . Пример. Непозиционная система – древняя римская система записи чисел с алфавитом вида Х={I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000)}, где в скобках указаны веса символов (не зависящие от позиции символа). Примеры римских чисел (в скобках – обычные десятичные эквиваленты): III (3), IV (4), V (5), VI (6), IX (9), XI (11), DCL (650). Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация – с убавлением (например, IV и VI). Поразрядное же выполнение арифметических операций не имеет места (например, XIV + IV = XVIII ). Для изображения десятичных дробей используется подобная формула разложения по степеням основания. Пример. 110,0012 = 1x22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 6,12510 ; A,B16 = A x 160 + B x 16-1 = 10 x 1 + 11 x 0,0625 = 10,687510 . Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления: 1. перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]10 , а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого; 2. перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}10 , для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}p ; изображение {х}p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части; 3. результат будет иметь вид (х)р = [х]p, {х}p . Пример. Найти: 12,810 = ?2 . Решение: 1. Переводим целую часть: 1210 =11002; 2. переводим дробную часть: 0,8 x 2 = 1,6; 0,6 x 2 = 1,2; 0,2 x 2 = 0,4; 0,4 x 2 = 0,8; 0,810 = 0,1100110...2 ; 3. результат перевода: 12,810 = 1100,1100110011...2 . Пример. Найдем 29,2510 = ?8 . Решение имеет вид 1) 2910 = 358 ; 2) 0,2510 = 0,28 ; 3) 29,2510 = 35,28 . Пример. Найдем 79,2610 = ?16 . Решение: 1) 7910 = 4F16 ; 2) 0,2610 = 0,4016 ; 3) 79,2610 = 4F,416 . При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно. Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно, используется таблица следующего вида: ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ 10 2 8 16 000 0000 1 1 001 0001 2 — 010 0010 3 — 011 0011 4 — 100 0100 5 — 101 0101 6 — 110 0110 7 — 111 0111 8 — — 1000 9 — — 1001 10 — — 1010 11 — — 1011 12 — — 1100 13 — — 1101 14 — — 1110 15 — — 1111 При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их. Пример. Рассмотрим переводы в смешанных системах. 1. Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение): 2. из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение): 3. из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение): 4. из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение): Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 210 = 102 (единица идет в старший разряд). Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид 0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда). Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1. Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид 0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1. Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1). Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде. Пример. 1. 10011 двоичное число, 01100 обратный код этого двоичного числа, 01101 дополнительный код этого двоичного числа; 2. 457 восьмеричное число, 321 дополнительный код; 3. А9 шестнадцатеричное число, 57 дополнительный код. Вычитание с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается). Пример. Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код): Целые числа в математике и их аналоги в n-разрядных арифметиках тождественны (по количеству) в рамках их представления с этой разрядностью. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти n-разрядной арифметики: 1. бесконечное и счетное множество целых чисел представляется отрезком [–N; +N], где N – максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие – общее число единиц, равное n): N = (111 . . . 1)2 ; 2. бесконечное и несчетное множество действительных чисел , располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в n-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел); 3. нуль во множестве действительных чисел в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно. С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (–1; 1) имеется бесконечное множество "плотно" расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой. Машинная же арифметика имеет следующие особенности. Она нерегулярна – точки интервала сгущаются около нуля; кроме того, в этом интервале точка х "изолирована" – если взять любую ее окрестность (х – а; х + а), где а – число, которое не превосходит машинного нуля (наименьшего представимого в машине числа), то в этом интервале нет других точек (отличных от х). Говоря языком теории вероятности, плотности распределения чисел в регулярной и нерегулярной арифметике – различны, как, впрочем, плотности распределения целых и вещественных чисел в одной и той же арифметике. Множество вещественных чисел в машинной арифметике представляется как подмножество (определяемое разрядностью арифметики) множества рациональных чисел. Есть и другие особенности этих множеств (связанные, например, с выполнением операций), но указанные выше особенности – основные. Различия в представлении чисел в обычной и в машинной (n-разрядной) арифметике ограничивают как "математические" возможности компьютера, так и "компьютерные" возможности математики, использование математических методов, алгоритмов