Система сил произвольной пространственной системы

5.2 Для студентов строительных специальностей Систему сил называют произвольной пространственной, если линии действия всех сил расположены произвольно в пространстве, т.е. не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются в одной точке. Любая произвольная система сил при приведении её к произвольному центру, приводится к одной силе, равной главному вектору, и паре сил, момент которой равен главному моменту n RO*   Fk , k 1 n M O*   m о ( Fk ) . k 1 Для равновесия произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю n n k 1 k 1 RO*   Fk  0, M O*   m о ( Fk )  0 . Записываются аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил: n  X k  0, k 1 n n  Y k  0, k 1  m x ( Fk )  0, k 1 n  Z k  0, k 1 n  m у ( Fk )  0, k 1 n  m z ( Fk )  0. k 1 Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил, приложенных к твердому телу, на оси декартовой системы координат, и алгебраические суммы моментов всех сил, относительно этих же осей, равнялись нулю. Моментом силы относительно оси называют F алгебраический момент проекции этой силы на плоскость П, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. 1. Для нахождения значения момента силы относительно оси следует спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и найти алгебраическое значение момента полученной проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью (рисунок 5.2.1). M z ( F )   mO ( Fп )   Fпh . 130 Момент силы относительно оси считается положительным, если с положительного направления оси видно стремление силы Fп повернуть тело или плоскость против хода часовой стрелки, и отрицательным – по ходу часовой стрелки. Здесь Fп – проекция вектора силы F на плоскость, перпендикулярную оси Oz. z F h О FП П Рисунок 5.2.1 – Момент силы относительно оси Момент силы относительно оси равен нулю, если  линия действия силы пересекает ось (h = 0);  сила параллельна оси (FП = 0). 2. Вычисление моментов силы относительно осей существенно упрощается, если применить теорему Вариньона о моменте равнодействующей: разложить силу на составляющие, параллельные осям координат и записать алгебраические суммы моментов относительно выбранных осей. Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на одну из координатных осей, параллельную силам, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно двух других осей, равнялись нулю. n n k 1 k 1  Z k  0 , то  m x ( Fk )  0, n  m у ( Fk )  0 . k 1 Контрольные задания Однородная прямоугольная плита силой тяжести G закреплена в точке С невесомым стержнем или канатом, перекинутым через блок D, на конце которого подвешен груз Q. На плиту действуют сила F и 131 пара сил с моментом М. Плоскость действия пары сил указана в примечании. Определить реакции связей. Примечание – номер варианта выбирается по сумме двух последних цифр шифра. Методические указания Для решения задачи необходимо изучить следующие вопросы: 1. Основные виды связей, их реакции (шаровой шарнир, подпятник, подшипник). 2. Момент силы относительно оси и частные случаи его определения. 3. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей системы сил. 4. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил и, как частный случай, системы параллельных сил в пространстве. При решении задач на равновесие системы сил целесообразно придерживаться следующей последовательности:  Выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть.  Показать на рисунке все активные силы, действующие на тело.  Определить, в каких точках, и какими связями закреплено тело. Применяя принцип освобождаемости от связей показать на рисунке реакции.  