Самоиндукция и взаимная индукция

ТЕМА 14.. САМОИНДУКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ 14.1. Явление самоиндукции 14.2. Влияние самоиндукции на ток при замыкании размыкании цепи, содержащей индуктивность 14.3. Взаимная индукция 14.4. Индуктивность трансформатора 14.5. Энергия магнитного поля и 14.1. Явление самоиндукции Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток  . При изменениях I изменяется также и  , вследствие чего в контуре индуцируется ЭДС (т.е., появляется ток I  , направленный противоположно току I , согласно правилу Ленца). Это явление называется явление самоиндукции. В соответствии с законом Био–Савара–Лапласа магнитная индукция B пропорциональна силе тока, вызвавшего поле, отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им магнитный поток  через контур пропорциональны друг другу: (1)   LI . Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура. Индуктивность контура равна полному магнитному потоку через этот контур при силе тока в контуре равной единице. Отсюда следует и определение единицы индуктивности. За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем 1А возникает сцепленный с ним полный магнитный поток  , равный 1Вб. Эту единицу называют генри 1(Г) (1Г=1Вб/1А). Линейная зависимость  от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость  среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля H , т.е., в отсутствие ферромагнетиков. В противном случае  является сложной функцией от I (через H ) и, поскольку B  0 H , зависимость  от I также будет довольно сложной. Однако, соотношение (1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность функцией от I . При неизменной силе тока I полный поток  может изменяться за счет изменения формы и размеров контура. Отсюда следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т.е., от его формы и размеров), а также от магнитных свойств (от  ) 1 Дж. Генри (1797 – 1878) – американский физик, обнаруживший в 1832 г. явление самоиндукции. окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости о него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной. При протекании тока I по бесконечно длинному соленоиду внутри него возбуждается однородное магнитное поле, индукция которого равна B  0 nI . Поток через каждый из витков равен   BS , а полный поток, сцепленный с соленоидом: (2)   N  nlBS  0 n 2lSI , где l – длина соленоида (которая предполагается очень большой), S – площадь поперечного сечения, n – число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N ). Из (1) и (2) получаем для индуктивности длинного соленоида выражение: (3) L   0n 2lS   0n 2V , где V  lS – объем соленоида. Из (3) следует, размерность  0 равна размерности индуктивности, деленной на размерность длины, т.е.,  0  Гн . м При изменениях силы тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции  s , равная: d d ( LI ) dL   dI (4) s      L  I . dt dt dt   dt Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для ЭДС самоиндукции имеет вид: dI (5) s  L . dt Знак “минус” в этой формуле обусловлен правилом Ленца, т.к. в рассматриваемом случае причиной, вызывающей  s , является изменение силы тока в цепи. Выражение (5) справедливо лишь, когда L  const . В присутствии ферромагнетиков L недеформируемого контура будет функцией от I (через H ). dL dI dL Тогда, записывая как и подставляя это в (4), получим: dI dt dt dL  dI   s   L  I (6)  . dI  dt  При L  const изменение силы тока со скоростью 1А/с в проводнике с L  1гн приводит согласно (5) к возникновению  s  1В . 14.2. Влияние самоиндукции на ток при замыкании размыкании цепи, содержащей индуктивность и По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно. 1) Изменение тока при размыкании цепи. Считаем, что L  const . В цепи будет течь постоянный ток:  I0  . (7) R Сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым. В момент времени t  0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникает ЭДС самоиндукции, противодействующая этому убытию. Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению: dI dI R IR   s   L или (8)  I  0. dt , dt L Уравнение (8) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим: dI R   dt. I L Отсюда R ln I   t  const . L Потенцирование этого соотношения дает: R  t L (9) I  const . Выражение (9) является общим решением уравнения (8). При t  0 сила  тока I 0  . Следовательно, const  I 0 . После подстановки в (9) придем к выR ражению: R  t L (10) I  I 0e . Итак, после отключения источника ЭДС сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (10). График убывания изображен на рисунке кривая 1. Скорость убывания определяется величиной: L (11) , R которую называют постоянной времени (она имеет размерность времени), т.