Ряды динамики

Таблица 32 Группы рабочих по степени выполнения плана, % до 100 Процент выполнения плана 90, 95, 85, 92 свыше 100 100, 102, 104, 103, 105, 104 Определите: 1. Групповые дисперсии. 2. Межгрупповую дисперсию. 3. Общую дисперсию (обычным способом и по правилу сложения дисперсий). 4. Эмпирическое корреляционное отношение. Задача 8. Установите связь между факторным и результативным признаками, если внутригрупповые дисперсии σ 12 = 0,48 , σ 22 = 0,52 . Число единиц в первой группе – 14. Средние величины: в первой группе – 2, во второй – 3. Общая средняя величина – 4,0. Сформулируйте вывод. Тема 4. Ряды динамики Методические рекомендации и решение типовых задач Процесс развития в статистике называется динамикой, а система показателей, характеризующих этот процесс во времени, рядом динамики. В любом ряде динамики выделяют: - показатель времени ( t ), - уровень ряда ( y ). Если показатель времени представлен моментом (например, численность населения региона на определенную дату), то такой ряд динамики называется моментным. Если же показатель времени представлен временным интервалом (например, товарооборот за данный промежуток времени), то такой динамический ряд называется интервальным. Условные обозначения уровней ряда динамики: yi – данный уровень, yi −1 – предыдущий уровень, 42 y0 – базисный уровень, y – средний уровень. Средний уровень интервального ряда динамики в случае равенства этих интервалов определяется по формуле y y=∑ . n Средний уровень моментного ряда, если временные расстояния между датами одинаковы, определяется по средней хронологической y y1 + y2 + ... + n 2 , y= 2 n −1 где n - число уровней. Рассмотрим расчет средних уровней на конкретных примерах. Пример 4.1. Выпуск промышленной продукции характеризуется следующими данными (млн. руб.): Таблица 33 Показатель 2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. Выпуск продукции 60 72 80 88 96 Определите среднегодовой выпуск промышленной продукции. Решение. Среднегодовой выпуск продукции определим, используя формулу средней арифметической простой y 60 + 72 + 80 + 88 + 96 396 = = 79,2 млн. руб. y=∑ = 5 5 n Пример 4.2. Численность работников характеризуется данными (человек): на 01.01 – 120; промышленного предприятия 43 на 01.04 – 124; на 01.07 – 121; на 01.10 – 125; на 01.01 следующего года – 124. Определите: 1. Среднюю численность работников за I и II полугодие. 2. Среднегодовую численность работников. Решение. 1. Средняя численность работников за I полугодие y y1 120 121 + y2 + ... + n + 124 + 2 = 2 2 = 122 чел. y= 2 n −1 3 −1 2. Средняя численность работников за II полугодие 121 124 + 125 + 2 = 124 чел. y= 2 3 −1 3. Среднегодовая численность работников 120 124 + 124 + 121 + 125 + 2 = 123 чел. y= 2 5 −1 или y = 122 + 124 = 123 чел. 2 Важнейшим условием правильного формирования рядов динамики является сопоставимость уровней ряда. Если несопоставимость в рядах динамики вызвана административно-территориальными изменениями, то необходимо построить ряд в новых территориальных границах. Например, имеются данные об объеме транспортной работы (грузооборот), автотранспортных предприятий, обслуживающих регион грузовыми перевозками (млн. ткм): Таблица 34 В старых границах 44 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 215 238 250 - региона В новых границах региона - - 300 380 Для проведения данных к сопоставимому виду необходимо рассчитать коэффициент пересчета (коэффициент соотношения двух уровней): Уровень явления в новых границах , Kn = Уровень явления в старых границах Kn = 300 = 1,2 . 