Системы регрессионных уравнений

Системы регрессионных уравнений При моделировании достаточно сложных экономических объектов часто приходится использовать не одно, а несколько уравнений, чаще всего связанных между собой. В таких случаях модель объекта описывается системой эконометрических уравнений, которую необходимо оценить при проведении регрессионного анализа. Проблема оценивания систем уравнений требует введения новых понятий и разработки новых методов. В теории экономико-статистического моделирования систему взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств, в которой одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать и в роли результирующих показателей (эндогенных переменных) и в роли объясняющих (экзогенных) переменных, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. Эндогенными являются те переменные, которые в силу принятых концепций определяются внутренней структурой изучаемого явления, иначе говоря, их значения выясняются на основе модели. В свою очередь, экзогенные переменные по определению независимы от структуры явления и их значения (в том числе прогностические) устанавливаются вне модели. Модель содержит также различного рода параметры (коэффициенты), которые определяются в ходе статистического оценивания путем обработки имеющейся информации. То, как классифицированы переменные (эндогенные или экзогенные) зависит от теоретической схемы или принятой модели. Внеэкономические переменные, например, климатические условия, постоянно бывают экзогенными. В то же время экономические переменные, такие как экспорт и правительственные расходы, могут в одной модели рассматриваться как эндогенные, а в другой – как экзогенные. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к периоду t , но и к предшествующим периодам, называемые лаговыми («запаздывающими») переменными. Для экономистов большой интерес представляет количественный анализ модели, т. е. нахождение оценок параметров на основании имеющейся в распоряжении исследователя информации о значениях переменных. Первая из возникающих здесь проблем: можно ли в предложенной модели однозначно восстановить значение некоторого параметра или же его определение принципиально невозможно на основе рассматриваемой модели? Это так называемая проблема идентифицируемости – первоочередная на этапе формирования модели, поскольку необходимо быть уверенным, что их применение имеет смысл. Проблема оценивания здесь также имеет свои особенности. Основная трудность состоит в том, что в эконометрических моделях переменная, играющая роль независимой (объясняющей – экзогенной) переменной в одном соотношении, может быть зависимой в другом. Это приводит к тому, что в регрессионных уравнениях системы экзогенные переменные и случайные возмущения оказываются, вообще говоря, коррелированными. Наконец, в современной практике встречаются модели, имеющие десятки и даже сотни уравнений (в том числе и нелинейных), в связи с чем возникают и вычислительные трудности. Все это обусловило необходимость построения специальной теории, изучающей статистический аспект таких моделей. Пример 1. Рассмотрим простую экономическую макромодель, которая поможет проиллюстрировать основные понятия, характерные для систем одновременных уравнений. Итак, предположим, что потребление C есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода Y , но возрастающая медленнее, чем рост дохода (1) Ct   0  1 Yt  Tt  , 0  1  1 . Объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирования (например, нормы процента), т. е. (2) I t  1Yt 1   2 Rt , 1  0 ,  2  0 . И, наконец, национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг (условие макроэкономического равновесия): (3) Yt  Ct  I t  Gt . Здесь Tt – подоходный налог в момент t , Rt – инструмент государственного регулирования в момент t , Gt – государственные закупки товаров и услуг в момент времени t . Соотношения (1)–(3) следует рассматривать как систему одновременных уравнений, так как одна и та же переменная, например, национальный доход Yt в момент t играет роль объясняемой переменной в (3) и объясняющей – в (1). Проведем классификацию переменных модели: C t , Yt , I t – текущие эндогенные переменные; Tt , Rt , Gt – текущие экзогенные переменные; Yt 1 – лаговая эндогенная переменная. Модель предназначена для объяснения значений эндогенных переменных в текущем периоде времени t на основе значений, принимаемых экзогенными и лаговыми эндогенными переменными. В более общих ситуациях в модели могут появиться и лаговые значения экзогенных переменных. Оба множества экзогенных (текущих и лаговых) и лаговые эндогенные переменные называют предопределенными переменными. Соотношения (1)–(3) описывают структурную форму модели. Структурная форма модели – это система уравнений, отражающая связь между переменными в соответствии с положениями экономической теории и характеризующая структуру экономики или ее сектора. Параметры структурной формы модели называют структурными параметрами. Если модель содержит тождества, то без потери общности их можно назвать уравнениями, в которых структурные параметры при переменных равны 1. Приведенная форма модели – это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределенных переменных модели. Для экономической интерпретации применяются структурные уравнения, для прогнозирования – приведенная форма. В рассматриваемом примере приведенная форма получится, если каждая из текущих эндогенных переменных выразится в виде функции только от предопределенных переменных. Подставляя (2) и (3) в (1), получим Ct   0  1 Ct  I t  Gt  Tt    0  1 Ct  1Yt 1   2 Rt  Gt  Tt  т. е. 0     1 1 Yt 1  1 2 Rt  1 Gt  Tt  , 1  1 1  1 1  1 1  1 I t  1Yt 1   2 Rt Ct  (4) (5) (инвестиционное уравнение в своем первоначальном виде имеет приведенную форму, так как в нем нет других текущих эндогенных переменных, кроме I t ). Затем, используя (3), (4) и (5), получим 0     1 1 Yt 1  1 2 Rt  1 Gt  Tt   1Yt 1   2 Rt  Gt  1  1 1  1 1  1 1  1             0   1 1  1 Yt 1   1 2   2  Rt   1  1Gt  1 Tt , отсюда 1  1  1  1 1  1   1  1   1  1      1 (6) Yt  0  1 Yt 1  2 Rt  Gt  1 Tt . 