Сферические и шаровые функции. Представление потенциала в виде ряда шаровых функций. Модели гравитационного поля (ГПЗ).

Раздел 7 Сферические и шаровые функции. Представление потенциала в виде ряда шаровых функций. Модели гравитационного поля (ГПЗ). ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение. Некоторые понятия теории пространств функций 3 2. Полиномы Лежандра 5 2.1 Нахождение базисных функций по методу Грамма-Шмидта 5 2.2 Разложение в ряд функции обратного расстояния 8 2.3 Свойства полиномов Лежандра 10 2.4 Присоединённые функции Лежандра 11 2.5 Свойства присоединённых функций Лежандра 12 2.6 Базисные функции на сфере 14 2.7 Нормирование полиномов Лежандра 15 3. Разложение потенциала тяготения в ряд по сферическим функциям 16 3.1 Ряд Лапласа 16 3.2 Элементарные сферические функции (сферические гармоники) 19 3.3 Физический смысл стоксовых постоянных первых степеней 22 3.4 Представление потенциала тяготения в виде виде ряда шаровых функций 27 3.5 Представление центробежного потенциала в виде ряда шаровых функций 30 3.6 Представление потенциала и силы тяжести в виде ряда шаровых функций 30 3.7 Представление нормального потенциала в виде ряда шаровых функций 31 3.8 Представление аномального потенциала силы тяжести в виде ряда шаровых функций 33 4. Модели гравитационного поля 34 4.1 Подсчет общего количества членов ряда 34 4.2 Разрешение модели 35 4.3 Пример модели гравитационного поля 35 Литература 39 1 Введение. Некоторые понятия теории пространств функций Разложение в ряд шаровых функций – широко используемая, не только в геодезии, стандартная процедура представления пространственной функции. Эта функция может быть изучаемая величина, например, потенциал тяготения или силы тяжести. К такому представлению прибегают при решении важных практических задач, например, для решения краевой задачи нахождения аномального потенциала, при задании нормального поля и т.д. Мы начнем изучение данного вопроса с рассмотрения (в предельно упрощенном виде) понятий из области теории n-мерных пространств функций. Пространством функций n переменных будем называть совокупность всех элементарных функций n аргументов, заданных в некоторой области определения. Пример: множество всех функций одной переменной на интервале или: множество всех функций двух переменных , заданных в пределах некоторой замкнутой области . или: множество всех функций трёх переменных , определенных в некоторой области трехмерного пространства. Пространство становится евклидовым, если к основным арифметическим действиям над этими функциями (сложение, умножение на число) добавляется операция скалярного произведения. Скалярным произведением двух функций и будет некоторое число, обозначаемое . Мы будем рассматривать скалярное произведение, определенное, как интеграл от произведения этих функций по области определения : (7.1) Скалярное произведение функции самой на себя называется квадратом нормы функции и обозначается (7.2) Это число всегда положительно, либо равно нулю, но только в том случае, когда сама функция равна нулю. Если скалярное произведение функций и равно нулю, то такие функции взаимно ортогональны1. Имеется важная теорема, которая гласит, что в пространстве функций, заданных в области можно задать такой набор взаимно-ортогональных функций , что любую функцию из этого пространства можно представить в виде: (7.3) где – числовые коэффициенты. Функции называются базисными функциями или базисом. Если для них выполняется условие: ( при , (7.4) то система базисных функций образует ортогональный базис. Выражение (7.3) называется разложением функции по базису. Числовые коэффициенты можно найти, выполнив скалярное произведение исходной функции на базисную: (7.5) 2 Полиномы Лежандра 2.1 Нахождение базисных функций по методу Грамма-Шмидта Рассмотрим пространство функций одной переменной, заданных на интервале числовой прямой . Найдём базисные функции в виде многочленов степени , где под условием (7.4), добавив дополнительное условие: . Скалярное произведение при этом вычисляется по правилу (7.1). Для базисной функцией будет многочлен нулевой степени . Согласно условию ортогональности базисных функций, каждый следующий базисный многочлен ортогонален всем предыдущим. Возьмём для простейший многочлен первой степени и проверим условие ортогональности с : Условие выполнено, таким