Рынок государственных облигаций

Теория финансов Лекция 1 и 2 Рынок государственных облигаций I I Введение Теория финансов изучает финансовые активы. Тогда первый вопрос – что такое финансовый актив? Финансовый актив – это формальное право на денежные выплаты в будущем (a claim to a future payoff). С этой точки зрения финансовые активы подразделяются на два основных класса – это активы с фиксированным доходом и активы с вариативным доходом. Для активов с фиксированным доходом (fixed income security, fixed interest security) будущие выплаты заранее установлены, известны и не подлежат изменению.1 Примеры: государственные (суверенные) и корпоративные облигации, банковские вклады и кредиты, депозитные сертификаты, коллективные фонды облигаций. Для активов с вариативным доходом (equity-type security) будущие выплаты заранее не известны. Существует также третий класс финансовых активов – деривативы, выплаты по которым зависят от наступления определенного события в будущем (contingency). Предугадать заранее, наступит ли данное событие, невозможно. В настоящем курсе деривативы не изучаются. Настоящий курс поделен примерно одинаково по времени на две части. В первой части изучаются активы с фиксированным доходом, во второй части – активы с вариативным доходом. В течение всего курса обсуждение будет фокусироваться на двух основных вопросах: ▪ ▪ Как рассчитать справедливую цену финансового актива? Как понять, что не наблюдается ни недооценки, ни переоценки? Какие риски ассоциируются с различными классами финансовых активов? И как их нивелировать или хотя бы минимизировать? Для ответа на первый вопрос надо принять два допущения, которые (вполне реалистично) характеризуют инвесторов: нетерпеливость во времени (time impatience), или, что то же самое, временное предпочтение (time preference) и неприятие риска (risk aversion). Ирвинг Фишер в объяснении первой 1 Выплачивается единовременная выплата или периодические выплаты в форме купонов, процентов или дивидендов (для привилегированных акций). психологической характеристики инвесторов исходил из двух соображений: смертность (mortality) и плохое воображение (poor imagination). Нетерпеливость во времени будет обязательным элементом моделей ценообразования финансовых активов, так как они почти всегда предполагают выплаты в будущем, то есть имеется удаленность платежей от настоящего времени (time delay). Что касается такого фактора, как неприятие риска, то он воздействует на ценообразование финансовых активов, для которых имеется неопределенность относительно платежей в будущем (uncertainty). Означает ли это, что для активов с фиксированным доходом неприятие риска не закладывается в модели ценообразования? Покупка государственной бескупонной облигации или банковский депозит в банке с высоким кредитным рейтингом считается безрисковой инвестицией. Будущая выплата известна, неопределенности нет. Тогда единственным фактором ценообразования будет нетерпеливость во времени ввиду удаленности платежей от настоящего времени. Однако при вложении в государственную купонную облигацию или открытии депозита с промежуточными выплатами (досрочная продажа или досрочное закрытие не планируется) дополнительно к удаленности платежей от настоящего времени в ценообразовании появляется фактор неопределенности. Он обусловлен тем, что купоны облигации или промежуточные выплаты по депозиту необходимо реинвестировать, однако доходность реинвестирования заранее неизвестна, поскольку заранее неизвестна динамика будущей краткосрочной процентной ставки. Возникает риск реинвестирования: даже если известен конечный доход от основной инвестиции – купонной