Системный анализ и моделирование процессов в техносфере

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ – АНОО ВО КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТЕХНОСФЕРЕ Направление подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность Профиль подготовки «Техносферная безопасность» Квалификация (степень) выпускника – бакалавр Форма обучения – очная (заочная) Воронеж 2021 2 Лекция 1 1. Моделирование как метод научного познания Моделирование (в широком смысле) является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей (аналитических и имитационных), реализуемых на современных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспериментатора с моделью системы. В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или ивой степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации. Остановимся на философских аспектах моделирования, а точнее общей теории моделирования. 1.1. Методологическая основа моделирования. Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objection — предмет). Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой. В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т. е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия. Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом. Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам; такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются 2 3 моделями. Другими словами, модель (лат. modulus — мера) — это объектзаместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. 1.2. Определение моделирования. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования. Определяя гносеологическую роль теории моделирования, т. е. ее значение в процессе познания, необходимо, прежде всего, отвлечься от имеющегося в науке и технике многообразия моделей и выделить то общее, что присуще моделям различных по своей природе объектов реального мира. Это общее заключается в наличии некоторой структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая подобна структуре данного объекта. В процессе изучения модель выступает в роли относительного самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте. Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного Процесса. Стадии познания, на которых происходит такая замена, а также формы соответствия модели и оригинала могут быть различными: 1) моделирование как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешней среды, о происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам; 2) моделирование, заключающееся в построении некоторой системы-модели (второй системы), связанной определенными соотношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), причем в этом случае отображение одной системы в другую является средством выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного изучения поступающей информации. 3 4 Следует отметить, что с точки зрения философии моделирование – эффективное средство познания природы. Процесс моделирования предполагает наличие: 1) объекта исследования; 2) исследователя, перед которым поставлена конкретная задача; 3) модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи. Причем, по отношению к модели исследователь является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью. Такой эксперимент для инженера есть инструмент непосредственного решения организационно-технических задач. Надо иметь в виду, что любой эксперимент может иметь существенное значение в конкретной области науки только при специальной его обработке и обобщении. Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для подтверждения гипотезы, проверки теории. Поэтому инженеры (исследователи и практики) должны быть знакомы с элементами современной методологии теории познания и, в частности, не должны забывать основного положения материалистической философии, что именно экспериментальное исследование, опыт, практика являются критерием истины. 1.3. Использование моделирования при исследовании и проектировании сложных систем Одна из проблем современной науки и техники – разработка и внедрение в практику проектирования новейших методов исследования характеристик сложных информационно-управляющих и информационновычислительных систем различных уровней (например, автоматизированных систем научных исследований и комплексных испытаний, систем автоматизации проектирования, АСУ технологическими процессами, а также интегрированных АСУ, вычислительных систем, комплексов и сетей, информационных систем, цифровых сетей интегрального обслуживания и т. д.). При проектировании сложных систем и их подсистем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования таких систем, проведения структурного алгоритмического и параметрического их синтеза. Особенности разработки систем. Рассматриваемые в данном учебном курсе системы информатики и вычислительной техники, автоматизированные системы обработки информации и управления, информационные системы относятся к классу больших систем, этапы проектирования, внедрения, эксплуатации и эволюции которых в настоящее время невозможны без использования различных видов моделирования. На всех перечисленных этапах для сложных видов различных уровней необходимо учитывать следующие особенности: - сложность структуры и стохастичность связей между элементами; 4 5 - неоднозначность алгоритмов поведения при различных условиях; - большое количество параметров и переменных; - неполноту и недетерминированность исходной информации; - разнообразие и вероятностный характер воздействий внешней среды и т. д. Ограниченность возможностей экспериментального исследования больших систем делает актуальной разработку методики их моделирования, которая позволила бы в соответствующей форме представить процессы функционирования систем, описание протекания этих процессов с помощью математических моделей, получение результатов экспериментов с моделями по оценке характеристики исследуемых Объектов. Причем на разных этапах создания и использования перечисленных систем для всего многообразия входящих в них подсистем применив метода моделирования преследует конкретные цели, а эффективность метода зависит от того, насколько грамотно разработчик использует возможности моделирования. Независимо от разбиения конкретной сложной системы на подсистемы при проектировании каждой из них необходимо выполнить внешнее проектирование (макропроектирование) и внутреннее проектирование (микропроектирование). Так как на этих стадиях разработчик преследует различные цели, то и используемые при этом методы и средства моделирования могут существенно отличаться. На стадии макропроектирования должна быть разработана обобщенная модель процесса функционирования сложной системы, позволяющая разработчику получить ответы на вопросы об эффективности различных стратегий управления объектом при его взаимодействии с внешней средой. Стадию внешнего проектирования можно разбить на анализ и синтез. При анализе изучают объект управления, строят модель воздействий внешней среды, определяют критерии оценки эффективности, имеющиеся ресурсы, необходимые ограничения. Конечная цель стадии анализа – построение модели объекта управления для оценки его характеристик. При синтезе на этапе внешнего проектирования решаются задачи выбора стратегии управления на основе модели объекта моделирования, т. е. сложной системы. На стадии микропроектирования разрабатывают модели с целью создания эффективных подсистем. Причем используемые методы и средства моделирования зависят от того, какие конкретно обеспечивающие подсистемы разрабатываются: информационные, математические, технические, программные и т. д. Особенности использования моделей. Выбор метода моделирования и необходимая детализация моделей существенно зависят от этапа разработки сложной системы, На этапах обследования объекта управления, например, промышленного предприятия, и разработки технического заданий на проектирование автоматизированной системы управления модели в основном носят описательный характер и преследуют цель 5 6 наиболее полно представить в компактной форме информацию об объекте, необходимую разработчику системы. На этапах разработки технического и рабочего проектов систем модели отдельных подсистем детализируются, и моделирование служит для решения конкретных задач проектирования, т. е. выбора оптимального по определенному критерию при заданных ограничениях варианта из множества допустимых. Поэтому в основном на этих этапах проектирования сложных систем используются модели для целей синтеза. Целевое назначение моделирования на этапе внедрения и эксплуатации сложных систем – это проигрывание возможных ситуаций для принятия обоснованных и перспективных решений по управлению объектом. Моделирование (имитацию) также широко применяют при обучении и тренировке персонала автоматизированных систем управления, вычислительных комплексов и сетей, информационных систем в различных сферах. В этом случае моделирование носит характер деловых игр. Модель, реализуемая обычно на ЭВМ, воспроизводит поведение управляемого объекта и внешней среды, а люди в определенные моменты времени принимают решения по управлению объектом. АСОИУ являются системами, которые развиваются по мере эволюции объекта управления, появления новых средств управления и т. д. Поэтому при прогнозировании развития сложных систем роль моделирования очень высока, так как это единственная возможность ответить на многочисленные вопросы о путях дальнейшего эффективного развития системы и выбора из них наиболее оптимального. Лекция 2 2. Основные понятия о системах и процессах