Сдвиг и кручение

Лекция № 9 Тема 5. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ 5.1. Расчет элементов конструкций, работающих на сдвиг Если из всех внутренних сил не равна нулю только поперечная сила, материал испытывает сдвиг. На сдвиг работают шпонки, штифты, заклепочные, сварные, и другие соединения. При действии нагрузки в этих соединениях, кроме сдвига, возникает смятие и изгиб. Такое явление на практике называется срезом. Экспериментально доказано, что напряжения при сдвиге равномерно распределяются по площади. Рассмотрим расчет некоторых соединений. Расчет заклепочных соединений ( рис.5.1 ). Из условия прочности при сдвиге: получим где: – поперечная сила; – число срезов; – число заклепок, можно подобрать либо диаметр заклепки, либо число заклепок, которое округляется до ближайшего большего целого числа: Кроме сдвига заклепочные соединения рассчитываются на смятие. Реальное распределение напряжений смятия имеет сложный вид ( рис. 5.2 ). Поэтому для расчетов эпюру напряжений, упрощают и заменяют постоянной величиной, а за площадь смятия прини-мают диаметральное сечение заклепки. Тогда, из условий прочности при смятии для крайних листов и для среднего листа можно определить либо диаметр заклепок, либо их число. Например, для крайних листов . Число заклепок округляют до ближайшего большего целого числа. В общем случае расчет на смятие проводят как для заклепок, так и для листов. При этом, если они из разных материалов, то будут разные . Обычно велико, вследствие того, что в возникающем объемном напряженном состоянии все напряжения практически всегда отрицательны. Окончательно, из результатов всех расчетов, принимают для соединения наибольшие значения диаметров или числа заклепок. Расчет сварных соединений Соединение встык ( рис. 5.3 ). Из условия прочности , можно найти длину сварного шва . Из-за непровара по краям шва, его длину увеличивают на . Соединение внахлест ( рис. 5.4,а ). Наименьшая толщина шва показана на рис.4.4,б . Тогда из условия прочности находим длину сварного шва а затем увеличиваем ее на . Здесь и - допускаемые напряжения для сварных соединений. 5.2. Чистый сдвиг В том случае, когда из всех внутренних сил не равна нулю только поперечная сила, материал испытывает сдвиг. Экспериментально доказано, что напряжения при сдвиге равномерно распределяются по площади. Если по граням элемента действуют только касательные напряжения, то материал элемента испытывает деформацию чистого сдвига. Рассмотрим некоторое тело единичной толщины ( рис. 5.4 ). На грани CD под действием силы Q возникают касательные напряжения . По закону парности касательных напряжений, такие же напряжения возникают на остальных гранях тела. От действия τ верхняя грань CD переместится в положение C1D1, сдвинувшись на величину DD1, равную , называемую абсолютным сдвигом. Все прямые углы элемента станут тупыми и острыми, изменившись на величину  , называемую углом сдвига. . Так как угол  мал, то и . Рассмотрим деформацию диагонали c двух точек зрения. С геометрической точки зрения. Свяжем удлинение диагонали BD и абсолютный сдвиг. Считаем, что .Тогда Деформация диагонали будет С точки зрения напряженного состояния. Рассматриваемый элемент испытывает плоское напряженное состояние. Определим положение главных площадок. откуда и Таким образом, главные площадки расположены под углом к заданным. Найдем величины главных напряжений  2 = 0. При чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Для определения деформации диагонали BD используем обобщенный закон Гука . Приравняем значения: , откуда следует, что . Обозначим . Упругая постоянная G называется модулем сдвига, или модулем поперечной упругости, или модулем упругости второго рода. Из последней формулы следует, что упругие характеристики материала G , E и  связаны между собой. Тогда закон Гука при сдвиге запишется . ( 5.1 ) Найдем потенциальную энергию деформации при сдвиге. Площадь верхней грани тела ( рис.5.1 ) равна . Сдвигающиеся сила . Потенциальная энергия деформации данного элемента равна работе внешней силы на перемещении . Разделив полученную величину на объем V = aа1 тела, найдем удельную потенциальную энергию деформации . Из выражения ( 5.1 ) получим . Тогда . ( 5.2 ) Лекция № 10 5.3. Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения Стержень, работающий на кручение, называется валом. При кручении в поперечном сечении вала возникает одно внутреннее усилие - крутящий момент . определяют на каждом участке вала с помощью метода сечений. равен алгебраической сумме всех закручивающих моментов, взятых по одну или по другую сторону от сечения. При этом, если смотреть со стороны сечения на рассматриваемую часть вала, то закручивающий момент, вращающий против часовой стрелки, считается положительным. Введем следующие допущения, подкрепленные экспериментально для валов круглого и кольцевого поперечных сечений: 1.