облигации или депозита – конечный доход от совокупной стратегии неизвестен ввиду риска реинвестирования. Таким образом, насколько «дорого» оценивается удаленность платежей от настоящего времени зависит от степени временного предпочтения, или нетерпеливости во времени инвесторов. А насколько «дорого» оценивается неопределенность относительно платежей в будущем зависит от степени неприятия риска инвесторов. Помимо инвесторов, относящихся к риску отрицательно (рискофобы), существуют нейтральные к риску инвесторы и инвесторы, относящиеся к риску положительно (рискфилы). Однако репрезентативный инвестор на финансовом рынке – это всегда рискофоб. II Характеристики облигаций Облигации выпускаются с целью финансирования деятельности. Для государства выпуск долгосрочных облигаций является основным источником финансирования деятельности (другой источник, используемый, как правило, развивающимися экономиками, – это синдицированные кредиты). Облигации классифицируются по различным характеристикам, к примеру: ▪ Срок до погашения. Каковы сроки до погашения казначейских облигаций США? ОФЗ России? ▪ ▪ ▪ Наличие купона. Исторя с диснеем – фикси купон и, кажется, с пепси – где гефисированный купон. Но у диснея есть опция отзыва через 30 лет, а у пепси? Также нефиксированный купон у самой длинной одлигации сейчас- у мен етсь в обсуждении семинара 1. Что ешевде – смениь купон или отозвать облигацию??? Наличие встроенных опций. Здесь сказать, что об опции мы уже поговорли в предыдущем примере. В виде премии или дисконта отражена в цене облигации опция досрочного выкупа? Досрочной продажи? Конвертации? Степень риска. Облигации ассоциируются с двумя основными видами риска. Это ценовой риск (price risk) и риск дефолта (default risk). Ценовой риск возникает ввиду того, что изменение краткосрочной процентной ставки воздействует на цену облигации. Такое изменение в будущем невозможно предугадать с абсолютной определенностью, могут быть только оценки динамики будущей краткосрочной процентной ставки, качественные или не очень. Поскольку цена облигации изменяется под воздействием изменения краткосрочной процентной ставки, то второе название ценового риска – процентный риск (interest rate risk). Риск дефолта возникает ввиду того, что имеется вероятность, что эмитент не произведет купонные выплаты и / или выплаты по номиналу. Считается, что риск дефолта ниже для суверенных эмитентов и выше для корпоративных эмитентов, однако, безусловно, риск дефолта различается для различных государств – рассмотрите, к примеру, Аргентину, Бразилию, Мексику, Турцию или (совсем недавно) Грецию и Украину. В переходе от теории к практике краткосрочные казначейские облигации США считаются лучшей аппроксимацией теоретической абстракции – безрискового актива. Добавим к ним краткосрочные казначейские облигации Великобритании и репрезентативную облигацию еврозоны, созданную на основе краткосрочных казначейских облигаций европейских государств с суверенным кредитным рейтингом на уровне AAA-A, и проведем сравнительный анализ. Будем считать, что все они аппроксимируют безрисковый актив: выпускаются государствами с устойчивой экономикой (значит, риск дефолта пренебрежительно мал) и имеют краткосрочные погашения (значит, ценовой риск пренебрежительно мал). В Таблице 1 представлены премии за ценовой риск и риск дефолта. Данная таблица содержит как уровневые данные (доходности к погашению), так и разностные данные (спреды) для казначейских облигаций с погашением через 3 месяца, 2 года, 10 лет и для репрезентативной корпоративной облигации, созданной на основе корпоративных облигаций с кредитным рейтингом на уровне AAA-A, с погашением через 10 лет для США, Великобритании и еврозоны. Таблица 1 – Ценовой риск и риск дефолта по состоянию на 06/01/2005 US (Bills/Notes) UK (Bills/Gilts) EU (ST/LT) 3M Gov 2Y Gov 10Y Gov 10Y Corp Yield % 2.31 3.18 4.29 5.14 Spread % 0.87 1.98 0.85 Yield % 4.25 4.34 4.47 5.12 Spread % 0.09 0. 