образом, является базисной функцией. Продолжить ряд при функцией не получится, потому что . Значит, базисный многочлен второй степени следует искать в общем виде под условиями ортогональности с , а также под условием . Это приводит нас к системе уравнений: Решая которые относительно , получаем: , и искомый многочлен второй степени: Рассуждая таким же образом и составив систему из четырёх уравнений для , где неизвестные – коэффициенты : получим решение: и следующий базисный многочлен третьей степени: Семейство ортогональных многочленов на отрезке [-1,1] называют полиномами Лежандра. Приведем таблицу полиномов Лежандра для первых пяти степеней и графики для 𝑛 = 0…4 n 1 2 3 4 5 Приведем некоторые характерные свойства полиномов Лежандра: • Каждый полином Лежандра степени имеет действительных корней, причем все они лежат внутри интервала [-1,1]. • Если четное, то все члены полинома будут иметь только четные степени , а при нечетном – только нечетные. • Можно доказать, что квадрат нормы полинома Лежандра, согласно (7.2), зависит только от и вычисляется как: (7.6) Описанный нами способ получения многочленов Лежандра из условия ортогональности называют ортогонализацией по методу Грама-Шмидта. 2.2 Разложение в ряд функции обратного расстояния Другой способ получения полиномов Лежандра – разложение функции обратного расстояния . Эта функция входит в подынтегральное выражение потенциала притяжения объемных масс для внешней точки: (7.7) Рис. 7.2. Притяжение объемного тела Пусть притягивающее тело занимет объем (Рис. 7.2). Расположим вблизи его центра масс начало координат и введём сферические координаты (. Пусть притягиваемая пробная единичная масса находится в точке снаружи тела и имеет координаты . Точка - фиксированная, и потому её координаты – константы. Выделим в объеме элементарную массу , занимающую элементарный объем с координатами . Далее штрихами мы будем обозначать координаты текущей точки интегрирования в пределах объема . Отметим, что плотность тела - тоже есть функция координат . Угол между радиус-векторами и называется угловым расстоянием между и . Из треугольника выразим линейное расстояние между точками и : Отсюда Вынесем за скобку в правой части константу : и разложим полученное выражение в ряд Тейлора относительно выражения Разложение в ряд Тейлора в окрестностях точки имеет вид: где, подставляя , находя производные: и возвращаясь к исходному выражению для , получим ряд разложения до степени : Раскрывая скобки и собирая члены при равных степенях получим: или Мы получили представление функции обратного расстояния в виде ряда разложения по степеням координат и, причем суммируются полиномы Лежандра от косинуса углового расстояния . Таким образом, потенциал притяжения объемных масс (7.7) можно представить в виде: (7.8) Входящая сюда в виде ряда разложения функция называется производящей функцией полиномов Лежандра. 2.3 Свойства полиномов Лежандра 1. В общем виде полиномы Лежандра находятся по формуле Родрига: 2. Рекуррентная формула позволяет искать полином Лежандра степени по известным полиномам предыдущих степеней: 3. Сумма, составленная из полиномов Лежандра от аргумента сходится к замкнутому выражению, которое называется функцией Стокса : Функция Стокса имеет важное значение в геодезии. 2.4 Присоединённые функции Лежандра Формула (7.8) неудобна для применения, потому что координаты текущей точки выражены угловым расстоянием и радус-вектором , и от них следует перейти к сферическим координатам . Для этого проведем через начало координат окружность единичного радиуса и рассмотрим сферический треугольник со сторонами , и и углом ( с вершиной на оси (Рис. 7.3). Из теоремы косинусов сферического треугольника следует: Для такого соотношения углов известна теорема сложения полиномов Лежандра: (7.9) где и – присоединённые функции (или присоединённые полиномы) Лежандра первого рода. Как и полиномы Лежандра, - функции одной переменной, причём их аргумент принимает значения на отрезке [-1,1]. Эти функции являются решением т.н. присоединенного дифференциального уравнения Лежандра. В общем виде присоединенные функции Лежандра , где степень и порядок, находятся по формуле : Как правило, аргументом является косинус или синус угловой величины. В этом случае приобретает смысл противоположной тригонометрической функции: Порядок может принимать значения от 0 до . При присоединенный полином становится обычным полиномом Лежандра 2.5 Свойства присоединённых функций Лежандра 1. Присоединённые функции Лежандра имеют действительных корней на интервале [-1,1]. 