Системы одновременных уравнений

Лекция 12 Системы одновременных уравнений Копнова Е.Д. ekopnova@hse.ru Системы одновременных уравнений (СОУ) - совокупность регрессионных уравнений, определяющих взаимозависимость экономических переменных Пример. Кейнсианская макроэкономическая модель потребления С - агрегированное потребление, Y - национальный доход, I - инвестиции 2 Классификация переменных в системах  Эндогенные переменные – значения определяются внутри системы (y)  Экзогенные – значения задаются вне системы  Лаговые переменные – принимают значения, соответствующие наблюдениям, сдвинутым во времени относительно текущего наблюдения  Предопределенные переменные – экзогенные переменные и лаговые эндогенные переменные (x) 3 Классификация систем по характеру связи между уравнениями  Внешне не связанные уравнения (Seemingly Unrelated Regression, SUR)  Рекурсивные системы (Recursive Systems, RS)  Системы общего вида (Simultaneous Equations, SE) 4 Внешне не связанные уравнения Спецификация Связаны только посредством корреляции ошибок  В каждом уравнении ошибки гомоскедастичны, не автокоррелированы  Ошибки разных уравнений коррелируют только в текущем наблюдении 5 Оценивание SUR 6 Примеры. SUR 7  ! ОМНК-оценки совпадают с МНК-оценками в двух случаях:  Отсутствует корреляция ошибок в разных уравнениях  Наборы регрессоров - одинаковы 8 Рекурсивные системы Спецификация В первом уравнении эндогенной переменной справа нет, во втором – только одна – из первого уравнения, в третьем – только две – из двух предыдущих и так далее до последнего уравнения 9 Оценивание RS  МНК-оценивается первое уравнение  МНК-оценка ŷ1 используются в качестве инструмента для y1 во втором уравнении и так далее до последнего уравнения 10 Примеры. RS 11 Анализ предпосылок методов оценивания СОУ  Проверка гипотезы о линейных ограничениях на вектор коэффициентов  Проверка гипотезы о некоррелированности ошибок в разных уравнениях  Проверка нормальности остатков  Анализ ИП 12 Тест Бреуша-Пагана на независимость уравнений Изначально использовался только для SUR, чтобы обойтись без применения ДОМНК 13 Используют три статистики 14 Тестирование нормальности остатков 𝑴𝑴 = 𝑴𝑴3 𝑴𝑴4 − 3 𝑻𝑻 15 СОУ общего вида Спецификация  Структурная форма модели – стандартная форма, в которой отражена истинная структура связей между переменными  Система может содержать балансовые тождества, не включающие случайную ошибку 16 В частности, для SUR, RS 17  Приведенная форма модели – получается из структурной формы путем выражения эндогенных переменных через предопределенные переменные и случайные ошибки 18 Пример 𝑄𝑄𝑡𝑡 = 𝛽𝛽12 𝐾𝐾𝑡𝑡 + 𝛽𝛽13 𝐿𝐿𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝜀𝜀𝑡𝑡1 �𝐾𝐾𝑡𝑡 = 𝛽𝛽21 𝑄𝑄𝑡𝑡 + 𝛾𝛾22 𝐼𝐼𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡2 𝐿𝐿𝑡𝑡 = 𝛽𝛽32 𝐾𝐾𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝛾𝛾33 𝐿𝐿𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡3  Представим СОУ в структурной форме Q – выпуск продукции K – стоимость ОПФ L – количество работающих B – поставки сырья I – объем инвестиций 𝑌𝑌1 − 𝛽𝛽12 𝑌𝑌2 − 𝛽𝛽13 𝑌𝑌3 − 𝛾𝛾11 𝑋𝑋1 = 𝜀𝜀1 �𝑌𝑌2 − 𝛽𝛽21 𝑌𝑌1 − 𝛾𝛾22 𝑋𝑋2 = 𝜀𝜀2 𝑌𝑌3 − 𝛽𝛽32 𝑌𝑌2 − 𝛾𝛾31 𝑋𝑋1 − 𝛾𝛾33 𝑋𝑋3 = 𝜀𝜀3 19  Определим приведенную форму СОУ 𝑄𝑄𝑡𝑡 = 𝛽𝛽12 𝐾𝐾𝑡𝑡 + 𝛽𝛽13 𝐿𝐿𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝜀𝜀𝑡𝑡1 �𝐾𝐾𝑡𝑡 = 𝛽𝛽21 𝑄𝑄𝑡𝑡 + 𝛾𝛾22 𝐼𝐼𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡2 𝐿𝐿𝑡𝑡 = 𝛽𝛽32 𝐾𝐾𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31 𝐵𝐵𝑡𝑡 + 𝛾𝛾33 𝐿𝐿𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀𝑡𝑡3 20 Проблема идентифицируемости СОУ  Если в каждом уравнении структурной формы выразить одну из эндогенных переменных, то остальные переменные будут коррелировать с ошибками  Так как в приведенной форме регрессоры не коррелируют с ошибкой, можно найти состоятельные ОМНК-оценки матрицы Π и использовать их для оценки параметров структурной формы  Число параметров в структурной форме (m²-m+mk) больше, чем в приведенной форме (mk), поэтому оценить (идентифицировать) их в общем случае не удается  Уравнение в структурной форме идентифицируемо, если его коэффициенты идентифицируемы  Модель в структурной форме идентифицируема, если идентифицируемо каждое ее уравнение 21