Ряды Фурье. Преобразование Фурье

ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Â. Â. Êîìèññàðîâ Í. Â. Êîìèññàðîâà ËÅÊÖÈÈ ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÃËÀÂÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ ÐßÄÛ ÔÓÐÜÅ. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÐÜÅ Íîâîñèáèðñê 2019 Ñîäåðæàíèå Ñîäåðæàíèå 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1.1 1.2 1.3 1.4 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå . . . . . . . . . Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå . . . . . . . . . . 1.3.1 Ýôôåêò Ãèááñà . . . . . . . . . . . . . . . . Èíòåãðàë Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå . . . . . . 1.4.1 Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 4 4 10 14 32 37 40 46 ÍÃÒÓ 1 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1.1 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå âñòðå÷àåòñÿ íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé ïðåäåëà. Ïðè÷¼ì â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíèõ è òåõ æå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ â ñâÿçè ñ ðàçíûìè çàäà÷àìè ââîäÿòñÿ ðàçíûå ïîíÿòèÿ ïðèäåëà. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îáîáùàåòñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è n-ìåðíûõ âåêòîðîâ. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé èìååòñÿ ðÿä ïîíÿòèé ñõîäèìîñòè: ïðîñòîé (íå ðàâíîìåðíîé), ðàâíîìåðíîé, â ñðåäíåì è ò. ä. Âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè. Îïðåäåëåíèå 1. Ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåò- ñÿ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî X , åñëè äëÿ êàæäîé ïàðû åãî ýëåìåíòîâ x è y ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî ρ(x, y)  ðàññòîÿíèå îò x äî y (ìåòðèêà), óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì (àêñèîìàì): 1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (àêñèîìà òîæäåñòâà); 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (àêñèîìà ñèììåòðèè); 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) (àêñèîìà òðåóãîëüíèêà). Çàìå÷àíèå 1 Î÷åâèäíî, èìåÿ îäíî ìíîæåñòâî è ìåòðèçóÿ åãî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè (îïðåäåëÿÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ïî ðàçíîìó), ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Çàìå÷àíèå 2 Âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî X1 ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ïðèìåðû ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ 1. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ R, x, y ∈ R, ρ(x, y) = |x − y|. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 2. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî x  àðèôìåòè÷åñêîå n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, ò. å. ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë: x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), x = (η1 , η2 , . . . , ηn ), v u n uX ρ(x, y) = t (ξk − ηk )2. k=1 3. Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé ñ èíòåãðèðóåìîé p-é ñòåïåíüþ Lp . Ïðîñòðàíñòâî Lp åñòü ìíîæåñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé x(t), îïðåäåë¼ííûõ íà ñåãìåíòå [a, b], äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò èíòåãðàë ëîé: Rb |x(t)|pdt. Ìåòðèêà â Lp îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìó- a  b  p1 Z ρ(x, y) =  |x(t) − y(t)|pdt . a  ÷àñòíîñòè, ïðè p = 2 ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî L2  ãèëüáåðòîâî ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî. 4. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a, b]: ρ(x(t), y(x)) = sup |x(t) − y(t)|. t∈[a,b] 5. Ïðèìåð ïðîñòðàíñòâà íå ÿâëÿþùåãîñÿ ìåòðè÷åñêèì. Ìíîæåñòâî òî÷åê çåìíîé ïîâåðõíîñòè â ãîðíîé ìåñòíîñòè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè îïðåäåëÿåòñÿ ïðîìåæóòêîì âðåìåíè äâèæåíèÿ ïóòåøåñòâåííèêà îò òî÷êè ê òî÷êå (çäåñü íå âûïîëíÿåòñÿ àêñèîìà ñèììåòðèè). Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî E íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì (âåê- òîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì, åñëè äëÿ êàæäûõ äâóõ åãî ýëåìåíòîâ x è y îïðåäåëåíà èõ ñóììà x+y  ýëåìåíò òîãî æå ìíîæåñòâà è äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ E îïðåäåëåíî óìíîæåíèå íà ÷èñëî λ, λx ÿâëÿåòñÿ òàê æå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà E , ïðè÷¼ì ýòè îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì (àêñèîìàì): ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1) (x + y) + z = x + (y + z) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); 2) x + y = y + x (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ); 3) â E ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ E áóäåò 0 · x = 0 (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ); 4) (λ + µ)x = λx + µx (çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ); 5) λ(x + y) = λx + λy (çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè ñëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ); 6) (λµ)x = λ(µx) àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ); 7) 1 · x = x (ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû). Ñëåäñòâèå èç àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 1) 0 · x = 0; 2) (−1) · x = −x; 3) λ · 0 = 0; 4) åñëè λ · x = µ · x è x 6= 0, òî λ = µ. Îïðåäåëåíèå 3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ íîð- ìèðîâàííûì, åñëè êàæäîìó åãî ýëåìåíòó x ∈ E ñîîòâåò- ñòâóåò íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî k x k, íàçûâàåìîå íîðìîé, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì: 1) k x k= 0, òî x = 0; 2) k λ · x k= |λ|· k x k; 3) k x + y k≤k x k + k y k; 4) â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó: ρ(x, y) =k x − y k. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ïðèìåðû íîðì s 1) Rn : k x k= n P ξk2, ïðè n = 1: k x k= |x|; k=1 2) C[0; 1] : k x k= max |x(t)|; t 3) Lp[0; 1] : k x k= 1 R  p1 |x(t)|pdt . Îïðåäåëåíèå 4. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî E íàçûâàåòñÿ åâ- êëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè íà íåì ìîæåò áûòü îïðåäå- ëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü îòîáðàæåíèå ( , ) : E × E → R, óäîâëåòâîðÿþùåå àêñèîìàì: 1) (x, y) = (y, x) (∀x, y ∈ E) (êîììóòàòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ); 2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (∀x1, x2, y ∈ E) (àääèòèâíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ); 3) (λx, y) = λ(x, y) (∀x, y ∈ E, λ ∈ R) (îäíîðîäíîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ); 4) (x, x) ≥ 0 ïðè ýòîì (x, y) = 0 ⇔ x = 0 (∀x ∈ E) (ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåë¼ííîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â R : (x, y) = n n P xk · yk . k=1 Êðîìå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â àíàëèçå ïðèìåíÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Îïðåäåëåíèå 5. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b] îïðåäåëÿåòñÿ êàê: Zb f (t) · g(t)dt (∀ f, g ∈ L2[a, b]) (f, g) = a ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èëè â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êàê: Zb f (t) · g(t) · ρ(t)dt (∀ f, g ∈ L2[a, b]), (f, g) = a ãäå ρ(t) > 0, ∀t ∈ [a, b]  íåêîòîðàÿ îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåìàÿ âåñîì.  êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ óäà¼òñÿ íàéòè êîíå÷íóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó, ïî êîòîðîé ìîæíî ðàçëîæèòü ëþáîé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà. Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé âåùåñòâåííîãî àðãóìåíòà êîíå÷íîìåðíûì óæå íå ÿâëÿåòñÿ, è ïîýòîìó òàêîé êîíå÷íîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû â í¼ì íàéòè íå óäà¼òñÿ. Ñ â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ î ïîèñêàõ áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì ôóíêöèÿ, êîòîðûå ìîãëè áû ñòàòü îñíîâîé ðàçëîæåíèé äîñòàòî÷íî ðàçíîîáðàçíûõ ôóíêöèé, è î íàõîæäåíèè êîýôôèöèåíòîâ â ýòèõ ðàçëîæåíèÿõ. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ïî áåñêîíå÷íîé ñèñòåìå ïåðåñòà¼ò áûòü îáû÷íîé ñóììîé, ïðåâðàùàÿñü â ðÿä èëè èíòåãðàë. Îïðåäåëåíèå 6. Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕk }k∈N íåêîòîðîãî ôóíê- öèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ áàçèñîì, åñëè: 1) ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà {ϕk }, k = 1, 2, . . . , n îáðàçóåò ëèíåéíîíåçàâèñèìóþ ñèñòåìó; 2) ñèñòåìà {ϕk }k∈N ïîëíà â F , òî åñòü ∀f ∈ F ∃{ak }k∈N : lim ρ(f, n→∞ n X ak ϕk ) = 0. k=0 Îïðåäåëåíèå 7. Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕk }k∈N íåêîòîðîãî ôóíê- öèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà F íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè: • ϕk 6= 0, k ∈ N ; 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå • (ϕi, ϕj ) = 0 ïðè i 6= j . Åñëè äîïîëíèòåëüíî k ϕk k= 1 äëÿ ∀k ∈ N , ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé. Ïðèìåðû 1. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé {sin nx}k∈N îáðàçóåò îðòîãîíàëüíóþ íà îòðåçêå [0, π] ñèñòåìó ôóíêöèé. 2. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé {1, cos nx, sin nx}k∈N îáðàçóåò îðòîãîíàëüíóþ íà îòðåçêå [−π, π] ñèñòåìó ôóíêöèé. Èìååì: Zπ  0, n 6= 0 2π, n = 0  0, n 6= 0 0, n = 0 cos nxdx = −π Zπ sin nxdx = −π Zπ  0, m 6= n π, m = n  0, m 6= n π, m = n cos mx cos nxdx = −π Zπ sin mx sin nxdx = −π Zπ sin mx cos nxdx = 0. −π 3. Åñëè ñîâîêóïíîñòü ñòåïåíåé 1, t, t2 , . . . , tn , . . . îðòîãîíàëèçîâàòü â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b] ñ âåñîì ρ(t), òî ïðèä¼ì ê ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ: p0 (t) = const, p1 (t), p2 (t), . . . , . . .. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ïðè ρ(t) ≡ 1, a = −1, b = 1 ïîëó÷èì ñ òî÷íîñòü äî ïîñòîÿííûõ ìíîæèòåëåé ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà:   1 dn(x2 − 1)n L0(x) = 1, Ln(x) = n · = 2 n! dxn n∈N   3 2 1 5 3 3 35 4 15 2 3 = 1; x; x − ; x − x; x − x + ; . . . 2 2 2 2 8 4 8 (2k + 1)xLk (x) − xLk−1(x) Lk+1 = . k+1 4. Ïîëèíîìû ×åáûøåâà: dn (−2) n! p 2 Tn(x) = 1−x (2n)! n √ 1 − x2 dxn
2n−1 , îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó ñ âåñîì ρ(x) = √ ïðîñòðàíñòâå L2 [−1; 1]:  1 â 1 − x2 T0(x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x, T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1, . . . , Tk+1 = 2xTk (x) − Tk−1(x) 1.2 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà [a, b] ê íåé ðÿäà ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå ôóíêöèé {ϕk (x)}k∈N ò. å. f (x) = c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + . . . + cnϕn(x) + . . . = ∞ X ck ϕk (x). k=1 Ò. ê. ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, òî åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü â ïðåäåëàõ îò a äî b. äîìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà íà ϕ1 (x) è ïðîèíòåãðèðóåì: Zb f (x) · ϕ1(x)dx = a Zb X ∞ a k=1 ck ϕk (x) · ϕ1(x)dx. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå  ðåçóëüòàòå ñ ó÷¼òîì îðòîãîíàëüíîñòè {ϕk (x)}k∈N èìååì: Rb c1 = f (x) · ϕ1(x)dx a Rb = ϕ21(x)dx (f, ϕ1) . kϕ1k2 a Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì: ck = (f, ϕk ) . kϕk k2 Îïðåäåëåíèå 8. Îáîáù¼ííûì ðÿäîì Ôóðüå ôóíêöèè f (x) ∈ L2[a, b] ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå ôóíêöèé {ϕk (x)}k∈N íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä: f (x) = c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + . . . + cnϕn(x) + . . . = ∞ X ck ϕk (x) (1) k=1 êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå: ck = (f, ϕk ) . kϕk k2 (2) Ôîðìàëüíî ñîñòàâëåííûé äëÿ ôóíêöèè f (x) ðÿä Ôóðüå ïî ëþáîé çàäàííîé îðòîãîíàëüíîé íà îòðåçêå [a, b] ñèñòåìå ôóíêöèé ìîæåò ðàñõîäèòüñÿ íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê îòðåçêà [a, b] èëè ñõîäèòüñÿ, íî íå ê ôóíêöèè f (x). Î ñõîäèìîñòè ðÿäà ∞ P ck ϕk (x) ê ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] k=1 ìîæíî ãîâîðèòü â òîì ñìûñëå, ÷òî Zb |f (x) − Sn(x)|dx → 0 ïðè n → ∞, a çäåñü: Sn (x) = n P k=1 ck ϕk (x)  ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ýòî óñëîâèå ãåîìåòðè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè y = f (x) è y = Sn (x) ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n → ∞. Îäíàêî ïî ðÿäó ïðè÷èí âìåñòî èíòåãðàëà îò ìîäóëÿ ðàçíîñòè |f (x) − Sn(x)| ïðåäïî÷èòàþò ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàë îò êâàäðàòà ýòîé ðàçíîñòè. Ðÿä Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (x) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ê ýòîé ôóíêöèè â ñðåäíåì íà îòðåçêå [a, b], åñëè: Zb (f (x) − Sn(x))2 dx → 0 ïðè n → ∞. a Îïðåäåëåíèå 9. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé îøèáêîé O2n íà- çîâ¼ì âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ ðàâåíñòâîì: O2n = Zb (f (x) − Sn(x))2 dx, a ãäå: Sn (x) = n P ck ϕk (x)  ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà. k=1 Òåîðåìà 1 (Òåîðåìà Ïàðñåâàëÿ). Ïóñòü O2n = Zb a (f (x) − Sn(x))2 dx =k f (x) − Sn(x) k2, 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ãäå: Sn (x) = n P ck ϕk (x)  ÷àñòè÷íàÿ ñóììà íåêîòîðîãî ðÿäà. k=1 Òîãäà äîñòèãàåò ìèíèìóìà â ñëó÷àå ðÿäà Ôóðüå, òî åñòü êîãäà êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå (2). O2n Èç òåîðåìû Ïàðñåâàëÿ âîçíèêàåò òîæäåñòâî Áåññåëÿ k f (x) − n X ck ϕk (x) k2=k f (x) k2 − k=1 n X c2k · k ϕk (x) k2, (3) k=1 êîòîðîå ïîçâîëÿåò çàïèñàòü: 1) ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ O2n ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå: O2n 2 =k f (x) k − n X c2k · k ϕk (x) k2, (4) k=1 2) íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ : k f (x) k2≥ n X c2k · k ϕk (x) k2 . (5) k=1  ñëó÷àå êîãäà êîýôôèöèåíòû ck âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî 2 k f (x) k = ∞ X c2k · k ϕk (x) k2, (6) k=1 íàçûâàåìîå ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ. Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû ôóíêöèé {ϕk (x)} ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ïðèíèìàåò áîëåå ïðîñòîé âèä: k f (x) k2= ∞ X k=1 c2k . ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Îïðåäåëåíèå 10. Èíòåãðàë Zb E= f 2(x)dx =k f (x) k2L2 , a â ðàäèîòåõíèêå íàçûâàþò ýíåðãèåé ñèãíàëà. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (6) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ýíåðãèþ â âèäå: E= ∞ X c2k · k ϕk (x) k2 . k=1 Îïðåäåëåíèå 11. Îòíîøåíèå 1 E = b−a b−a Zb f 2(x)dx a íàçûâàþò ñðåäíåé íà [a, b] ìîùíîñòüþ ñèãíàëà f (x). 1.3 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå Ñðåäè îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì ôóíêöèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì âûäåëÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ëþáîé ïåðèîäè÷åñêèé ïðîöåññ (êîëåáàíèå) ðàçëîæèòü â ñóììó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Îïðåäåëåíèå 12. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì Ôóðüå ïåðèîäè- ÷åñêîé ôóíêöèè f (x) ñ ïåðèîäîì 2π , îïðåäåëåííîé íà ïðîìåæóòêå [−π, π] íàçûâàåòñÿ ðÿä ∞ a0 X + (an cos nx + bn sin nx), 2 n=1 ãäå an = 1 π Zπ −π f (x) cos nxdx, (n = 0, 1, 2, . . .), (7) 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå bn = 1 π Zπ ÍÃÒÓ f (x) sin nxdx, (n = 1, 2, . . .). −π an, bn íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà Ôóðüå. Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, òî åãî ñóììà S(x) åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì 2π , ò.å. S(x + 2π) = S(x). Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèìåíåíèÿ ðÿäîâ Ôóðüå âàæíî íàéòè óñëîâèÿ, êîòîðûå áû ãàðàíòèðîâàëè ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå íå òîëüêî â ñðåäíåì, íî è ïîòî÷å÷íî, à âîçìîæíî è ðàâíîìåðíî. Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå. Òåîðåìà 2 (Òåîðåìà Äèðèõëå). Åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (x) ñ ïåðèîäîì T = 2π óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óñëîâèé: 1) êóñî÷íî-ãëàäêàÿ, 2) êóñî÷íî-ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åíà, òî ðÿä Ôóðüå, ïîñòðîåííûé äëÿ ýòîé ôóíêöèè, ñõîäèòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ. Ñóììà ïîëó÷åííîãî ðÿäà S(x) ðàâíà çíà÷åíèþ ôóíêöèè f (x) â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè.  òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) ñóììà ðÿäà ðàâíà ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðåäåëîâ ôóíêöèè f (x) ñïðàâà è ñëåâà, ò.å.   f (x), x 6= x0, S(x) = f (x0 − 0) + f (x0 + 0)  , x = x0 , 2 ãäå x0  òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f (x). Çäåñü èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå 13. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ìîíîòîí- íîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè ýòîò îòðåçîê ìîæíî ðàçáèòü êîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê x1 , x2 , . . . , xn−1 íà èíòåðâàëû (a, x1 ), ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (x1, x2),. . . , (xn−1, b) òàê, ÷òî íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ ôóíêöèÿ ìîíîòîííà, ò.å. ëèáî íå âîçðàñòàåò ëèáî íå óáûâàåò. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-ìîíîòîííàÿ è îãðàíè÷åíà íà [a, b], òî f (x) èìååò ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà. Îïðåäåëåíèå 14. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè íà êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå îíà è å¼ ïðîèçâîäíàÿ èìåþò íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ðàçðûâà, è ïðèòîì ëèøü 1-ãî ðîäà. Çàìå÷àíèå. Åñëè íåïåðèîäè÷åñêàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà ëèøü â èíòåðâàëå (−π, π), å¼ òîæå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå. Ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, íî ê ôóíêöèè f (x) òîëüêî â òåõ òî÷êàõ èíòåðâàëà (−π, π), â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà. Ñóììîé ðÿäà áóäåò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) íà âñþ îñü Ox. À â òî÷êàõ ðàçðûâà ñóììà ðÿäà áóäåò ðàâíà ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðàâîãî è ëåâîãî ïðåäåëîâ ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ äàííîé ôóíêöèè. Çàìå÷àíèå. Ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â èíòåðâàëå (0, π), ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé ëèáî òîëüêî â ðÿä êîñèíóñîâ, ëèáî òîëüêî â ðÿä ñèíóñîâ. Äëÿ ýòîãî îíà äîëæíà áûòü ïðîäîëæåíà â èíòåðâàëå (−π, 0) ëèáî êàê ÷¼òíàÿ, ëèáî êàê íå÷¼òíàÿ. Çàìå÷àíèå. Ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â èíòåðâàëå (0, π), ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñïîñîáîâ, ñìîòðÿ ïî òîìó, êàê ïîñòðîåíî ïðîäîëæåíèå â èíòåðâàëå (−π, 0). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà íà ñåãìåíòå [−L, L], ãäå L  ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, òî ïðè âûïîëíåíèè íà ýòîì ñåãìåíòå óñëîâèé Äèðèõëå óêàçàííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñóììû ðÿäà Ôóðüå: ∞ a0 X  nπx nπx  + an cos + bn sin , 2 L L n=1 ãäå an = 1 L ZL f (x) cos (8) nπx dx, (n = 0, 1, 2, . . .), L −L bn = ZL 1 L f (x) sin nπx dx, (n = 1, 2, . . .). L −L  ñëó÷àå, êîãäà f (x)  ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, å¼ ðÿä Ôóðüå ñîäåðæèò òîëüêî ñâîáîäíûé ÷ëåí a0 è êîñèíóñû, ò. å. ∞ a0 X nπx + an cos , 2 L n=1 ãäå an = 2 L ZL f (x) cos (9) nπx dx, (n = 0, 1, 2, . . .). L  ñëó÷àå, êîãäà f (x)  íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, å¼ ðÿä Ôóðüå ñîäåðæèò òîëüêî ñèíóñû, ò. å. ∞ X bn sin n=1 ãäå bn = 2 L ZL f (x) sin nπx , L (10) nπx dx, (n = 1, 2, . . .). L  ñëó÷àå, êîãäà f (x) çàäàíà íà ïðîèçâîëüíîì èíòåðâàëå (a, b), b−a , çàäàäèì êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ôóíê2 öèè íà îäíîì èç êîíöîâ èíòåðâàëà (íàïðèìåð, ïðè x = b) è ïðîäîëæèì äàííóþ ôóíêöèþ ïåðèîäè÷åñêè, ñ ïåðèîäîì T = 2L íà òîãäà îáîçíà÷èì L = ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âñþ ÷èñëîâóþ îñü. Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå. Êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: an = 1 L Zb f (x) cos nπx dx, (n = 0, 1, 2, . . .), L a 1 bn = L Zb f (x) sin nπx dx, (n = 1, 2, . . .). L a òîãäà ðÿä Ôóðüå ïðèíèìàåò âèä ∞ a0 X  nπx nπx  an cos + + bn sin . 2 L L n=1 (11) Åñëè ðàññìàòðèâàòü f (t) êàê T -ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñ ïåðèîäîì T = 2L, ââåñòè îáîçíà÷åíèå ω = 2π , ó÷åñòü, ÷òî äëÿ T T -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ZT Zc+T f (t)dt, ∀c ∈ R, f (t)dt = c ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ ôîðìó ðÿäà Ôóðüå: ∞ a0 X (an cos nωt + bn sin nωt) = f (t) ∼ + 2 n=1 ∞ ∞ a0 X a0 X = An cos(nωt − ϕn) = An sin(nωt + ψn), + + 2 2 n=1 n=1 ãäå An = p ψn = arctg a2n + b2n  àìïëèòóäà, nω  ÷àñòîòà, ϕn = arctg an  ñäâèãè ïî ôàçå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãàðìîíèê. bn bn , an 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Çàìå÷àíèå. T -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (ñèãíàë) f (t) ïîëíî- ñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ñïåêòðàìè: àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ)  íàáîðîì {An }n∈N è ôàçî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (Ô×Õ)  íàáîðîì {ϕn }n∈N .  òåõíè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íàçûâàþò ñïåêòðàëüíûì ãàðìîíè÷åñêèì àíàëèçîì. Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà ðÿäà Ôóðüå ∞ a0 P + (an cos nx + bn sin nx). ÏðåîáÐàññìîòðèì ðÿä Ôóðüå: 2 n=1 ðàçóåì îáùèé ÷ëåí ýòîãî ðÿäà ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà: einx + e−inx einx − e−inx an cos nx + bn sin nx = an + bn = 2 2i einx + e−inx einx − e−inx = an − ibn = 2 2 an − ibn inx an + ibn −inx e + e = cneinx + c−ne−inx, = 2 2 an + ibn an − ibn , c−n = . ãäå cn = 2 a 2 ïîëó÷àåì äëÿ ðÿäà Ôóðüå: Ïîëàãàÿ c0 = 2 ∞ ∞ ∞ X X a0 X inx −inx cne +c−ne = cneinx. + (an cos nx+bn sin nx) = c0+ 2 n=1 −∞ n=1 Íàéä¼ì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ cn :  cn = an − ibn 1  1 = 2 2 π Zπ f (x) cos nxdx − i 1 π −π = 1 2π Zπ f (x)(cos nx − i sin nx)dx = −π  Zπ f (x) sin nxdx = −π 1 2π Zπ −π f (x)e−inxdx. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå  ðåçóëüòàòå  êîìïëåêñíàÿ ôîðìà ðÿäà Ôóðüå : f (x) = ∞ X cneinx, cn = −∞ Zπ 1 2π f (x)e−inxdx. (12) −π Ïðèâåä¼ì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ f (t), çàäàííàÿ íà îòðåçêå [−π, π], íåïðåðûâíà íà ýòîì ïðîìåæóòêå, èìååò â í¼ì îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå è, êðîìå òîãî, f (−π) = f (π), òî å¼ ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ íà âñ¼ì ïðîìåæóòêå ðàâíîìåðíî. Ïîä ôóíêöèåé îãðàíè÷åííîãî èçìåíåíèÿ (âàðèàöèè) íà îòðåçêå [a, b] ïîíèìàåòñÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî A > 0, ÷òî îòðåçêà [a, b] n P |f (tk )−f (tk−1| ≤ A < ∞ äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ k=1 a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b ïðè ëþáîì, ñêîëü óãîäíî áîëüøîì n.  ÷àñòíîñòè, òàêèìè áóäóò êóñî÷íî-ìîíîòîííûå è îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè (óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ Äèðèõëå î ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè). Êðîìå ýòîãî èç òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò. Òåîðåìà 4. Åñëè ñõîäèòñÿ ÷èñëîâîé ðÿä ãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä ∞ P ∞ P (|an|+|bn|), òî òðè- n=1 (an cos nx + bn sin nx) ñõîäèòñÿ àáñî- n=1 ëþòíî è ðàâíîìåðíî íà âñåé îñè Ox. Äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ðÿäîâ Ôóðüå âàæíû âîïðîñû ïî÷ëåííîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè, èíòåãðèðóåìîñòè è ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Îïðåäåëåíèå 15. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî èíòå- ãðèðóåìîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè ñóùåñòâóþò îáà èíòåãðàëà: Zb f (x)dx, è a Zb |f (x)|dx. a Òåîðåìà 5. Åñëè ôóíêöèÿ f (t) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà [−L, L], òî èíòåãðàë îò íå¼ ïîëó÷àåòñÿ ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì ðÿäà Ôóðüå, òî åñòü äëÿ ëþáûõ t1 , t2 òàêèõ, ÷òî −L ≤ t1 < t2 ≤ L, ñïðàâåäëèâî: Zt2 Zt2 f (t)dt = t1 t1 t  ∞ Z2  X nπt nπt a0 dt + an cos + bn sin dt. 2 L L n=1 t1 Òåîðåìà 6. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíà íà [−L, L], óäî- âëåòâîðÿåò óñëîâèþ f (−L) = f (L) è èìååò, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ïðîèçâîäíóþ f 0 (t). Ïóñòü f 0(t) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà íà [−L, L]. Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ ïðîèçâîäíîé f 0 (t) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f (t) ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Ñõîäèìîñòü ýòîãî ðÿäà ê f 0 (t) íåîáõîäèìî óñòàíàâëèâàòü îòäåëüíî, ïîëüçóÿñü êàêèìè-ëèáî äîñòàòî÷íûìè ïðèçíàêàìè. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äà¼ò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè. Òåîðåìà 7. Åñëè êîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ∞ P (an cos nx + bn sin nx) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì n=1 β , |b | ≤ , n np+k np+k ãäå k  íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p > 1, α è β  ëþáûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ýòîò ðÿä ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü â ëþáîé òî÷êå x íå ìåíåå k ðàç. |an| ≤ α ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Òåîðåìà 8. Åñëè T -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíà âìå- ñòè ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äî (m − 1)-ãî ïîðÿäêà, à å¼ ïðîèçâîäíàÿ m-ãî ïîðÿäêà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå, òî ïî1 ðÿäîê óáûâàíèÿ |an |, |bn | íå íèæå ÷åì m+1 , ò. å. ñóùåñòâóåò n C > 0, òàêîå, ÷òî |an| ≤ C C , |b | ≤ , n ∈ N. n nm+1 nm+1 Åñëè æå ïðè ýòîì ïðîèçâîäíàÿ ïîðÿäêà m ðàçðûâíà, òî ïî1 ðÿäîê óáûâàíèÿ |an |, |bn | íå âûøå ÷åì m+1 , ò. å. n     C C an = O , bn = O . nm+1 nm+1 . Ïóñòü f (x) è g(x) äâå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0, ïðè÷åì â ýòîé îêðåñòíîñòè g íå îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ãîâîðÿò, ÷òî: f ÿâëÿåòñÿ ¾O¿ áîëüøèì îò g ïðè x → x0 , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |f (x)| 6 C|g(x)|; f ÿâëÿåòñÿ ¾î¿ ìàëûì îò g ïðè x → x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü Ux òî÷êè x0, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ Ux èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |f (x)| < ε|g(x)|. Èíà÷å ãîâîðÿ, â ïåðâîì ñëó÷àå îòíîøåíèå |f|g|| ≤ C â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 (òî åñòü îãðàíè÷åíî ñâåðõó), à âî âòîðîì îíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → x0. Îáû÷íî âûðàæåíèå ¾f ÿâëÿåòñÿ O áîëüøèì (o ìàëûì) îò g¿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà f (x) = O(g(x)) (ñîîòâåòñòâåííî, f (x) = o(g(x))). Çàìå÷àíèå Ïóñòü ðÿä Ôóðüå T -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè èìååò âèä: ∞ a0 X f (t) = + An cos(nωt − ϕn), 2 n=1 ãäå An = p a2n + b2n  àìïëèòóäà, nω  ÷àñòîòà, ϕn = arctg bn  an ñäâèã ïî ôàçå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãàðìîíèê. Òîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òîæäåñòâà Áåññåëÿ (3) èìååò âèä: k f (t) k2 − n X ZT ck k ϕk (t) k2= k=1 n 2 X T a f 2(t)dt − 0 T − A2k . 4 2 k=1 Îòíîñèòåëüíàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà O2n O2n = ìîæåò T áûòü çàïèñàíà ÷åðåç àìïëèòóäó îòäåëüíûõ ãàðìîíèê: 1 O2n = T ZT n a20 1 X 2 2 f (t)dt − − Ak . 4 2 k=1 Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (6) èìååò âèä: ZT n TX 2 a20 Ak . f (t)dt − T = 4 2 2 k=1 Ýíåðãèÿ îòäåëüíîé ãàðìîíèêè Ak cos(kωt − ϕk ) çà âðåìÿ T : ZT Ek = A2k cos2(kωt−ϕk )dt = A2k ZT 2 T (1+cos(2(kωt−ϕk ))dt = A2k , 2 òîãäà ýíåðãèÿ ñïåêòðà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå: ∞ TX 2 E= Ak . 2 k=1 Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ýíåðãèþ ñïåêòðà çàïèøåì â âèäå: ZT E= a20 f (t)dt − T. 4 2 Îöåíèòü äîëþ k -é ãàðìîíèêè â îáùåé ýíåðãèè ñïåêòðà ìîæíî ïî ôîðìóëå Ek Ek = = T R E A2k · T2 f 2(t)dt − a20 4 = T A2k 2 RT 2 a20 · f (t)dt − T 0 2 . ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ïðèìåðû 1. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) = (2; 6). x + 2 â ðÿä Ôóðüå â èíòåðâàëå 2 Ðèñ. 1. Ôóíêöèÿ f (x) = x2 + 2 Äàííàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ. 1) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ìîíîòîííîé è íåïðåðûâíîé â çàäàííîì èíòåðâàëå. Äîîïðåäåëèì å¼ f (6) = 5 è ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f (x), çàäàííóþ äëÿ x ∈ (2, 6] ïåðèîäè÷åñêè, ñ ïåðèîäîì T = 4 íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü. Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå. Êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (12), ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 6−2 1 = 2, a0 = L= 2 L Z6   x + 2 dx = 8. 2 2 1 an = L Z6  2  x nπx + 2 cos dx = 0, (n = 1, 2, . . .), 2 L 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1 bn = L Z6   x nπx 2 + 2 sin dx = (−1)n+1, (n = 1, 2, . . .). 2 L πn 2  ðåçóëüòàòå ðÿä Ôóðüå äëÿ äàííîé ôóíêöèè èìååò âèä: ∞ X nπx 2 S(x) = 4 + (−1)n+1 sin . πn 2 n=1 Ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, íî ê ôóíêöèè f (x) òîëüêî â òî÷êàõ x ∈ (2; 6). Ñóììîé ðÿäà S(x) áóäåò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) íà âñþ îñü Ox (ðèñ. 2). À â òî÷êàõ ðàçðûâà ñóììà ðÿäà S(x0) = (f (x0 −0)+f (x0 +0))/2 = 4, ãäå x0 = 2±4n, n ∈ N  òî÷êè ðàçðûâà ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ôóíêöèè f (x) íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü. Ðèñ. 2. Ôóíêöèÿ S(x) 2. Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) =  π, −π < x < 0 â ðÿä Ôóπ − x, 0 ≤ x < π ðüå â èíòåðâàëå (−π; π). Äàííàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ. 3a) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé â èíòåðâàëå (−π, π), à å¼ ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ïðè äîïîë- ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ðèñ. 3. íèòåëüíîì óñëîâèè f ((2k − 1)π) = π, k ∈ Z , óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå. Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå: a0 = 1 π Zπ f (x)dx = 1 π −π 1 an = π Z0 1 bn = π πdx + −π 1 π cos nxdx + π −π Z0 Zπ 1 π Zπ (π − x)dx = 3π ; 2 (−1)n+1 + 1 (π − x) cos nxdx = ; πn2 Z0 −π 1 π sin nxdx + π Zπ (−1)n . (π − x) sin nxdx = n Ïîäñòàâèì íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â ôîðìóëó (7). Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ äàííîé ôóíêöèè èìååò âèä:  ∞  3π X (−1)n+1 + 1 (−1)n S(x) = + cos nx + sin nx . 2 4 πn n n=1 Ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò ñõîäèòüñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, íî ê ôóíêöèè f (x) òîëüêî â òî÷êàõ x ∈ (−π, π). Ñóììîé ðÿäà S(x) áóäåò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) íà âñþ îñü Ox (ðèñ. 3b). À â òî÷êàõ ðàçðûâà ñóììà ðÿäà 1 π+0 π = , ãäå x0 = π ±2πn S(x0) = (f (x0 −0)+f (x0 +0)) = 2 2 2 (n = 0, 1, 2, . . .)  òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x). 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 3. Ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèþ f (x) ñ ïåðèîäîì 2π , åñëè f (x) = x â èíòåðâàëå (0, π), ïðîäîëæèâ å¼ íà èíòåðâàëå (−π, 0] ÷åòíûì èëè íå÷åòíûì îáðàçîì. Ðèñ. 4. Íàéä¼ì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè (ðèñ. 4a ) â ðÿä Ôóðüå äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîäîëæåíèé èñõîäíîé ôóíêöèè. (a) Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ íà èíòåðâàëå x ∈ (−π, 0] êàê f (x) = −x. Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò ÷¼òíîé. Ïðîäîëæèì å¼ ïåðèîäè÷åñêè, ñ ïåðèîäîì T = 2L = 2π íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó (9). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîëó÷åííîé ÷¼òíîé ôóíêöèè bn = 0, n ≥ 1, a0 = 2 π Zπ xdx = π; an = 2 π Zπ x cos nxdx = 2 ((−1)n − 1) . 2 πn Îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòû ñ íå÷¼òíûìè èíäåêñàìè a2n−1 = − 4 . Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ äàíπ(2n − 1)2 ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íîé ôóíêöèè èìååò âèä: ∞ 1 π 4X cos(2n − 1)x. S(x) = − 2 π n=1 π(2n − 1)2 Ðàâåíñòâî f (x) = S(x) èìååò ìåñòî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x ∈ (0, π), îäíàêî ðÿä, ñòîÿùèé ñïðàâà, ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x. Ñóììîé ðÿäà S(x) áóäåò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) íà âñþ îñü Ox (ðèñ. 4b ). (b) Àíàëîãè÷íî êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå ñòðîèì íå÷åòíîå, 2π -ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå èñõîäíîé ôóíêöèè. Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ f (x) = x íà èíòåðâàëå (−π, 0]. Ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû f (π + 2πn) = 0. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó (10). Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå: an = 0, n ≥ 0, bn = 2 π Zπ x sin nxdx = 2 (−1)n+1. n Òîãäà ðÿä Ôóðüå äëÿ äàííîé ôóíêöèè èìååò âèä: S(x) = 2 ∞ X (−1)n+1 n=1 n sin nx. Äëÿ íàéäåííîãî ðàçëîæåíèÿ S(x) = f (x) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x ∈ (0, π), îäíàêî ðÿä, ñòîÿùèé ñïðàâà, ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x. Ñóììîé ðÿäà áóäåò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) íà âñþ îñü Ox (ðèñ. 4c ). À â òî÷êàõ ðàçðûâà ñóììà ðÿäà π−π 1 = 0, S(x0) = (f (x0 − 0) + f (x0 + 0)) = 2 2 ãäå x0 = π + 2πn, n ∈ Z  òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x). 4. Ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèþ: f (x) = sin2 x. sin2 x = 1 + cos 2x 1 1 = + cos 2x. 2 2 2 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëè êîñèíóñ-ðÿä Ôóðüå: bn = 0, n ∈ N , 1 a0 = 1, a1 = 0, a2 = , ïðè n > 2 an = 0. 2 5. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = x â èíòåðâàëå (−2; 2) â ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå. T = 2l, l = 2, n = 0, c0 = 0. 1 cn = 2l Zl 1 f (x)e−inπx/l dx = 4 Z2 xe−inπx/2dx = (−1)n+1 2i . nπ −2 −l  ðåçóëüòàòå: ∞ X 2i S(x) = (−1)n+1 einπx/2. nπ −∞ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñïåêòðàëüíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ñ ïîìîùüþ Mathcad. Äëÿ ôóíêöèè, çàäàííîé íà èíòåðâàëå (0, 2):  f (x) = x, 0 < x ≤ 1 1, 1 < x < 2 1. Îáîñíîâàòü âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå, óñòàíîâèòü âèä ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå â f (x). 2. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå. 3. Íàéòè àìïëèòóäíûé è ôàçîâûé ñïåêòðû ôóíêöèè. 4. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ãàðìîíèê ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå, ñîäåðæàùèõ â ñóììå íå ìåíåå 90% ýíåðãèè. 5. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿäà âçÿâ ÷èñëî ãàðìîíèê, îïðåäåë¼ííûõ â ï. 5. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1. Îáîñíîâàòü âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå, óñòàíîâèòü âèä ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå â f (x). Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ íóë¼ì ïðè x = 0 è ïðîäîëæèì å¼ ïåðèîäè÷åñêè, ñ ïåðèîäîì T = 2L = 2 íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå.  òî÷êàõ x = 2k, k ∈ Z ôóíêöèÿ èìååò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà, ñõîäèìîñòü ðÿäà áóäåò ïîòî÷å÷íàÿ (ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íåò). Ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè áóäåò èìåòü âèä: ∞ a0 X  nπx  nπx + + bn sin an cos , 2 L L n=1 êîýôôèöèåíòû ðÿäà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: an = 1 L Z2 f (x) cos nπx dx, (n = 0, 1, 2, . . .), L bn = 1 L Z2 f (x) sin nπx dx, (n = 1, 2, . . .). L 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÍÃÒÓ Çàäàíèå ôóíêöèè â Mathcad è å¼ ãðàôèê 2. Êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå ïðè k = 1, 12. 3. Íàéòè àìïëèòóäíûé è ôàçîâûé ñïåêòðû ôóíêöèè. 4. Âû÷èñëèì â Mathcad ýíåðãèþ îòäåëüíûõ ãàðìîíèê è ÷èñëî ãàðìîíèê ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå, ñîäåðæàùèõ â ñóììå íå ìåíåå 90% ýíåðãèè. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Èç ðàñ÷¼òîâ âèäíî, ÷òî ïåðâûå ïÿòü ãàðìîíèê â ñóììå äàþò 91, 17% ýíåðãèè. 5. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ  ÷àñòè÷íóþ ñóììó ðÿäà è ïîñòðîèì å¼ ãðàôèê. 1.3.1 Ýôôåêò Ãèááñà Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüå äëÿ ôóíêöèé, èìåþùèõ ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà. 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÍÃÒÓ Ïðèìåð 1. Îöåíèòü âêëàä ïåðâûõ òð¼õ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ ãàðìîíèê, äëÿ ôóíêöèè f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1], T = 2. Ðÿä Ôóðüå äëÿ ýòîé ôóíêöèè: 1 4 f (x) ∼ − 2 2 π   cos(3πx) cos((2n − 1)πx) cos(πx) + + ... + + ... . 9 (2n − 1)2 Ïîëó÷åííûé ðÿä îáåñïå÷èâàåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ê f (x). Âêëàä ïåðâûõ òð¼õ ãàðìîíèê: E1 = 98, 55%, E2 = 1, 22%, E3 = 0, 16%, E1 + E2 + E3 = 99, 93%. Îòêëîíåíèå ãðàôèêà ÷àñòè÷íîé ñóììû S3 (x) îò ãðàôèêà f (x) íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîé äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíû íà âñ¼ì ïðîìåæóòêå çàäàíèÿ è îòêëîíåíèÿ çàìåòíû òîëüêî âáëèçè òî÷åê x = 0 è x = ±1 . Ïðèìåð 2. Îöåíèòü äîëþ ïåðâûõ òð¼õ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ ãàðìîíèê, äëÿ ôóíêöèè ïåðèîäà T = 2π , çàäàííîé êàê  f (x) = 1, 0 < x ≤ π −1, π < x ≤ 2π. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ðÿä Ôóðüå äëÿ ýòîé ôóíêöèè: 4 f (x) ∼ π   sin(3x) sin(5x) sin((2n − 1)x) sin(x) + + + ... + + ... . 3 5 (2n − 1) Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ê f (x) ïîòî÷å÷íî, ïîñêîëüêó óäîâëåòâîðÿåò íà îòðåçêå [0, 2π] óñëîâèÿì Äèðèõëå è êîýôôèöèåíòû bk = O(1/k). Äîëÿ ïåðâûõ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ, òð¼õ ãàðìîíèê â îáùåé ýíåðãèè ñïåêòðà: E1 = 81, 06%, E2 = 9, 01%, E3 = 3, 24%. Ñóììàðíàÿ äîëÿ ïåðâûõ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ, òð¼õ ãàðìîíèê â îáùåé ýíåðãèè ñïåêòðà: E1 + E2 + E3 = 93, 31%. Ãðàôèê ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿäà Ôóðüå   S3(x) = 4 π sin(x) + sin(3x) sin(5x) + . 3 5 Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû ýòèõ äâóõ ïðèìåðîâ, âèäèì, ÷òî ïåðâûå òðè îòëè÷íûå îò íóëÿ ãàðìîíèêè â ïåðâîì ïðèìåðå îïèñûâàþò ôóíêöèþ ëó÷øå, ÷åì âî âòîðîì. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Èññëåäóåì ÷àñòè÷íóþ ñóììó 4 Sn(x) = π   sin(3x) sin(5x) sin((2n − 1)x) sin(x) + + + ... + . 3 5 (2n − 1) Íàéä¼ì òî÷êè ýêñòðåìóìà ýòîé ôóíêöèè. Sn0 (x) = 4 (cos(x) + cos(3x) + cos(5x) + . . . + cos((2n − 1)x)) . π Èñïîëüçóåì ôîðìóëó: S = cos(a) + cos(a + d) + cos(a + 2d) + . . . + cos(a + (n − 1)d) =   sin nd (n − 1)d 2 = cos a + · . d 2 sin 2 Ïîëîæèâ â ýòîé ôîðìóëå a = x, d = 2x, ïîëó÷èì: Sn0 (x) = 4 sin nx 2 sin 2nx cos (nx) · = · , π sin x π sin x ñëåäîâàòåëüíî 2 Sn(x) = π Zx sin 2nt dt. sin t Ýêñòðåìóìû (ñòàöèîíàðíûå òî÷êè) ôóíêöèè Sn (x) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì Sn0 (x) = 0 èëè sin 2nx = 0, ïîýòîìó íà îòðåçêå [0, π/2] èìååì n ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê: kπ , k = 1, 2, . . . , n. 2n π Íàéä¼ì ïåðâûé ìàêñèìóì ïðè x1 = . 