Ряды и преобразования Фурье

Направление «Приборостроение» Тема: Ряды и преобразования Фурье Лекция 2 Гармонический анализ 1 Периодические функции и гармонические колебания В научных и технических задачах часто приходится иметь дело с периодическими явлениями. Примерами могут служить механические колебания различных систем, электромагнитные колебания. Одной из самых простых периодических функций является функция f(t) = Asin(ωt + φ), описывающая простейшее колебательное движение (гармоническое колебание) с амплитудой А, частотой ω и начальной фазой φ. Такую функцию иногда называют гармоникой. Лекция 2 Гармонический анализ 2 Эта функция является периодической функцией с периодом 2π T= . ω 2π 2π f (t + ) = A sin(ω (t + ) +ϕ) = ω ω = A sin(ωt + 2π + ϕ ) = A sin ωt + ϕ ) = f (t ). Гармонику можно записывать и в другой форме: f(t) = Asin(t + φ) = Asinωt cos φ + Acosωt sinφ = a cos ωt + b sin ωt, где обозначено: a = Asin φ, b = Acos φ. Лекция 2 Гармонический анализ 3 Обратно, каждую функцию вида f(t) = a cos ωt + b sin ωt можно представить как гармонику с амплитудой A = a 2 + b 2 и начальной фазой a ϕ = arctg . b Идея изучения более сложных периодических функций состоит в том, чтобы представлять их в виде суммы гармоник. Однако, складывая гармоники с произвольными частотами, в общем случае периодической функции мы не получим. Поэтому будем складывать гармоники с кратными частотами. Лекция 2 Гармонический анализ 4 При этом, функция вида ∞ a0 + ∑ (an cos nωt + bn sinnωt ) n =1 является периодической функцией также с периодом T = 2π . ω Практика показывает, однако, что лишь немногие периодические функции можно представить в виде такой суммы. Другое дело, если рассматривать бесконечные суммы, т. е. ряды. Лекция 2 Гармонический анализ 5 Оказывается, очень широкий класс составляют периодические функции, каждую из которых можно представить в виде суммы сходящегося ряда: ∞ f (t ) = a0 + ∑ (an cos nωt + bn sinnωt ). n =1 Лекция 2 Гармонический анализ 6 Рассмотрим некоторые свойства периодических функций, которые будут использоваться дальше. Свойство 1. Если f(t) – периодическая интегрируемая функция, T – её период, то интегралы от f(t) по любому отрезку длиной T равны, т. е. справедливо равенство a +T T a ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt , ∀a. Лекция 2 Гармонический анализ 7 Действительно, используя аддитивность определённого интеграла, имеем a +T ∫ a T f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + a a +T ∫ f (t )dt. T В последнем слагаемом сделаем замену переменной: a +T ∫ T a a t = u +T, f (t )dt = = ∫ f (u + T )du = ∫ f (u )du. dt = du Лекция 2 Гармонический анализ 8 Так как a ∫ f (u )du = − ∫ f (t )dt , a то, после сокращения, получим требуемое. Свойство 2. Тригонометрическая система функций 1, cos t , sin t , cos 2t , sin 2t , cos 3t , sin 3t , ... обладает свойством: на любом отрезке длиной T = 2π интеграл от произведения любых двух функций этой системы равен нулю (свойство ортогональности). Лекция 2 Гармонический анализ 9 Пользуясь предыдущим свойством, будем рассматривать, например, отрезок [ -π, π]. Так как π 1 π ∫−π1⋅ cos ntdt = n sin nt −π = 0, π 1 π ∫−π1⋅ sin ntdt = − n cos nt −π = 0, то константа 1 ортогональна любой другой функции из нашей системы. Лекция 2 Гармонический анализ 10 Любые два косинуса ортогональны: π π 1 ∫−π cos mt ⋅ cos ntdt = 2 −∫π (cos(m − n)t + cos(m + n)t )dt = 1 1 1 π =  sin( m − n)t + sin(m + n)t  −π = 0. 