22 0.65 Yield % 2.06 2.42 3.65 - Spread % 0.36 1.23 - Премия за ценовой риск измеряется государственным спредом: разницей между доходностями казначейских облигаций для погашений 2 года и 3 месяца и между таковыми для погашений 10 лет и 3 месяца. Государственный спред различен для различных сроков до погашения, и, как правило, увеличивается с увеличением срока до погашения, поскольку усиливается неопределенность относительно динамики будущей краткосрочной процентной ставки. Премия за риск дефолта измеряется корпоративным спредом: разницей между доходностью казначейской и корпоративной облигации с одинаковым погашением. Таким образом, доходность к погашению долгосрочной корпоративной облигации является составной: номинальная безрисковая доходность (доходность краткосрочной казначейской облигации) + премия за ценовой риск (долгосрочный государственный спред) + премия за риск дефолта (долгосрочный корпоративный спред). Из Таблицы 1 видно, что по состоянию на 06/01/2005 инвестиционная среда для инвестирования на облигационном рынке была наиболее благоприятной в Великобритании. Безусловно, характеристики инвестиционной среды меняются с течением времени. Также, из Таблицы 1 видно, что по состоянию на 06/01/2005 кривые бескупонной доходности имели положительный наклон в США и еврозоне, в то время как кривая бескупонной доходности в Великобритании была относительно плоской. III Типы облигаций Отдельные облигации относятся к довольно сложным финансовым активам, если они «нагружены» дополнительными характеристиками, например, сочетанием опций. Выпуск и обращение таких облигаций имеет место на наиболее продвинутых рынках. Однако около 90% облигаций относятся либо к категории стандартных облигаций (conventional bonds, plain vanilla bonds, straight bonds), либо к категории индексируемых облигаций (index-linked bonds, indexed bonds, linkers). Для первой категории купонные выплаты и выплаты номинала фиксированы в денежном выражении. Для второй категории купонные выплаты и выплаты номинала изменяются в соответствии с изменением темпов инфляции, например, привязаны ИПЦ или ИРЦ. Индексация в соответствии с изменением темпов инфляции позволяет минимизировать инфляционный риск.2 В настоящем курсе изучаются стандартные облигации. 2 Часто можно встретить ошибочное мнение, что у индексных облигаций ставка купона изменяется с изменением темпов инфляции. На самом деле меняется не ставка купона, а величина номинала. К примеру, купонная облигация со ставкой купона 4% и номинальной стоимостью £100 платит £4 в год. Если темпы 1. Дисконтная облигация / Бескупонная облигация По дисконтной облигации выплачивается номинальная стоимость, когда она погашается в период T. Промежуточных выплат нет. В нормальных условиях дисконтная облигация всегда торгуется с ценовым дисконтом, поскольку ценовое приращение до номинальной стоимости – единственный источник дохода инвестора. Номинальная стоимость устанавливается, как правило, как 10N, то есть $... для казначейских облигаций США, £… для казначейских облигаций Великобритании, RUB… для российских ОФЗ. 1.1. Единичная дисконтная облигация (pure discount bond) Мы будем использовать теоретическую абстракцию – дисконтную облигацию, выплачивающую одну денежную единицу в качестве номинальной стоимости (100). Подобная предпосылка удобна для построения