2. Присоединённые функции Лежандра одного порядка и разной степени образуют ортогональный базис пространства функций одной переменной на отрезке [-1,1]. То же самое справедливо для присоединенных функций одной степени и разных порядков. 3. Присоединённые функции Лежандра разной степени и одного порядка могут быть найдены по рекуррентной формуле: и при : 4. Квадрат нормы присоединённой функции Лежандра: Приведем таблицу присоединённых полиномов Лежандра для первых степеней 1 - - - 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 Мы видим, что при увеличении порядка растет степень , а степени косинусов, наоборот уменьшаются. И если при сферическая гармоника содержит косинус в степени , а синусов не содержит совсем, то при ситуация обратная: косинусы пропадают, а степень синуса достигает . Это свойство будет важно в дальнейшем. 2.6 Базисные функции на сфере Полиномы и присоединённые функции Лежандра от полярного угла в сочетании с тригонометрическими функциями от долготы образуют ортогональный базис для пространства функций, заданных на сфере произвольного радиуса. Найдём квадрат нормы для полинома Лежандра на сфере радиуса Согласно (7.6): (7.10) Выразим элемент площади через полярные координаты и запишем: делая замену переменной получим: (7.11) Сама норма равна при этом (7.12) 2.7 Нормирование полиномов Лежандра Функция, норма которой равна единице, называется нормированной. Очевидно, любую ненормированную функцию можно нормировать, разделив её на величину нормы. Так, нормированные полиномы Лежандра получаются делением на . Система полиномов, приведённая к норме такого вида, что среднее интегральное значение полинома на сфере радиуса , деленное на площадь сферы, равно единице: - называется полностью нормированной, а сами полиномы – полностью нормированными полиномами и обозначаются чертой: . Среднее интегральное значение полинома Лежандра на сфере получим, разделив правую часть выражения (7.12) на площадь сферы . Квадрат нормы таких полиномов, согласно (7.11) станет равен в этом случае , а сама норма Связь между полностью нормированными и ненормированными полиномами Лежандра выражается через нормирующий множитель: Аналогичная процедура для присоединенных функций Лежандра даёт семейство полностью нормированных присоединенных функций. Норма на сфере под тем же условием для присоединенной функции Лежандра: Нормированная присоединенная функция: 3 Разложение потенциала тяготения в ряд по сферическим функциям 3.1 Ряд Лапласа Вернемся к выражению потенциала тяготения (7.8), в котором вынесем за скобку 1/: и подставимв него выражение (7.9) для . В дальнейших преобразованиях будем придерживаться двух правил: 1). везде менять местами операции суммирования и интегрирования (т.е. от интеграла суммы переходить к суммам интегралов) и 2) все константы выносить вперед из-под знака интеграла. Напомним, что в нашей системе сферических координаткоординаты точки являются константами (и могут быть вынесены), а координаты со штрихами - координаты текущей точки интегрирования (элементарной массы ) -остаются под знаками интеграла. Мы получили три группы слагаемых, в которых можно объединить содержащие и числовые множители, константу и все интегралы – и обозначить их, как коэффициенты : где величины (7.13) - называются Стоксовыми постоянными. С учётом принятых обозначений, считая частным случаем , ряд разложения окончательно приобретает вид: (7.14) и носит название ряд Лапласа. Стоксовы постоянные являются численными величинами, характеризующими данное конкретное поле тяготения и определяются из различных измерений. Набор стоксовых постоянных , позволяет получить потенциал в любой точке, где ряд (7.14) сходится, т. е. вне масс тяготения. Это один из распространённых способов представления гравитационного поля. В сокращенных обозначениях ряд Лапласа его можно записать, как: (7.15) где функция , зависящая только от угловых переменных ( называется сферической функцией степени : (7.16) Cферическая функция при умножении на становится шаровой функцией : (7.17) Представление потенциала в виде ряда Лапласа (7.14) и (7.15) называется разложением в ряд шаровых функций: (7.18) Можно доказать, что шаровые функции (7.17) являются гармоническими (разд. 3), и поэтому ряд (7.14), (7.15), (7.18) называют гармоническим рядом. 