2m−n m+n  Аналогично проверяется ортогональность любых двух синусов: π ∫π sin mt ⋅ sin ntdt = 0. − Лекция 2 Гармонический анализ 11 а также ортогональность любого синуса и любого косинуса: π ∫π sin mt ⋅ cos ntdt = 0. − Последнее равенство очевидно, так как под интегралом – нечётная функция, а пределы интегрирования симметричны относительно 0. Лекция 2 Гармонический анализ 12 Замечание. Тригонометрическая система функций πx πx 2πx 2πx 1, cos , sin , cos , sin ,... L L L L ортогональна на любом отрезке длиной 2L . Действительно, интеграл от произведения любых двух функций по отрезку [L, L] с помощью замены переменной t = πx/L сводится к аналогичному интегралу, рассмотренному в свойстве 2. Например: Лекция 2 Гармонический анализ 13 mπx nπx ∫− Lsin L ⋅ cos L dx = L = L π t= πx L dt = , π L = dx π ∫π sin mt cos ntdt =0. − Последняя система функций – наиболее общий случай ортогональной тригонометрической системы. Лекция 2 Гармонический анализ 14 Ряд Фурье для функций с периодом T = 2π ( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик) Пусть периодическая функция f(t) с периодом T = 2π разлагается в тригонометрический ряд: a0 ∞ f (t ) = + ∑ ( an cos nt + bn sin nt ). (1) 2 n =1 это значит, что ряд в любой точке t сходится, причём его сумма равна f(t). Первое слагаемое удобно обозначать a0/2. Лекция 2 Гармонический анализ 15 Такие ряды при определённых условиях можно интегрировать почленно. Будем считать, что эти условия выполнены. Вычислим коэффициенты an, bn. Интегрируя обе части равенства (1) почленно в пределах от –π до π, получим: π π π   a0 an ∫ cos ntdt + an ∫ sin ntdt  = ∫−π f (t )dt = −∫π 2 dt + ∑ n =1  −π −π  a0 t π = −π = a0π . 2 Лекция 2 π ∞ Гармонический анализ 16 Следовательно, a0 = 1 π π ∫π f (t )dt. − Умножим обе части равенства (1) на cosmt и интегрируем почленно: π π a0 ∫−π f (t ) cos mtdt = −∫π 2 cos mtdt + π  π  + ∑ an ∫ cos mt cos ntdt + an ∫ cos mt sin ntdt . n =1  −π −π  ∞ Лекция 2 Гармонический анализ 17 Из ортогональности тригонометрической системы функций следует, что все интегралы в правой части формулы равны 0, кроме одного (при m = n): π π am ∫−π f (t ) cos mtdt = am −∫π cos mtdt = 2 2 π ∫π (1 + cos 2mt )dt = − am  1 am π = ⋅ 2π = πam .  t + sin 2mt  −π = 2  m 2  Отсюда следует требуемая формула для am: am = Лекция 2 1 π π ∫π f (t ) cos mtdt. − Гармонический анализ 18 Отметим, что полученной формулой можно пользоваться и при m = 0. Аналогичная формула для bm получается, если умножать ряд не на cosmt , а на sinmt : bm = 1 π π ∫π f (t ) sin mtdt. − Полученные коэффициенты am, bm называются коэффициентами Фурье функции f(t). Лекция 2 Гармонический анализ 19 Рядом Фурье функции f(t) называется тригонометрический ряд a0 ∞ + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx ). 2 n =1 π где 1 am = ∫ f ( x) cos mtdt; m = 0,1,2,... π bm = 1 π −π π ∫π f ( x) sin mtdt, m = 1,2,3... − Этот ряд может для некоторых значений t оказаться расходящимся, но если даже он и сходится, то это ещё не означает, что его сумма равна f(t). Лекция 2 Гармонический анализ 20 Опуская доказательство, только сформулируем достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье. Предварительно дадим два определения. Функция f(t) называется кусочномонотонной на отрезке [a, b], если она монотонна на всём отрезке или этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна. Лекция 2 Гармонический анализ 21 Функция f(t) называется кусочнонепрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на всём отрезке или имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, причём только 1-го рода. Напомним, что в точке t0 разрыва 1-го рода функция имеет конечные предельные значения слева и справа, которые обозначают f (t0 - 0) и f(t0 + 0) соответственно. Лекция 2 Гармонический анализ 22 Основная теорема о возможности