е.,  J  t  (12) I  I 0e . В соответствии с этой формулой  – время, в течении которого сила тока уменьшается в e раз. Из (11) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R , тем больше постоянная времени  и тем медленнее спадает ток в цепи. Для упрощения расчетов мы считаем, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва. 2) Установление тока при замыкании цепи После подключения источника ЭДС, до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (7), в цепи кроме ЭДС  будет действовать ЭДС самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома: dI dI R  (13) IR     s    L , или  I . dt dt L L (13) – неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой общее решение соответствующего однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения. Общее решение урав нения (13) I   I 0 . Следовательно, общим решением уравнения (13) будет: R I  I 0  const  e R  t L . При t  0 , I  0. Отсюда const   I 0 и, таким образом, R  t   (14) I  I 0 1  e L .   Это выражение описывает нарастание тока в цепи после подключения в ней источника ЭДС. График нарастания тока изображен на рис.106 кривая 2. 14.3. Явление взаимной индукции Рассмотрим два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток силы I1 , он создает через контур 2 пропорциональный I1 полный магнитный поток:  B2 пленный с контуром 1 поток:  B1 (15) 2  L21 I1 (поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями). При изменениях тока I1 в контуре 2 индуцируется ЭДС: dI (16)  i 2   L21 1 dt (предполагаем, что ферромагнетиков вблизи контура нет). Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы I 2 возникает сце- (17) 1  L12 I 2 (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями). При изменениях тока I 2 в контуре 1 индуцируется ЭДС: dI (18)  i1   L12 2 . dt Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется явлением взаимной индукции. Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Соответствующий расчет дает, что в отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты всегда равны друг другу: (19) L12  L21. Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Измеряется L12 в тех же единицах, что и индуктивность L . Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник. Линии магнитной индукции сосредотачиваются внутри сердечника, поэтому можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одинаковую напряженность. Если первая обмотка имеет N1 витков и по ней течет ток силы I1 , то согласно теореме о циркуляции: (20) Hl  N1 I1 , где l – длина сердечника. Магнитный поток через поперечное сечение сердечника   BS   0HS , где S –площадь поперечного сечения сердечника. Подставив значение H из (20) и умножив получившееся выражение на N 2 , получим полный поток, сцепленный со второй обмоткой: S 2   0N1 N 2l1. l Сопоставление этого выражения с формулой (267) 2  L21 I1  дает: S (21) L21   0N1 N 2 . l Вычисления потока 1 , сцепленного с первой обмоткой, в том случае, когда по второй обмотке течет ток силы I 2 , приводит к выражению: S (22) L12   0N1 N 2 , l по форме совпадающему с L21 (273). Однако, в данном случае нельзя утверждать, что L12  L21 . Множитель  , входящий в выражения для этих коэффициентов, зависит от напряженности поля H в сердечнике. Если N1  N 2 один и тот же ток, пропускаемый один раз по первой, а другой раз по второй обмотке, создает в сердечнике поле различной напряженности H . Соответственно значения  в обоих случаях будут различными, так что при I1  I 2 числовые значения L12 и L21 не совпадают. 14.4. Трансформатор Примером взаимной индукции является действие трансформатора, который служит для повышения или понижения напряжения переменного тока. Трансформатор был изобретен в 1876г. русским электротехником, изобретателем П.Н. Яблочковым (1847–1894) для раздельного питания отдельных электрических источников света. Трансформатор представляет собой устройство, предназначенное для преобразования напряжения и силы переменного тока. Он имеет сердечник (обычно замкнутой формы) из мягкого железа или иного магнито–мягкого ферромагнетика, U1 U2 который несет на себе две обмотки – первичную и вторичную. Концы первичной обмотки (вход трансформатора) подключены к сети питающего переменного тока, а концы вторичной обмотки (выход) – к потребителям электрической энергии. ЭДС электромагнитной индукции, возникающая во вторичной обмотке, пропорциональна числу витков в ней, и поэтому, изменяя это число витков, можно изменять в широких пределах напряжение на выходе трансформатора. Рассмотрим как связаны между собой входное напряжение U1 и выходное напряжение U2. В случае технического переменного тока, изменяющегося по закону синуса (косинуса) и намагничивания сердечника, далекого от насыщения, этот магнитный поток будет также изменяться приблизительно по синусоидальному (косинусоидальному) закону:    0 sin t , где  – угловая (циклическая) частота переменного тока, а  0 – максимальное значение потока (его амплитуда). В реальных трансформаторах часть линий индукции, создаваемой первичной обмоткой, выходит из сердечника и замыкается вне вторичной обмотки (пунктир на рис.109), образуя так называемый поток рассеяния. Однако, в хороших трансформаторах поток рассеяния мал по сравнению с потоком внутри сердечника, и поэтому мы будем считать, что один и тот же поток  пронизывает обе обмотки. ЭДС, возникающая в первичной обмотке (ЭДС самоиндукции), равна: d 1   N1 , dt а ЭДС во вторичной обмотке: d 2   N2 , dt где N1 и N 2 – число витков в первичной и во вторичной обмотках. Применяя к обмоткам трансформатора закон Ома для участка с ЭДС ( U  rI   ), находим напряжение на входе трансформатора: d U1  r1 I1  1  r1 I1  N1 dt и напряжение на выходе: d U 2  r2 I 2   2  r2 I 2  N2 . dt Здесь r1 и r2 – сопротивления первичной и вторичной обмоток, а I1 и I 2 – силы тока в них. Ограничимся случаем разомкнутой вторичной обмотки, т.