в компьютерах. Нужно всегда иметь в виду, что точность в теоретической математике – понятие абстрактное, и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где ее на самом деле нет, – если нет корректной договоренности о пределах возможных значений неизбежных погрешностей в рамках рассматриваемых вычислительных ресурсов, например, трудоемкости и времени, а также не оговорена стратегия управления этой погрешностью. Так как диапазон n-разрядных чисел системы счисления с основанием p находится в пределах , то для представления дробных чисел этот диапазон еще снижается, поскольку часть разрядов необходимо отвести под изображение мантиссы. Таким образом, имеются так называемые "зоны нечувствительности" форм представления чисел в n-разрядных арифметиках. В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел было предложено представление чисел в плавающей, нормализованной форме – число x представляется в виде: , где m – мантисса числа, k – целый порядок числа, . Пусть даны два числа: и (). Тогда можно проверить, что результаты выполнения операций будут равны: Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных разрядов отвести под мантиссу, k – под порядок, один разряд – под знак числа и один разряд – под знак порядка (например, 0 – плюс, 1 – минус), то диапазон представимых в форме с плавающей запятой чисел резко увеличивается (m + k + 2 = n): (многоточие соответствует k единицам). Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней границы отрицательных чисел, считаются равными нулю, не различаются между собой. Числа, большие верхней границы положительных чисел, полагаются равными положительной бесконечности (меньшие нижней границы отрицательных – отрицательной бесконечности). Сравнение двух разных по величине чисел в арифметике с ограниченной разрядностью может поэтому приводить к неверному результату, как и сравнение двух равных в таких системах чисел с точки зрения математической. Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом деле необходимо хранить не само число, а его знак, мантиссу, порядок и знак порядка, и все операции с числами сводятся к операциям с этими объектами. Операции же с этими объектами просты: сравнение знаков, увеличение, уменьшение порядка, сложение мантисс, нормализация, то есть в конечном итоге сводятся к достаточно просто реализуемым операциям сдвига, выравнивания, сравнения разрядов. Пример. Вычислить наибольшее и наименьшее 5-разрядное целое число в системе счисления с основанием 3. Наибольшее целое n-разрядное число, которое возможно записать в системе счисления с основанием р, равно: Наименьшее целое n-разрядное число в этой системе равно Таким образом, в системе счисления с основанием 3 и числом разрядов 5 представим диапазон следующих чисел: Формулам можно придать более компактный вид. Например, для двоичной системы а в восьмеричной системе счисления эти числа К "неудобствам" этой формы представления чисел можно отнести возможность возникновения следующих "особо опасных" ситуаций: 1. если число достаточно мало, например, а = 0.12Е + 00, то оно может быть представлено любым числом из наименьшего интервала включающего а, в частности числом 0.120000001 или 0.199999999 и в этом случае сравнивать на равенство "в лоб" нельзя (вещественные числа в форме с плавающей запятой опасно сравнивать на совпадение); 2. порядок выполнения операций может влиять на результат, например, в 4-разрядной арифметике с фиксированной запятой 20.0000 + 0.0001 = 20.0001, но при этом 0.2000Е + 02 + 0.1000Е – 05 = 0.2000Е + 02; 3. может возникнуть так называемая ситуация "переполнения порядка" при сложении (умножении) очень больших чисел или "исчезновения порядка" при сложении (умножении) "очень малых чисел", в частности, 0.6000Е + 39 ×0.1200Е + 64 = 0.9999Е + 99 (или же не определено), а также 0.6000Е – 35 × 0.0200Е – 65 = 0.9999Е – 99 (или же не определено), при соответствующим образом определенной разрядности десятичной арифметики; 4. при сложении чисел с плавающей запятой (а, в конечном счете, все операции выполняются через сложение) происходит выравнивание порядков для последующего сложения мантисс, а при выравнивании степеней может происходить потеря (усечение) младших разрядов, например, такая ситуация может возникнуть при сложении одного "очень большого числа" с одним "очень малым числом" Есть много различных способов (часто искусственных) формирования систем чисел. Пример. В факториальной системе счисления целые числа записывают линейной комбинацией факториалов, например, . Эта система (условно) позиционна. Так как 0! = 1! = 1, то два младших разряда n-разрядного числа в разложении этого числа по факториалам представимы как и поэтому веса этих разрядов не зависят от позиции (поэтому при это число можно считать непозиционным лишь условно). Формула перевода из факториальной системы счисления в десятичную систему: История развития систем счисления достаточно интересна. Приведем лишь некоторые факты. Счет вначале велся с помощью пальцев рук (пятерками и затем – десятками). В некоторых странах сохранился счет с основанием 12 (например, Великобритания – 12 шиллингов) и 20 (например, Франция – "quatre–vingts" или "четыре-двадцать" то есть 80; у древних адыгов счет велся аналогично: "тощIищ", то есть "двадцать-три" – 60) и др.