разложения функции f(t) в ряд Фурье. Теорема (теорема Дирихле). Пусть функция f(t) имеет период 2π и на отрезке [-π, π] кусочно-монотонна и кусочнонепрерывна. Тогда ряд Фурье для f(t) сходится на всей числовой оси. Сумма S(t) этого ряда равна 1) S(t) = f(t), если t – точка непрерывности функции; f (t − 0) + f (t + 0) 2) S (t ) = 2 , если t – точка разрыва. Лекция 2 Гармонический анализ 23 Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение, как в самой математике, так и в её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Условия Дирихле, накладываемые на функцию при разложении её в ряд Фурье, значительно менее строгие, чем при разложении в степенной ряд. Лекция 2 Гармонический анализ 24 В дальнейшем при рассмотрении примеров нам достаточно часто потребуются интегралы ∫ x cos αxdx ∫ x ⋅ sin αxdx Вычислим их, применяя метод интегрирования по частям: Лекция 2 Гармонический анализ 25 u = x, dv = cos αxdx, ∫ x ⋅ cos αxdx = du = dx, v = 1 sin αx = α = = Лекция 2 x α x α sin αx − sin αx − 1 sin αxdx = ∫ α 1 α 2 cos αx + C ; Гармонический анализ 26 u = x, dv = sin αxdx, ∫ x ⋅ sin αxdx = du = dx, v = − 1 cos αx = α =− =− Лекция 2 x α x α cos αx + cos αx + 1 cos αxdx = ∫ α 1 α 2 sin αx + C ; Гармонический анализ 27 Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f(t), период которой равен 2π, если на промежутке [-π, π] функция задана так: Функция f(t) имеет точки разрыва 1-го рода. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому она разлагается в свой ряд Фурье. Лекция 2 Гармонический анализ 28 Для определения коэффициентов an, bn промежуток интегрирования [-π, π] придётся разбить на два: от -π до 0 и от 0 до π, так как функция f(t) задана разными формулами на этих промежутках. Лекция 2 Гармонический анализ 29 Коэффициент a0 вычисляется отдельно, так как последнюю формулу нельзя применять при n = 0. Вычисление bn аналогично: Следовательно, в точках непрерывности Лекция 2 Гармонический анализ 30 В соответствии с теоремой Дирихле, сумма полученного ряда в точках разрыва tk = (2k + 1)π, k ∈ Z равна f (t k − 0) + f (t k + 0) π + 0 π = = . 2 2 2 т.е. не совпадает со значением f (tk) = 0. Лекция 2 Гармонический анализ 31 Замечание. Тригонометрическая система функций πx πx 2πx 2πx 1, cos , sin , cos , sin ,... L L L L ортогональна на любом отрезке длиной 2L . Действительно, интеграл от произведения любых двух функций по отрезку [-L, L] с помощью замены переменной t = πx/L сводится к аналогичному интегралу, рассмотренному в свойстве 2. Например: Лекция 2 Гармонический анализ 32 mπx nπx ∫− Lsin L ⋅ cos L dx = L = L π t= πx L dt = , π L = dx π ∫π sin mt cos ntdt =0. − Последняя система функций – наиболее общий случай ортогональной тригонометрической системы. Лекция 2 Гармонический анализ 33 Разложение в ряд Фурье непериодической функции Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно–монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно–монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ≥ b - a, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. Лекция 2 Гармонический анализ 34 y α - 2T f(x) α a b α+2T α + 4T x Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Лекция 2 Гармонический анализ 35 Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2π, то функция продолжается на интервал (a, b + 2π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]. Лекция 2 Гармонический анализ 36 Ряд Фурье для четных и нечетных функций Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: 0, f ( x) − нечетная a  a f ( x ) dx =  1) ∫ −a 2 ∫ f ( x) dx, f ( x) − четная  0 2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Лекция 2 Гармонический анализ 37 Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать: π π 1 2 a n = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ f ( x) cos nxdx (n = 0,1,2,...) π −π π0 π 1 bn = ∫ f ( x) sin nxdx = 0; (n = 1,2,...) π −π Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается: a0 ∞ f ( x) = + ∑ a n cos nx 2 n =1 π 2 a n = ∫ f ( x) cos nxdx π0 Лекция 2 Гармонический анализ (n = 0,1,2,...) 