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 Yt  Уравнения (4)–(6) образуют приведенную форму модели. Все коэффициенты в приведенной форме модели представляют собой функции первоначальных коэффициентов ее структурной формы. При этом особое значение придается коэффициентам при экзогенных переменных. Эти коэффициенты часто интерпретируют как импульсные мультипликаторы, поскольку они показывают реакцию в текущем периоде каждой эндогенной переменной на изменение текущего значения любой экзогенной переменной. Например, увеличение на единицу значения переменной, отражающей государственное регулирование, вызовет изменение C t на 1  2 , а I t на  2 . Поскольку мо1  1 дель линейная, эффект от одновременного изменения экзогенных переменных будет равен сумме частных эффектов. Так, одновременное увеличение на единицу объема государственных закупок Gt и налога Tt оставит потребление C t и инвестиции I t неизменными, так как 1   1  0 , и инве1  1 1  1 стиции I t вообще не зависят от Gt и Tt , а соответствующий прирост нацио 1  1 1 нального дохода будет равен единице, так как  1   1. 1  1 1  1 1  1 Следующий вопрос, который возникает при исследовании эконометрических уравнений – это проблема идентификации или, правильнее сказать, идентифицируемости, которая относится только к структурным параметрам. Она может быть сформулирована следующим образом: можно ли в предположении о существовании решения, однозначно определить такое решение или нет. Подчеркнем, что тот или иной структурный коэффициент идентифицируем, если он может быть вычислен на основе коэффициентов приведенной формы. Соответственно какое-либо уравнение в структурной форме модели будем называть идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Следует иметь в виду, что проблема идентифицируемости логически предшествует задаче оценивания. Если система не идентифицируема, то это означает, что с имеющимися в нашем распоряжении наблюдениями, независимо от их числа, совместимы многие модели. Данное уравнение системы точно идентифицировано, если его структурные параметры однозначно определяются по приведенным коэффициентам. Структурные параметры такого уравнения можно найти косвенным методом наименьших квадратов (К-МНК). Если из приведенной формы модели можно получить несколько оценок структурных параметров, то уравнение сверхидентифицировано. Структурные параметры такого уравнения определяются двухшаговым методом наименьших квадратов (2-МНК). Сверхиндетифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Если структурные параметры уравнения модели нельзя найти через приведенные коэффициенты, то такое структурное уравнение называется неидентифицируемым, и численные оценки его параметров найти нельзя. Для того чтобы определить, идентифицировано ли структурное уравнение модели, по каждому уравнению и модели в целом применяют счетное правило – необходимое условие идентифицируемости. Подсчитывают следующие константы: K – число предопределенных переменных модели, k – число предопределенных переменных в каждом уравнении, m – число эндогенных переменных в каждом уравнении. Далее для каждого уравнения в отдельности проверяют следующее соотношение: K  k  m  1. (7) Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, строго больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1 ( K  k  m  1 ), уравнение сверхидентифицировано. Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1 ( K  k  m  1 ), уравнение точно идентифицировано. Если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, строго меньше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение, минус 1 ( K  k  m  1 ), уравнение не идентифицировано. Примите во внимание, что нет необходимости исследовать на идентификацию тождества модели, поскольку их структурные параметры известны и равны 1. Однако переменные, входящие в тождества учитываются при подсчете числа эндогенных и предопределенных переменных модели. Более точно условия идентифицируемости определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе минус 1. Для того чтобы проверить достаточное условие идентификации, составляется матрица коэффициентов при переменных модели. В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, для которого проверяется достаточное условие, должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус единица. Обсуждая проблему идентификации, следует иметь в виду, что при неполной идентификации невозможно получить оценки некоторых или даже всех параметров. В случае точной идентификации все методы оценивания дают одинаковые результаты. Пример 1. (продолжение) Исследуем на индетифицируемость простую макромодель (1)–(3). Приведем классификацию переменных модели: Ct , Yt , It – текущие эндогенные переменные; Tt , Rt , Gt – текущие экзогенные переменные; Yt 1 – лаговая эндогенная переменная. Здесь K  4 – число предопределенных переменных модели. Используем необходимое условие идентификации – счетное правило (7): Уравнение 1: K  4, k  1 (Tt ), m  2 (Yt , Ct ) . Так как 4  1  2  1 , уравнение сверхидентифицируемо. Уравнение 2: K  4, k  2 (Yt 1, Rt ), m  1 ( It ) . Так как 4  2  1  1 уравнение сверхидентифицируемо. Тождество 3 на идентификацию, как мы уже отмечали, не проверяется. Таким образом, по необходимому условию оба структурных уравнения модели сверхидентифицируемы. Проверяем для каждого из уравнений достаточное условие. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели: Ct It Yt Tt Rt Gt Yt 1 Уравнение 1 –1 1 1 Уравнение 2 1 –1 1 –1 2 1 1 Тождество В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, для которого проверяется достаточное условие, должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, то есть 3-1=2. Уравнение 1: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в  1  0   2 1 уравнение, имеет вид A   . 1 1   Ее ранг равен 2, так как det A*  1  2 1  0 . Достаточное условие иден- тификации для уравнения 1 выполняется. Уравнение 2: выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не  1  1 входящих в это уравнение, A    1 1 1 0  . 0 1 Ранг этой матрицы равен 2, так как det A*  1 1 1 1  0 . Достаточное условие также выполняется. Таким образом, модель в целом сверхидентифицируема, так как оба ее структурных уравнений сверхидентифицируемы по необходимому и достаточному условиям.