Плоские поперечные сечения вала, перпендикулярные его оси до кручения, остаются плоскими и перпендикулярными оси во время кручения, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол. 2.Прямые радиусы, проведенные в этих сечениях, остаются прямыми при кручении. 3. Расстояние между сечениями во время кручения не меняется. Рассмотрим вал, находящийся в состоянии кручения ( рис.5.5,а ). Проведем два плоских сечения, перпендикулярных оси вала, и расположенных на расстоянии друг от друга. Во время кручения второе сечение ( рис.5.5,б ) повернется относительно первого, и образующая займет положение . Радиус повернется на некоторый угол и примет положение . Из : . Из треугольника : . Поэтому , или . Обозначим - относительный угол закручивания. Тогда . Из ( рис. 5.5,б ) видно, что материал при кручении испытывает деформацию сдвига, и по закону Гука при сдвиге касательные напряжения равны. . ( 5.3 ) Рассмотрим поперечное сечение вала ( рис. 5.6 ). Выделим площадку . Здесь перпендикулярно . Тогда элементарный крутящий момент будет:. Полный крутящий момент . Отсюда находим относительный угол закручивания . Подставляем его в ( 5.3 ) и получим формулу для определения касательных напряжений в сечении вала при кручении : . ( 5.4 ) Максимальное касательное напряжение возникают при ( рис. 5.8 ) . ( 5.5 ) Запишем условие прочности: . . Из условия прочности находим формулу для подбора размера поперечного сечения вала: . ( 5.6 ) Для круглого поперечного сечения :, , . Определим перемещение при кручении. Подставим в . Тогда , и Угол закручивания участка вала длиной ℓ будет: . Обычно вал делится на участки, на которых и жесткость вала , тогда . ( 5.7 ) В некоторых конструкциях необходимо, чтобы угол закручивания не превышал допустимый угол закручивания . Тогда из условия жесткости вала , получим . Для вала круглого поперечного сечения , , . Лекция № 10 5.4. Статически неопределимые задачи кручения Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, ( рис. 5.8 ), когда его концы защемлены. В одно уравнение равновесия: : входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала. . . . . Так как сечение вала защемлено, то , откуда: . Это и есть дополнительное уравнение перемещений. В него подставляем значения углов закручивания на участках, в которых крутящие моменты выражены через один неизвестный опорный момент и находим значение этого момента. 5.5. Кручение стержней некруглого поперечного сечения При кручении стержней (валов) не круглого и не- кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется ( рис. 5.9 ). Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и на - момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении. Тогда: , , Для прямоугольного поперечного сечения ( рис. 5.10 ) , . Здесь и - зависят от отношения . Коэффиценты. Отношение большей стороны сечения к меньшей . 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0… 10 0.208 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.291 0.299… 0.333 0.141 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.291 0.299… 0.333 Часто для расчета сложных конструкций используют моделирование или аналогии. В частности, для расчета на кручение стержней сложного поперечного сечения используют мембранную аналогию. Задача о кручении стержня сводится к такому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 5.11,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 5.11,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно. Лекция № 11 5.6. Свободное кручение тонкостенных стержней Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого ( рис. 5.12 ) и замкнутого ( рис. 5.13) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный ( рис. 5.14 и рис. 5.15 ). Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится. Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,. Если стержень открытого профиля не выпрямляется в один прямоугольник, а состоит из прямоугольников, то . Максимальное напряжение возникают на участке с наибольшей толщиной . На внутренних углах профиля возникает концентрация напряжений, поэтому внутренние углы выполняют скругленными. Рассмотрим кручение тонкостенного стержня замкнутого профиля. Вырежем участок стержня длиной ( рис.5.16 ) и проведем два сечения, параллельные оси стержня и перпендикулярные средней линии профиля. Рассмотрим равновесие элементарной призмы. Спроектируем силы, возникающие от действия парных касательных напряжений, на ось стержня 1 1 dz = 2 2 dz , откуда . Выделим элементарную площадку ds. Элементарный крутящий