моделей. Номинальную стоимость в одну денежную единицу легко транслировать в реальную номинальную стоимость, например, умножением на £100 получается номинальная стоимость казначейской дисконтной облигации Великобритании. Обозначим момент времени сейчас t = 0. Всего на облигационном рынке существует T будущих периодов, в конце которых выплачиваются купоны, 𝑡 = 1, … , 𝑇. Цена дисконтной облигации, которая будет погашена через t периодов, обозначается 𝐷𝑡 . Будем называть 𝐷𝑡 дисконтной ценой. Следует корректно интерпретировать дисконтную цену 𝐷𝑡 – это не цена облигации в момент времени t. К примеру, 𝐷𝑇 – это цена облигации, которая погашается через T периодов; другими словами, это наиболее долгосрочная облигация на данный момент времени. А 𝐷0 – это цена облигации, которая погашается сегодня. Очевидно, что 𝐷0 = 1. Также очевидно, что 𝐷𝑡 < 1 для 𝑡 > 0, поскольку в этом случае остается время до того, как облигация будет погашена. 2. Купонная облигация Подобно бескупонной облигации по купонной облигации выплачивается номинальная стоимость, когда она погашается в период T, но также выплачиваются купоны на протяжении периода обращения. Бескупонная облигация – это, по сути, подвид купонной облигации с нулевым купоном. Но если цена бескупонной облигации никогда не превышает номинальную стоимость, то цена купонной облигации может превысить. Зависит это от того, какова ставка купона относительно превалирующей на данный момент ставки процента (см. Лекцию 2). В облигационной аналитике референтной краткосрочной облигацией принято считать казначейский вексель США с погашением 3 месяца, а референтной долгосрочной облигацией – казначейскую ноу США с погашением 10 лет. инфляции составляют 10%, то величина номинала возрастает до £110, в результате чего купонная выплата возрастает до £4,4. Однако ставка купона не меняется – это те же самые 4% относительно номинала. См. сайт Debt Management Office http://dmo.gov.uk/index.aspx?page=Links/Glossary. Будем обозначать цену купонной облигации B (bond), чтобы отличить от цены бескупонной облигации 𝐷𝑡 (discount bond). 3. Бессрочная облигация Подобно купонной облигации по бессрочной облигации выплачиваются купоны, однако она не погашается. Очевидно, что бессрочные облигации обладают большим риском дефолта, поэтому по-настоящему бессрочные облигации выпускаются только суверенными эмитентами. Наиболее известным примером бессрочной облигации являлись консоли (consolidated stock, сокращенно consol), выпускаемые правительством Великобритании для финансирования войн в девятнадцатом веке. Однако они были досрочно выкуплены в 2015 году. IV Оценка в одном периоде Большинство людей предпочитают распорядиться денежными средствами сейчас, чем потом. Для того чтобы они отложили потребление, им надо предложить компенсацию. К примеру, открытие срочного депозита в банке означает, что распоряжение денежными средствами будет отложено, но будет получена компенсация – проценты на срочный депозит. Как было сказано во введении, данный феномен называется временное предпочтение, или нетерпеливость во времени. Условимся, что безрисковая ставка обозначается y (yield) и выражается десятичной дробью. К примеру, y = 0,06 означает 6% годовых. Утверждение, что инвестиция с начальной стоимостью £1 сегодня приносит доход £1 × (1 + 𝑦) через год, равнозначно утверждению, что текущая стоимость суммы в £1 × (1 + 𝑦), полученной через год, равна £1. Или это то же самое, что утверждать, что текущая стоимость суммы в £1, полученной сегодня, была £1⁄(1 + 𝑦) год назад. Таким образом, начальная стоимость инвестиции просто масштабируется в большую или меньшую сторону в