38 Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции: ∞ f ( x) = ∑ bn sin nx; π n =1 2 bn = ∫ f ( x) sin nxdx; π0 (n = 1,2,...) Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) = x3 с периодом T = 2π на отрезке [-π;π]. Решение. Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде: Лекция 2 Гармонический анализ 39 π 2 bn = ∫ f ( x) sin nxdx; π0 (n = 1,2,...) u = x 3 ; dv = sin nxdx;  2 3   bn = ∫ x sin nxdx =  =  cos nx 2 π0 du 3 x dx; v = − ; =  n   π π  2  x 3 cos nx π 3 2 = − + ∫ x cos nxdx  =  π  n n  u = x 2 ; dv = cos nxdx;    = sin nx  = ; du = 2 xdx; v = n   2  π 3 cos πn 3  x 2 sin nx π π 2 x sin nx   = − +  −∫ dx  =   π n n  n n  0 0   Лекция 2 Гармонический анализ 40 u = x; dv = sin nxdx;  π 3   π cos πn 6 2     = − − 2 ∫ x sin nxdx  =  cos nx  = π n n 0  du = dx; v = − n ;   2  π 3 cos πn 6 π cos π 6  sin nx π   = = − + − 3 3   π n n n  n 0    2  2 π 2 cos πn 12 cos πn n  12 2 π  =− + = ( −1 ) − 3 3   n n n n   Получаем: 2   12 2 π 3 n  sin nx x = ∑ bn sin nx = ∑ (−1)  3 − n  n =1 n =1 n Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда. ∞ Лекция 2 ∞ Гармонический анализ 41 30 20 10 -3 -2 -1 1 2 3 -10 -20 -30 Рис. 1. Ряды Фурье для функций любого периода Лекция 2 Гармонический анализ 42 Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид: a0 ∞  πn πn  + ∑  a n cos f ( x) = x + bn sin x 2 n =1  l l  l 1 a 0 = ∫ f ( x)dx; l −l 1 πn a n = ∫ f ( x) cos xdx, n = 1,2,... l −l l l 1 πn bn = ∫ f ( x) sin xdx, n = 1,2,... l −l l l Лекция 2 Гармонический анализ 43 Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: a0 ∞ πn f ( x) = + ∑ a n cos x; 2 n =1 l l 2 a 0 = ∫ f ( x)dx; l 0 2 πn a n = ∫ f ( x) cos xdx; n = 1,2,... l 0 l l Лекция 2 Гармонический анализ 44 Для нечетной функции: πn f ( x) = ∑ bn sin x; l n =1 ∞ 2 πn bn = ∫ f ( x) sin xdx; n = 1,2,... l 0 l l Лекция 2 Гармонический анализ 45 Комплексная форма ряда Фурье Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд ∞ a0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ). 2 n =1 и его коэффициенты 1π a n = ∫ f ( x ) cos nx dx (n = 0,1,2...), π −π 1π b n = ∫ f ( x ) sin nx dx ( n = 1,2...). π −π к комплексной форме. Лекция 2 Гармонический анализ 46 Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную функцию cos nx = e inx +e 2 − inx , sin nx = e inx −e 2i − inx . Подставив эти выражения в обычный тригонометрический ряд находим Лекция 2 Гармонический анализ 47 inx inx − inx − inx  a0 e +e e −e f ( x) = + ∑  a n ⋅ + bn ⋅ 2 n =1  2 2i ∞ a0 ∞  e inx + e −inx e inx − e −inx = + ∑  a n ⋅ − ibn ⋅ 2 n =1  2 2 inx −inx  a0 (a n − ibn )e (a n + ibn )e = + ∑  + 2 n =1  2 2 a0 ∞ inx −inx = + ∑ cn e + c−n e , 2 n =1 ∞ (   =    =    =  ) где Лекция 2 Гармонический анализ 48 a n − ibn cn = 2 an + ibn = 2 c− n Используя выражения для cn и c-n и формулы для коэффициентов an, bn получим 1 1 c n =  2 π 1 = 2π π  ∫−π f ( x) cos nxdx − i π −∫π f ( x) sin nxdx  = 1 π 1 ∫−π f ( x)(cos nx − i sin nx)dx = 2π 1 То есть, c = n 2π Лекция 2 π π ∫π f ( x)e −inx π ∫π f ( x)e −inx dx. − dx, (n = 1,2,3,...) − Гармонический анализ 49 Аналогично c−n 11 =  2 π 1 = 2π π π  ∫−π f ( x) cos nxdx + i π −∫π f ( x) sin nxdx  = 1 π 1 ∫−π f ( x)(cos nx + i sin nx)dx = 2π т.