Системы координат и высот в геодезии

Системы координат и высот в геодезии Лекция № 1 Оглавление Введение 3 Трансформирование систем координат 7 Литература 19 Введение 1. Понятие координаты Определения [Error: Reference source not found]: «3.37 система координат: набор математических правил, описывающих, как координаты должны быть соотнесены с точками пространства. Одномерные системы координат В качестве одномерных систем координат определим: 1. Прямолинейные системы координат: Рис. 1 Прямолинейные координат В одномерных прямолинейных системах координат основной координатой является расстояние от начала системы координат до заданной точки. Пример – измеренное линейкой расстояние, хорда, соединяющая две точки окружности по наикратчайшему расстоянию. 2. Криволинейные системы координат: Рис. 2 Криволинейные координат В одномерных криволинейных системах координат основной координатой является расстояние от начала системы координат до заданной точки, при условии, что измерение производится строго по кривой линии. Пример – пройденной расстояние по изогнутой (не прямой) линии. Рис. 3 Криволинейные координаты Другим вариантом криволинейных координат является угол, при этом мы измеряем угол между начальным направлением и направлением на заданную точку. Ограничения, которые накладываются на систему координат с измеренными углами: знание функции, описывающей кривую; знание места расположения точки, из которой измеряют угол; знание правил измерения угла; Таким образом, получим две разновидности координат - одномерные прямолинейные - одномерные криволинейные Двумерные системы координат - прямолинейные прямоугольные на плоскости; - комбинированные прямолинейные и криволинейные на плоскости; - криволинейные линейные на заданной поверхности, не совпадающей с плоскостью; - криволинейные угломерные на заданной поверхности, не совпадающей с плоскостью. Рис. 4 Плоские прямоугольные прямолинейные координаты Рис. 5 Комбинированные координаты - полярные Рис. 6 Пространственные двумерные криволинейные координаты на поверхности сфероида Чем больше мер, тем больше вариантов. Остановимся на тех вариантах, которые наиболее часто применяются в настоящее время, и которые необходимы специалисту в области геодезии, картографии или фотограмметрии. Построим элементы системы координат: - начало системы координат; - оси системы координат; - правила определения координат; Наиболее распространенное размещение осей – одна перпендикулярна другой. Название осей можно задавать произвольно. Подобные же названия осей использовались при изучении геометрии, алгебры, физики. В качестве правил определения координат возьмем следующее: - от указанной нами точки будем проводить прямые линии к каждой координатной оси; - угол, под которым указанные линии пересекут ось будет прямым – равным 90 градусам; - расстояние от центра системы координат – точки пересечения координатных осей - будет собственно координатой по названию оси на которой данное пересечение получено. Таким образом, мы получим для точки Q две координаты, выраженные в линейной мере. Построенной системе координат можно дать название, состоящее из слов характеризующих правила определения координат: - плоская, прямоугольная, прямолинейная система координат. Трехмерные системы координаты в пространстве Пространственные прямоугольные координаты Рис. 7 Пространственные прямоугольные прямолинейные координаты Пространственные криволинейные координаты на основе криволинейных поверхностей Рис. 8 Пространственные криволинейные координаты на криволинейной поверхности Для работы с криволинейными координатами необходимо иметь уравнения поверхностей и зависимости координат точки от ее положения на этой поверхности. Трансформирование систем координат Плоские системы координат Определения [Error: Reference source not found]: 3.1 абсцисса X: Линейное расстояние в системе координат картографической сетки от отсчетной линии (восток-запад), к северу (положительное) и к югу (отрицательное). 3.29 ордината Y: Линейное расстояние в системе координат (или картографической сетки) по направлениям на восток (положительное) или запад (отрицательное) от отсчетной линии (север – юг). 