момент, возникающий от напряжений на этой площадке, будет *ОА*ds. Полный крутящий момент Здесь –удвоенная площадь . Интеграл , где площадь - , ограниченная средней линией контура. Тогда, , откуда . Угол закручивания стержней замкнутого профиля определяется из равенства энергии деформации и работы внутренних сил , , что выполняется при однородном по длине стержне. Так как , то . Работа , откуда . Если , то . Рассмотрим пример на кручение цельной трубы и трубы, разрезанной вдоль оси. Обе трубы имеют одинаковую толщину , длину и средний диаметр . Цельная труба ( рис. 5.18,а ). . Труба разрезанная вдоль оси ( рис. 5.18,б ). , . Отношение напряжений и перемещений , , показывает, что так как , то , . Поэтому ограничивают депланацию, и рекомендуется при кручении использовать стержни замкнутого профиля, то есть, если нужно изготовить стержень, работающий на кручение, из двух швеллеров, то лучше их сварить так, как показано на рис. 5.19,а, а не так, как показано на рис. 5.19,б. 5.7. Потенциальная энергия деформации при кручении Двумя поперечными сечениями вырежем из вала длиной ℓ участок длиной dz. На этом участке выделим продольное волокно площадью dA. Так как при кручении материал испытывает деформацию сдвига, используем выражение для удельной потенциальной энергии деформации при сдвиге (5.2). Тогда потенциальная энергия деформации бесконечно малого волокна длиной dz и площадью dA будет U = u dA dz = . Потенциальная деформация деформации участка балки длиной dz udAdz = . Полная потенциальная энергия деформации балки длиной ℓ U=udAdz== = = = . (5.8) Лекция № 12 Тема 6. ИЗГИБ 6.1. Основные понятия Балка – стержень, работающий на изгиб. Изгиб возникает тогда, когда в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент и, возможно, поперечная сила. Если из внутренних сил не равны нулю только Мх ( Мх и Qy ) , то балка испытывает изгиб в вертикальной плоскости, если Му (Му и Qx) , то в горизонтальной плоскости. В том случае, если поперечное сечение балки имеет ось симметрии, а балка – плоскость симметрии и равнодействующие всех внешних нагрузок, в том числе реакций опор, лежат в плоскости симметрии балки, называемой силовой плоскостью, изгиб называется плоским. При этом изогнутая ось балки будет представлена плоской кривой, лежащей в плоскости симметрии балки. Балки устанавливаются на опорах, которые бывают: шарнирно – подвижные, ( рис. 6.1,а , опора В ), шарнирно – неподвижные, ( рис. 6.1,б, опора А ), жесткое защемление или заделка, ( рис 6.1,в ). Для плоской системы сил в силовой плоскости выполняются три уравнения равновесия статики, поэтому в опорах статически определимой балки должно возни-кать три реакции. Типы таких балок: простая однопролетная, расстояние между опорами называется пролетом ( рис. 6.1,а), консольная балка с одной или двумя ( рис 6.1,б ) консолями, балка - консоль ( рис 6.1,в ). 6.2. Дифференциальные зависимости при изгибе Вырежем из балки сечениями I – I и I – II участок АВ, длиной dz ( рис. 6.2 ). В сечении 1 - 1 приложим внутренние силы MX и QY. В сечении П – П из–за приращения координаты z на dz , внутренние силы также получат приращения и станут равными MX + dMX, QY + dQY. Поперечная сила прикладывается так, чтобы она вращала рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент будем прикладывать так, чтобы он растягивал нижние волокна в рассматриваемой части балки. Вследствие малости dz нагрузку q будем считать постоянной на этом участке. Так как балка находится в равновесии, то участок АВ находится в равновесии ( рис. 6.3 ). Рис. 6.2 Рис. 6.3 Запишем уравнения равновесия статики. : ; ; = . Из этой зависимости следует, что если распределенная нагрузка отсутствует, то есть , то , если , то QY – ли-нейно зависит от координаты z. . – MX – QY dz + q dz () + MX + dMX = 0. . Величина - бесконечно малая высшего ( второго ) порядка малости, ей пренебрегаем по сравнению с остальными величинами первого порядка малости. Получаем ( 6.1 ) Следствия из этой зависимости: 1. Если , то = const – это чистый изгиб. 2. Если в какой-то точке, и меняет знак в окрестности этой точки, то в этой точке принимает экстремальное значение, что используется для нахождения третьей точки при построении криволинейной эпюры изгибающих моментов. 6.3. Нормальные напряжения при изгибе При выводе формулы для определения нормальных напряжений будем использовать следующие допущения : 1. Плоские поперечные сечения, перпендикулярные оси балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными оси балки во время изгиба, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол. 2. Волокна балки, параллельные ее оси, растягиваются или сжимаются и не давят друг на друга в поперечном направлении. 