Моделирование начинается с формирования предмета исследований – системы понятий, отражающей существенные для моделирования характеристики объекта. Эта задача является достаточно сложной, что подтверждается различной интерпретацией в научно-технической литературе таких фундаментальных понятий, как система, модель, моделирование. Подобная неоднозначность не говорит об ошибочности одних и правильности других терминов, а отражает зависимость предмета исследований (моделирования) как от рассматриваемого объекта, так и от целей исследователи. Отличительной особенностью моделирования сложных систем является его многофункциональность и многообразие способов использования; оно становится неотъемлемой частью всего жизненного цикла системы. Объясняется это в первую очередь технологичностью моделей, реализованных на базе средств вычислительной техники: достаточно высокой скоростью получения результатов моделирования и их сравнительно невысокой себестоимостью. Система – под системой понимается множество элементов, 6 7 находящихся в отношениях и связях друг с другом и образующих определенную целостность (единство). Элемент – минимальный неделимый объект, рассматриваемый как единое целое. Процесс (операция) – функционирование системы. Система в процессе функционирования исполняет ряд целенаправленных действий, совокупность которых называют операцией. Организационная система – объединение людей , совместно реализующих некоторую цель и действующих на основе определённых правил и процедур. Системность. Развитие философии и специальных наук привело к формированию принципа системности. Системность – всеобщее свойство материи, одна из форм её существования. Системность процесса проявляется в определенной последовательности, т.е. взаимосвязанности, его составных частей (действий, операций), ведущей к конечному результату процесса, т.е. к его цели. Классификация систем по их происхождению: 1) Искусственные: - материальные, абстрактные, абстрактно-материальные. 2) Естественные: - неорганические, биологические, экологические. 3) Смешанные: - системы обслуживания, социально-экономические. 3. Системный подход в моделировании систем и процессов В настоящее время при анализе и синтезе сложных (больших) систем получил развитие системный подход, который отличается от классического (или индуктивного) подхода, Последний рассматривает систему путем перехода от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатываемых раздельно. В отличие от этого системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Объект моделирования. Специалисты по проектированию и эксплуатации сложных систем имеют дело с системами управления различных уровней, обладающими общим свойством – стремлением достичь некоторой цели. Эту особенность учтем в следующих определениях системы. Система S – целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы. Внешняя среда Е – множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием. 7 8 В зависимости от цеди исследования могут рассматриваться разные соотношения между самим объектом S и внешней средой Е таким образом, в зависимости от уровня, на котором находится наблюдатель, объект исследования может выделяться по-разному и могут иметь место различные взаимодействия этого объекта с внешней средой. С развитием науки и техники сам объект непрерывно усложняется, и уже сейчас говорят об объекте исследования как о некоторой сложной системе, которая состоит из различных компонент, взаимосвязанных друг с другом. Поэтому, рассматривая системный подход как основу для построения больших систем и как базу создания методики их анализа и синтеза, прежде всего необходимо определить само понятие системного подхода. Системный подход – это элемент учения об общих законах развития природы и одно из выражений диалектического учения. Можно привести разные определения системного подхода, но наиболее правильно то, которое позволяет оценить познавательную сущность этого подхода при таком методе исследования систем, как моделирование. Поэтому весьма важны выделение самой системы S и внешней среды Е из объективно существующей реальности и описание системы исходя из общесистемных позиций. При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования. Поскольку невозможно полностью смоделировать реально функционирующую систему (системуоригинал, или первую систему), создается модель (система-модель, или вторая система) под поставленную проблему. Таким образом, применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет подойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в создаваемую модель М. Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдельных элементов в создаваемую модель. Подходы к исследованию систем. Важным для системного подхода является определение структуры системы – совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Структура системы может изучаться извне с точки зрения состава отдельных подсистем и отношений между ними, а также изнутри, когда анализируются отдельные свойства, позволяющие системе достигать заданной цели, т.е. когда изучаются функции системы. В соответствии с этим наметился ряд подходов к исследованию структуры системы с ее свойствами, к которым следует прежде всего отнести структурный и функциональный. При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы S и связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о структуре системы. Последняя в зависимости от цели исследования может быть описана на разных уровнях рассмотрения. Наиболее общее описание струю туры – это топологическое описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и хорошо формализуемое на базе теории графов. 8 9 Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные функции, т.е. алгоритмы поведения системы, и реализуется функциональный подход, оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается свойство, приводящее к достижению цели. Поскольку функция отображает свойство, а свойство отображает взаимодействие системы S с внешней средой Е, то свойства могут быть выражены в виде либо некоторых характеристик элементов Si (j) и подсистем S, системы, либо системы S в целом. При наличии некоторого эталона сравнения можно ввести количественные и качественные характеристики систем. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данной характеристикой и эталоном. Качественные характеристики системы находятся, например, с помощью метода экспертных оценок. Проявление функций системы во времени S(t), т.е. функционирование системы, означает переход системы из одного состояния в другое, т.е. движение в пространстве состояний Z. При эксплуатации системы S весьма важно качество ее функционирования, определяемое показателем эффективности и являющееся значением критерия оценки эффективности. Существуют различные подходы к выбору критериев оценки эффективности. Система S может оцениваться либо совокупностью частных критериев, либо некоторым общим интегральным критерием. Следует отметить, что создаваемая модель М с точки зрения системного подхода также является системой, т. е. S'=S'(M), и может рассматриваться по отношению к внешней среде Е. Наиболее просты по представлению модели, в которых сохраняется прямая аналогия явления. Применяют также модели, в которых нет прямой аналогии, а сохраняются лишь законы и общие закономерности поведения элементов системы S. Правильное понимание взаимосвязей как внутри самой модели М, так и взаимодействия ее с внешней средой Е в значительной степени определяется тем, на каком уровне находится наблюдатель. Простой подход к изучению взаимосвязей между отдельными частями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Процесс синтеза модели М на основе классического (индуктивного) подхода представлен на рисунке 1. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель М. 9 10 Д Д Ц К М Д Д ... К Ц Д Рисунок 1 – Процесс синтеза модели на основе классического подхода Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классический подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две отличительные стороны классического подхода: наблюдается движение от частному то к общему, создаваемая модель (система) образуется путем суммирования отдельных ее компонент и не учитывается возникновение нового системного эффекта. С усложнением объектов моделирования возникла необходимость наблюдения их с более высокого уровня. В этом случае наблюдатель (разработчик) рассматривает данную систему S как некоторую подсистему какой-то метасистемы, т.е. системы более высокого ранга, и вынужден перейти на позиции нового системного подхода, который позволит ему построить не только исследуемую систему, решающую совокупность задач, но и создавать систему, являющуюся составной частью метасистемы. Например, если ставится задача проектирования АСУ предприятием, то с позиции системного подхода нельзя забывать о том, что эта система является составной частью АСУ объединением. Системный подход получил применение в системотехнике в связи с необходимостью исследования больших реальных систем, когда сказалась недостаточность, а иногда ошибочность принятия каких-либо частных решений. На возникновение системного подхода повлияли увеличивающееся количество исходных данных при разработке, необходимость учета сложных стохастических связей в системе и воздействий внешней среды Е. Все это заставило исследователей изучать сложный объект не изолированно, а во взаимодействии с внешней средой, 10 11 а также в совокупности с другими системами некоторой метасистемы. Системный подход позволяет решить проблему построения сложной системы с учетом всех факторов и возможностей, пропорциональных их значимости, на всех этапах исследования системы S и построения модели М. Системный подход означает, что каждая система S является интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщенных подсистем. Таким образом, в основе системного подхода лежит рассмотрение системы как интегрированного целого, причем это рассмотрение при разработке начинается с главного – формулировки цели функционирования. Процесс синтеза модели M на базе системного подхода условно представлен на рисунке 2. Д Д КВ Э В Т Ц Т Т П М Т Рисунок 2 – Процесс синтеза модели на основе системного подхода На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничении, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования T к модели системы S. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза – выбор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ. При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы. Эффективность обычно определяется как некоторая разность между какими-то показателями ценности результатов, полученных в итоге эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание. Лекция 3 Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования: макропроектирование и микропроектирование. 11 12 На стадии макропроектирования на основе данных о реальной системе S и внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S. Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможности модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы S. Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений системы моделирования. На этой стадии можно установить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы S. Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного подхода: 1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели; 2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик; 3) правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования; 4) целостность отдельных обособленных стадий построения модели. Модель М должна отвечать заданной цели ее создания, поэтому отдельные части должны компоноваться взаимно, исходя из единой системной задачи. Цель может быть сформулирована качественно, тогда она будет обладать большей содержательностью и длительное время может отображать объективные возможности данной системы моделирования. При количественной формулировке цели возникает целевая функция, которая точно отображает наиболее существенные факторы, влияющие на достижение цели. Построение модели относится к числу системных задач, при решении которых синтезируют решения на базе огромного числа исходных данных, на основе предложений больших коллективов специалистов. Использование системного подхода в этих условиях позволяет не только построить модель реального объекта, но и на базе этой модели выбрать необходимое количество управляющей информации в реальной системе, оценить показатели ее функционирования и тем самым на базе моделирования найти наиболее эффективный вариант построения и выгодный режим функционирования реальной системы S. 12 13 4. Экспериментальные исследования систем С развитием системных исследований, с расширением экспериментальных методов изучения реальных явлений все большее значение приобретают абстрактные методы, появляются новые научные дисциплины, автоматизируются элементы умственного труда. Важное значение при создании реальных систем S имеют математические методы анализа и синтеза, целый ряд открытий базируется на чисто теоретических изысканиях. Однако было бы неправильно забывать о том, что основным критерием любой теории является практика, и даже сугубо математические, отвлеченные науки базируются в своей основе на фундаменте практических знаний. Одновременно с развитием теоретических методов анализа и синтеза совершенствуются и методы экспериментального изучения реальных объектов, появляются новые средства исследования. Однако эксперимент был и остается одним из основных и существенных инструментов познания. Подобие и моделирование позволяют по-новому описать реальный процесс и упростить экспериментальное его изучение. Совершенствуется и само понятие моделирования. Если раньше моделирование означало реальный физический эксперимент либо построение макета, имитирующего реальный процесс, то в настоящее время появились новые виды моделирования, в основе которых лежит постановка не только физических, но также и математических экспериментов. Познание реальной действительности является длительным и сложным процессом. Определение качества функционирования большой системы, выбор оптимальной структуры и алгоритмов поведения, построение системы S в соответствии с поставленной перед нею целью – основная проблема при проектировании современных систем, поэтому моделирование можно рассматривать как один из методов, используемых при проектировании и исследовании больших систем. Моделирование базируется на некоторой аналогии реального и мысленного эксперимента. Аналогия – основа для объяснения изучаемого явления, однако критерием истины может служить только практика, только опыт. Хотя современные научные гипотезы могут создаться чисто теоретическим путем, но, по сути, базируются на широких практических знаниях. Для объяснения реальных процессов выдвигаются гипотезы, для подтверждения которых ставится эксперимент либо проводятся такие теоретические рассуждения, которые логически подтверждают их правильность. В широком смысле под экспериментом можно понимать некоторую процедуру организации и наблюдения каких-то явлений, которые осуществляют в условиях, близких к естественным, либо имитируют их. Различают пассивный эксперимент, когда исследователь наблюдает протекающий процесс, и активный, когда наблюдатель вмешивается и организует протекание процесса. В последнее время распространен 13 14 активный эксперимент, поскольку именно на его основе удается выявить критические ситуации, получить наиболее интересные закономерности, обеспечить возможность повторения эксперимента в различных точках и т.д. В основе любого вида моделирования лежит некоторая модель, имеющая соответствие, базирующееся на некотором общем качестве, которое характеризует реальный объект. Объективно реальный объект обладает некоторой формальной структурой, поэтому для любой модели характерно наличие некоторой структуры, соответствующей формальной структуре реального объекта, либо изучаемой стороне этого объекта. В основе моделирования лежат информационные процессы, поскольку само создание модели М базируется на информации о реальном объекте. В процессе реализации модели получается информация о данном объекте, одновременно в процессе эксперимента с моделью вводится управляющая информация, существенное место занимает обработка полученных результатов, т. е. информация лежит в основе всего процесса моделирования. Лекция 4 5. Характеристики моделей систем В качестве объекта моделирования выступают сложные организационно-технические системы, которые можно отнести к классу больших систем. Более того, по своему содержанию и созданная модель М также становится системой S(M) и тоже может быть отнесена к классу больших систем, для которых характерно следующее: 1. Цель функционирования, которая определяет степень целенаправленности поведения модели М. В этом случае модели могут быть разделены на одноцелевые, предназначенные для решения одной задачи, и многоцелевые, позволяющие разрешить или рассмотреть ряд сторон функционирования реального объекта. 2. Сложность, которую, учитывая, что модель М является совокупностью отдельных элементов и связей между ними, можно оценить по общему числу элементов в системе и связей между ними. По разнообразию элементов можно выделить ряд уровней иерархии, отдельные функциональные подсистемы в модели М, ряд входов и выходов и т.д., т.е. понятие сложности может быть идентифицировано по целому ряду признаков. 3. Целостность, указывающая на то, что создаваемая модель М является одной целостной системой S(M), включает в себя большое количество составных частей (элементов), находящихся в сложной взаимосвязи друг с другом. 4. Неопределенность, которая проявляется в системе: по состоянию системы, возможности достижения поставленной цели, методам. решения задач, достоверности исходной информации и т.д. Основной 14 15 характеристикой неопределенности служит такая мера информации, как энтропия, позволяющая в ряде случаев оценить количество управляющей информации, необходимой для достижения заданного состояния системы. При моделировании основная цель – получение требуемого соответствия модели реальному объекту и в этом смысле количество управляющей информации в модели можно также оценить с помощью энтропии и найти то предельное минимальное количество, которое необходимо для получения требуемого результата с заданной достоверностью. Таким образом, понятие неопределенности, характеризующее большую систему, применимо к модели М и является одним из ее основных признаков. 5. Поведенческая страта, которая позволяет оценить эффективность достижения системой поставленной цели. В зависимости от наличия случайных воздействий можно различать детерминированные и стохастические системы, по своему поведению – непрерывные и дискретные и т. д. Поведенческая страта рассмотрения системы S позволяет применительно к модели М оценить эффективность построенной модели, а также точность и достоверность полученных при этом результатов. Очевидно, что поведение модели М не обязательно совпадает с поведением реального объекта, причем часто моделирование может быть реализовано на базе иного материального носителя. 