Написать условия равновесия для пространственной системы сил и составить уравнения равновесия.  Вычислить значения реакций. Если величина какой-либо реакции или её составляющей окажется отрицательной, то это означает, что направление этой силы противоположно тому, которое было принято первоначально.  Написать ответ, указав, правильно или неправильно выбраны первоначальные направления реакций или их составляющих. Пример выполнения и оформления задачи Задача 1. Однородная прямоугольная плита силой тяжести G удерживается в горизонтальном положении шаровым шарниром в 132 точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и канатом СK, натянутым под углом  к плите. В точке Е на плите плиту действует сила F , расположенная в плоскости, параллельная координатной плоскости Azy и составляющая угол β с прямой, параллельной оси Аz. На плиту в этой же плоскости действует пара сил с моментом М, стремящаяся повернуть плиту вокруг стороны АВ. Определить реакции связей, если АВ = DС = а, АD = ВС = b (рисунок 5.2.2). Исходные данные: G = 10 кН, F = 5 кН, М = 20 кНм, а = 2 м, b  2 3 м,  = 45º, β = 60º, СЕ = 2/3а м. Определить: R A , RB , RC . z K F  Ax b E M  В х у D А β F а C G Рисунок 5.2.2 – Схема задачи РЕШЕНИЕ Рассмотрим равновесие плиты АBCD. Плита находится под действием активных сил G , F и парой сил с моментом М. Изображаем плиту без связей, а действие связей заменяем реакциями (рисунок 5.2.3). Плита закреплена в точке А шаровым шарниром, направление реакции которого неизвестно. Представим реакцию тремя составляющими, параллельными выбранным осям координат X A , Y A , Z A . Реакция неподвижного цилиндрического шарнира также неизвестна по направлению, её представляем составляющими YВ , Z В . В точке С гибкая связь – канат СK. Реакция каната направлена 133 вдоль каната от плиты к стене. Реакцию RC проецируем на ось Az и плоскость Аху, и представим ее в виде трех составляющих RCx , RCy и RCz . z K z1 b ZA YA А XA ZB В х  RС RСz  RСx RСху E M Fy β х1 а F Fz YB у D C RСу G Рисунок 5.2.3 – Равновесие плиты АBCD RCx RCу RCxy  RC cos  ,   RCxy cos    RC cos   cos  ,   RCxy sin   RC cos   sin , RCz  RC sin . (5.2.1) Из треугольника АВС определяем значение угла : cos   1 2   arccos  AB  AC  3 a a 2  b2  60 , sin    1 , 2 3  0,866 . 2 На плиту действует произвольная пространственная система сил, для равновесия которой необходимо и достаточно шесть условий (уравнений) равновесия. Число неизвестных реакций шесть: X A , Y A , Z A , YВ , Z В и RC . Следовательно, задача является статически определимой. 134 Записываем условия равновесия и составляем уравнения равновесия: Для определения моментов силы RС и F воспользуемся теоремой Вариньона о моменте равнодействующей m x ( RC )  m x ( RCх )  m x ( RCу )  m x ( RCz )  0  0  RC sin   b, m y ( RC )  m y ( RCx )  m y ( RCy )  m y ( RCz )  0  0  RC sin   a , (5.2.2) m z ( RC )  0. m x ( F )  m x ( F y )  m x ( Fz )  0  F cos   b, a a   F cos   , 3 3 a m z ( F )  m z ( F y )  m z ( Fz )   F sin   DE  0   F sin  . 3 m y ( F )  m y ( F y )  m y ( Fz )  0  F cos   n (5.2.2’)  Fkx  0, X A  RС cos   cos   0,  Fky  0, Y A  RC cos   sin   F  sin   YB  0, (5.2.4)  Fkz  0, Z A  Z B  G  RC  sin  F  cos   0, (5.2.5) k 1 n k 1 n k 1 n (5.2.3)  m x ( Fk )  0, RС sin   b  F cos   b  G  0,5b  M  0, k 1 n  m y ( Fk )  0,G  0,5a  Z B  a  RC sin   a  F cos   k 1 n  m z ( Fk )  0, YB  a  F sin   k 1 a  0. 