е. c−n 1 = 2π π ∫π f ( x)e inx π ∫π f ( x)e inx dx.(n = 1,2,3...) − dx, (n = 1,2,3,...) − Вычисление c0 производится по формуле a0 1 c0 = = 2 2π Лекция 2 π ∫π f ( x)dx − Гармонический анализ 50 Формулу для разложения функции в ряд Фурье можно переписать в виде ( ∞ a0 f ( x) = + ∑ c n e inx + c − n e −inx 2 n =1 или f ( x) = ∞ ∑c e n = −∞ inx n ) (1) Коэффициенты такого ряда можно записать в виде 1 cn = 2π Лекция 2 π ∫π f ( x)e −inx dx, (n = 0,±1,±2,±3,...) − Гармонический анализ 51 Равенство (1) называется комплексной формой ряда Фурье функции f(х), а числа cn — комплексными коэффициентами ряда Фурье. Заметим, для полноты картины a n = c n +c − n , bn = i (c n − c − n ) Лекция 2 Гармонический анализ 52 Случай произвольного периода Если функция f(х) задается на отрезке [-l; l], то комплексная форма ее ряда Фурье inπx ∞ имеет вид f ( x) = cn e l (2) ∑ n = −∞ а коэффициенты вычисляются по формулам l 1 cn = ∫ f ( x ) e 2l −l − inπx l dx, (n = 0,±1,±2,±3,...) На случай комплексной формы переносятся все свойства, полученные для обычных рядов. Прежде всего это теорема Дирихле. Гармонический анализ Лекция 2 53 Теорема Дирихле. Если 2π-периодическая функция f(x) на отрезке [-π; π] удовлетворяет условиям Дирихле: 1. f(х) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2. f(х) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна, то соответствующий функции f(х) ряд Фурье сходится на этом отрезке Лекция 2 Гармонический анализ 54 Отметим, что при разложении четных и нечетных функций удобно использовать вещественную форму ряда Фурье. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале (-π, π) уравнением y = e-x. Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (1) Лекция 2 Гармонический анализ 55 1 Cn = 2π π −x e ∫ −π 1 −inx e dx = 2π e −(1+i n ) x −π = = 2π (1 + in ) π (1+i n ) π − (1+i n ) π e = −e 2π(1 + i n ) − (1+ i n ) x −π e − (1+ i n ) x dx = − = ∫−π e 2π (1 + in ) π π π inπ −π e e −e e = 2π(1 + i n ) −i n π По формулам Эйлера e ±i n π Лекция 2 = cos nπ ± i sin nπ = (− 1) n Гармонический анализ 56 Следовательно, ( − 1) = Cn e −x +∞ = ∑ Cn e n = −∞ (e π −π −e 2π(1 + i n ) n π inx e −e = 2π −π ) +∞ ∑ n = −∞ (− 1) n inx e 1+ in В интервале (-π, π) ряд представляет функцию e-x, а в точках x = ±π его сумма равна 1 −π −π (e + e ) 2 Лекция 2 Гармонический анализ 57 Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами n и -n и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими: ( − 1) = n un + u−n e 1+ i n ( 1 − i n)e = (− 1) n Лекция 2 inx ( − 1) + −n e 1− i n + (1 + i n ) e 1 + n2 inx Гармонический анализ −i n x −i n x = = 58 cos nx + n sin nx = 2 ⋅ (− 1) , n = 1,2,3,... 2 1+ n π −π при e +e n=0 a0 = 2π n Следовательно, e Лекция 2 −x π e +e = π −π  1 ∞ (− 1)n  (cos nx + n sin nx )  +∑ 2  2 n =11 + n  Гармонический анализ 59 Дополнительные сведения о рядах Фурье Система функций является полной ортонормированной системой в пространстве функций удовлетворяющих условиям Дирихле на отрезке [a,b]. Это вытекает из равенства l l 1 1 inx −imx i ( n−m) x e e dx = e dx = δ nm , ∫ ∫ 2π −l 2π −l где δnm – символ Кронекера 0, m ≠ n, δ mn =  1, m = n и теоремы Дирихле. Лекция 2 Гармонический анализ 60 Интеграл Фурье Представление функции интегралом Фурье При всем своем удобстве аппарат рядов Фурье, изученный нами в предыдущем разделе, имеет свои ограничения. В частности, для его применения необходимо, чтобы раскладываемая функция была периодической, или чтобы нам было неважно ее поведение за пределами некоторого отрезка. Для случая, когда мы не можем пренебречь поведением функции на всей числовой прямой, нам на помощь придет аппарат интеграла