2n xk = Sn(x1) = 2 π π/2n Z sin 2nt 2 dt = sin t π Zπ sin y dy, 2n sin(y/2n) ãäå y = 2nt  íîâàÿ ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Ïóñòü òåïåðü n ñêîëü óãîäíî âåëèêî, òîãäà sin(y/2n) ∼ y/2n è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì: Sn(x1) = 2 π Zπ 2 sin y dy ≈ 2n sin(y/2n) π Zπ sin y dy = si π ≈ 1, 179. y Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå áîëüøå 1. Ýòîò ýôôåêò áûë çàìå÷åí Ä. Ãèáñîì 1 . Îí îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøîì n â ñëó÷àå ôóíêöèè ñ ðàçðûâàìè 1-ãî ðîäà Sn (x) ìîæåò íå óêëîíÿòüñÿ îò f (x) íà ñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå óêëîíåíèå ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 18%. Âîçíèêøèé ïðè k = 1 ìàêñèìóì îòêëîíåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì n, ëèøü òîëüêî òî÷êà, â êîòîðîé ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ, ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå ðàçðûâà. Ýòîò ýôôåêò ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îòñóòñòâèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè. Ãðàôèêè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà Ôóðüå ïðè n = 1, 3, 5, 15, èëëþñòðèðóþùèå ýôôåêò Ãèááñà. 1 Äæîçàéÿ Óèëëàðä Ãèááñ (àíãë. Josiah Willard Gibbs; 18391903)  àìåðèêàíñêèé ôèçèê, ôèçèêîõèìèê, ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, îäèí èç ñîçäàòåëåé âåêòîðíîãî àíàëèçà, ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè òåðìîäèíàìèêè. 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 1.4 Èíòåãðàë Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà â èíòåðâàëå è ÿâëÿåòñÿ â í¼ì êóñî÷íî-ãëàäêîé, òî îíà ðàçëîæèìà â ðÿä Ôóðüå. Ðàññìîòðèì êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ýòî ðàçëîæåíèå, åñëè èíòåðâàë (−L, L) áóäåò íåîãðàíè÷åíî ðàñøèðÿòüñÿ, ò. å. L → ∞. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà ïðè x ∈ R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì, îáåñïå÷èâàþùèì å¼ ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå, ïðè ýòîì ôóíêöèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà, òî åñòü Z∞ (13) |f (x)|dx −∞ Ðàçëîæåíèå ýòîé ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå íà îòðåçêå [−L, L]:  ∞  kπx kπx a0 X + ak cos + bk sin , f (x) = 2 L L k=1 ãäå ak = 1 L ZL f (x) cos kπx dx, (n = 0, 1, 2, . . .), L −L bk = 1 L ZL f (x) sin kπx dx, (n = 1, 2, . . .). L −L Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ak , bk â ðàçëîæåíèå, ïîëó÷èì: f (x) = 1 2L ZL f (t)dt+ −L + ∞ X k=1  1 L ZL f (t) cos −L kπx kπt 1 cos dt + L L L  ZL f (t) sin −L kπx kπt  sin dt = L L ÍÃÒÓ 1 = 1 2L Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ZL f (t)dt+ −L L   ∞ Z X 1 kπx kπt kπx kπt + f (t) cos cos + sin sin dt = L L L L L k=1 −L ZL 1 = 2L ∞ 1Xπ f (t)dt + π L k=1 −L ZL f (t) cos kπ (t − x)dt. L −L Ïåðåéä¼ì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè L → ∞. Ïåðâîå ñëàãàåìîå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ â ñèëó (13). Âòîðîå ñëàãàåìîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èíòåãðàëüíóþ ñóììó, ðàñïðîñòðàí¼ííóþ íà kπ π ïðîìåæóòîê (0, ∞) ïðè ωk = è ∆ω = . Òàêèì îáðàçîì L L ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà èìååì: f (x) = 1 π Z∞ f (x) = 1 π Z∞  f (t) cos ω(t − x)dt dω (14) (a(ω) cos ωt + b(ω) sin ωt) dω, (15)  èëè  −∞ Z∞ ãäå a(ω) = 1 π Z∞ f (t) cos ωtdt, b(ω) = −∞ Z∞ 1 π f (t) sin ωtdt. (16) −∞ Ðàâåíñòâî (15)  èíòåãðàë Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (x), (14)  äâîéíîé èíòåãðàë Ôóðüå. Ñîîòíîøåíèÿ (14), (15) èìåþò ìåñòî äëÿ âñÿêîé òî÷êè x, â êîòîðîé ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà, â êàæäîé òî÷êå xm ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû, ñòîÿùèå â ïðàâûõ 1 2 ÷àñòÿõ ýòèõ ôîðìóë ñõîäÿòñÿ ê ÷èñëó (f (xm − 0) + f (xm + 0)). 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà èíòåãðàëà Ôóðüå  ïðåäñòàâëåíèè (14) âíóòðåííÿÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé îòíîñèòåëüíî ω , ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü: f (x) = 1 2π Z∞ Z∞ f (t) cos ω(t − x)dt. dω −∞ (17) −∞ Èç àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f (x) (13) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà: Z∞ f (t) sin ω(t − x)dt, −∞ êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî ω . Ñëåäîâàòåëüíî 1 2π Z∞ Z∞ f (t) sin ω(t − x)dt = 0. dω −∞ (18) −∞ Åñëè ñëîæèòü (17) ñ èíòåãðàëîì (18), óìíîæåííîì íà −i, òî â ñèëó ôîðìóëû Ýéëåðà cos z − i sin z = e−iz ïîëó÷èì: 1 f (x) = 2π Z∞ Z∞ dω −∞ f (t)e−iω(t−x)dt. (19) −∞ Èíòåãðàë Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå ìîæíî çàïèñàòü â äðóãîì âèäå: Z∞ F (ω) = f (t)e−iωtdt. (20) −∞ f (x) = 1 2π Z∞ −∞ F (ω)eiωxdω. (21) ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Îïðåäåëåíèå 16. Ñîîòâåòñòâèå f (x) → F (ω), çàäàâàåìîå ôîð- ìóëîé íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè f (x). Ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ïî ôîðìóëå (21) íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Çàìå÷àíèå. Èíîãäà äëÿ äîñòèæåíèÿ á
îëüøåé ñèììåòðèè ïðÿ- ìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1 F (ω) = √ 2π Z∞ −∞ 1 f (t)e−iωtdt, f (x) = √ 2π Z∞ F (ω)eiωxdω. −∞ Çàìå÷àíèå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáëàäàåò ìíîãèìè ñâîé- ñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè îïåðàòîðó Ëàïëàñà L[f (t)] = R∞ f (t)e−ptdt è åãî òàêæå ìîæíî áûëî áû èñïîëüçîâàòü â îïåðàöèîííîì èñ÷èñëåíèè. Ïðè÷èíà èñïîëüçîâàíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òîì, ÷òî êëàññ ôóíêöèé, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ó
æå îðèãèíàëîâ. Îäíàêî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñ óñïåõîì ïðèìåíÿåòñÿ â ñïåêòðàëüíîì àíàëèçå ñèãíàëîâ, ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 1.4.1 Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç Ñïåêòð  åñòü ñòàòèñòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, âûðàæàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç âðåìåííûõ èëè ïðîñòðàíñòâåííûõ ôóíêöèé ïðè ïîìîùè îïðåäåë¼ííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.  îáùåì ñëó÷àå ñïåêòð  êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ, âûðàæàåìàÿ ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè: F (ω) = a(ω) − ib(ω) = |F (ω)|eiΦ(ω), ãäå   p b(ω) + 2πn, n ∈ Z. |F (ω) = a2(ω) + b2(ω), Φ(ω) = arctg − a(ω) 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ÍÃÒÓ |F (ω)|  àìïëèòóäíûé ñïåêòð, Φ(ω)  ôàçîâûé ñïåêòð.  êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé îáû÷íî âûñòóïàåò ÷àñòîòà ω èëè ν , èëè âîëíîâîå ÷èñëî k . Ìîæíî ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ñïåêòðà íà äâå èëè áîëåå ïåðåìåííûõ. Ïðåèìóùåñòâî ñïåêòðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè èñïîëüçóþòñÿ â ÷àñòîòíîé îáëàñòè, ãäå íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ îáåñïå÷èâàåò íàä¼æíûé è îäíîçíà÷íûé êîíòðîëü ñðàâíåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàïèñåé, òàê êàê îíè ñðàâíèâàþòñÿ ïðè îäíèõ è òåõ æå çíà÷åíèÿõ ýòîãî ïàðàìåòðà. Áëàãîäàðÿ îðòîãîíàëüíîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîæèòåëü e−iωt äåéñòâóåò êàê îïåðàòîð, èçâëåêàþùèé èç f (t) òîëüêî êîìïîíåíòû ñ ÷àñòîòîé ω . Äðóãèìè ñëîâàìè, F (ω)  åñòü ñðåäíåå òåõ êîìïîíåíò ôóíêöèè f (t), êîòîðûå èìåþò ÷àñòîòû ω . Îñíîâíûå òåîðåìû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå 1. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ. Åñëè f1 (t) ↔ F1 (ω) è f2 (t) ↔ F2 (ω), òî α1 f1 (t) ± α2 f2 (t) ↔ α1 F1 (ω) ± α2 F2 (ω). 2. Òåîðåìà ñèììåòðèè. Åñëè f (t) ↔ F (ω), òî F (±t) ↔ 2πf (∓ω). 3. Òåîðåìà ïîäîáèÿ. Åñëè f (t) ↔ F (ω) è α  âåùåñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ, òî f (αt) ↔ 1 F (ω/α). α 4. Òåîðåìà î âðåìåííîì ñäâèãå. Åñëè f (t) ↔ F (ω), òî f (t ± α) ↔ e±iαω F (ω). 5. Òåîðåìà î ÷àñòîòíîì ñäâèãå. Åñëè f (t) ↔ F (ω), òî F (ω ± ω0 ) ↔ e∓iω0 t f (t). 6. Òåîðåìû ìîäóëÿöèè. 1 f (t) cos(ω0t) ↔ (F (ω + ω0) + F (ω − ω0)), 2 i f (t) sin(ω0t) ↔ (F (ω + ω0) + F (ω − ω0)). 2 ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå 7. Òåîðåìà î ïðîèçâîäíîé. Åñëè f (t) ↔ F (ω), òî f 0 (t) ↔ iω · F (ω) è F 0 (ω) ↔ it · f (t), f (n)(t) ↔ (iω)nF (ω) è F (n)(ω) ↔ (−it)n · f (t). 8. Òåîðåìà îá èíòåãðàëå. Åñëè f (t) ↔ F (ω), òî R∞ f (t)dt ↔ −∞ 1 F (ω). iω 9. Òåîðåìà î ñâ¼ðòêå. Z∞ f1(t) ∗ f2(t) = Z∞ f1(τ )f2(t − τ )dτ = −∞ f1(t − τ )f2(τ )dτ, −∞ Åñëè f1 (t) ↔ F1 (ω) è f2 (t) ↔ F2 (ω), òî f1 (t) · f2 (t) ↔ F1 (ω) ∗ F2 (ω) è f1 (t) ∗ f2 (t) ↔ F1 (ω) · F2 (ω), (f1(t) ∗ f2(t))0 = f10 (t) ∗ f2(t) = f1(t) ∗ f20 (t) ↔ iω · F1(ω) · F2(ω). Âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòè èñõîäíûõ äàííûõ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü òî÷íûé ñïåêòð ôóíêöèè. Äëèíà çàïèñè T îïðåäåëÿåò îñíîâíîé ïåðèîä èëè ñàìóþ íèçêóþ ÷àñòîòó ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè ∆t îïðåäåëÿåò ñàìóþ âûñîêóþ ðàçðåøèìóþ ÷àñòîòó. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ îäíîãî ïåðèîäà íåîáõîäèìî ïî ìåíüøåé ìåðå òðè îòñ÷¼òà (òðè òî÷êè), ò. å. äâà âðåìåííûõ èíòåðâàëà, ðàâíûõ 2∆t. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñàìûé êîðîòêèé ïåðèîä, êîòîðûé ìîæíî îáíàðóæèòü, ðàâåí 2∆t èëè íàèâûñøàÿ ðàçðåøèìàÿ ÷à- 1 . ×àñòîòíûé ïðåäåë âû÷èñëÿåìîãî ñïåêòðà íà2∆t çûâàþò ÷àñòîòîé ñâ¼ðòûâàíèÿ èëè ÷àñòîòîé Íàéêâèñòà. Äëÿ äèñêðåòíî çàäàííîé ôóíêöèè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ÄÏÔ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: ñòîòà ðàâíà F (n) = |F (n)|e iΦ(n) N 2πn 1 X = f (k)e−i N k , N (22) k=1 ãäå çàäàííûé âðåìåííîé ðÿä èìååò âèä f (1), f (2), . . . , f (N ), ò. å. ïðåäñòàâëåí N îòñ÷¼òàìè ÷åðåç ðàâíûå èíòåðâàëû. ×àñòîòà Íàé- 1 ÍÃÒÓ Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êâèñòà ðàâíà N/2. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèþ F (n) íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü òîëüêî äëÿ n = 1, 2, 3, . . . , N/2. Òàêèì îáðàçîì N çàäàííûõ âåëè÷èí ìîãóò îïðåäåëèòü òîëüêî N äðóãèõ âåëè÷èí an è bn , à â êàæäîé F (n) ñîäåðæèòñÿ äâå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû (àìïëèòóäà è ôàçà). Îáðàòíîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ÎÄÏÔ) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê: f (k) = N X n=1 F (n)e i 2πk N n =2 N/2 X 2πk F (n)ei N n. (23) n=1 Íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå (22) è (23) òðåáóåò äëÿ âû÷èñëåíèÿ N 2 îïåðàöèé (çäåñü ïîä îïåðàöèåé áóäåì ïîíèìàòü óìíîæåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñ ïîñëåäóþùèì ñëîæåíèåì). Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ÁÏÔ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòîé àëãîðèòì äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû F (ω), òðåáóþùèé òîëüêî N log2 N îïåðàöèé. ÁÏÔ ïðèìåíèìî, êîãäà N ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ÷èñëà 2 N = 2n . ÁÏÔ îñíîâûâàåòñÿ íà ïðîöåññå óäâîåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòàâëÿåòñÿ èç áîëåå êîðîòêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.  ñðåäå MathCad ÁÏÔ è ÎÁÏÔ ìîãóò áûòü âûïîëíåíû, ñîîòâåòñòâåííî, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé F F T (v) è IF F T (v). Äëÿ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ðàçìåðíîñòü âåùåñòâåííîçíà÷íîãî âåêòîðà v äîëæíà áûòü ðàâíà 2m , m > 2, à äëÿ IF F T ðàçìåðíîñòü âåêòîðà v , â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîãî, äîëæíà áûòü 1 + 2m−1, m > 2. Ïðèìåð  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì èññëåäóåì â ñðåäå Mathcad ñ ïîìîùüþ ÁÏÔ ôóíêöèþ, çàäàííóþ â âèäå ñóììû òð¼õ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. ÍÃÒÓ 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ è å¼ ãðàôèê ïðè x ∈ [0, 4π]. Äèñêðåòèçàöèÿ ôóíêöèè, íàõîæäåíèå îáðàçà Ôóðüå ñ ïîìîùüþ ÁÏÔ è ðàñ÷¼ò àìïëèòóäíîãî ñïåêòðà. Íà ïðèâåä¼ííîì ðèñóíêå õîðîøî âèäíî, ÷òî â ñïåêòðå ñèãíàëà ïðèñóòñòâóþò òðè ãàðìîíèêè, ÷òî è áûëî èçâåñòíî àïðèîðè. 1 Ðÿäû Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Âîññòàíîâëåíèå ñ ïîìîùüþ ÎÁÏÔ èñõîäíîãî ñèãíàëà. ÍÃÒÓ Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. Áèöàäçå, À. Â. Îñíîâû òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî / À. Â. Áèöàäçå.  Ì.: Íàóêà, 1969.  240 ñ. 2. Åâãðàôîâ, Ì. À. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè. / Ì. À. Åâãðàôîâ.  Ì.: Íàóêà, 1968.  472 ñ. 3. Åâãðàôîâ, Ì. À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé / Ì. À. Åâãðàôîâ, Þ. Â. Ñèäîðîâ, Ì. Â. Ôåäîðóê, Ì. È. Øàáóíèí, Ê. À. Áåæàíîâ.  Ì.: Íàóêà, 1969.  388 ñ. 4. Ïàíòåëååâ À. Â. Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ: ó÷åá. ïîñîá. / À. Â. Ïàíòåëååâ, À. Ñ. ßêèìîâà.  Ì.: Âûñø. øê., 2001. 445 ñ. 5. Ïðèâàëîâ È. È. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. / È. È. Ïðèâàëîâ.  Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960.  444 ñ. 6. Ëàâðåíòüåâ, Ì. À. Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî / Ì. À. Ëàâðåíòüåâ, Á. Â. Øàáàò.  Ì.: Íàóêà, 1973.  736 ñ. 7. Ëóíãó, Ê. Í. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêè. 2 êóðñ. / Ê. Í. Ëóíãó, è äð.  Ì.: Àéðèñïðåññ, 2006.  592 ñ. 8. Ïèñüìåííûé, Ä. Ò. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. / Ä. Ò. Ïèñüìåííûé.  Ì.: Àéðèñ-ïðåññ, 2006. 9. Áóðîâ, À. Í. Ïðàêòèêóì ïî ñïåöãëàâàì ìàòåìàòèêè: ó÷åá. ïîñîáèå / À. Í. Áóðîâ, Í. Ã. Âàõðóøåâà, Ñ. Â. Êëèøèíà  Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÍÃÒÓ, 2001.  102 ñ. 10. Âîðîáü¼â Í. Í. Òåîðèÿ ðÿäîâ. / Í. Í. Âîðîáü¼â.  Ì.: Íàóêà, 1970.  204 ñ. 11. http://ru.wikipedia.org/wiki/ 12. http://mathhelpplanet.com/portal.php