Семейства точечных групп

1 Лекция 3 Семейства точечных групп Совокупность всех неэквивалентных элементов симметрии, с помощью которых фигура может быть преобразована сама в себя, образует группу. Точечная группа (вид симметрии, класс симметрии) – это полная совокупность элементов симметрии фигуры. Мы рассмотрели плоскости симметрии, оси симметрии, точки симметрии. В принципе порядок осей симметрии может быть любым, поэтому существует бесчисленное множество точечных групп. Вместе с тем, набор элементов, входящих в группу, должен удовлетворять теоремам из взаимодействия. В результате удается выделить только 7 семейств точечных групп. 1. Семейство вращающегося конуса (семейство n). В это семейство входят те точечные группы, которые содержат только одну поворотную ось. Из дальнейшего будет видно, что эти группы удобно разделить на два ряда – с четным и нечетным порядком оси. 1,3,5,7,..... В пределе оба ряда приведут к группе, содержащей ось . 2,4,6,8,.... Симметрией обладает фигура, которая совмещается сама с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. В качестве примера Такой фигуры можно привести конус. Однако конус имеет еще бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих через ось . Все эти плоскости исчезают, если рассматривать вращающийся конус (или покоящийся). Вращающийся или покоящийся конус имеет заштрихованную поверхность. Поверхность должна иметь структуру – тогда не будет плоскостей. Например, поверхность можно прикрыть тканью с приглаженным ворсом. Примером молекулы, симметрия которой отвечает точечной группе из семейства вращающегося конуса, является молекула бензофенантрена (рисунок 8 в методичке). При идеально плоском строении молекула имела бы две плоскости симметрии – совпадающую с плоскостью чертежа и перпендикулярно к ней, – а также ось 2, проходящую по линии пересечения этих плоскостей. Однако в силу стереографических затруднений молекула бензофенантрена искажается: фенильные кольца на периферии отклоняются в разные стороны от плоскости чертежа ((+) отмечены части молекулы, приподнятые над плоскостью, а (-) – опущенные). В итоге молекула имеет симметрию 2. 2. Семейство скрученного цилиндра (семейство n2 или n22). Если к каждой поворотной оси, входящую в семейство вращающегося конуса, добавить перпендикулярную ось второго порядка – получится еще одно семейство точечных групп. 12,32,52,..... 2. Оба ряда в пределе дают 2. 222,422,622.... Согласно теореме 4, каждая из этих точечных групп содержит кроме оси n-порядка (главная ось) n осей второго порядка (побочные оси), расположенные в перпендикулярной 180 плоскости и образующие между собой углы . n 1 2 Примером фигуры, предельной группе скрученный цилиндр. принадлежащей к 2, может служить В качестве примера покажем расположение элементов симметрии в двух таких группах – с осями 3-го и осями 4-го порядков. Между этими двумя случаями есть принципиальная разница. Если ось нечетная, то все направления, по которым проходят оси 2, во всех отношениях одинаковы. Они преобразуются друг в друга при повороте на угол 120 . 32 Три оси 2 эквивалентны. Если ось четная, то при повороте на угол 90 ось 2`, переходит в другую ось 2`, а ось 2`` - в свою очередь совмещается с осью 2``. Неэквивалентность осей 2` и 2``отражается записью двух осей второго порядка. Оси 2` и 2`` неэквивалентны. Тогда как в случае нечетной оси записывается только одна ось 2-го порядка. Примеры молекул: Трифенилдихлорстибин (рисунок 9а методички, стр. 76). Точечная группа 32. «Трехлопастной пропеллер», его ось – прямая. Плоскость каждого из фенильных колец повернута относительно экваториальной плоскости на угол ~ 45 . При повороте на угол 120 вокруг прямой Cl-Sb-Cl кольца совмещаются друг с другом. Дифенил (рисунок 9б методички, стр. 76). Точечная группа 222. кристаллы имеют плоское строение. Дифенил в газовой фазе – фенильные кольца повернуты относительно связи С-С на некоторый угол. (+) – атомы над плоскостью, (-) – под плоскостью. 3. Семейство неподвижного конуса (семейство nm или nmm). Если к каждой поворотной оси, входящей в семейство вращающегося конуса, добавить плоскость m, проходящую через эту ось, то в каждой точечной группе по теореме 4 возникает n таких плоскостей. 2 3 1m,3m,5m,7m,....... 