3.2 Элементарные сферические функции (сферические гармоники) Запишем в развёрнутом виде выражение (7.16) для сферической функции : Мы видим, что представляет собой сумму из ( членов - по паре с коэффициентами , для каждого и один, самый первый, с коэффициентом . Элементарные слагаемые, из которых состоят сферические функции и в конечном счете из которых суммируется весь гармонический ряд, называются элементарными сферическими функциями или сферическими гармониками. Выделим из них три вида: , и. Рассмотрим сферические гармоники начальных степеней, как функции, заданные на сфере единичного радиуса. Нас будет интересовать, как будут выглядеть линии перемены знака этих функций и на какие части эти линии делят сферу, имея в виду, что как полиномы, так и присоединенные функции Лежандра имеют действительных корней на отрезке значений аргумента которые принимают функции и. Корнями в этом случае будут значения при которых сферическая функция обращается в ноль, а линиями - параллели , соответствующие этим полярным углам. Кроме того, сферические функции обращаются в ноль, когда или . В этом случае линиями перемены знака будут меридианы . Сферические гармоники степени n порядка k n k n=0 - n=1 k=0 k=1 n=2 k=0 - k=1 k=2 Линии перемены знака делят сферу на области, в которых знак функции постоянен. Форма этих областей различна, в зависимости от того, зависит ли сферическая гармоника только от , либо только от , либо вместе и от , и от . (рис 7.4) Рис 7.4 Линии перемены знака у зональных, секториальных и тессеральных сферических гармоник. Первый вариант соответствует случаю, когда , и разбиение на области постоянного знака имеет вид «нарезки» сферы параллельно экватору, т.е. по параллелям – там, где . Области сферы, ограниченные малыми кругами параллелей называются зонами. Число таких зон , а соответвующие сферические гармоники при называются зональными. Второй вариант соответствует обратной картине, когда сферическая гармоника содержит только , который обращается в ноль только на полюсах, т.е. при и , а на остальной сфере её знак постоянен. Это происходит только при . В этом случае знак функции и целиком определяется долготой и условием или . Происходит разбиение сферы по меридианам на секторов, а сферическая гармоника становится секториальной. Наконец, все остальные промежуточные варианты при приводят к разбиению на сферические трапеции или тессеральные области, меняющие знак в шахматном порядке, а сферические гармоники будут тессеральными. Нетрудно убедиться, что в любой сферической функции содержится всего гармоник, из них: одна зональная, две секториальные и тессеральных. 3.3 Физический смысл стоксовых постоянных первых степеней Напишем разложение потенциала в ряд Лапласа, начинается с членов нулевой, первой и второй степеней: Рассмотрим по порядку согласно (7.13) стоксовы постоянные, входящие в этот ряд. 3.3.1 Начнём с нулевой степени: поскольку для любого тела . Таким образом, стоксова постоянная нулевого порядка есть геоцентрическая гравитационная постоянная. 3.3.2 При : подставляя (рис 7.2) Известно, что координата центра масс тела определяется, как и с учётом этого, физический смысл - это произведение геоцентрической гравитационной постоянной на координату центра масс Земли. Стоксовы постоянные и получаются сходным образом. Коэффициент равен единице, . поскольку и , то и Физический смысл стоксовых постоянных первого порядка - произведение геоцентрической гравитационной постоянной на координаты центра масс Земли. Если выбрать систему координат таким образом, что её начало будет совпадать с центром масс Земли, т.е. , то стоксовы постоянные будут равны нулю. 3.3.3 Стоксовы постоянные второй степени Преобразуем (7.13) для с учётом : Для понимания смысла полученных величин вспомним, что осевым моментом инерции тела называется величина вида в этом случае речь идёт о моменте относительно оси z. Осевой момент инерции – мера инерционности (инерционного сопротивления) тела по отношению к вращению вокруг некоторой оси. Свойства инерции определяются т.н. тензором инерции – матрицей, диагональными элементами кооторой являются осевые моменты т.