3.33 полярная система координат: Система координат, в которой положение объекта задается расстоянием и направлением от ее начала. Рис. 9 Плоская прямоугольная и система координат Рис. 10 Полярная система координат или (1) или (2) Определение [Error: Reference source not found]: 3.40 трансформирование координат: Операция с координатами пространственных объектов при переходе от одной координатной системы отсчета к координатной системе отсчета, основанной на других датах. Примечание - При трансформировании координат используют параметры, которые могут быть определены опытным путем с использованием набора пунктов, общих для обеих координатных систем отсчета. [ГОСТ Р 52438-2005, статья 45] Вариант 1 Рис. 11 Схема преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2 (3) где xo, yo – координаты начала системы СК1, в системе СК2;  - угол поворота системы СК1 вокруг ее начала против хода часовой стрелки до положения параллельно осям системы СК2; , – координаты точки Q в системе СК1; , – координаты точки Q в системе СК2; – начало координат системы СК1; – начало координат системы СК2, - масштабный коэффициент. Вариант 2 Для обратного преобразования [1]: Рис. 12 Параметры преобразования прямоугольной системы координат индексы у координат относятся к номеру точки в первой СК, индексы у азимута – номер СК для линии 1-2, индексы у расстояния – к точкам в разных системах координат . (4) Уравнение (4) также как и (3) содержит четыре неизвестных параметра – хо, уо, α, т. . Рассмотрим варианты углов поворота: 1” = 0.0000048481; sin 1” = 0.0000048481; cos 1” = 0,999999999988; 1’= 0.0002908882; sin 1’ = 0,0002908882; cos 1’ = 0,99999995769; 5’= 0,0014544410; sin 5’ = 0,0014544405; cos 5’ = 0,9999989423; 10’= 0,0029088820; sin 10’ = 0,0029088780; cos 10’ = 0,9999957692; 1= 0,0174532925; sin 1 = 0,0174524064; cos 1 = 0,9998476951; 2= 0,0349065850; sin 2 = 0,0348994967; cos 2 = 0,9993908270; 3= 0,0523598776; sin 3 = 0,0523359562; cos 3 = 0,9986295347. При малых значениях угла разворота, масштабного коэффициента и незначительных удалениях начал систем координат друг от друга формула (4) принимает вид: . При использовании параметров преобразования (-α, -хо, -уо) в выбранных направлениях – вращение против часовой стрелки, линейные элементы отсчитываются во второй системе координат, получаем параметры преобразования с обратными знаками, а формула преобразования примет вид: ; это идентично формуле (3). Вариант 3 Рис. 13 Схема преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2 . (5) . (6) При малых значениях угла разворота, масштабного коэффициента и незначительных удалениях начал систем координат друг от друга формула (4) принимает вид: . (7) Использование параметров преобразования (-хо, -уо) в выбранных направлениях – линейные элементы отсчитываются во второй системе координат, формула преобразования примет вид: ; что также идентично формуле (3). Выбор формулы прямого и обратного преобразования зависит от варианта получения параметров преобразования – заданы директивно или получены через уравнивание по известным в двух системах координатам пунктов и от абсолютной величины получаемых параметров. Формулы прямого и обратного преобразования соответствуют друг другу в том случае, если угловые и масштабные параметры преобразования представляют из себя малые величины. При значительных величинах параметров преобразования прямые и обратные формулы и параметры преобразования необходимо находить раздельно для прямого и обратного случаев трансформирования координат. Рассмотрим вариант прямого и обратного преобразования на основе формулы (3): (8) (9) или (10) При использовании параметров преобразования из прямого (СК1СК2) – заменив знаки на обратные, получим следующее выражение: (11) Знаменатель в дроби с масштабным коэффициентов разложим в ряд Маклорена и представим в виде: , (12) Что тождественно выражению: , (13) Ввиду малости (14) При определенных значениях угла поворота, масштабного коэффициента и линейных элементах смещения можно использовать одну и ту же формулу прямого и обратного преобразования, при условии пренебрежения получаемыми ошибками трансформирования. (15) (16) Рассмотрим возможные варианты малости параметров преобразования - при и третьим слагаемым в (16) можно пренебречь, если линейные элементы меньше 1000 м, а второе слагаемое пренебрегаемо мало (при линейном элементе менее 1000м) уже при . Таким образом, подставив параметры трансформирования в формулу (14) определяем вариант для формулы обратного преобразования. Схема преобразования плоских систем координат из левой тройки векторов в правую тройку векторов (вращение вокруг воображаемой третьей оси) Для преобразования системы координат с правой тройкой векторов в левую применяют схему, показанную на Рис. 14. Преобразование выполним с