Сходимость знакопеременных рядов

Лекция 16. Сходимость знакопеременных рядов Мы изучали ряды, все члены которых были положительны. Ряд, все члены которого отрицательны, не представляет нового по сравнению со знакоположительным рядом, так как он получается умножением членов знакоположительного ряда на (-1). Теперь перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Это знакопеременные ряды. Сначала рассмотрим частный случай знакочередующиеся ряды. Числовой ряд   (1) n1  an  a1  a2  a3  a4  ... , n 1 где an  0 , называется знакочередующимся рядом. Для установления сходимости таких рядов существует достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница. Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть числовой ряд   un n 1 удовлетворяет условиям: 1) un  (1) n  1  an , an  0 , т.е. этот ряд знакочередующийся; 2) члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: u1  u2  u3  ... т.е. an  an 1, n  1, 2,... ; 3) общий Тогда ряд   un n 1 член ряда a стремится n сходится и его сумма S  a1 . 1 к 0, т.е. lim an  0 . n  Пример 1. Исследовать на сходимость ряд  1n 1 .   n 1 Решение. Обозначим un n   1n 1 . К данному ряду применим признак  n Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1, условие 1) ряд 1 знакочередующийся an  , un   1n 1  an , an  0 ; условие 2) выполнено: n 1 1 1  ...; условие 3) также выполнено: 2 3 1  0 . Следовательно, по n  n lim признаку Лейбница данный ряд сходится. Числовой ряд   un , члены которого имеют произвольные знаки (+), (−), n 1 называется знакопеременным рядом. Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что знакочередующимся. не всякий Например, знакопеременный ряд ряд является 1 1 1 1 1 1 1       2 3 4 5 6 7 − знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом. Для знакопеременных рядов вводятся понятия абсолютной и условной сходимости. Ряд   un называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, n 1 составленный из абсолютных величин его членов   un . n 1 Абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств: 1) Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов. Замечание. Если ряд сходится неабсолютно, то нельзя переставлять члены, так как может измениться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд. 2 2) Если ряд   un абсолютно сходится и С – какое-либо число ( С  0) , n 1 то ряд   С  un также абсолютно сходится. n 1 3) Если ряды   un и n 1   vn абсолютно сходятся, то их сумма n 1   un  vn  n 1 также абсолютно сходится. Если числовой ряд   un сходится, а ряд   un , составленный из n 1 n 1 абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Теорема 2 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов). Знакопеременный ряд   un сходится, причём абсолютно, если n 1  сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов  un . n 1 Пример 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд  ( 1) n  9 n  n! . n 1 Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член (1) n  9 n которого обозначим:  u n . Составим ряд из абсолютных величин n!   9n  u n   n! и применим к нему признак Даламбера. Составим предел n 1 n 1 an 1 9 n 1 9n , где an  , an 1  . lim (n  1)! n! n  a n Проведя преобразования, получаем an 1 9 n 1  n! 9 n  9  n! 9 lim  lim  lim  lim 0. n n n an n (n  1)!9 n n!(n  1)  9 n n  1 3 Таким образом, ряд   9n  u n   n! n 1 n 1 сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд  ( 1) n  n  n 1 . n 1 Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим (1) n  n u n n 1 Получаем ряд n . n 1 и составим ряд из абсолютных величин an  un    n 1 n 1 n  un   n  1 с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом   n  an   n  1 рассмотрим ряд, который имеет вид n 1 n 1 ряд является рядом Дирихле с показателем p    n 1 n 1  bn   1 . Этот n 1  1 , т.е. он расходится. 2 Составим и вычислим следующий предел lim an n bn n n  lim n 1 n  1  lim n  1 1 1. n Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда   an n 1 и   bn   n 1 n 1 n  un   n  1 ведут себя одинаково. Таким образом, ряд n 1 расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Б) Далее исследуем исходный ряд  ( 1) n  n  n 1 n 1 на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): un  ( 1) n  an , знакочередующийся. где an  n  0, n 1 т.е. этот ряд Для проверки условия 2) о монотонном убывании 4 членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию f ( x )  x , определенную при x [0;  ) (функция такова, что x 1 при x  n имеем f (n )  n  an ). Для исследования этой функции на n 1 x 1  x 1 x 2 x  монотонность найдём её производную: f ( x )  . Эта 2 ( x  1) 2 x ( x  1) 2 производная f ( x )  0 при x  1. Следовательно, функция f ( x)  x x 1 монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая x  n  n  1 , получаем f (n)  n  an  f (n  1)  an 1 , где n  1, 2, 3, 4, ... . Это означает, n 1 что условие 2 выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена an : n 1  lim  0, 1 n  n  1 n  n n lim an  lim n  т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится. 5