3. Деформации волокон по ширине балки постоянны. Точно эти допущения выполняются для случая чистого изгиба, но с высокой степенью точности их можно применять и при наличии поперечной силы. Так как при изгибе одни волокна балки растягиваются, а другие сжимаются, то между ними находятся волокна, которые не растягиваются и не сжимаются, а только изгибаются. Эти волокна образуют нейтральный слой балки. Пересечение силовой плоскости балки и нейтрального слоя называется нейтральной осью балки. Рассмотрим балку в условиях чистого изгиба. Проведем два сечения I – I и II – II на расстоянии dz друг от друга ( рис. 6.4 ). Пусть ось z – нейтральная ось. Волокно расположено на нейтральном слое. Волокно АВ расположено на расстоянии у от нейтрального слоя. АВ=ОО1 . Нарисуем балку после изгиба. ( рис. 6.5 ). Сечения I – I и II – II , оставаясь плоскими, повернутся друг относи-тельно друга на угол da и пересекутся в точке К Рис. 6.4 . Рис. 6.5 Рис. 6.6 Точка К – центр кривизны нейтральной оси балки, ρ - радиус кривизны нейтральной оси. Абсолютное удлинение волокна АВ будет равно DАВ = А1В1 – АВ . Относительное удлинение или линейная деформация волокна АВ будет =. Так как материал подчиняется закону Гука, то напряжения будут равны . ( 6.2 ) Используем метод сечений и рассмотрим правый участок балки (рис. 6.6 ). Так как участок балки находится в равновесии, то должны выполняться все уравнения равновесия статики. Некоторые из них : , , выполняются тождественно. Запишем остальные три уравнения равновесия: : . Используем ( 6.2 ) , , но E ¹ 0, и, если r = ∞, то балка прямая, то есть она не изогнулась, что противоречит условию. Значит SX=0, то есть, ось х – центральная ось. : Из тех же соображений следует, что , то есть , и оси x и y являются главными. : , , или , откуда . (6.3) Здесь - кривизна нейтральной оси балки при изгибе, EIX - жесткость балки при изгибе. Подставим выраже-ние ( 6.3 ) в формулу ( 6.2 ) и получим формулу для Рис. 6.7 определения нормальных напряжений при изгибе. . ( 6.4 ) Построим эпюру нормальных напряжений при изгибе ( рис. 6.7 ). Максимальные напряжения возникают при . . ( 6.5 ) Из условия прочности балки при изгибе по допускаемым нормальным напряжениям , можно подобрать сечение балки . ( 6.6 ) Как видно из рис. 6.7, наиболее нагруженными, то есть полностью работающими, являются волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя. Поэтому по возможности удаляют из балок материал, расположенный близко к нейтральному слою, и получают такие сечения, как двутавр, швеллер. Рациональными сечениями являются такие, у которых наибольшее значение при наименьшей площади сечения. Лекция № 13 6.4. Касательные напряжения при изгибе Касательные напряжения при изгибе возникают от действия поперечной силы. При выводе формулы для касательных напряжений сделаем следующие допущения: 1. Касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения считаются параллельными поперечной силе (точно это выполняется только для прямоугольного поперечного сечения) 2. Касательные напряжения постоянны по ширине сечения. Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения размерами h*b , находящуюся в состоянии плоского изгиба. Вырежем параллелепипед двумя поперечными сечениями I-I и II-II , и продольным сечением III-III, проведенным на расстоянии y от нейтрального слоя. В сечении I-I действует Рис. 6.13 Рис. 6.14 изгибающий момент Мx, в сечении II-II действует изгибающий момент Мх+dМх. Будем считать, что на элементе dz распределенная нагрузка отсутствует. Тогда попереч- ная сила Qy на этом элементе будет постоянной. Заменим действие отброшенной части балки на этот элемент нормальными и касательными напряжениями. Равнодействующая всех нормальных усилий на левой грани –N1, на правой – N2. Равнодействующую касательных напряжений, действующих на нижнюю грань, обозначим через dT. N1==; N2==; Так как этот элемент находится в равновесии, то из уравнения равновесия , . . Величина - статический момент части сечения, которая расположена выше исследуемой точки, относительно оси X . Рис. 6.16 Тогда . ( 6.7 ) Это формула Жуковского для определения касательных напряжений. Обычно сечение балки подбирают по нормальным напряжениям и проверяют по касательным.