н. главных осей инерции тела. Этих осей три, и они образуют декартову тройку, причем для тел, обладающих симметрией, главная ось инерции всегда совпадает с осью симметрии. Осевые моменты относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела. Обозначим главные моменты инерции для Земли: - полярный момент инерции, вокруг оси вращения z • экваториальные моменты вокруг осей x и y. Возвращаясь к стоксовой постоянной , мы видим, что её физический смысл может быть выражен, как разность среднего экваториального и полярного моментов инерции, • т. е. величина, описывающая механические свойства, задаваемые полярным сжатием Земли. Поскольку полярный момент у Земли больше экваториального, будет отрицательной. Если эту величину разделить на константу с обратным знаком, мы получим фундаментальную геодезическую постоянную второй зональный динамический коэффициент: Найдём физический смысл остальных величин второго порядка Величина вида называется центробежным моментом инерции относительно оси . Центробежные моменты являются недиагональными элементами тензора инерции и определяют направление оси вращения относительно соответствующей главной оси инерции тела. Так, если два центробежных момента равны нулю, то ось вращения сонаправлена одной из главных осей инерции. Если выбрать систему координат таким образом, что её оси будут сонаправлены главным осям инерции, то центробежные моменты будут равны нулю. Для стоксовых постоянных , получим: • то есть это тоже центробежные моменты инерции. Таким образом, в геоцентрической системе координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции планеты, стоксовы постоянные будут равны нулю. Осталось рассмотреть стоксову постоянную : Прибавляя и вычитая , получим Физический смысл - величина, связанная с разностью экваториальных моментов инерции Земли, т.е. со сжатием экватора (отличием экваториального сечения планеты от откружности). 3.3.4 Выводы Подводя итог, отметим, что геоцентрические системы координат (т.е. помещение начала координат в центр масс Земли) обеспечивает равенство нулю стоксовых постоянных первой степени. Направление оси вдоль оси вращения Земли обеспечивает равенство нулю и . Остальные стоксовы постоянные второй степени не равны нулю, а постоянная , отвечающая за земное сжатие, имеет первый порядок малости. Стоксовы постоянные, начиная с третьей степени, не имеют явного физического смыла и являются величинами намного меньшими, по сравнению с рассмотренными величинами второй степени. В то же время, можно сказать, что зональная гармоника третьей степени отвечает за неравенство полушарий, т.е. за грушевидность фигуры Земли. 3.4 Представление потенциала тяготения в виде виде ряда шаровых функций Выберем систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с центром масс Земли, а оси были сонаправлены главным осям инерции. Запишем ряд (7.19), исключив члены, содержащие нулевые стоксовы постоянные. Формула (7.20) пригодна для вычислений, но обладает серьёзными недостатками: • коэффициенты и имеют разные размерности, поскольку, согласно (7.13), они пропорциональны • числовые коэффициенты, входящие в стоксовы постоянные , могут быть очень малы, особенно при больших и близких к ним . Множитель с возрастанием степени тоже становится очень малой величиной. • с другой стороны, присоединённые функции Лежандра при больших n и k могут сильно возрастать. Получается очень невыгодная и чреватая потерей точности ситуация, когда очень малое число умножается на очень большое. Оба недостатка устраняются одинаковым способом: умножением и делением почленно на одну и ту же величину. Вынесем за скобку первое слагаемое, имея в виду, что . Разделим и умножим каждое слагаемое на некоторое число , имея в виду, что это линейная величина, имеющая смысл большой полуости некоторого эллипсоида. Умножать будем дробь, а делить – стоксовы постоянные. Этим достигается их одинаковая размерность (точнее, все коэффициенты становятся безразмерными), а для точек в окрестностях поверхности Земли дробь близка к единице. Ряд (7.20) приобретает следующий вид: где набор коэффициентов другой: Вспомним, что коэффициент нам уже встречался (с обратным знаком) в виде фундаментальной геодезической постоянной – как Второй зональный динамический коэффициент (разд. 3): Последний из недостатков устраним с помощью нормирования (п.2.6): Введем