Фурье. Гармонический анализ 61 Лекция 2 О 2.1. Интегралом Фурье функции f(x) называется выражение: ∞ ∫ (a(λ ) cos(λx) + b(λ ) sin(λx))dλ , (2.1) где коэффициенты a(λ) и b(λ) определяются из формул (2.2) ∞ ∞ 1 1 a (λ ) = ∫ f ( y ) cos(λy )dy, b(λ ) = ∫ f ( y ) sin(λy )dy. π −∞ π −∞ Заметим, что данное определение имеет смысл для всех функций, для которых сходится интеграл Лекция 2 Гармонический анализ 62 ∞ ∫ | f ( x)dx |< +∞. (2.3) −∞ Далее мы будем полагать, что условие (2.3) выполнено. Введем множество функций QC(R) = QC(-∞; +∞): функцию f(x) будем считать принадлежащей множеству QC(R) = QC(-∞; +∞), если 1. f(x) кусочно непрерывна на (-∞; +∞); 2. f(x) имеет не более конечного числа точек разрыва на R; 3. все точки разрыва f(x) – разрывы 1-го рода; Лекция 2 Гармонический анализ 63 4. в точках разрыва f(x) равна среднему арифметическому пределов слева и справа: f ( x − 0) + f ( x + 0) f ( x) = . 2 Теорема 2.1 (О представлении функции ее интегралом Фурье). f(x); f'(x) ∈ QC(R). Для функции f(x) сходится интеграл (2.3). Тогда 1) Интегралы (2.2) сходятся равномерно по λ на R. 2) Интеграл (2.1) сходится равномерно по x на любом отрезке, не содержащем точек разрыва f(x). 3) Интеграл (2.1) сходится к функции f(x): Гармонический анализ 64 Лекция 2 f ( x) = +∞ ∫ (a(λ ) cos(λx) + b(λ ) sin(λx))dλ , (2.4) x ∈ (−∞,+∞). Замечание 2.1. Интеграл Фурье можно рассматривать как результат предельного перехода при l →+∞ в формуле для ряда a0 ∞  πn πn  Фурье: + ∑  a n cos f ( x) = x + bn sin x 2 l l  n =1  l πn 1 an = ∫ f ( x) cos xdx, n = 1,2,... l −l l 1 πn bn = ∫ f ( x) sin xdx, n = 1,2,... l −l l l Лекция 2 Гармонический анализ 65 При этом коэффициенты an "превращаются" в функцию-коэффициент a(λ). l 1 πn an = ∫ f ( x) cos xdx, n = 1,2,... ⇒ l −l l a (λ ) = 1 π ∞ ∫ f ( y) cos(λy)dy, −∞ а коэффициенты bn – в функциюкоэффициент b(λ) l 1 πn bn = ∫ f ( x) sin xdx, n = 1,2,... ⇒ l −l l b (λ ) = Лекция 2 1 π ∞ ∫ f ( y) sin(λy)dy. −∞ Гармонический анализ 66 При этом суммирование по n "превращается" в интегрирование по λ, а ряд Фурье – в интеграл Фурье: a0 ∞  πn πn  f ( x) = + ∑  an cos x + bn sin x ⇒ 2 n =1  l l  ∞ ∫ (a(λ ) cos(λx) + b(λ ) sin(λx))dλ , И полученный интеграл сходится к той же самой функции f(x), по которой были найдены его коэффициенты a(λ) и b(λ), так же как и ряд Фурье сходится к соответствующей функции. Лекция 2 Гармонический анализ 67 Интеграл Фурье от четных и нечетных функций Интеграл Фурье имеет свойство, полностью аналогичное свойству ряда Фурье Утверждение 2.1. 1) f(x) ∈ C(-∞; +∞) – четная на (-∞; +∞) ∞ 2 функция → b(λ) = 0, a (λ ) = ∫ f (t ) cos(λt )dt , +∞ π f ( x) = ∫ a(λ ) cos(λx)dλ , Лекция 2 Гармонический анализ 68 2) f(x) ∈ C(-∞; +∞) – нечетная на (-∞; +∞) +∞ 2 функция → a(λ) = 0, b(λ ) = ∫ f (t ) sin(λt )dt. π 0 f ( x) = ∫ b(λ ) sin(λx)dλ. +∞ Примеры на интеграл Фурье Пример 2.1. Представить интегралом Фурье функцию 1, | x |< 1, f ( x) =  0, | x |> 1. Решение. Найдем коэффициенты a(λ) и b(λ). Так как функция f(x) – четная, то b(λ) =0. Гармонический анализ Лекция 2 69 a (λ ) = 2 ∞ 2 f (t ) cos(λt )dt = ∫ cos(λt )dt = ∫ π π = 1 2 sin(λt ) 1 πλ = 2 sin(t ) πλ . Подставляя a(λ) и b(λ) в формулу (2.1), получим ответ: +∞ f ( x) = Лекция 2 2 π ∫ sin λ Гармонический анализ λ cos(λx)dλ. 70 Пример 2.2. Представить интегралом Фурье функцию sign x, | x |< 1, f ( x) =  x , | | > 1 ,  − 1 , x < ,   где sign x = 0, x = 0, 1, x > 0.  Решение. Найдем коэффициенты a(λ) и b(λ). Так как функция f(x) – нечетная, то +∞ 1 2 2 a(λ) = 0. b(λ ) = =− Лекция 2 π ∫ f (t ) sin(λt )dt = π ∫ sin(λt )dt = 2 cos(λt ) πλ 1 = 2(1 − cos λ ) Гармонический анализ πλ . 