е., положим I 2 =0. Будем считать, что r1 I1  1 (что выполняется для всех технических трансформаторов). Тогда, деля почленно (275) и (276), находим: U1 N 2  . U 2 N1 N2 называется коэффициентом трансформации. Он поN1 казывает во сколько раз вторичное напряжение больше первичного напряжения в режиме холостого хода. Если трансформатор нагружен (вторичная обмотка замкнута), то падением напряжения rI нельзя пренебречь по сравнению с ЭДС индукции. Отношение k  N2  1 имеем повышающий трансформатор, увеличивающий наN1 пряжение и понижающий величину тока I 2 (так как на основании закона сохранения энергии U 2 I 2  U1 I1 ). N При 2  1 имеем понижающий трансформатор, уменьшающий напряN1 жение и увеличивающий величину тока I 2 . Трансформаторы играют огромную роль в современной электротехнике. В мощных линиях электропередачи в настоящее время почти исключительно применяют высокие напряжения (тысячи и десятки тысяч вольт). Это позволяет уменьшить силу тока в линии, а значит, и сечение проводов, что приводит к сильному снижению стоимости сооружения линий электропередачи. Однако, конструировать генераторы и различные приборы, на высокие напряжения достаточно трудно, так как необходимо обеспечить хорошую изоляцию. Поэтому электрические генераторы строят на низкое напряжение и затем увеличивают при помощи повышающих трансформаторов. В местах потребления электроэнергии ток высокого напряжения преобразуют при помощи понижающих трансформаторов в токи низкого напряжения (110, 220В и др.). Трансформаторы имеют высокие коэффициент полезного действия, доходящий до 99%, и не содержат никаких движущихся частей, поэтому они являются удобными техническими устройствами. Трансформатор является хорошим примером технического использования вихревого электрического поля. Именно это поле приводит в движение электроны во вторичной обмотке и служит причиной возникновения в ней ЭДС. Можно отметить, что магнитный поток, создаваемый первичной обмоткой, практически сосредоточен внутри сердечника трансформатора, в то время как вихревое электрическое поле существует как внутри сердечника, так и снаружи. Поэтому ЭДС во вторичной обмотке возникает и при наличии зазора между сердечником и обмоткой. При 14.5. Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке. Сначала замкнем соленоид L на батарею  . В нем установится ток I , который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если, отключив соленоид от батареи, замкнуть его через сопротивление R , то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время dt , равна: d (23) dA   s Idt   Idt   Id. dt Если индуктивность соленоида не зависит от I ( L  const ), то d  LdI и выра жение (278) принимает следующий вид: (24) dA   LIdI. B Проинтегрировав это выражение по I в пределах от I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: LI 2 (25) A   LIdI  . 2 I Работа (25) идет на приращение внутренней энергии проводников, т.е., на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающем пространстве не происходит, то остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (23). Таким образом, проводник с индуктивностью L , по которому течет ток силы I , обладает энергией: LI 2 (26) W , 2 которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле. Выражение (26) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против ЭДС самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до I и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (26). Работа, совершаемая против ЭДС самоиндукции, равна: I I I dI LI 2 , A   ( s )Idt   L Idt   LIdI  dt 2 что совпадает с (26). Работа (26) идет целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (26) не учитывает той работы, которую источник ЭДС затрачивает в процессе установления тока на нагреваt ние проводников. (Она равна A   RI 2 dt ). Выразим энергию магнитного поля (281) через величины, характеризующие само поле. Для бесконечно длинного соленоида: H L   0n 2V , H  nI , откуда I  . n Подставляя эти значения в (282) и, произведя преобразования, получим:  0H 2 W V. (27) 2 Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (27) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью W  ì  . Отсюда получим выражение для плотности энергии магнитного поля: V  0H 2 (28) ì  . 2 Воспользовавшись соотношением B   0H , получим:  0H 2 BH B2 (29) ì    . 2 2 2 0 Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V . Таким образом, если магнитное поле неоднородно, то оно будет находиться по выражению:  0H 2 (30) W    ì dV   dV , 2 V V где H является функцией координат. Можно показать, что в случае связанных контуров (при отсутствии ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой: 2 2 L1 I1 L2 I 2 L II L I I W   12 1 2  21 2 1 . (31) 2 2 2 2 Для энергии N связанных контуров получается аналогичное выражение: 1 N W   Lik I i I k , (32) 2 i ,k 1 где Lik  Lki – взаимная индуктивность i–го и k–го контуров, а Lii  Li – индуктивность i–го контура.