Сечение Ц и К плоскостями частных положений. Поверхности с тремя направляющими. Поверхности с плоскостью параллелизма (цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид). Конические и цилиндрические поверхности общего вида. Торсы.

Лекция 6. Сечение Ц и К плоскостями частных положений. Поверхности с тремя направляющими. Поверхности с плоскостью параллелизма (цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид). Конические и цилиндрические поверхности общего вида. Торсы. Сечение цилиндра вращения плоскостью Характер линии, по которой плоскость пересекает поверхность, зависит от того, как плоскость расположена относительно поверхности. Цилиндрические сечения 1. Пара прямых (образующих), если плоскость параллельна оси цилиндра. Плоскость Σ параллельна оси цилиндра и пересекает его по образующим ℓ и ℓ′. 2. Окружность, если плоскость перпендикулярна оси цилиндра Плоскость Г перпендикулярна оси цилиндра и пересекает его по окружности диаметром, равным диаметру цилиндра. 1. Эллипс, если плоскость наклонена к оси цилиндра. Плоскость Λ наклонена к оси цилиндра. В общем случае она пересекает все его образующие. В сечении всегда получается замкнутая кривая – эллипс. Большая ось эллипса равна длине отрезка 12-22, малая ось эллипса равна диаметру цилиндра. Если секущая плоскость пересекает основание цилиндра, в сечении получается часть эллипса, но не какая-либо другая кривая. Пример. Построить проекции линии пересечения цилиндра плоскостью Λ. Решение. Плоскость Λ наклонена к оси цилиндра, поэтому пересекает цилиндр по эллипсу. Но эллипс будет неполным, так как цилиндр подрезан верхним основанием. Однако для удобства построений целесообразно продолжить очерковую образующую цилиндра до пересечения ее с плоскостью Λ в точке 1. Фронтальная проекция эллипса совпадает с проекцией плоскости Λ, так как плоскость фронтально-проецирующая. Горизонтальная проекция эллипса совпадает с окружностью, в которую проецируется весь цилиндр, так как цилиндр – горизонтально-проецирующий. Профильная проекция эллипса – эллипс, но искаженный. Натуральный вид эллипса изображается только на плоскости П4, параллельной плоскости Λ. 1. Характерные точки линии пересечения 1.1 Отрезок 12-22 – размер большой оси эллипса 1.2 Отрезок 3-4 – размер малой оси эллипса; всегда равен диаметру цилиндра 1.3 Отрезок 5-6 – линия пересечения плоскости верхнего основания с плоскостью Λ. 2. Промежуточные (произвольные) точки – точки 7 и 8. 3. Определение видимости эллипса. На профильной проекции видимой является левая половина цилиндра. Границы видимости – очерковые точки 33 и 43. До точек 53 и 63 часть эллипса – видимая. Нижняя половина эллипса – невидимая, так как лежит на невидимой части цилиндра. Участок эллипса 53-13-63 обведен условной линией (штрих-пунктирная с двумя точками), поскольку в данной задаче не принадлежит искомой линии. 1. Определение видимости очерков цилиндра. В данном случае видимость определена, исходя из предположения, что часть цилиндра не отсечена плоскостью Λ. Тогда профильные очерковые образующие – видимые и высота их не меняется. 2. Определение натурального вида эллипса проецированием на дополнительную плоскость П4, параллельную плоскости Λ. Заменяемая ось х1 выбрана совпадающей с горизонтальной осью симметрии на П1. Сечение конуса вращения плоскостью В общем случае следует считать, что образующие конуса продолжаются за вершину, поэтому коническая поверхность имеет две полы. Конические сечения 1. Окружность, если плоскость перпендикулярна оси конуса. 2. Эллипс, если плоскость наклонена к оси конуса и пересекает все 3. Парабола, если плоскость параллельна одной образующей конуса. 4. Пара прямых (образующих), если плоскость проходит через вершину конуса. 5. Гипербола, если плоскость параллельна двум образующим конуса (в частном случае, если плоскость параллельна оси конуса). Плоскость Ω, параллельная одной образующей конуса, не пересечет вторую полу конуса. В сечении получается кривая с одной ветвью – парабола. Плоскость Ф, параллельная двум образующим, пересечет и вторую полу конуса. В сечении получается кривая с двумя ветвями – гипербола. Пример. Построить проекции линии пересечения конуса плоскостью Λ. Решение. Плоскость Λ пересекает все образующие конуса и наклонена к его оси, поэтому в сечении получится эллипс. Конус подрезан основанием выше точки 1, поэтому эллипс будет неполным. Однако для удобства построений левую очерковую образующую целесообразно продлить до пересечения с плоскостью, чтобы получить точку 1. 1. Характерные точки 1.1 Точки 12, 22 – на фронтальном очерке конуса; отрезок 12-22 – величина большой оси эллипса. 1.2 Отрезок 3-4 – малая ось эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси и делит ее пополам. В данном примере малая ось – фронтально-проецирующая прямая. Поэтому на фронтальную плоскость она проецируется в точку 32=42, лежащую в середине отрезка 12-22. На горизонтальную и профильную плоскости малая ось проецируется в натуральную величину. Чтобы найти горизонтальные проекции точек 3 и 4, проведена параллель m, которая на П2 проецируется в прямую, перпендикулярную оси конуса, а на П1 – в окружность. 