- условие прочности по касательным напряжениям. Найдем касательные напряжения в балке, прямоугольного поперечного сечения ( рис. 6.1,6 ). Таким образом касательные напряжения изменяются по высоте балки по параболическому закону ( рис. 6.1,6 ). При y = 0 , при y =  h/2 =0. Для балки круглого поперечного сечения. . Иначе распределяются касательные напряжения по сечению прокатных профилей. Двутавр - тонкостенный профиль, и касательные напряжения в нем направлены вдоль профиля ( рис. 6.17 ). Только на стенке двутавра они параллельны поперечной силе. Для двутавра: . Величины приводятся в приложении 1 . Рис. 6.17 Рис. 6.18 Рассмотрим распределение касательных напряжений в швеллере ( рис. 6.18 ). Поперечная сила Qy проходит через центр тяжести сечения. Составляющие касательных напряжений, параллельные поперечной силе , будут, как и у двутавра в стенке. На полках швеллера касательные напряжения распределяются по линейному закону, как и у двутавра. Силы, возникающие от касательных напряжений на полках и в стенке швеллера, создают крутящий момент относительно центра тяжести С, поэтому, кроме изгиба, возникает и кручение. Для того, чтобы крутящий момент не возникал, вертикальную нагрузку надо прикладывать не в точке С, а в точке К, называемой центром изгиба. Для этого необходимо конструктивно создать условия приложения вертикальной нагрузки. Расстояние от средней линии стенки до точки К равно , где Аст=hs, Апол=bt. Кручение балок происходит от действия поперечной силы, поэтому в случае чистого изгиба оно не возникает. Лекция № 14 6.5. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование. При действии нагрузки на балку ( рис. 6.19 ) плоское поперечное сечение I – I переместится вниз на величину прогиба и повернется на угол . Проведем касательную к балке в точке B1. Угол поворота сечения равен углу наклона касательной к оси z. Если известно уравнение плоской кривой , то угол наклона касательной определяется из формулы . Так как деформации малы, то и . Из аналитической геометрии известно, что зная уравнение плоской кривой можно найти ее кривизну по формуле . В данном случае , и квадратом  в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда . Подставляем сюда значение кривизны. Получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки или . ( 6.8 ) Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно. , . Здесь С и D – постоянные интегрирования, которые определяются из условий на опорах балки. Эти условия таковы: для однопролетной балки при ; при , для консольной балки при ; при , для балки – консоли при и . Рассмотрим пример на определение перемещений свободного конца балки – консоли ( рис.6.19 ) методом непосредственного интегрирования уравнения ( 6.8 ). Выражение для изгибающего момента: подставим в ( 6.8) и два раза проинтегрируем. Интегрируем первый раз . Из условия, что , получим 0=0+0+С, откуда С=0. Интегрируем второй раз с учетом С=0 . Из условия, что , получим 0=0+0+D, откуда D=0. Таким образом, ( 6.9 ) . ( 6.9) Максимальных значений прогиб и угол поворота сечений достигают в точке B, то есть при z = 0. ; . (6.10) Знак минус для прогиба показывает, что он направлен вниз, а ось y -вверх . Знак минус для угла поворота показывает, что изогнутая ось балки выпуклостью направлена вверх. Лекция № 15 6.6. Метод начальных параметров При непосредственном интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки на каждом участке балки возникают две постоянные интегрирования. При числе участков больше двух, определение этих постоянных затруднительно. При использовании метода начальных параметров необходимо определить только два неизвестных начальных параметра при любом числе участков балки. Приведем окончательные результаты метода начальных параметров, так называемые « универсальные » уравнения для определения прогибов и углов поворота сечений балки. Эти уравнения приводятся в соответствии с направлениями нагрузок, показанными на рис. 6.20. Начало координат располагается на одном из концов балки. В уравнения необходимо включать только те нагрузки, которые находятся между началом координат и сечением, перемещение которого определяется. Начальные параметры – прогиб балки у0 и угол поворота сечения балки 0 в начале координат находятся из условий на опорах балки. . Рассмотрим пример на определение перемещений свободного конца балки - консоли ( рис.6.19 ) методом начальных параметров. Запишем универсальные уравнения для данной балки , В даннюм случае v0 = 0, 0 = 0, m0 = Fl, R0 = F, a = 0, b = 0. Тогда или ; или , что совпадает с ( 6.9 ) и ( 6.10 ). 6.7. Потенциальная энергия деформации при изгибе При выводе формулы для потенциальной энергии влиянием поперечной силы пренебрегаем вследствие его малости. Проведем такие же выкладки, как и при нахождении потенциальной энергии деформации при кручении. При изгибе материал испытывает деформацию растяжения - сжатия, поэтому используем выражение для удельной потенциальной энергии деформации при растяжении-сжатии. Тогда потенциальная энергия деформации бесконечно малого волокна будет U = u dA dz = . Потенциальная деформация деформации участка балки длиной dz udAdz = . Полная потенциальная энергия деформации балки длиной ℓ U=udAdz== = = . (6.11)