зависимости от того, двигаемся ли мы во времени вперед или назад. Это называется теоретическим обращением времени (theoretical time reversal), которое проиллюстрировано в Таблице 2. Это все тот же £1, только увеличенный или уменьшенный линейным способом. Таблица 2 – Теоретическое обращение времени в одном периоде Время Двигаем время вперед (= делим на D) Двигаем время PV £1 → TV £1 × (1 + 𝑦) £1 £1 = = £1 × (1 + 𝑦) 1 D 1+𝑦 £1 1+𝑦 ← TV = PV/D £1 назад (= умножаем на D) £1 × D = £1 × Оценка в одном периоде: £1 1⁄(1 + 𝑦) PV = D× TV Фактор масштабирования, более известный как фактор дисконтирования, или дисконтный фактор, равен 𝐷 = 1⁄(1 + 𝑦). К примеру, если y = 0,06, то 𝐷 = 1⁄1,06 ≈ 0,9434 . Тогда PV для £1,06 будет £1,06 × 𝐷 = £1,06 × 0,9434 = £1, а PV для £1 будет £1 × 𝐷 = £1 × 0,9434 = £0,9434. Для того чтобы передвинуть время вперед, мы делим на D. Для того чтобы передвинуть время назад, мы умножаем на D. Таким образом, стоимость масштабируется линейным способом. Насколько допущение о линейности стоимости справедливо на финансовых рынках? Стоит иметь в виду, что стоимость, в общем-то, может быть и нелинейной, к примеру для индивидуального инвестора. Это обусловлено тем, что функция полезности индивидуального инвестора имеет отрицательную вторую производную – предельная функция полезности убывает. Однако для небольших приращений стоимости, как это и бывает на финансовых рынках, допущение о линейности стоимости справедливо. Другим допущением, тесно связанным с линейностью стоимости, является аддитивность стоимости. Принцип аддитивности означает, что стоимость портфеля финансовых контрактов равна сумме стоимостей финансовых контрактов в портфеле, помноженных на их количество. Другими словами, стоимость целого равна сумме стоимостей его частей. V Оценка во множественных периодах Формула оценки 𝑃𝑉 = 𝐷 × 𝑇𝑉 представляет собой базовую формулу, «работающую» в одном периоде. Для оценки стоимости дисконтной облигации во множественных периодах требуется модификация на основе разностного уравнения первого порядка. Пусть для простоты y не меняется в течение периода инвестирования 𝑡 = 1, … , 𝑇 . Стратегия «перекатывания» (roll over strategy) £1 в течение периода инвестирования предполагает, что £1 инвестируется на период 1, далее вместе с начисленными процентами £1 инвестируется на период 2 и т.д. Для любого периода t стоимость инвестиции рассчитывается с отсылкой к стоимости инвестиции в предшествующий период 𝑡 − 1: 𝑉𝑡 = (1 + 𝑦)𝑉𝑡−1 , 𝑡 = 1, … , 𝑇. (1) Решение уравнения такого типа получается путем последовательных подстановок до начального момента времени t = 0: 𝑉𝑡 = (1 + 𝑦)𝑉𝑡−1 = (1 + 𝑦)(1 + 𝑦)𝑉𝑡−2 = (1 + 𝑦)(1 + 𝑦)(1 + 𝑦)𝑉𝑡−3 … 𝑉𝑡 = (1 + 𝑦)𝑡 𝑉0 , 𝑡 = 1, … , 𝑇, (2) где 𝑉0 – это стоимость инвестиции в начальный момент времени 𝑡 = 0. Практическое применение данной формулы – расчет сложных процентов. Для дисконтной облигации ситуация противоположна: начальная стоимость инвестиции неизвестна, но известная конечная стоимость инвестиции (номинал). Тогда для нахождения решения надо поменять порядок последовательных подстановок: 𝑉𝑡 , 1+𝑦 𝑡 = 1, … , 𝑇. 𝑉𝑡 , (1 + 𝑦)𝑡 𝑡 = 1, … , 𝑇. 𝑉𝑡−1 = 𝑉0 = Поскольку 𝐷 = 1⁄(1 + 𝑦), то: 𝑉𝑡−1 = 𝐷𝑉𝑡 , 1 𝑡 = 1, … , 𝑇. 