6. Адаптивность, которая является свойством высокоорганизованной системы. Благодаря адаптивности удается приспособиться к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды. Применительно в модели существенна возможность ее адаптации в широком спектре возмущающих воздействий, а также изучение поведения модели в изменяющихся условиях, близких к реальным. Надо отметить, что существенным может оказаться вопрос устойчивости модели к различным возмущающим воздействиям. Поскольку модель М – сложная система, весьма важны вопросы, связанные с ее существованием, т. е. вопросы живучести, надежности и т.д. 7. Организационная структура системы моделирования, которая во многом зависит от сложности модели и степени совершенства средств моделирования. Одним из последних достижений в области моделирования можно считать возможность использования имитационных моделей для проведения машинных экспериментов. Необходимы оптимальная организационная структура комплекса технических средств, информационного, математического и программного обеспечений системы моделирования S'(M), оптимальная организация процесса моделирования, поскольку следует обращать особое внимание на время моделирования и точность получаемых результатов. 8. Управляемость модели, вытекающая из необходимости обеспечивать управление со стороны экспериментаторов для получения возможности рассмотрения протекания процесса в различных условиях, имитирующих реальные. В этом смысле наличие многих управляемых параметров и переменных модели в реализованной системе моделирования 15 16 дает возможность поставить широкий эксперимент и получить обширный спектр результатов. Управляемость системы тесно связана и со степенью автоматизации моделирования. В настоящее время получили применение системы моделирования, отличающиеся высокой степенью автоматизации процесса моделирования, когда наряду с программными средств управления машинным моделированием используется возможность мультимедийного общения исследователя с процессом моделирования. 9. Возможность развития модели, которая исходя из современного уровня науки и техники позволяет создавать мощные системы моделирования S(М) для исследования многих сторон функционирования реального объекта. Однако нельзя при создании системы моделирования ограничиваться только задачами сегодняшнего дня. Необходимо предусматривать возможность развития системы моделирования как по горизонтали в смысле расширения спектра изучаемых функций, так и по вертикали в смысле расширения числа подсистем, т. е. созданная система моделирования должна позволить применять новые современные методы и средства. Естественно что интеллектуальная система моделирования может функционировать только совместно с коллективом людей, поэтому к ней предъявляют эргономические требования. Цели моделирования систем. Одним из наиболее важных аспектов построения систем моделирования является проблема цели. Любую модель строят в зависимости от цели, которую ставит перед ней исследователь, поэтому одна из основных проблем при моделировании – это проблема целевого назначения. Подобие процесса, протекающего в модели М, реальному процессу является не целью, а условием правильного функционирования модели, и поэтому в качестве цели должна быть поставлена задача изучения какой-либо стороны функционирования объекта. Для упрощения модели М цели делят на подцели и создают более эффективные виды моделей в зависимости от полученных подцелей моделирования. Можно указать целый ряд примеров целей моделирования в области сложных систем. Например, для АСУ предприятием весьма существенно изучение процессов оперативного управления производством, оперативно-календарного планирования, перспективного планирования и здесь также могут быть успешно использованы методы моделирования. Если цель моделирования ясна, то возникает следующая проблема, а именно проблема построения модели М. Построение модели оказывается возможным, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров исследуемого объекта. На основании их изучения осуществляется идентификация объекта. В настоящее время широко применяют различные способы оценки параметров: по методу наименьших квадратов, по методу максимального правдоподобия, байесовские, марковские оценки. Если модель М построена, то следующей проблемой можно считать 16 17 проблему работы с ней, т.е. реализацию модели, основные задачи которой – минимизация времени получения конечных результатов и обеспечение их достоверности. Для правильно построенной модели М характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы S, несущественные для данного исследования. Следует отметить, что оригинал и модель должны быть одновременно сходны по одним признакам и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства. В этом смысле модель выступает как некоторый «заместитель» оригинала, обеспечивающий фиксацию в изучение лишь некоторых свойств реального объекта. Таким образом, характеризуя проблему моделирования в целом, необходимо учитывать, что от постановки задачи моделирования до интерпретации полученных результатов существует большая группа сложных научно-технических проблем, к основным из которых можно отнести следующие: идентификацию реальных объектов, выбор вида моделей, построение моделей и их машинную реализацию, взаимодействие исследователя с моделью в ходе машинного эксперимента, проверку правильности полученных в ходе моделирования результатов, выявление основных закономерностей, исследованных в процессе моделирования. В зависимости от объекта моделирования и вида используемой модели эти проблемы могут иметь разную значимость. В одних случаях наиболее сложной оказывается идентификация, в других – проблема построения формальной структуры объекта. Возможны трудности и при реализации модели, особенно в случае имитационного моделирования больших систем. При этом следует подчеркнуть роль исследователя в процессе моделирования. Постановка задачи, построение содержательной модели реального, объекта во многом представляют собой творческий процесс и базируются на эвристике. И в этом смысле нет формальных путей выбора оптимального вида модели. Часто отсутствуют формальные методы, позволяющие достаточно точно описать реальный процесс. Поэтому выбор той или иной аналогии, выбор того или иного математического аппарата моделирования полностью основывается на имеющемся опыте исследователя и ошибка исследователя может привести к ошибочным результатам моделирования. Средства вычислительной техники, которые в настоящее время широко используются либо для вычислений при аналитическом моделировании, либо для реализации имитационной модели системы, могут лишь помочь с точки зрения эффективности реализации сложной модели, но не позволяют подтвердить правильность той или иной модели. Только на основе обработанных данных, опыта исследователя можно с достоверностью оценить адекватность модели по отношению к реальному процессу. Если в ходе моделирования существенное место занимает реальный 17 18 физический эксперимент, то здесь весьма важна и надежность используемых инструментальных средств, поскольку сбои и отказы программно-технических средств могут приводить к искаженным значениям выходных данных, отображающих протекание процесса. И в этом смысле при проведении физических экспериментов необходимы специальная аппаратура, специально разработанное математическое и информационное обеспечение, которые позволяют реализовать диагностику средств моделирования, чтобы отсеять те ошибки в выходной информации, которые вызваны неисправностями функционирующей аппаратуры. В ходе машинного эксперимента могут иметь место и ошибочные действия человека-оператора. В этих условиях серьезные задачи стоят в области эргономического обеспечения процесса моделирования. Лекция 5 6. Виды моделирования систем В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем. Классификация видов моделирования систем S приведена на рисунке 3. В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В. этом случае анализируется ряд реализации случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов. В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование. 18 19 Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического. Моделирование систем Детерминированное Стохастическое Статическое Динамическое Дискретнонепрерывное В нереальном масштабе времени Физическое В реальном масштабе времени Натурное Производственные испытания Имитационное Комбинированное Математическое Аналитическое Знакоевое Символическое Языковое Макетирование Аналоговое Гипотетическое Наглядное Реальное Комплексный эксперимент Мысленное Непрерывное Научный эксперимент Дискретное Рисунок 3 – Классификация видов моделирования систем При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая 19 20 модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта. Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинноследственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта. В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус – словарь, который очищен от неоднозначности, т. е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий. Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов. При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУ предприятием потребует, во-первых, создания такой АСУ, а во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т. е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно. Рассмотрим разновидности реального моделирования. Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Надо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные 20 21 испытания, обладают высокой степенью достоверности. С развитием техники и проникновением в глубь процессов, протекающих в реальных системах, возрастает техническая оснащенность современного научного эксперимента. Он характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента, и в соответствии с этим появилось новое научное направление – автоматизация научных экспериментов. Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что в нем могут появиться отдельные критические ситуации и определяться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процессе функционирования объекта. Одна из разновидностей эксперимента – комплексные испытания, которые также можно отнести к натурному моделированию, когда вследствие повторения испытаний изделий выявляются общие закономерности о надежности этих изделий, о характеристиках качества и т.д. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений, проходящих в группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т. е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики. Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени, а также может рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, которые фиксируются в некоторый момент времени. С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины. 21 22 Особое место в моделировании занимает кибернетическое моделирование, в котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. 7. Физическое моделирование Физическое моделирование – это вид моделирования, который состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу. В науке любой эксперимент, производимый для выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости найденных теоретическим путём результатов, по существу представляет собою моделирование, т. к. объектом эксперимента является конкретная модель, обладающая необходимыми физическими свойствами, а в ходе эксперимента должны выполняться основные требования, предъявляемые к физическим моделям. В технике физическое моделирование используется при проектировании и сооружении различных объектов для определения на соответствующих моделях тех или иных свойств (характеристик) как объекта в целом, так и отдельных его частей. К физическому моделированию прибегают не только по экономическим соображениям, но и потому, что натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (малы) размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т. п.). В основе физического моделирования лежат теория подобия и анализ размерностей. Теория подобия – это учение об условиях подобия физических явлений. Теория подобия опирается на учение о размерностях физических величин и служит основой моделирования физического. Предметом теории подобия является установление подобия критериев различных физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений. Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответствующим величинам другой системы. 22 23 Коэффициенты пропорциональности для каждой из величин называется коэффициентом подобия. Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия. При геометрическом подобии существует пропорциональность (подобие) сходственных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих физических параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т.п.); механическое подобие (например, подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т.п.) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков; при электродинамическом подобии - поля токов, нагрузок, мощностей, поля электромагнитных сил. Все перечисленные виды подобия - частные случаи физического подобия. С развитием исследований сложных физических и физикохимических процессов, включающих механические, тепловые и химические явления, развиваются и методы теории подобии для этих процессов, например, устанавливаются условия подобия процессов трения и износа деталей машин, кинетики физико-химических превращений и др. явлений. Пропорциональность для подобных явлений всех характеризующих их параметров приводит к тому, что все безразмерные комбинации, которые можно составить из этих параметров, имеют для подобных явлений одинаковые численные значения. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров рассматриваемых явлений, называются критериями подобия. Любая комбинация из критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемых физических явлений. Если в рассматриваемых физических явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние на протекание рассматриваемых физических процессов критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительным или малосущественным. Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения; одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования. Анализ размерностей – это метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин. 23 24 В основе анализа размерностей лежит требование, согласно которому уравнение, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения. Необходимыми условиями физического моделирования являются геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и натуры: в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для натуры, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой пропорциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных результатов, получаемых для модели, на натуру путём умножения каждой из определяемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множитель - коэффициент подобия. Чаще всего к физическому моделированию прибегают при исследовании различных механических (включая гидроаэромеханику и механику деформируемого твёрдого тела), тепловых и электродинамических явлений. При этом число и вид критериев подобия для каждого моделируемого явления зависит от его природы и особенностей. Когда при физическом моделировании необходимо обеспечить равенство нескольких критериев, возникают значительные трудности, часто непреодолимые, если только не делать модель тождественной натуре, что фактически означает переход от физического моделирования к натурным испытаниям. Поэтому на практике нередко прибегают к приближённому моделированию, при котором часть процессов, играющих второстепенную роль, или совсем не моделируется, или моделируется приближённо. Такое физическое моделирование не позволяет найти прямым пересчётом значения тех характеристик, которые не отвечают условиям подобия, и их определение требует соответствующих дополнительных исследований. Одним из видов физического моделирования, применяемым к твёрдым деформируемым телам, является поляризационно-оптический метод исследования напряжений, основанный на свойстве ряда изотропных прозрачных материалов становиться под действием нагрузок (т. е. при деформации) анизотропными, что позволяет исследовать распределение напряжений в различных деталях с помощью их моделей из прозрачных материалов. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений – это метод изучения напряжений в деталях машин и строительных конструкциях на прозрачных моделях. Главные значения тензора диэлектрической проницаемости линейно связаны с главными напряжениями. Для исследования напряжений на объёмных моделях применяется более сложная техника эксперимента. Объёмная модель часто исследуется с применением метода "замораживания" деформаций. Модель из 24 25 материала, обладающего свойством "замораживания" (отверждённые эпоксидные, фенолформальдегидные смолы и др.), нагревается до температуры высокоэластического состояния, нагружается и под нагрузкой охлаждается до комнатной температуры (температуры стеклования). После снятия нагрузки деформации, возникающие в высокоэластическом состоянии, и сопровождающая их оптическая анизотропия фиксируются. Наглядно описать это явление можно при помощи условной двухфазной модели материала. При нагреве до 80-120 °С (высокоэластическое состояние) одна часть материала размягчается, другая остаётся упругой. Нагрузке, приложенной к нагретой модели, противостоит неразмягчающийся скелет. При охлаждении нагруженной модели до комнатной температуры размягчающаяся часть снова застывает ("замораживается") и удерживает деформацию в скелете после снятия нагрузки. "Замороженную" модель распиливают на тонкие пластинки (срезы) толщиной 0,6- 2 мм, которые исследуют в обычном полярископе. Применяется также метод рассеянного света, при котором тонкий пучок параллельных лучей поляризованного света пропускается через объёмную модель и даёт в каждой точке на своём пути рассеянный свет, который наблюдается в направлении, перпендикулярном к пучку. Состояние поляризации по линии каждого луча от точки к точке меняется соответственно напряжениям в этих точках. Существует метод, при котором в изготовленную из оптически нечувствительного к напряжениям прозрачного материала (специальные органические стекла) объёмную модель вклеивают тонкие пластинки из оптически чувствительного материала. Измерения во вклейках проводят, как на плоской модели, - с просвечиванием нормально или под углом к поверхности вклейки. Поляризационно-оптический метод исследования применяется для изучения напряжений в плоских и объёмных деталях в пределах упругости в тех случаях, когда применение вычислительных методов затруднено или невозможно. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений используется для изучения пластических деформаций (фотопластичность), динамических процессов, температурных напряжений (фототермоупругость), для моделирования при решении задач ползучести (фотоползучесть) и др. нелинейных задач механики деформируемого тела. Разработан также метод оптически чувствительных наклеек (слоев), наносимых на поверхности натурных деталей. Слой оптически чувствительного материала наносится на поверхность металлической детали или её модели в жидком виде и затем подвергается полимеризации или наклеивается на деталь в виде пластинки. Это обеспечивает равенство деформаций нагруженной детали и покрытия. Деформации в покрытии определяются по измеренной в нём разности хода в отражённом свете при помощи односторонних полярископов. Дополнительные трудности вносит и то, что физические характеристики среды зависят от её температуры. Поэтому в большинстве практически важных случаев выполнить все условия подобия не удаётся, 25 26 приходится прибегать к приближённому моделированию. При этом отказываются от условия равенства критериев, мало влияющих на процесс, а др. условиям (например, подобие физических свойств сред, участвующих в теплообмене) удовлетворяют лишь в среднем. На практике часто используют также так называемый метод локального теплового моделирования, идея которого заключается в том, что условия подобия процессов для модели и натуры выполняются только в той области модели, где исследуется процесс теплообмена. Например, при исследовании теплоотдачи в системе однотипных тел (шаров, труб) в теплообмене на модели может участвовать лишь одно тело, на котором выполняют измерения, а остальные служат для обеспечения геометрического подобия модели и натуры. Электродинамическое моделирование применяется для исследования электромагнитных и электромеханических процессов в электрических системах. Электродинамическая модель представляет собой копию (в определённом масштабе) натурной электрической системы с сохранением физической природы основных её элементов. Такими элементами модели являются синхронные генераторы, трансформаторы, линии передач, первичные двигатели (турбины) и нагрузка (потребители электрической энергии), но число их обычно значительно меньше, чем у натурной системы. Поэтому и здесь моделирование является приближённым, причём на модели по возможности полно представляется лишь исследуемая часть системы. Особый вид физического моделирования основан на использовании специальных устройств, сочетающих физические модели с натурными приборами. К ним относятся стенды испытательные для испытания машин, наладки приборов и т. п., тренажеры для тренировки персонала, обучаемого управлению сложными системами или объектами, имитаторы, используемые для исследования различных процессов в условиях, отличных от обычных земных, например при глубоком вакууме или очень высоких давлениях, при перегрузках и т. п. (например, барокамера). Физическое моделирование находит многочисленные приложения как при научных исследованиях, так и при решении большого числа практических задач в различных областях техники. Им широко пользуются в строительном деле (определение усталостных напряжений, эксплуатационных разрушений, частот и форм свободных колебаний, виброзащита и сейсмостойкость различных конструкций и др.); в гидравлике и в гидротехнике (определение конструктивных и эксплуатационных характеристик различных гидротехнических сооружений, условий фильтрации в грунтах, моделирование течений рек, волн, приливов и отливов и др.); в авиации, ракетной и космической технике (определение характеристик летательных аппаратов и их двигателей, силового и теплового воздействия среды и др.); в судостроении (определение гидродинамических характеристик корпуса, рулей и судоходных двигателей, ходовых качеств, условий спуска и др.); в 26 27 приборостроении; в различных областях машиностроения, включая энергомашиностроение и наземный транспорт; в нефте- и газодобыче, в теплотехнике при конструировании и эксплуатации различных тепловых аппаратов; в электротехнике при исследованиях всевозможных электрических систем и т. п. 8. Математическое моделирование Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Если математическая модель описывается некоторыми уравнениями, то такая модель называется детерминированной. Если модель описывается некоторыми вероятностными законами, то такая модель называется стохастической. Основные этапы метода математического моделирования 1. Создание качественной модели. Выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости от природы модели эти законы могут быть физическими, химическими, биологическими, экономическими. На данном этапе основной задачей является выявление главных характерных черт рассматриваемого явления или процесса, его определяющие особенности. Применительно к исследованию физических явлений создание качественной модели – это формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента. 2. Создание математической модели (постановка математической задачи). а) Выделение существенных факторов. Основной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка значимости, то все они должны быть учтены или все отброшены. б) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных, условий сопряжения и т.д.). 3. Изучение математической модели. 27 28 а) Математическое обоснование модели. Исследование внутренней непротиворечивости модели. Обоснование корректности дифференциальной модели. Доказательство теорем: существования, единственности и устойчивости решения. б) Качественное исследование модели. Выяснение поведения модели в крайних и предельных ситуациях. в) Численное исследование модели. 1) Разработка алгоритма. 2) Разработка численных методов исследования модели. Разрабатываемые методы должны быть достаточно общими (пригодными для исследования математических моделей достаточно широкого класса) и алгоритмичными (обеспечивающими автоматизацию вычислений). в) Создание и реализация программы. Компьютерный эксперимент, Лабораторный эксперимент – Компьютерный эксперимент Образец – Математическая модель Физический прибор – Программа Калибровка – Тестирование программы Измерения – Расчеты Анализ данных – Анализ данных По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерный эксперимент дешевле, безопасней, может проводиться в тех случаях, когда лабораторный эксперимент принципиально невозможен. 4. Получение результатов и их интерпретация. Сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа, натурного эксперимента и данными, полученными с помощью других численных алгоритмов. Уточнение и модификация модели и методов ее исследования. 5. Использование полученных результатов. Предсказание новых явлений и закономерностей. 9. Прямые и обратные задачи математического моделирования 1. Прямая задача: все параметры исследуемой системы известны и изучается поведение модели в различных условиях. 2. Обратные задачи: а) Задача распознавания: определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирования. По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта, и находят определяющие параметры модели. В обратной задаче распознавания требуется определить значения параметров модели по известному поведению системы как целого. б) Задача синтеза (задача математического проектирования): построение математических моделей систем и устройств, которые должны обладать заданными техническими характеристиками. В отличие от задач распознавания, заключающихся в определении параметров модели, соответствующей реальному состоянию системы, в задачах 28 29 синтеза отсутствует требование единственности решения. Отсутствие единственности решения позволяет из нескольких возможных решений выбрать технически наиболее приемлемый результат. 3. Задача проектирования управляющих систем: особая область математического моделирования, связанная с автоматизированными информационными системами и автоматизированными системами управления. Универсальность математических моделей. Принцип аналогий Универсальность математических моделей есть отражение принципа материального единства мира. Математическая модель должна описывать не только отдельные конкретные явления или объекты, а достаточно широкий круг разнородных явлений и объектов. Одним из плодотворных подходов к моделированию сложны к объектов является использование аналога и с уже изученными явлениями. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношении алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т. п. или логических условии. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения). Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными моделируемой системы. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. 29 30 В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления. В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм. При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования моделируемой системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательного протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики исследуемой системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно простo учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование — наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования. Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы, являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т. е. появился метод статистического моделирования. Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) — численный метод 30 31 решения аналитической задачи. Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки: - вариантов структуры системы; - эффективности различных алгоритмов управления системой; - влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности. Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности. 10. Программное обеспечение моделирования систем Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования. Данный факт объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которые требуется моделировать (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей). Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а, возможно, и комбинированном, т. е. аналитикоимитационном. Применительно к конкретному объекту моделирования, т. е. к сложной системе, разработчику модели должны помочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса систем математические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследованиях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем. Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и 31 32 позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы. Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационновычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде. Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е имеет место цепочка «описательная модель — математическая схема — математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель». Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S – среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогаем выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (напри мер, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т.д.). 11. Формальная модель объекта Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие 32 33 подмножества: 1) совокупность входных воздействий на систему (1): хi ∈ Х ,i = 1,nх . 2) совокупность воздействий внешней среды (2): vl ∈ V , l = 1, nv . 3) совокупность внутренних (собственных) параметров системы (3): hk ∈ H , k = 1, n H . 4) совокупность выходных характеристик системы (4): (1) (2) (3) y j ∈ Y , j = 1, nY . (4) При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае хi ,vl ,hk , y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (5): х( t ) = ( x1 ( t ), x2 ( t ), ..., xnX ( t )); v(t ) = (v1 (t ), v2 (t ),...,ν nV (t )); , (5) h(t ) = (h1 (t ), h2 (t ) , ..., hnH (t )) а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид (6): y (t ) = FS ( y1 (t ), y2 (t ), ..., ynY (t )) , (6) Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором FS, который, в общем случае, преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида (7): (7) y( t ) = ( x, v, h ,t ) . Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j ( t ) для всех видов j = 1, nY , называется выходной траекторией y( t ) . Зависимость (7) называется законом функционирования системы S и обозначается FS. В общем случае закон функционирования системы FS может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования As, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий х( t ), воздействий внешней среды v( t ) и собственных параметров 33 34 системы h( t ). Очевидно, что один и тот же закон функционирования Fs системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования AS. Соотношения (7) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами). Для статических моделей математическая модель (7) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого форме может быть записано как объекта Y и {X, V, H}, что в векторной     (8) y (t ) = ( x, v, h) . Соотношения (7) и (8) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами (9):  ,,  ,, = z , (= z1, , z2, ,..., zk, ) è z ,, ( z1 , z 2 ,..., zk,, ), (9) , = z2, z2 (t , ) = ,..., zk, zk (t , ) где z1, z= 1 (t ), в момент t ,, ∈ (t0 , T ); z1,, = z1 (t ,, ), z2,, = z2 (t ,, ) ,..., zk,, = zk (t ,, ) 1, nZ . в момент t ,, ∈ (t0 , T ) è ò.ä., k = Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z1 ( t ), z2 ( t ),..., zk ( t ), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний { z } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем zk ∈ Z . Состояния системы S в момент времени t0 < t ∗ ≤ T полностью  определяются начальными условиями z 0 = ( z10 , z20 ,..., zk0 )  = z10 z= z2 (t0= ),..., z 0 k zk (t0 ) ], входными воздействиями x (t ) , [где 1 (t0 ), z 2 внутренними параметрами h (t) и воздействиями внешней среды v(t), которые имели место за промежуток времени t*- t 0 , с помощью двух векторных уравнений (10) и (11): 0    (10) z (t ) = Ô ( z , x, v, h, t ) .   (11) y (t ) = F ( z , t ) . Первое уравнение по начальному состоянию z° и экзогенным переменным x,v,h определяет вектор-функцию z(t), а второе по полученному значению состояний z(t) – эндогенные переменные на выходе системы у (t). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы 34 35 (12) y( t ) = F [ Ф( z , x,v,h ,t )] . В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, T) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной ∆t временных единиц каждый, когда T=mΔt, где m=1, mT — число интервалов дискретизации. Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {x (t), v(t), h (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t). Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случав стохастические воздействия внешней среды v (t) и стохастические внутренние параметры h (t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями:   (13) y (t ) = f ( x, t ) . Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели. 35 36 12. Основные понятия языков и систем моделирования. Функции языков моделирования. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: 1. дифференциальные уравнения; 2. конечные и вероятностные автоматы; 3. системы массового обслуживания; 4. сети Петри. Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,— конечные автоматы и конечно-разностные схемы. Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: 1) непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); 2) дискретно-детерминированный (конечные автоматы); 3) дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); 4) непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); 5) обобщенный или универсальный (агрегативные системы). 1. Статические модели Часто переходные процессы в проектируемой системе и ее статические состояния исследуются порознь. В этом случае для анализа одного объекта надо построить, по крайней мере, две модели: статическую и динамическую. Математическую модель системы называют статической, если состояние системы не изменяется во времени или если исследователя интересует модель состояния системы в некоторый фиксированный момент времени t i. Статическая модель – это, как правило, системы булевских, алгебраических или трансцендентных уравнений, решения которых определяют состояние исследуемого объекта. Основной признак таких моделей: отсутствие в их описаниях независимой переменной – времени. 36 37 Для статических систем она выглядит так: Y = WC ( I , X , Q ) , или Y = WC ( X , Q ) , или Y = WC (Q ) . Как видно, модельное время tm в них отсутствует. С помощью статических моделей можно оценить статическую точность работы объекта, исследовать его статические ошибки и построить основные статические характеристики: входную, передаточную и выходную. 2. Динамические модели Под динамикой в широком смысле подразумевают любые изменения во времени чего-либо. Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения во времени, называют динамическими. Различают два типа динамики систем: функционирование и развитие. Под функционированием понимают процессы, которые происходят в системе, стабильно реализующей фиксированную цель. Функционирует, например, КС, наблюдающая за Землей с определенной периодичностью. Развитием называют то, что происходит с системой при изменении ее цели или при существенном изменении условий в окружающей среде. В этих случаях существующая структура перестает соответствовать новой цели или новым внешним условиям, и для реализации цели системы приходится изменять состав и структуру системы. Первые шаги в исследовании системы состоят в построении моделей, которые отображают свойства системы, не зависящие от времени (модели «черного ящика», состава и структуры системы). Такие модели, в которых отсутствуют изменения во времени, называют статическими. Следующие шаги в исследовании системы состоят в том, чтобы опять и описать, как система «работает», что происходит с ней самой и с окружающей средой в ходе реализации поставленной цели, отображение процессов, происходящих в системе и окружающей среде осуществляется с помощью динамических моделей. Модели развития отображают происходящие с течением времени изменения в системе и среде. Модели функционирования описывают поведение системы последовательность каких-то действий, операций. При исследовании системы происходит развитие ее динамической модели от описательной до математической формы. Для описательных моделей имеет место аналогия между статическими и динамическими моделями. Модели состава системы соответствует состав (перечень) действий, необходимых для перевода начального состояния системы в конечное. Модели структуры соответствует последовательность этих действий, логика функционирования. Операционная модель. Система в процессе функционирования исполняет ряд целенаправленных действий, совокупность которых называют операцией. 