условием наличия воображаемой третьей оси, со стороны которой мы наблюдаем за выполнением преобразования. Рис. 14 Схема преобразования координат пункта из «левой» системы векторов СК1 в «правую» систему векторов СК2 (17) Матрица преобразования матрицы разворота для случаев с правой тройкой векторов и левой тройкой векторов (18) . В то же время: . Тогда (19) Проверка: (20) Матрица не перестановочная, ее следует применять слева от преобразуемой матрицы. Для схемы преобразования координат пункта из «левой» системы векторов СК1 в «правую» систему векторов СК2 (Рис. 14) получим: (21) где Для случая трехмерных систем координат преобразования осуществляется для трех осей. Координаты для оси, вокруг которой происходит вращение (преобразование) остаются неизменными. Например - преобразование правой тройки векторов в левую тройку векторов, при неизменной координате на оси z: (22) Виды трансформирования двумерных систем координат Общие уравнения преобразований, при переходе от системы СК1 к системе СК2 будут иметь вид [2]: , (23) где ,,, - параметры преобразования, включающие в себя повороты каждой из осей координат одной системы относительно другой, и масштабы m проективного соответствия в направлениях каждой из координатных осей; остальные обозначения соответствуют обозначениям на Рис. 11. Наименования основных процедур преобразований плоских систем координат: Преобразование без изменений – первая и вторая система координат полностью совпадают; Преобразование подобия, конформное, Гельмерта, изогональное, Эвклидово – вторая система отличается от первой за счет применения масштабного коэффициентов Преобразование ортогональное – различие в системах координат достигается использованием масштабных коэффициентов по каждой оси; Преобразование аффинное – все параметры преобразования неизвестны. Конформное преобразование Для конформных преобразований, при переходе от системы А к системе В найдем коэффициенты уравнений: (24) При конформном трансформировании местной уравненной сети в государственную геодезическую сеть могут деформироваться только длины линий в зависимости от масштаба проектирования m. Углы в местной сети не деформируются, изменяется только ее общее ориентирование в зависимости от угла . Формула (23) с учетом (24) выглядит следующим образом, при этом используются четыре параметра преобразования: (25) или (26) где , – поправки в масштаб по осям x и y соответственно; - поворот координатных осей; - смещение центра систем координат; остальные обозначения соответствуют обозначениям на Рис. 11. Различие в масштабных коэффициентах по осям координат дает пятый элемент преобразования из системы А в систему В (27) или (28) Формулами конформного преобразования целесообразно пользоваться в том случае, когда пункты местной сети трансформируются в государственную сеть, но они определены точнее, чем пункты государственной геодезической сети. Аффинное преобразование Аффинное – преобразование с не ортогональным углом между осями второй системы координат с различными масштабными коэффициентами по каждой оси. Рис. 15 Схема аффинного преобразования координат пункта из системы координат СК1 в систему координат СК2 Для аффинных преобразований, при переходе от системы СК1 к системе СК2 найдем коэффициенты уравнений. (29) Поскольку значения параметров m и определяются независимо по каждой из осей координат, при аффинном преобразовании из СК1 в СК2 могут деформироваться и углы, и длины линий. Преобразование координат из системы А в систему В производится с использованием шести параметров по следующим формулам (30) Перемножив матрицы в правой части уравнений получим: (31) где - направления проективного соответствия в направлениях каждой из координатных осей; остальные обозначения соответствуют обозначениям формулы (3), (26). В соответствии с основными формулами тригонометрии: (32) Если , то (33) Тогда (34) Формулами аффинного преобразования целесообразно пользоваться в том случае, когда пункты государственной геодезической сети определены точнее, чем пункты местной сети, которая трансформируется в государственную. Приведем итоговые формулы трансформирования плоских систем координат: преобразование с одним параметром: (35) преобразование с двумя параметрами: разворот и масштабирование: ; (36) параллельный перенос: ; (37) преобразование с тремя параметрами: ; (38) преобразование с четырьмя параметрами: ; (39) преобразование с пятью параметрами: ; (40) преобразование с шестью параметрами: . (41) Литература