𝑇 (3) 𝑉0 = 𝐷𝑇 𝑉𝑇 = (1+𝑦) 𝑉𝑇 = (1 + 𝑦)−𝑇 𝑉𝑇 . (4) VI Доходность к погашению дисконтной облигации (дисконтная доходность) Ранее мы предположили для простоты, что y не меняется в течение периода инвестирования 𝑡 = 1, … , 𝑇. Однако более реалистично предположить обратное: 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 1 , … , 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇 . В конце периода инвестирования, когда конечная стоимость инвестиции известна, можно рассчитать доходность ex post: (1 + 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 1 ) × … × (1 + 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇 ) = 𝑉𝑇 ⁄𝑉0 . Заменим вариативную доходность 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 1 , … , 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇 фиксированной доходностью 𝑦 (предположим, что период t составляет 1 год): (1 + 𝑦) × … × (1 + 𝑦) = (1 + 𝑦)𝑇 = 𝑉𝑇 ⁄𝑉0 . Фиксированная доходность 𝑦 представляет собой некую доходность, 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 1 репрезентативную относительно вариативной доходности 𝑦 , … , 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑇 . Она рассчитывается на основе геометрического среднего значения: 𝑇 𝑦 + 1 = √𝑉𝑇 ⁄𝑉0 ⟹ 𝑇 𝑦 = √𝑉𝑇 ⁄𝑉0 − 1. (5) Теперь применим обозначения, которые мы использовали для дисконтной облигации. Дисконтная облигация 1 при погашении в период 𝑡 = 𝑇. Сейчас ее цена 𝐷𝑇 , что соответствует 𝑉0 в формуле выше. (Как сказано выше, 𝐷𝑇 обозначает цену дисконтной облигации с погашением через T периодов.) Тогда: 𝑇 ⁄ 𝑦 = √1⁄𝐷𝑇 − 1 = (1⁄𝐷𝑇 )1⁄𝑇 − 1 = 𝐷𝑇−1 𝑇 − 1 ⟹ 𝐷𝑇 = 1 . (1 + 𝑦)𝑇 (6) По формуле (6) рассчитывается доходность к погашению дисконтной облигации, или дисконтная доходность. Формула (6) показывает, что между дисконтной ценой и дисконтной доходностью существует обратная зависимость. И, поскольку дисконтная доходность в нормальных условиях положительна, то дисконтная цена будет меньше 1. Дисконтная цена монотонно убывает, начиная с 𝐷0 = 1 до lim 𝐷𝑇 = 𝑇→∞ 0. Другими словами, чем больше удалена от сегодняшнего дня выплата одной денежной единицы, тем дешевле ее ценят инвесторы сегодня ввиду временного предпочтения. Таблица 3 является продолжением Таблицы 2, но иллюстрирует теоретическое обращение времени во множественных периодах. Таблица 3 – Теоретическое обращение времени во множественных периодах Время Двигаем время вперед PV 𝑉0 = £1 → (= делим на DT) Двигаем время назад (= умножаем на DT) TV 𝑉𝑇 = £1 × (1 + y)T £1 = 𝐷𝑇 £1 = £(1 + 𝑦)−𝑇 (1 + 𝑦)𝑇 ← £1 = £1 × (1 + 𝑦)𝑇 1 𝑇 (1 + 𝑦) TV = PV/DT £1 𝐷𝑇 = (1 + 𝑦)−𝑇 Оценка во множественных периодах PV = DT × TV VII Купонная облигация как портфель бескупонных облигаций На реальных рынках купон по купонным облигациям, как правило, выплачивается два раза в год. Но ставка купона выражена в годовых. К примеру, название 3¾% Treasury gilt 2020 означает казначейскую облигацию Великобритании, по которой выплачивается £3,750/2 = £1,875 каждые 7 марта и 7 сентября, и которая погашается 7 сентября 2020 с номиналом в £100. Купонная облигация является «сложно-составным» активом в том смысле, что она предполагает множественные выплаты в будущем. Теоретически, весь денежный поток от купонной облигации мог бы быть разложен на единовременные выплаты, выпущенные в отдельное обращение. Такие единовременные выплаты, когда они торгуются, ничем не отличаются от дисконтных облигаций. Интересно то, что подобное действительно практикуется в сегменте STRIPS. STRIPS – это акроним для Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities. К примеру, по состоянию на 7 сентября 2015 купонная облигация 3¾% Treasury gilt 2020 раскладывается на 10 полугодовых купонных выплат, которые равны £1,875 и торгуются как «купонные стрипы» (coupon strips) и одну выплату номинала, которая равна £100 и торгуется как «стрип по номиналу» (principal strip). Сегменты STRIPS функционируют, преимущественно, в развитых странах (США, Великобритания, Франция, Канада, Нидерланды, Япония, Южная Африка и т.