Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии

Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии На первой лекции бы л рассмотрен теоретикогрупповой подход к построению геометрии, в котором отмечено, что группа преобразований метрической (евклидовой) геометрии является подгруппой преобразований аффинной геометрии. Аффинная группа преобразований входит как подгруппа в проективную группу преобразований. На этой лекции рассмотрим классический подход к построению геометрии, которы й основы вается на классификации систем аксиом по Гильберту. Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии Логическое построение геометрии бы ло вы полнено еще Евклидом в третьем веке до нашей эры . Но откры тие неевклидовой геометрии в XIX веке показало, что в системе аксиом Евклида имею тся изъ яны . Исследование аксиоматики евклидовой геометрии бы ло завершено в конце XIX века Д. Гильбертом. Система аксиом Д. Гильберта состоит из пяти групп: I – восьми аксиом принадлежности (соединения); II – четы рех аксиом порядка; III – двух аксиом непреры вности; IV – аксиомы о параллельны х; V – пяти аксиом конгруэнтности. Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии Эти аксиомы сформулированы относительно объ ектов трех видов – точек, прямы х, плоскостей и трех видов отношений между ними, вы ражаемы х словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Аксиомы принадлежности (группа I) определяю т свойства взаимного расположения точек, прямы х и плоскостей, например: – для лю бы х двух A, B существует прямая a , точек принадлежащая каждой из этих двух точек , A B – для двух A, B существует не более одной точек прямой, принадлежащей каждой из точек A, B и т.д., всего 8 аксиом Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии Аксиомы порядка (группа II) вы ражаю т свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости, определяя термин «между»: – если B лежит между точками A и C , то точка A , B , C – различны е точки и B лежит также между точками C и A – среди лю бы х трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими и т.д., всего 4 аксиомы Аффинная и проективная геометрия Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии Аксиомы непреры вности (группа III) – две аксиомы – два каких-нибудь отрезка; тогда на – AB CD и прямой пусть существует конечное число таких A ,A ,..., A , AB 1 2 n точек что и отрез конгруэнтны ,A A ,..., A A CD AA1 1 2 n 1 n ки отрезку точка лежит и (аксиома B A An между Архимеда) Аксиома о параллельны х (группа IV), с евклидовой точки зрения гласит: через точку, расположенную вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей Аксиомы конгруэнтности (группа V), определяю т понятие равенства для отрезков и углов - пять аксиом – если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны друг другу Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии Три требования, предъ являемы х к системам аксиом: – непротиворечивость, набор аксиом должен бы ть логически не противоречивы м, т.е. из них путем логических рассуждений не должны получаться два взаимно исклю чаю щих следствия; – независимость, или неизбы точность, какиелибо аксиомы не должны вы водится из остальны х; – полнота, система не должна допускать пополнения новы ми аксиомами, не противоречащими уже приняты м и не вы текаю щими из них. Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии группы аксиом I, II, III определяю т аксиоматику проективной геометрии; группы аксиом I, II, III, IV определяю т аксиоматику аффинной геометрии; все пять групп аксиом – метрическую , или элементарную (евклидову) геометрию . Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е геометрические формы проективной геометрии В проективной геометрии фигуры принято назы вать формами. Они бы ваю т линейны ми, или основны ми, например прямая, плоскость, пространство, и нелинейны ми, например кривая линия, поверхность. Эти формы можно рассматривать как некоторое множество точек. Поэтому принято назы вать линию рядом точек, плоскость – полем точек. В некоторы х случаях плоскость и пространство рассматриваю т не как множество точек, а как множество прямы х. Тогда они назы ваю тся соответственно полем прямы х, пространством прямы х, или линейчаты м пространством Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е геометрические формы проективной геометрии Формы принято классифицировать по их размерности. Формы , состоящие из однопараметрического 1 множества (  ) точек, прямы х, плоскостей, назы ваю тся формами 1-й ступени, из двухпараметрического множества (  2 ) – формами 2-й ступени и т. д. (однопараметрические многообразия, двухпараметрические многообразия и т. д.). Две какие-либо формы , которы е можно привести во взаимно однозначное соответствие, имею т равны е размерности. Этим правилом пользую тся для получения новы х форм данной ступени путем проецирования простейших форм этой ступени. Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е геометрические формы проективной геометрии Основны е формы 1-й ступени 1 (  – однопараметрические множества точек): l ( A, B, C ,...) – прямолинейны й ряд точек, прямая l назы вается носителем ряда точек l A B C Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 1 ( Основны е формы 1-й ступени – однопараметрическое множество): S S (a, b, c,...) – пучок прямы х, т.е. совокупность прямы х на плоскости, принадлежащих точке S (носитель, или центр пучка) l A a C B b c Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е формы 1-й ступени (  – однопараметрическое множество): 1 s ( ,  , ,...)    – пучок плоскостей т.е. совокупность плоскостей, принадлежащих данной прямой s (носитель пучка, или ось пучка). s l Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е формы 1-й ступени (  – однопараметрическое множество): 1 Прямая линия (числовая ось), или ряд точек содержит однопараметрическое множество точек, так как лю бая ее точка определяется заданием одной координаты . l A B C Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е формы 1-й ступени (  – однопараметрическое множество): 1 S l A Остальны е основны е формы 1-й ступени получаю тся путем проецирования точек прямой: - проецируя точки A, B, C ,... ряда l из центра S , C B получаем пучок прямы х a b c S (a, b, c,...) Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е формы 1-й ступени (  – однопараметрическое множество): 1    s вы полняя осевое проецирование плоскостями  ,  , ,..., проходящими через прямую s, ряд l ( A, B, C ,...) отображаем на пучок плоскостей l A B С s ( ,  , ,...) Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ (  Основны е формы 2-й ступени 2 – двухпараметрическое множество): – плоское поле точек, т.е. совокупность точек, принадлежащих данной плоскости, которая назы вается носителем поля (каждая точка плоскости определяется двумя координатами) Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ (  Основны е формы 2-й ступени 2 – двухпараметрическое множество): – плоское поле прямы х, т.е. совокупность прямы х, принадлежащих данной плоскости, которая назы вается носителем поля Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ (  Основны е формы 2-й ступени 2 – двухпараметрическое множество): – связка прямы х, т.е. совокупность прямы х пространства, принадлежащих точке S , которая назы вается носителем, или центром связки; эту 2 совокупность (  ) получаем проецируя точки плоскости из центра S S a b A П d c D C B Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основны е формы 2-й ступени (  2 – двухпараметрическое множество): – связка плоскостей, т.е. совокупность плоскостей пространства, принадлежащих точке S , которая назы вается носителем, или центром связки; эту совокупность (  2 ) получаем, проецируя прямы е плоскости из центра S Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ (  Основны е формы 2-й ступени 2 – двухпараметрическое множество): – связка плоскостей Аффинная и проективная геометрия ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ ( 3 Основны е формы 3-й ступени – трехпараметрическое множество): – пространство точек, как совокупность всех точек проективного пространства, которое в данном случае играет роль носителя точек (точка в пространстве определяется заданием трех координат); – пространство плоскостей, т.е. совокупность всех плоскостей проективного пространства, которое в данном случае является носителем плоскостей. Аффинная и проективная геометрияГЕОМЕТРИИ ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ 3  ( Основны е формы 3-й ступени – трехпараметрическое множество): Для примера вы полним расчет параметрического числа плоскости трехмерного пространства. Параметрическое число плоскости, принадлежащей трехмерному пространству, равно числу независимы х коэффициентов в общем уравнении плоскости: Ax  By  Cz  D 0 В этом уравнении свободны й член D можно приравнять к единице, поделив на него все коэффициенты . Тогда остаю тся три независимы х коэффициента, поэтому параметрическое число плоскости равно трем (3 ). Аффинная и проективная геометрияГЕОМЕТРИИ ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ Принцип двойственности Следую щая важная особенность, которую необходимо знать при изучении геометрии, – это проявление принципа двойственности, то есть когда в лю бом предложении, сформулированны м относительно подпространств проективного пространства, перестановка местами пар подпространств равны х размерностей не нарушает справедливости этого предложения. Аффинная и проективная геометрияГЕОМЕТРИИ ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ Принцип двойственности Так для двумерного проективного пространства принцип двойственности гласит: лю бое предложение, сформулированное относительно точек и прямы х проективной плоскости, остается справедливы м, если в нем заменить слово «точка» словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка». Так, например, две известны е аксиомы соединения (принадлежности) гласят: – две различны е точки принадлежат одной прямой; – две различны е прямы е принадлежат одной точке. Аффинная и проективная геометрияГЕОМЕТРИИ ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ Принцип двойственности Этот принцип для трехмерного пространства читается так: лю бое предложение, сформулированное относительно точек, прямы х и плоскостей трехмерного проективного пространства, остается справедливы м, если в нем заменить слово «точка» словом «плоскость», слово «плоскость» – словом «точка», а слово «прямая» оставить без изменения. Аффинная и проективная геометрияГЕОМЕТРИИ ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ Принцип двойственности Примером могут служить две другие аксиомы соединения (принадлежности): – три различны е точки, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной плоскости; – три различны е плоскости, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной точке. Такие симметричны е понятия, аксиомы и теоремы в проективной геометрии назы ваю тся двойственны ми. При этом слово “ принадлежит” нужно заменить словом “ проходит” или воспользоваться словом – инцидентна.