71 f ( x) = − +∞ 2 1 − cos λ π ∫ sin(λx)dλ. λ Пример 2.3. Представить интегралом Фурье функцию −α | x | , (α > 0). f ( x) = e Пример. Найдем коэффициенты a(λ) и b(λ). Так как функция f(x) – четная, то b(λ) =0. a (λ ) = 2 π +∞ ∫ f (t ) cos(λt )dt = 2 +∞ π 2 λ sin(λt ) − α cos(λt ) −αt = ⋅ ⋅e 2 2 π α +λ Лекция 2 Гармонический анализ −αt e ∫ cos(λt )dt = +∞ = 2 ⋅ α π α +λ 2 2 72 . Подставляя a(λ) и b(λ) в формулу (2.1), получим ответ: +∞ 2α cos(λx) f ( x) = dλ . 2 2 ∫ π 0 α +λ Лемма 3.1. ∀ z ∈ C справедливо равенство eiz = cos z + i sin z: (3.5) Это соотношение называется формулой Эйлера. Лекция 2 Гармонический анализ 73 Преобразование Фурье и интеграл Фурье Опр. 3.3. Пусть f(x) ∈ C(R), и для нее сходится интеграл +∞ ∫ | f ( x) | dx < +∞. (3.6) −∞ Тогда для функции f(x) существует преобразование Фурье: ∧ 1 F (λ ) = f ( x ) = 2π Лекция 2 +∞ e ∫ − iλ x f ( x)dx. (3.7) −∞ Гармонический анализ 74 При этом функцию f(x) можно восстановить по F(λ), называемой ее образом Фурье, по следующей формуле: ∧ 1 f ( x ) = F (λ ) = 2π +∞ ∫e iλ x F (λ )dλ. (3.8) −∞ Заметим, что между преобразованием Фурье и интегралом Фурье существует тесная взаимосвязь. В самом деле, учитывая формулу Эйлера (3.5), равенство (3.6) можно переписать в виде: Лекция 2 Гармонический анализ 75 1 F (λ ) = 2π +∞ ∫ f (t )(cos(λt ) − i ⋅ sin(λt ))dt = −∞ +∞ +∞ i 1 = f (t ) cos(λt )dt − f (t ) sin(λt )dt = ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ 144424443 144424443 = = 2 π 2 π ⋅a ( λ ) (a(λ ) − ib(λ ) ). = 2 π ⋅ib ( λ ) (i) Поэтому формула (3.8) приобретает вид: Лекция 2 Гармонический анализ 76 1 f ( x) = 2π 1 = 2π +∞ iλ x e ∫ F (λ )dλ = −∞ +∞ ∫ F (λ )(cos(λx) + i sin(λx))dλ = [(i) ⇒] = −∞ +∞ 1 2 (a(λ ) − ib(λ ) )(cos(λx) + i sin(λx) )dλ = = ⋅ ∫ π −∞ 2π = 1 π −i Лекция 2 +∞ −∞ 1 π ∫ (a(λ ) cos(λx) + b(λ ) sin(λx))dλ − (ii) +∞ ∫ (a(λ ) sin(λx) + b(λ ) cos(λx))dλ. −∞ Гармонический анализ 77 Поскольку a(λ) – функция четная (это сразу следует из ее определения), а sin(λx) – нечетная, то произведение a(λ)sin(λx) – нечетная по λ функция. А интеграл от нечетной функции по любому симметричному относительно нуля промежутку равен нулю. Поэтому +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ a(λ ) sin(λx)dλ = v. p. ∫ a(λ ) sin(λx)dλ = = lim R → +∞ Лекция 2 +R ∫ a(λ ) sin(λx)dλ = 0. −R Гармонический анализ 78 Аналогично, произведение b(λ)cos(λx) – нечетная по λ функция. Поэтому +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ b(λ ) cos(λx)dλ = v. p. ∫ b(λ ) cos(λx)dλ = = lim +R R → +∞ ∫ b(λ ) cos(λx)dλ = 0. −R Итак, последний интеграл правой части (ii) равен нулю, и из (ii) мы получаем равенство f ( x) = 1 π +∞ ∫ (a(λ ) cos(λx) + b(λ ) sin(λx))dλ , −∞ которое полностью совпадает с формулой (2.4). Лекция 2 Гармонический анализ 79 Таким образом, в силу теоремы 2.1, для любой непрерывной функции f(x), для которой сходится интеграл (3.6), равенство (3.8) можно считать доказанным. Эти рассуждения показывают, что преобразование и интеграл Фурье являются двумя разными формами записи одного и того же представления функции. Поэтому все свойства преобразования Фурье, приведенные ниже, имеют свои аналоги и для интеграла Фурье. Лекция 2 Гармонический анализ 80 Свойства преобразования Фурье Теорема 3.1 (Свойства преобразования ∧ ∧ Фурье). F (λ ) = f ( x), G (λ ) = g ( x) . Справедливы утверждения: 1. ИПФ (3.7) от (αf(x) + βg(x)) равно сумме αF(λ) + βG(λ) (свойство линейности); λ f (αx) = F   α α  ∧ 1 2. (теорема масштаба, теорема подобия); Лекция 2 Гармонический анализ 81 ∧ iα x 3. f ( x + α ) = e F (λ ) (теорема смещения, теорема о сдвиге);  iλ0 x  f ( x )e = F (λ − λ0 );  ∧ F (λ − λ0 ) + F (λ + λ0 )  ( f ( x) cos(λ0 x) ) = ; 2  ∧ F (λ − λ0 ) − F (λ + λ0 )  , 4. ( f ( x) sin(λ0 x) ) = 2i  (теорема о модуляции); ( Лекция 2 ∧ ) Гармонический анализ 82 ∧ 5. f ′( x) = iλF (λ ), f ∧ ∧ (n) ( x) = (iλ ) F (λ ); n ∧ 6. f ∗ g = F (λ ) ⋅ G (λ ), f ⋅ g = F (λ ) ∗ G (λ ); где f ∗g = +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ f (t ) g ( x − t )dt = ∫ f ( x − t ) g (t )dt - свертка функций f(x) и g(x), а F ∗G = +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ F (λ )G(µ − λ )dλ = ∫ F (µ − λ )G(λ )dλ - свертка функций F(λ) и G(λ), (лемма Бореля о свертке); Лекция 2 Гармонический анализ 83 7. Если интегралы +∞ ∫ | f (t ) | dt , 2 существуют, то −∞ +∞ 2 | g ( t ) | dt ∫ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ F (λ )G(λ )dλ = ∫ f (t )g (t )dt (теорема Парсеваля). Два равенства теоремы о модуляции доказываются при помощи формул Эйлера. Лекция 2 Гармонический анализ 84 e +e cos z = 2 iz − iz e −e , sin z = 2i iz − iz . (3.9) Кроме этих общих формул часто нужна еще одна важная формула: Утверждение 3.1. 2 +∞ ∫e Лекция 2 − p 2u 2 cos(qu )du = π 2p Гармонический анализ − e q 4 p2 , (3.10) 85 Косинус–преобразование и синус– преобразование Фурье Если f(x) – четная функция, то F (λ ) = f ( x) = 2 π 2 π +∞ ∫ cos(λx) f ( x)dx, (3.11) ∫ cos(λx) F (λ )dλ. (3.12) −∞ +∞ −∞ Если f(x) – нечетная функция, то Лекция 2 Гармонический анализ 86 2 F (λ ) = −i f ( x) = i +∞ π 2 π +∞ ∫ sin(λx) f ( x)dx, (3.13) −∞ ∫ sin(λx) F (λ )dλ. (3.14) −∞ Поэтому, по аналогии с рядами Фурье по косинусам и по синусам, вводят косинус– и синус–преобразование Фурье. Лекция 2 Гармонический анализ 87 Опр. 3.4. Пусть f(x) ∈ C(R), и для нее сходится интеграл +∞ ∫ | f ( x) | dx < +∞, Тогда для функции f(x) существует косинус–преобразование Фурье: Fc (λ ) = f ( x) = 2 π +∞ 2 π +∞ ∫ cos(λx) f ( x)dx, (3.15) ∫ cos(λx) F (λ )dλ , x > 0. c (3.16) При этом для x < 0 правая часть (3.16) сходится к четному продолжению f(x) на отрицательную полуось. Гармонический анализ Лекция 2 88 Аналогично, для функции f(x) существует синус–преобразование Фурье: 2 Fs (λ ) = f ( x) = i 2 π +∞ π +∞ ∫ sin(λx) f ( x)dx, (3.17) ∫ sin(λx) F (λ )dλ. ( x > 0). s (3.18) При этом для x < 0 правая часть (3.18) сходится к нечетному продолжению f(x) на отрицательную полуось. Лекция 2 Гармонический анализ 89 Пример 3.3. Найти преобразование Фурье для функции −a2 x2 f ( x) = e . и ее важного частного случая, функции 2 f ( x) = e − x 2 . Решение. Поскольку функция f(x) четна, F(λ) = Fc(λ). Вспомним формулу (3.10), и применим ее для нашей задачи +∞ ∫e − p 2u 2 cos(qu )du = Лекция 2 Гармонический анализ π 2p e q2 − 2 4p , 90 e ∧ −a 2 x2 = 2 +∞ 2 = ∫ cos(λx)e π π π 2a −a 2 x 2 dx = p = a, q = λ = e − λ2 4a 2 = 1 a 2 e − λ2 4a2 В частном случае, когда получаем: ∧ x2 λ2 − − 2 2 e =e , (3.21) 1 a= 2 , (3.22) т.е. преобразование Фурье переводит функцию в нее же саму. Лекция 2 Гармонический анализ 91 Примеры на преобразование Фурье Пример. Найти преобразование Фурье для 2 2 функции f ( x ) = e − a x cos(bx ). Вспомним формулу из п. 4. теоремы 3.1, F (λ − λ0 ) + F (λ + λ0 ) ( f ( x) cos(λ0 x) ) = 2 ∧ Поскольку в предыдущем примере мы выяснили, что λ2 ∧ e Лекция 2 −a 2 x2 = 1 a 2 Гармонический анализ e − 4a 2 , (3.21) 92 то для e −a 2 2 x e ∧ −a2 x2 cos(bx) 1 1  cos(bx) = ⋅ e 2 a 2  ∧ − 1 = e 2a 2 λ2 + b 2 4a 2 − 2 bλ − 4a2 ( λ −b ) 2 − 4a2 +e (λ +b )2 − 4a2 2 bλ − 2 4a −   1 e = +e e   a 2 1442443 = 2 ch  =   λ2 + b 2 4a2 bλ ch 2 . 2a bλ 2a2 В частном случае, когда получаем: Лекция 2 получаем: 1 a= 2 Гармонический анализ 93 e Лекция 2 x2 − 2 ∧ cos(bx) = e − λ2 + x 2 Гармонический анализ 2 ch(bλ ). 94