3 Решаем систему уравнений (5.2.3) – (5.2.8). Из уравнения (5.2.8) определяем YB: YB  F sin   a 5 sin 60   1,44 кН. 3a 3 135 a  0, 3 (5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) Из уравнения (5.2.6) определяем RC: 0,5G  b  F  b cos   M RC   11,7 кН. b sin  Из уравнения (5.2.7), сократив а, определяем ZB: 1 Z B  0,5G  RC sin   F cos   4,11 кН. 3 Из уравнения (5.2.5) определяем ZА: Z A  G  Z B  RC sin   F cos   3,34 кН. Из уравнения (5.2.4) определяем YА: YA  RC cos   sin   F sin   YB  10,05 кН. Из уравнения (5.2.3) определяем ХА: X A  RC cos   cos   4,14 кН. Выбираем новые оси координат x1 и z1 и, учитывая (5.2.1) и (5.2.2), составляем проверочные уравнения моментов относительно этих осей: n  m x1 ( Fk )  0, k 1  Z B 0,5b  Z A 0,5b  M  RC  sin   0,5b  F  cos   0,5b  0. (5.2.9) n  m z1 ( Fk )  0, k 1 1 1 1 1 YB a  X A b  Y A a  RC cos   sin   a  2 2 2 2 1 2 1  RC cos   cos   b  F  sin  (  )a  0. 2 3 2 (5.2.10) Подставляя значения в уравнения (5.2.9) и (5.2.10) и решаем их: 4,11  3  3,34  3  20  11,7 sin 45 3  5 cos 60 3  0, 25,78 – 25,78 = 0, 0 0. 1,44  4,14 3  10,05  11,7 cos 45 sin 60  11,7 cos 45 cos 60 3  1  5 sin 60  0, 3 136 17,16  17,16  0, 0 0. Задача решена правильно. Из результатов решения делаем вывод, что направление составляющей ZB было выбрано неверно, так как она получилась с отрицательным знаком. Определяем реакции шарового и цилиндрического шарниров (рисунок 5.2.4): RA  X A  Y A  Z A , RA  X A2  YA2  Z A2  4,142  10,052  3,342  11,37 кН, RB  YB  Z B , RB  YB2  Z B2  1,442  4,112  4,35 кН. z ZA XA А YA C YB ZB у D В х RА RВ Рисунок 5.2.4 – Реакция шарового шарнира А и подшипника В 137 ВАРИАНТ 0 Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра. z CD  Ax F D E с у C А M 60º b а В  D F  Ах D G D х Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy Номер строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 G, кН 5 4 3 7 6 8 6 9 4 5 F, кН 3 2 1 4 3 2 5 4 1 2 , M, кНм 1 2 3 2 1 4 3 5 2 3 град. 60 30 45 75 30 50 60 45 65 40 138 a, м 0,4 0,5 0,6 0,4 0,6 0,5 0,4 0,5 0,6 0,3 b, м 0,5 0,4 0,3 0,6 0,5 0,6 0,6 0,4 0,3 0,6 c, м 0,7 0,6 0,4 0,5 0,6 0,4 0,7 0,5 0,6 0,4 ВАРИАНТ 1 Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра. z F  Az CD  Aу D а b у В А M с  C E G х F Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy Номер строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 G, кН 5 4 3 7 6 8 6 9 4 5 F, кН 3 2 1 4 3 2 5 4 1 2 , M, кНм 1 2 3 2 1 4 3 5 2 3 град. 60 30 45 75 30 50 60 45 65 40 139 a, м 0,4 0,5 0,6 0,4 0,6 0,5 0,4 0,5 0,6 0,3 b, м 0,5 0,4 0,3 0,6 0,5 0,6 0,6 0,4 0,3 0,6 c, м 0,7 0,6 0,4 0,5 0,6 0,4 0,7 0,5 0,6 0,4 ВАРИАНТ 2 Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра. b z у Е β а F В F  Ау M CD  Aу C G D  А АC = СD  D х Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy Номер строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 G, кН 5 4 3 7 6 8 6 9 4 5 F, кН 3 2 1 4 3 2 5 4 1 2 , M, кНм 1 2 3 2 1 4 3 5 2 3 град. 60 30 45 75 30 50 60 45 65 40 140 β, град 45 60 30 15 60 50 45 30 15 50 а, м 0,5 0,4 0,3 0,6 0,5 0,6 0,6 0,4 0,3 0,6 b, м 0,7 0,6 0,4 0,5 0,6 0,4 0,7 0,5 0,6 0,4 ВАРИАНТ 3 Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра. z а b В M А у с E β  C F G х D F  Вх CD  Ву Примечание – Пара сил с моментом М принадлежит плоскости, параллельной плоскости Azy Номер строки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 G, кН 5 4 3 7 6 8 6 9 4 5 F, кН 23 12 10 24 30 20 25 40 18 32 M, кНм 30 32 35 42 50 44 30 35 32 33 , град 60 30 45 75 30 50 60 45 65 40 141 β, град 45 60 30 15 60 50 45 30 15 50 a, м 0,4 0,5 0,6 0,4 0,6 0,5 0,4 0,5 0,6 0,3 b, м 0,5 0,4 0,3 0,6 0,5 0,6 0,6 0,4 0,3 0,6 c, м 1,7 1,6 1,4 1,5 1,6 2,4 2,7 2,5 2,6 1,4