нормирующие множители, равные величине, обратной норме полинома или присоединенной функции Лежандра: если При умножении на эти множители функции и становятся полностьью нормированными (обозначаются чертой и ), а новые стоксовы постоянные, полученные делением прежних на тоже называются полностью нормированными коэффициентами: В формулах черту, обозначающую нормирование, обычно опускают, но необходимо помнить, что при вычислениях с полностью нормированными (fully normalized) коэффициентами необходимо использовать только полностью нормированные функции и Запишем в общем виде итоговый ряд разложения потенциала притяжения с учетом обозначений для нормированных величин: (7.22) 3.5 Представление центробежного потенциала в виде ряда шаровых функций Центробежный потенциал = можно выразить через сферическую функцию второй степени. Действительно: Выражая через , получим: (7.23) 3.6 Представление потенциала и силы тяжести в виде ряда шаровых функций Потенциал силы тяжести есть сумма потенциала тяготения и центробежного потенциала. С принятыми допущениями о системе координат (все члены первой степени и некоторые члены второй степени равны нулю) имеем: ) Если продифференцировать потенциал по , можно найти проекцию вектора силы тяжести на радиус-вектор , или радиальную составляющую, которая в начальном приближении равна силе тяжести: : ) 3.7 Представление нормального потенциала в виде ряда шаровых функций Ранее (Разд. 3) нами была получена форма представления нормального поля в виде нормального потенциала. Нормальный потенциал состоит из потенциала тяготения эллипсоида нормальной Земли и центробежного потенциала. В разделе 3 получено выражение для потенциала . Там же вводилось понятие фундаментальных геодезических постоянных – констант, задающих нормальное поле. Предпочтение в выборе постоянных отдаётся величинам, связанным с физическими характеристиками реальной Земли. Такими величинами, в том числе, являются стоксовы постоянные. Если разложить в ряд (7.22) потенциал притяжения двухосного эллипсоида (каковым является уровенный эллипсоид нормальной Земли), то, в силу симметрии относительно оси вращения, в нём будут присутствовать лишь зональные гармоники, а в силу симметрии относительно плоскости экватора – гармоники только чётных степеней. Таким образом, запишем: Обозначим, подобно , и остальные коэффициенты: тогда (7.26) Ряд 7.26 быстро сходится и потому имеет небольшое число членов. Обычно оставляют от четырёх до шести членов ряда, т.е. максимальное равно или Можно доказать при этом, что все коэффициенты однозначно связаны с , через соотношение: То есть в такой записи параметры: и однозначно задают нормальное поле тяготнения. Набор фундаментальных геодезических постоянных в таком сочетании сейчас наиболее распространён. Нормальный потенциал,таким образом, будет записан: (7.27) Последнее слагаемое есть центробежная составляющая при условии . Угловая скорость вращения Земли - четвёртая независимая фундаментальная геодезическая постоянная. 3.8 Представление аномального потенциала силы тяжести в виде ряда шаровых функций Аномальный (возмущающий) потенциал определен, как разность действительного и нормального потенциалов: Вычитая почленно ряды (7.24) и (7.27), увидим, что из аномального потенциала сокращается центробежная часть и член нулевой степени: (7.28) где Производная аномального потенциала по даст приближённое значение аномалии силы тяжести в свободном воздухе (разд. 6): 4 Модели гравитационного поля 4.1 Подсчет общего количества членов ряда Модель гравитационного поля представляет собой набор коэффициентов ряда (7.21) стоксовых постоянных и . Как правило, это полностью нормированные (fully normalized) величины, но об этом должно быть сказано в пояснительном тексте. Помимо коэффициентов, для каждой модели обязательно даются значение и величина - «большая полуось эллипсоида», которая здесь не несёт явного геометрического смысла, а является согласующим коэффициентом для вычисления дроби . Количество пар коэффициентов определяется максимальной степенью разложения. Подсчитаем их число: Каждая сферическая функция степени , (), как было сказано (п. 3.2), содержит слагаемых. Последняя из них будет содержать членов, а количество всех элементов от степени 0 до равна сумме членов арифметической прогрессии: То есть разложение потенциала до степени будет содержать = 130321 членов, а ряд разложения до степени - соответственно 4800481 слагаемых, которые суммируются в ряд (7.22). Недостатком метода представления геопотенциала в виде ряда (7.22) является его медленная сходимость, большое количество вычислений для суммирования и влияние коэффициентов любой степени на поле в целом. 