Системы одновременных уравнений

СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Системный подход в экономическом анализе предполагает сложную структуру взаимосвязей между признаками, когда эффективность деятельности экономического объекта характеризуется несколькими показателями. В этом случае одного регрессионного уравнения может быть недостаточно, и для описания явления или процесса может потребоваться система уравнений и тождеств. Структурная и приведенная формы уравнений Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система уравнений, в каждом из которых аргументы помимо объясняющих переменных могут включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы. Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели. Простейшая структурная форма модели имеет вид: Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами. Структурная форма модели может включать в систему: 1) уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными; 2) уравнения, отражающие тенденцию развития явления; 3) разного рода уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайного члена. В процессе оценивания параметров одновременных уравнений следует различать эндогенные и экзогенные переменные. Приставки «эндо» и «экзо» означают соответственно внутреннее и внешнее. Эндогенными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели и являются зависимыми переменными. Экзогенными считаются переменные, значения которых определяются вне модели и являются независимыми переменными. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные не коррелируют со случайным членом. В общем случае эндогенные переменные коррелируют со случайным членом, поэтому применение МНК к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов. Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму. Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие. Например, сделаем подстановки: Получим приведенную форму модели: Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы (приведенными коэффициентами). Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, так как экзогенные переменные не коррелируют со случайным членом. Оцененные коэффициенты приведенной формы могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов (КМНК). Приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. При переходе от приведенной формы модели у структурной возникает проблема идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. Тот или иной структурный коэффициент может либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них. Структурный коэффициент называется: 1) идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов; 2) точно идентифицируемым, если он единственный; 3) сверхидентифицируемым, если имеет несколько разных оценок; 4) в противном случае он называется неидентифицируемым. Структурное уравнение называется идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым. УСЛОВИЯ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ Приступить к оцениванию того или иного структурного уравнения системы имеет смысл после того, как установлено его идентифицируемость. Пусть - число не включенных в уравнение, но присутствующих в системе экзогенных переменных; - число включенных в уравнение эндогенных переменных. Необходимое условие Уравнение в структурной модели может быть идентифицировано, если число не включенных в него экзогенных переменных не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных минус один: Необходимое условие В частности: Достаточное условие Уравнение идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в исследуемом уравнении, не меньше , где - число эндогенных переменных системы. Метод окаймления миноров Методы оценивания структурных уравнений Рассмотрим различные виды структурных уравнений. I. Точная идентифицируемость Для решения, точно идентифицируемого уравнения, применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) Процедура КМНК производится в несколько этапов. 1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму уравнений. 2. Для каждого приведенного уравнения обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты. 3. Оценки приведенных коэффициентов преобразуются в оценки параметров структурных уравнений. Например, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов: Структурный коэффициент характеризует предельную склонность к потреблению: из каждой единицы валового внутреннего продукта расходуется единиц на конечное потребление. В данной модели: - эндогенные переменные, - экзогенная переменная. Непосредственное оценивание параметров в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная является эндогенной. Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему: В приведенной системе коэффициенты при переменной , равные инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастает на единицу, то: 1) объем потребления увеличится на единиц; 2) совокупный доход - на единиц. Пример 1. Для некоторой страны имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе , объеме потребления и инвестициях , полученные за 10 лет. Построить функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов: В данной модели - эндогенные переменные, а - экзогенная. Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующему: где оценки и несостоятельные. - смещенные Уравнение для , в приведенной форме можно также представить в виде: В этом уравнении экзогенная переменная не коррелирует со случайным членом , поэтому для оценки параметров можно использовать обычный МНК. Оцененное уравнение , полученное по выборочным данным с помощью МНК, дает несмещенные и состоятельные оценки параметров. Оценки структурных коэффициентов однозначно выражаются через оценки приведенных коэффициентов, структурное уравнение функции потребления является точно идентифицируемым. Оцененная система приведенных уравнений: Выразив из второго уравнения системы в виде и подставив его в первое: где оценки и состоятельные. - несмещенные Коэффициент определяет склонность к потреблению, а и инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастает на единицу, то объем потребления увеличится на 0,695 единиц, а совокупный доход – на 1,695 единиц. Окончательно оцененная система примет вид: II. Сверхидентифицируемость III. Неидентифицируемость Спасибо за внимание !