д.). Доходности и цены стрипов на облигационном рынке Великобритании доступны на сайте Debt Management Office www.dmo.gov.uk. Данные по сегментам STRIPS других стран доступны в БД Bloomberg и Thomson Eikon. Так как купонные стрипы и стрипы по номиналу представляют собой дисконтные облигации, то их цена рассчитывается по формуле (6). Однако ввиду полугодового цикла выплаты купонов формула (6) должна быть скорректирована: 1 𝑦 −2𝑇 1 𝐷𝑇 = (1 + ) ⟺ 𝑦 = 2 × ( 2𝑇 − 1) = 2 × (𝐷𝑇 −2𝑇 − 1). 2 √𝐷𝑇 (7) Здесь T обозначает срок до погашения, измеряемый в годах. Тогда 2T – это количество полугодий, что отражает полугодовое начисление процентов. Также дисконтная доходность y делится пополам внутри формулы (7) для учета полугода, поскольку ставка процента по умолчанию выражается в годовых. К примеру, для купонной облигации 3¾% Treasury gilt 2020 по состоянию на 7 сентября 2015 остается 10 полугодий до 7 сентября 2020, когда выплачиваются последний купонный стрип и стрип по номиналу в £100. Цена стрипа по номиналу 7 сентября 2015 составляет £94.0953. Доходность стрипа по номиналу рассчитывается как 2 × (0.940953−1⁄10 − 1) = 0.012210 или 1.22% годовых. VIII Ценообразование купонной облигации Линейная формула ценообразования купонной облигации основана на возможности синтетической репликации. Если купонная облигация раскладывается на дисконтные облигации, то возможно и обратное действие – сложить в портфель все дисконтные облигации, которые по объему выплат и срокам погашения соответствуют купонам и номиналу купонной облигации, и продать такой портфель как одни актив. Сейчас момент времени t = 0, на рынке обращаются купонные облигации 𝑛 = 1, … , 𝑁, и имеется вектор цен 𝑩′ = {𝐵𝑛 } = [𝐵1 , … , 𝐵𝑁 ]. Обозначим купон по n-ой купонной облигации 𝐶𝑛 , а номинал 𝐹𝑉𝑛 . Тогда формула ценообразования выводится следующим образом: 𝑇 𝑇 𝐵𝑛 = 𝑆𝑅𝑛 = ∑ 𝐷𝑡 𝐶𝑛 + 𝐷𝑇 𝐹𝑉𝑛 = 𝐶𝑛 ∑ 𝐷𝑡 + 𝐷𝑇 𝐹𝑉𝑛 , 𝑡=1 𝑛 = 1, … , 𝑁, (8) 𝑡=1 где 𝑆𝑅𝑛 обозначает синтетическую репликацию. Здесь мы опираемся на два принципа. Первый принцип – отсутствие арбитража. Он позволяет провести равенство между 𝐵𝑛 и 𝑆𝑅𝑛 . В отсутствие арбитража цены купонной облигации и синтетической репликации должны быть одинаковыми. Второй принцип – это аддитивность стоимости. Поскольку синтетическая репликация представляет собой портфель дисконтных облигаций, то стоимость синтетической репликации считается как сумма стоимостей дисконтных облигаций, помноженных на их количество. Можно обозначить выплату по n-ой купонной облигации в период t как 𝐶𝑡𝑛 , добавив в нижний индекс t и допустив, таким образом, что в разные периоды выплаты по nой купонной облигации будут отличаться (на самом деле отличие будет в последний период, когда 𝐶𝑡𝑛 будет включать последний купон и номинал). Тогда формулу (9) можно переписать: 𝑇 𝐵𝑛 = ∑ 𝐷𝑡 𝐶𝑡,𝑛 , 𝑛 = 1, … , 𝑁. (9) 𝑡=1 В формуле (8) 𝐷𝑡 обозначает цену единичной дисконтной облигации, выплачивающей одну денежную единицу в погашение. Для того чтобы воспроизвести величину купонной выплаты, таких единичных облигаций надо иметь в количестве, равном величине купона 𝐷𝑡 𝐶𝑛 . То же относится и к номиналу 𝐷𝑇 𝐹𝑉𝑛 . Стрипы на реальных рынках, как правило, выплачивают не одну денежную единицу в погашение, а больше, поэтому для корректных расчетов их номинал нормализуют к единице и в соответствии с этим корректируют их текущую цену. Для купонной облигации 3¾% Treasury gilt 2020 по состоянию на 7 сентября 2015 цена рассчитывается так: 10 𝐵𝑛 = 1.875 × ∑ 𝐷𝑡 + 𝐷10 × 100. (10) 𝑡=1 Дополнительная литература Hull, J. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Ed. Prentice Hall, 2012. Chapter IV. Choudhry, M., Cross, G., Harrison, J. The Gilt-Edged Market. Elsevier, 2003. Chapter V: The Gilt Strips Market.