4.2 Разрешение модели Максимальная степень разложения модели геопотенциала может быть интерпретирована, как характеристика, описывающая детальность или пространственное разрешение. С увеличением N уменьшается размер зоны, сектора или тессеральной ячейки старшей степени. Можно рассматривать разрешение модели , как размер наименьшей ячейки – или зоны степени по широте. Поскольку Меняется от 0 до 180 градусов, эта величина равна Для низкостепенных моделей N=360 разрешение составляет , что соответствует примерно 55 км на поверхности Земли. Самые высокостепенные модели (N=2190) имеют разрешение 0,082 или порядка 9 километров, что для современных нужд уже не достаточно. Чтобы дальше увеличивать разрешение, придется многократно увеличить степень N и определять многие тысячи новых коэффициентов. Уже сейчас понятно, что это не приведёт к повышению точности модели, поскольку сами стоксовы постоянные становятся настолько малы, что их ошибки становятся заведомо выше, чем их величины. 4.3 Пример модели гравитационного поля На рис. 7.6 приведён фрагмент файла модели XGM2016 в текстовом формате *.gfc. В начале файла находится краткое описание модели: исходные данные (спутниковые, наземные), метод её построения (в данном случае модель получена комбинированием данных другой спутниковой модели GOCO05s с осредненными по 15′x15′ трапециям значениями аномалий из наземнымой гравиметрической съемки. В описании приведены авторы модели и ссылки на публикации с подробным описанием. С ключевого слова begin_of_head начинается заголовок модели. В нём указывается: • назначение модели • название • Геоцентрическая гравитационная постоянная GM • радиус («большая полуось») a • максимальная степень N • характеристика точности коэффициентов • нормирование коэффициентов • учет приливной поправки После ключевого слова end_of_head начинаются сами коэффициенты модели. В каждой строке после ключевого слова gfc в первом столбце -степень, во втором – порядок (иногда в заголовке они обозначены как L и M). Далее следуют коэффициенты C и S, за ними – их формальные ошибки (Sigma_C и Sigma_S). Коэффициенты следуют в порядке возрастания степени. Отсутствующие коэффициенты (такие, как все ) заменены нулями. Имея в виду, что все коэффициенты – полностью нормированные, мы не будем здесь их без необходимости обозначать чертой. Обратим внимание, что коэффициент нулевой степени равен 1, что означает, что произведение , и поэтому ряд (7.22) начинается с члена . Мы видим эту единицу в выражении (7.22) в начале скобки. Далее, мы видим, что коэффициенты первой степени , , равны нулю – это следствие выбора начала координат. Переходим к коэффициентам второй степени. Коэффициент имеет величину -4.841694588724518E-04. Откуда она берётся? Вспомним, что , а константа Но в модели приведены полностью нормированные коэффициенты, поэтому величину надо разделить на нормирующий множитель : и тогда Заметим, что коэффициенты , и не равны нулю (хотя первые два из них малы), что означает, что направление осей координат X и Y не совпадает с направлениями главных осей инерции в теле Земли. Если переместиться в конец файла модели, то можно убедиться, что действительно, формальные ошибки последних коэффициентов превышают их действительные значения. В заключение еще раз отметим, что при вычислениях с полностью нормированными коэффициентами необходимо нормировать все полиномы и присоединённые функции Лежандра. Рис 7.6 модель гравитационного поля в виде набора коэффициентов разложения в формате gfc Литература 1. Огородова Л.В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия. Учебник для вузов. — М: Геодезкартиздат, 2006. 2. Попадьев В.В. Основы геодезической гравиметрии и теоретической геодезии (курс лекций) – МИИГАиК, 2017 3. F Barthelmes Definition of Functionals of the Geopotential and Their Calculation from Spherical Harmonic Models. Theory and formulas, 2009, http://icgem.gfz-potsdam.de/theory 4. Гофман-Велленгоф Б., Мориц Г. Физическая геодезия. М., МИИГАиК, 2007.