1.3 Точки 5 и 6 – на профильном очерке конуса; очевидные. 1.4 Точки 7 и 8 лежат на окружности основания конуса; очевидные. 2. Промежуточные точки в этом решении не построены, чтобы не перегружать чертеж. На более крупном чертеже следует найти хотя бы одну пару промежуточных точек тем же способом, что и точки 3 и 4. Далее – те же действия, что описаны в пунктах 3, 4 и 5. Сечение сферы плоскостью Сфера всякой плоскостью пересекается по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость в натуральную величину. Окружность, лежащая в наклонной плоскости, проецируется в эллипс. В сечении сферы плоскостью Σ получается окружность диаметром d, равным отрезку 11-21. У этой окружности – множество диаметров и все они как-то искажены при проецировании на плоскости П2 и П3. Самое большое искажение у диаметра 1-2: отрезок 12-22 соответствует малой оси эллипса. И только один из всех диаметров – диаметр 3-4, перпендикулярный плоскости П1, а следовательно, параллельный плоскостям П2 и П3, проецируется на эти плоскости в натуральную величину и определяет большую ось эллипса (отрезок 32-42). Пример. Построить проекции линии пересечения сферы плоскостью Λ. Решение. В сечении сферы фронтально-проецирующей плоскостью получается окружность диаметром 12-22, которая на плоскости П1 и П3 проецируется в эллипсы. 1.Характерные точки 1.1 Точки 12, 22 – на фронтальном очерке сферы; проекции этого отрезка на плоскости П1 и П3 – малые оси эллипсов: 11-21 и 13-23 соответственно. 1.2 Точка 32=42 – проекция большой оси эллипса. Она лежит в середине отрезка 12-22 и совпадает с проекцией центра окружности, которая получилась в сечении. Можно найти эту точку, опустив перпендикуляр из центра сферы на плоскость Λ. Горизонтальная и профильная проекции отрезка 3-4 ( 31-41 и 33-43) лежат на соответствующих линиях связи и равны диаметру окружности (длине отрезка 12-22). 1.3 Точки 5 и 6 лежат на профильном очерке сферы; очевидные. 1.4 Точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке сферы; очевидные. 2. Промежуточные точки 9 и 10 определены с помощью параллели m. 3. Определение видимости кривой. На горизонтальной проекции границы видимости – точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке. Участок эллипса 7-1-8 –невидимый, так как лежит на нижней половине сферы. На профильной проекции границы видимости – точки 5 и 6 – на профильном очерке. Участок эллипса 6-2-5 –невидимый, так как лежит на невидимой половине сферы. 4. Натуральный вид фигуры сечения – окружность (но не эллипс!). Линейчатой называют поверхность, которая образуется движением прямой линии (образующей) в пространстве. В зависимости от закона движения образующей прямой выделяют три вида линейчатых поверхностей. Линейчатые поверхности с тремя направляющими образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим a, b иc (кривым или прямым), которые единственным образом определяют движение образующей l . Так, выбрав на направляющей aлюбую точку А, можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих конической поверхности Рисунок 1 с вершиной в точке А и пересекающих направляющую c. Из рисунка1 видно, что через точку А, взятую на направляющей a, проходит одна и только одна прямолинейная образующая, пересекающая две другие направляющие b и c. Описанным способом через точки, принадлежащие направляющей a,можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Рисунок 2 Примером линейчатой поверхности с тремя направляющими является однополосный гиперболоид, у которого направляющими служат три произвольно скрещивающиеся прямые a, b и c (рис. 2). Часто линейчатые поверхности задаются меньшим числом направляющих. В этих случаях отсутствие недостающих направляющих дополняют условиями, обеспечивающими заданный характер движения образующей. Для получения линейчатых поверхностей с двумя направляющими задается дополнительное условие сохранения параллельности образующей какой-либо плоскости, называемой плоскостью параллелизма, или сохранения заданного угла наклона образующей относительно какой-либо плоскости или оси вращения (у геликоидов). Такие поверхности называются поверхностями с плоскостью параллелизма. К ним относятся: -  цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей l по двум криволинейным направляющим a и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ  Рисунок 3. - коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией a, а другая – прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ. Рисунок 4. Рисунок 5. На рис. 4 изображена косая плоскость, направляющими которой служат прямые a и b, а плоскость параллелизма – горизонтальная плоскость проекций П1, следовательно, образующие косой плоскости являются горизонталями. Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме прямолинейных образующих и направляющих, также гиперболу и параболу, эту поверхность еще называют гиперболическим параболоидом. Параболой является горизонтальный очерк косой плоскости, приведенной на рис. 5. -  торс образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата. Ребро возврата является направляющей торса, который полностью определяет поверхность