Системы линейных алгебраических уравнений

КУРС ЛЕКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ 4. Сегодня понедельник, 26 октября 2020 г. 26.10.2020 ЖюльАнри Пуанкаре (29.04.1854 — 17.07.1912) Гениальный французский ученый широкого профиля, внесший большой вклад во многие разделы математики, физики и механики. Основоположник качественных методов теории дифференциальных уравнений и топологии. Создал основы теории устойчивости движения. В математике нет символов для неясных мыслей. *** Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. ЛЕКЦИЯ 4. Системы линейных алгебраических уравнений. План лекции 4. 4.1 Системы линейных алгебраических уравнений. 4.2 Матричная запись и решение системы линейных уравнений матричным способом. 4.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. 4.1 Системы линейных алгебраических уравнений. 1. К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. 2. Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов. Общие понятия (4.1) Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной , а если решений существует бесконечное множество, то неопределенной . Система линейных уравнений  хотя бы одно решение совместная  единственное решение определенная нет решения несовместная  более одного решения неопределенная •Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. • Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной. • Если определитель матрицы A квадратной системы Δ =det A≠ 0, то система имеет единственное решение. Если det A= 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна. •В случае неопределенной СЛАУ каждое ее решение называется частным решением. •Совокупность всех частных решений называется общим решением. 4.2 Матричная запись и решение системы линейных уравнений матричным способом. Пусть задана ЛС : (4.1) Пример 4.2.1. Матрица ЛС из предыдущего примера  3 1 1  A23   ,   2 2 1  столбец свободных членов столбец неизвестных ЛС записывается в матричной форме как Метод обратной матрицы для решения СЛАУ (3.4) Применение обратной матрицы методов решения СЛАУ – один из 4.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Метод Крамера для решения СЛАУ Габриэль Крамер швейцарский математик (31 июля 1704 — 4 января 1752) Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария), в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике. швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Показал, что результант двух многочленов образуется с помощью симметрических функций. Во "Введении в анализ алгебраических кривых" (1750г.) существенно развил идеи современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки, ветви, кривизну алгебраических кривых высших порядков. В 1742г. Крамер обобщил на случай трех неподвижных точек поставленную еще Паппом задачу о вписании в круг треугольника, стороны которого проходят через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера. Член Лондонского королевского общества (1749г.) Замечание. Существует ещё одно обоснование формул Крамера. Умножим левую часть и правую часть системы (3.1) на алгебраические дополнения элементов первого столбца основной матрицы этой системы. Получим  a11 A11 x1  a12 A11 x2  a A x  a A x   21 21 1 22 21 2    an1 An1 x1  an 2 An1 x2   a1n A11 xn  b1 A11  a2 n A21 xn  b2 A21  ann An1 xn  bn An1 . Сложим почленно полученные уравнения: x1 (a11 A11  a21 A21   xn (a1n A11  a2 n A21   an1 An1 )  x2 (a12 A11  a22 A21   an 2 An1 )   ann An1 )  b1 A11  b2 A21   bn An1. Первая скобка в левой части этого равенства равна определителю ∆ основной матрицы этой системы согласно теореме 1 п.2.3 (определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Все остальные скобки в этом выражении равны нулю согласно теореме 2 п.2.3 (сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца)). Выражение, стоящее в правой части соответствует вспомогательному определителю 1 основной матрицы системы, в котором первый заменён на столбец правых частей согласно (2.10) разложение определителя по столбцу. Таким образом получим откуда  x1  1 , 1 x1  .  Чтобы найти x2 надо каждое из уравнений системы (3.3) умножить на алгебраические дополнения элементов второго столбца основной матрицы данной системы. Получим  x2  2 , откуда 2 x2  ,  2 где второй вспомогательный определитель, который получен из основного заменой второго столбца на столбец правых частей. Последовательно применяя проделанные выше преобразования ко всем оставшимся переменным, получаем формулы Крамера: 1 2 x1  , x2  ,   n , xn  ;   0.  На основании вышесказанного может быть сформулирована теорема Крамера: Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное xk (k  1, 2, , n) равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числителем – определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой k-го столбца на столбец свободных членов. Следствие. Для исследования решений системы (3.3) линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по формулам Крамера системы (3.3) не обязательно решать её полностью. Следствие. Можно воспользоваться исследованием по формулам Крамера (3.7): а) если   0, то система имеет единственное решение, т.е. определённая; б) если   0, 1  0, то, следовательно ,и система имеет 2  0, 3  0, , n  0 множество решений, т.е. неопределённая;   0, 1  0, в) если то система не имеет решений, т.е. несовместна. Три случая при решении систем линейных уравнений Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая: Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определённа) Условия: * Три случая при решении систем линейных уравнений Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений (система совместна и неопределённа) Условия: * , ** , т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны. Три случая при решении систем линейных уравнений Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна) Условия: * ** Пример 3.3.1. Решить СЛАУ  x  2 x  x  8 1 2 3   3x1  2 x2  x3  10 , 4 x  3x  2 x  4 2 3 используя формулы Крамера.  1 Вычислим основной определитель системы: 1 2 1  3 2 1  14. 4 3 2 Найдём вспомогательные определители: 8 2 1  10 2 4 1 1 8 1  14,  2  3 10 3 2 4 4 1 1 2 1  28, 3  3 2 10  42. 2 4 3 Применим формулы Крамера: x1  Ответ: 8  1 14  28 42   1; x2  2   2; x3  3   3.  14  14  14 x1  1; x2  2; x3  3. 4 При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется следующий алгоритм: - систему записывают в матричном виде; - вычисляют главный определитель системы: - вычисляют дополнительные определители системы: - если главный определитель системы не равен нулю, то находят значения всех неизвестных по формулам: ЗА ВНИМАНИЕ