2mm,4mm,6mm,8mm,.... но принято mm2. m. Оба ряда дают в пределе m. Как и предыдущих семействах, здесь имеет место эквивалентность плоскостей, проходящих через ось нечетного порядка, и неэквивалентность в случае оси четного порядка. NH3 BrF5 3m и другие пирамиды 4mm nm HOCl H2O mm2 1m n для четных n). m Если в семействе вращающегося конуса поворотную ось заменить инверсионной осью, то получим семейство, включающее в себя не два, а четыре ряда точечных групп. 2l 1.......... .......... . 1, 3, 5,7,...... 4. Семейство вращающегося цилиндра (семейство n, 4l 2.......... .......... .. 2(1 / m),6 (3 / m),1 0(5 / m)......... /m 4l.......... .......... ......... 4(2 / m),8 (4 / m),12(6 / m)....... Особенности рассматриваемых рядов вытекают из свойств инверсионных осей. I ряд. Нечетные оси содержат поворотную ось n-го порядка + центр симметрии n n 1. Четные ряды делятся на две группы: n II ряд 4l+2. нет центра симметрии, но есть плоскость, n m 2 перпендикулярная направлению главной оси. 3 4 III ряд 4l. 4n эти оси не содержат ни центра симметрии, ни плоскости. IV ряд 2/m, 4/m, 6/m - имеет центр симметрии и перпендикулярную плоскость, т.к. любая ось четного порядка содержит в себе ось 2-го порядка. Из теоремы 3 и следствия вытекает присутствие центра симметрии. Наличие перпендикулярной плоскости (m ) говорит о присутствии инверсионной оси 2-го порядка ( 2 ), совпадающей с направлением главной оси. Например, Н3ВО3. 3 Молекула плоская, имеет 6. m Среди органических молекул часто встречается точечная группа 2/m. 2/m порождает центр симметрии 1 . 5. Семейство неподвижного цилиндра. Если к каждой из точечных групп предыдущего семейства добавить плоскость n симметрии m, проходящую через ось, получаются группы вида n m, n m2, n 2m, mm . m Получается четыре ряда точечных групп. 2 n 2l 1.......... 1 m( ),3 m, 5 m,......... .. m n 4l 2.......... . 2 m2(mm 2),6 m2,1 0 m2,....... n m 4l.......... ....... 42m,8 2m,122m,......... ....... m 2 4 6 mm, mm, mm,....... m m m Рассмотрим каждый из этих рядов. I ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионную ось нечетного порядка n, где n = 2l + 1. Говоря о свойствах инверсионных осей, мы отмечали, что инверсионная ось нечетного порядка содержит в себе поворотную ось того же порядка. Тогда, по теореме 4 каждая из точечных групп первого ряда содержит столько плоскостей симметрии, каков порядок главной оси. Кроме того, по теореме 5 из-за наличия инверсионной оси 180 появляются поворотные оси 2-го порядка, расположенные под углом к осям 2 n (нормалям к плоскостям). Их тоже будет n. Появление осей 2-го порядка можно объяснить наличием центра симметрии на плоскости, порождающей оси 2, перпендикулярные плоскостям. .......... .......... ....... 4 5 Например, 3 m . Для точечных групп первого ряда характерно следующее: оси 2 проходят между плоскостями симметрии. II ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионные оси четного порядка n, где n = 4l + 2. Инверсионные оси четного порядка содержат в себе поворотные оси с вдвое меньшим порядком (n/2). Тогда, по теореме 4 каждая из точечных групп второго ряда содержит n/2 плоскостей симметрии, проходящих через главную ось. Кроме того, в точечной группе второго ряда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная главной оси. В соответствие с теоремой 2, ее частным случаем, когда имеются две взаимно перпендикулярных плоскости, то по линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей проходит ось 2-го порядка. Всего таких осей будет n/2. Например, молекула CH2Cl2. Точечная группа 2m2 . Эта точечная группа нам уже встречалась в семействе неподвижного конуса и обозначалась 2mm. Чаще ее обозначают mm2. Имеющуюся инверсионную ось 2-го порядка ( 2 ) mm2 изображаем как плоскость. Также имеется плоскость m, проходящая через ось 2 . По теореме 2 – линия пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей есть поворотная ось 2-го порядка (2). Ориентация элементов симметрии на данном рисунке соответствует более обычному обозначению mm2, если отдается предпочтение, чтобы выделить особое направление – направление оси 2. особое направление принято совмещать с координатной осью z. Однако возможна и другая ориентация: 2mm (ось 2 проходит вдоль оси x). Молекула SbCl5. Точечная группа 6m2 . В этом случае можно применить теорему 5 и все плоскости и оси 2 совпадут на проекции. Для точечных групп второго ряда характерно совпадение на проекции плоскостей и осей 2-го порядка. 6m2 III ряд. Входят точечные группы, содержащие инверсионные оси четного порядка n, где n = 4l. Здесь так же, как и для второго ряда, присутствуют n/2 плоскостей и n/2 побочных осей 2-го порядка (по теореме 5). Плоскость, перпендикулярная главной оси, в этом случае отсутствует. Точечная группа 42m . Если ось x направлена традиционно, то это 4m2 . Если ось x направлена вдоль оси 2-го порядка, то это 42m . 