37 38 При изучении системы исследователю полезно описать операцию. Операция имеет сложное иерархическое построение: каждый компонент системы исполняет свою функцию с помощью физической операции. Чтобы выявить основные особенности операции системы, целесообразно, как и при построении структурной схемы, положить в основу анализа операции принцип изучения структур с двухуровневой иерархией и описать последовательность действий для элементов нижнего уровня этой структуры. Описание действия (элемента операции) формализовано можно представить состоящим из трех компонентов: А→Е→С где А и С – входной и выходной факторы, Е – наименование действия по превращению А в С. Это описание отвечает на вопросы: что (А), как (Е), во что (С) преобразуется с помощью описываемого действия. Описание последовательности действий и событий, происходящих в процессе реализации цели системы, представляет собой модель осуществления операции, которую будем называть, логической моделью операции или короче – операционной моделью. Возможны различные варианты оформления такой модели. Приведем один из них (рисунок 4). Операционная модель может включать в себя: действия, которые имеют место в процессе операции, результаты действий, т.е. события, компоненты системы и среды, участвующие в действии, и их характеристики, являющиеся входными факторами действий АС i и АBН i. Операционная модель определяет последовательность действий компонентов системы: выходной фактор i-го действия С i , т.е. результат этого действия, служит входным фактором А i+1 последующего действия. Компоненты Компоненты Действия и их среды и их системы и их результаты характеристики характеристики Аi АСi Ei АСРi Сi=Аi+1 Ei+1 Сi+1 Рисунок 4 – Пример операционной модели 38 39 Построение операционной модели является одной из задач, рассматриваемых в процессе постановки задачи. Операционная модель может служить затем основой для построения математической модели операции. Для этого следует действия описать соответствующими математическими моделями, а события оценивать числовыми характеристиками – показателями. Динамические модели отображают происходящие с течением времени изменения состояния в системе и в среде в результате функционирования или развития системы: y( t ) = ( x, v, h ,t ) Возможные комбинации моделей динамических систем: 1. с дискретным временем и дискретными значениями фазовых координат; 2. с дискретным временем и непрерывным множеством значений фазовых координат; 3. с непрерывным временем и дискретными значениями фазовых координат; 4. с непрерывным временем и непрерывным множеством значений фазовых координат. Процессы в моделях перечисленных четырех типов называются цепью, последовательностью, дискретным и непрерывным процессом соответственно. Динамические системы могут быть с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Динамические системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями вида: . y( t ) = ( x,v,h ,t ) , x( t0 ) = x0 Динамические системы с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. 13. Сущность метода статистического моделирования Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ. Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для решения 39 40 детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N. В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величии или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S. Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей в устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N. Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g (ξ ) случайной величины ξ и любого К > 0 выполняется неравенство: P { g (ξ ) ≥ K } ≤ M [ g (ξ ) ] / K (1) ( В частности, если g (ξ ) = ξ − x ) 2 и K = k 2σ 2 где x - среднее арифметическое; σ -среднее квадратическое отклонение то P ξ − x ≥ kσ ≤ 1/ k 2 { } Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при N→∞ сходится по вероятности к р, т. е. при любом ε >0 40 41 0, limP {m / N − p ≥ ε } = (2) N →∞ где m- число положительных исходов испытания. Teopема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в 1-м испытании равна рi то относительная частота появления события m/N при N → ∞ сходятся по вероятности к среднему из вероятноcтей, т.е. при любом ε > 0:  1 Pm/ N − lim N N →∞  N ∑p i =1 i  ≥ε= 0.  (3) Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения xi ,...хk случайной величины ξ, то при N→ ∞ среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а, т. е. при любом ε >0:  1 P lim N →∞ N  N 0. ∑x −a ≥ε= i =1 i  (4) Обобщенная теорема Чебышева. Если ξ 1 ,…, ξ N – независимые случайные величины с математическими ожиданиями а1 ,..., аN и дисперсиями ограниченными сверху одним и тем же числом, то при N→ ∞ среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:  1 N  1 N 0. − P x ai ≥ ε  =  ∑ i ∑ lim N N N →∞= 1 1 = i i   (5) 1 N  D lim 2  ∑ xi  = 0 . N →∞ N  i =1  (6) Теорема Маркова. Выражение (5) справедливо и для зависимых случайных величин ξ 1 ,…, ξN если только Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел. Пример статистического моделирования. Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Не останавливаясь пока на способах их реализации для целей моделирования на ЭВМ, поясним сущность метода статистического моделирования следующими примерами. Пример. Необходимо методом статистического моделирования найти оценки выходных характеристик некоторой стохастической системы SR, функционирование которой описывается следующими соотношениями: х=1-e-λ – входное воздействие, υ =1- e-φ – воздействие внешней среды, где λ и φ –случайные величины, для которых известны их функции распределения. Целью моделирования является оценка математического ожидания М[у] величины у. Зависимость последней от входного воздействия х и воздействия внешней среды υ имеет вид: (7) y = x2 + ϑ 2 . 41 42 В качестве оценки математического ожидания М[у], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле: 1 N y = ∑ yi , (8) N i =1 где уi – случайное значение величины у; N – число реализаций, необходимое для статистической устойчивости результатов. Структурная схема системы SR показана на рисунке 1. φi Внешняя B2 среда Е Система SR υi K2 λi  hi'' В1 xi К1 hi' С hi И yi Рисунок 5 – Структурная схема системы SR Здесь элементы выполняют следующие функции: вычисление В1: xi = 1 − e − λ i . вычисление В2: ϑi = 1 − e −ϕ i . возведение в квадрат К1: hi′ = (1 − e − λi ) 2 . возведение в квадрат К2: hi′′ = (1 − e −ϕi ) 2 . суммирование С: hi = (1 − e − λi ) 2 + (1 − e −ϕi ) 2 . извлечение квадратного корня И: yi = (1 − e −λi ) 2 + (1 − e −ϕi ) 2 . Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М[у] системы SR приведена на рисунке 6. 42 43 Начало 1 ВИД[N,LA,FI] SY=0 2 I=1÷N 3 9 ГЕН[ LAI ] MY=SY/N 4 10 XI=1-EXP(-LAI) 5 BPM[ MY ] Конец ГЕН[ FII ] 6 VI=1-EXP(-FII) 7 = YI XI 2 + VI 2 8 SY=SY+YI Рисунок 6 – Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования Здесь LA и FI – функции распределения случайных величин λ и φ, N – заданное число реализаций; I ≡ i – номер текущей реализации; LA≡ λi; FII≡ φi ЕХР≡e; MY≡ M[y], N SY≡ ∑ yi – суммирующая ячейка; ВИД[...], ГЕН[…], ВРМ[...] – процедуры i =1 ввода исходных данных, генерации псевдослучайных последовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно. Таким образом, данная модель позволяет получить, методом статистического моделирования на ЭВМ статистическую оценку математического ожидания выходной характеристики М[y] рассмотренной стохастической системы SR. Точность и достоверность результатов взаимодействия в основном будут определяться числом реализаций N. 14. Моделирование случайных воздействий на систему При моделировании системы S методом имитационного моделирования, в частности методом статистического моделирования на ЭВМ, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и 43 44 воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы из перечисленных сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел. Остановимся на вопросах преобразования последовательностей случайных чисел {xi} в последовательность {уi} для имитации воздействий на моделируемую систему S. Эти задачи очень важны в практике имитационного моделирования систем на ЭВМ, так как существенное количество операций, а значит, и временных ресурсов ЭВМ расходуется на действия со случайными числами. Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел {уi}, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем. Моделирование случайных событий. Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования. Пусть имеются случайные числа хi, т. е. возможные значения случайной величины ξ, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение хi случайной величины ξ удовлетворяет неравенству xi ≤ p p Тогда вероятность события А будет P( A) = ∫ dx = p . Противоположное событие А состоит в том, что xi ≤ p . Тогда P( A) = 1 − p . Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значений хi,, и сравнении их с р. При этом, если условие xi ≤ p исполняется, исходом испытания является событие. Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А1, A2 ,..., АS – полная группа событий, наступающих с вероятностями р1, р2,...,рS соответственно. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины ξ удовлетворяет неравенству lm−1 < xi ≤ lm , r где lr = ∑ pi . Тогда i =1 P( Am ) = lm ∫ dx = pm lm −1 Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в 44 45 последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями lr . Исходом испытания оказывается событие Аm если выполняется условие lm−1 < xi ≤ lm . Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1 , p2 ,…pS . Эти процедуры моделирования были рассмотрены в предположении, что для испытаний применяются случайные числа xi имеющие равномерное распределение в интервале (0, 1). При моделировании на ЭВМ используются псевдослучайные числа с квазиравномерным распределением, что приводит к некоторой ошибке. 45