4m2 42m Для точечных групп третьего ряда характерно то, что оси 2-го порядка проходят на проекции между плоскостями симметрии. 5 6 IV ряд. Рассмотрим сразу на примерах. 2 mm или mmm (молекула нафталина, стр. m 77 рис. 12 методички) 4 mm m Молекула SF6 6 mm (молекула бензола) m Для точечных групп IV ряда семейства неподвижного цилиндра характерно следующее: оси 2-го порядка совпадают с вертикальными плоскостями на проекции. Рассмотренные пять семейств точечных групп относятся по симметрии к низшей и средней категориям. Прежде чем, дать определение категории напомню, что оси n и n , для которых n 3 , называются осями высшего порядка. Напомню, что точечные группы, не содержащие осей высшего порядка, объединяются в низшую категорию. Всего существует 8 таких точечных групп: 1, 1 , 2, m, 2/m, 222, mm2, mmm. Точечные группы, содержащие одну ось высшего порядка принадлежат к средней категории. Таких точечных групп существует бесчисленное множество. Точечные группы, содержащие несколько осей высшего порядка, принадлежат к высшей категории. Таких групп всего девять: 23, 432, 25, , m3, 4 3m, m3m, m5, m . Семейства высшей категории. 6. Семейство шара с вращающимися точками поверхности (в одном направлении) Названия семейств даются по фигуре, симметрия которой описывается предельной точечной группой семейства, т.е. получаемой в пределе. Формально такой фигуры, как шар с вращающимися точками поверхности не существует. Однако ее можно себе представить, если только совершать все возможные повороты вокруг всех возможных осей. 6 7 Точечные группы этого семейства не содержат плоскостей симметрии, только набор осей. точечная группа 23,432,25........ вращения. Рассмотрим примеры. 23 - пример фигуры пентагонтритетраэдр Эта фигура содержит три взаимно перпендикулярных оси 2-го порядка, которые удобно направить вдоль координатных осей. Кроме того, присутствуют четыре оси 3-го порядка, проходящие по объемным диагоналям. 432 – фигура пентагонтриоктаэдр (по три пятиугольника на каждой грани) Вдоль координатных осей проходят оси 4го порядка. Оси 3-го порядка располагаются по объемным диагоналям. По теореме 4 возникают оси 2-го порядка, проходящие по диагоналям координатных плоскостей (ось 4-го порядка уже содержит в себе ось 2-го порядка). 25 – фигура футбольный мяч Эта точечная группа содержит шесть осей 5-го порядка, девять осей 3-го порядка, пятнадцать осей 2-го порядка. В кристаллах не встречается. Мы уже говорили, что в кристаллах оси 5-го порядка, а также оси, порядок которых выше 6, вообще не встречаются. Эта точечная группа содержит шесть осей 5-го порядка, девять осей 3-го порядка, пятнадцать осей 2-го порядка. В кристаллах не встречается. Мы уже говорили, что в кристаллах оси 5-го порядка, а также оси, порядок которых выше 6, вообще не встречаются. Всякое расположение хотя бы двух осей высшего порядка с ориентацией, не встречающейся в группах 23, 432 и 25 приводит к группе . 7. Семейство шара. К элементам симметрии точечных групп предыдущего семейства добавим плоскости симметрии. 7 8 Если к группе 23 добавить координатную плоскость, то поучим группу m3. m3 Если к группе 23 добавить плоскость симметрии, перпендикулярную диагоналям координатных плоскостей, возникает группа 43m . Диагональные плоскости появляются по теореме 4. При этом на месте осей 2-го порядка в соответствии с теоремой 3 появляются инверсионные оси 4 . Пример такой фигуры – тетраэдр. 43m Если к группе 432 добавить координатную плоскость симметрии и плоскость симметрии, перпендикулярную диагоналям координатных плоскостей, и применяя теорему 4, то появляется группа m3m. (стр. 77 рис. 11 методички). Пример такой фигуры – куб. Пример фигуры с симметрией m5 – пентагондодекаэдр (12 пятиугольников), икосаэдр (20 треугольников). Такая группа наиболее характерна для живой природы. m3m m5 Добавление плоскостей симметрии к любой из точечных групп предыдущего семейства в какой-либо иной ориентации приводит к возникновению бесчисленного 8 9 m , m относящаяся к симметрии шара. Ее называют полной ортогональной группой. Эта точечная группа содержит в себе всевозможные повороты и повороты с инверсией вокруг всех возможных осей. Все точечные группы симметрии всех семейств являются множества осей высшего порядка. В итоге получается предельная группа подгруппами точечных групп m . 9