250 Умножая на этот коэффициент уровни объема грузооборота 2005 г. и 2006 г., можно построить ряд динамики сопоставимых уровней в новых территориальных границах региона: Таблица 35 Грузооборот, млн. ткм 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 215 ⋅ 1,2 = 258 238 ⋅ 1,2 = 285,6 300 380 Показатели анализа рядов динамики Основные аналитические показатели рядов динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста. Расчет этих показателей (кроме абсолютного значения 1% прироста) можно провести цепным и базисным способом. Цепной способ расчетов заключается в том, что каждый последующий уровень сравнивают с предыдущим уровнем, а базисный способ расчетов заключается в том, что каждый последующий уровень сравнивают с базисным (начальным) уровнем. Абсолютный прирост уровней исчисляется разницей между двумя уровнями: цепной абсолютный прирост ∆yц = yi − yi −1 ; базисный абсолютный прирост 45 ∆yб = yi − yо . Цепные и базисные абсолютные приросты взаимосвязаны: – сумма цепных абсолютных приростов равна конечному базисному абсолютному приросту; – разность между смежными базисными абсолютными приростами равна промежуточному цепному приросту. Обобщением цепных абсолютных приростов является средний абсолютный прирост: ∑ ∆yц = yn − yo , ∆y = n n где n – число абсолютных приростов, yn − yo – конечный базисный абсолютный прирост. Темп роста – это отношение двух уровней ряда: цепной темп роста у Tц = i ; yi −1 базисный темп роста To = уi . yo Рассчитывается темп роста в коэффициентах или в процентах. Между цепными и базисными темпами роста существует взаимосвязь: - произведение цепных темпов роста равно конечному базисному; - частное от деления двух смежных базисных темпов роста равно промежуточному цепному. Обобщением цепных темпов роста за период является средний темп роста T = n T1 ⋅ T2 ⋅ ... ⋅ Tn , где n – число цепных темпов роста под корнем, T1 , T2 и т.д. – цепные темпы роста в коэффициентах. Средний темп роста можно определить и по другой формуле: y T = m−1 n , yo где m – число периодов, 46 yn – конечный уровень ряда, yo – базисный уровень ряда. Темп прироста уровня ряда ∆T можно определить, если из темпа роста вычесть 1 (если темп роста рассчитан в коэффициентах) или же вычесть 100, (если темп роста рассчитан в процентах) ∆T = T − 1 или же ∆T = T − 100 . Средний темп прироста определяется вычитанием из среднего темпа роста соответственно 1 или 100. ∆T = T − 1 или же ∆T = T − 100 . Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста используется для правильной оценки темпа прироста и показывает, какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем 1% прироста. Рассчитывается по формуле: ∆y А1% = ц , ∆Tц где ∆yц − цепной абсолютный прирост, ∆Tц − цепной темп прироста. Рассмотрим расчет показателей на примере интервального ряда динамики. Пример 4.3. Имеются следующие данные о выпуске продукции по месяцам отчетного года: Таблица 36 Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Выпуск продукции (тыс. шт.) 30 28 32 36 38 Исчислите аналитические показатели ряда динамики. Решение. Исчисленные аналитические показатели ряда по вышеприведенным формулам представим в таблице 37. динамики Таблица 37 47 Показатели Январь Февраль Март Апрель Май 30 28 32 36 38 - -2 +4 +4 +2 - -2 +2 +6 +8 - 93,33 114,29 112,5 105,56 - 93,33 106,67 120,0 126,67 Темпы прироста, % цепные (Tц − 100) - -6,67 +14,29 +12,5 +5,56 базисные (Tб − 100) - -6,67 +6,67 +20,0 +26,67 - -300 +280 320 360 Выпуск продукции, тыс. шт. Абсолютные приросты, тыс. шт. цепные ( yi − yi −1 ) базисные ( yi − yo ) Темпы роста, % ⎛ y ⎞ цепные ⎜⎜ i ⋅ 100 ⎟⎟ ⎝ y y −1 ⎠ ⎞ ⎛y базисные ⎜⎜ i ⋅100 ⎟⎟ ⎠ ⎝ y0 Абсолютное значение (содержание) 1% прироста, ⎛ ∆y ⎞ шт. ⎜⎜ ц ⎟⎟ ⎝ ∆Tц ⎠ Среднемесячный выпуск продукции y 30 + 28 + 32 + 38 164 y=∑ = = = 328 тыс. шт. 5 5 n Среднемесячный абсолютный прирост −2+4+4+2 8 ∆y = = = 2 тыс. шт. 4 4 или ∆y = 38 − 30 8 = = 2 тыс. шт. 4 4 Среднемесячный темп роста T = 4 0,9333 ⋅ 1,1429 ⋅1,125 ⋅ 1,0556 = 4 1,2667 = 1,0609 или 106,09%. 48 или T = 5−1 38 4 38 4 = = 1,2667 = 1,0609 или 106,09% 30 30 Среднемесячный темп прироста ∆T = 1,0609 − 1 = 0,0609 или +6,09%. Следовательно, в среднем за каждый месяц выпуск продукции возрастал на 2 тыс. шт., или на 6,09%. Методы выявления основной тенденции в рядах динамики Выявление основной тенденции развития (основной закономерности изменения уровней ряда) называется в статистике выравниванием ряда, а методы выявления основной тенденции – методами выравнивания. Основные методы выравнивания: 1) простое укрупнение временных интервалов, например, месяцы объединяют в кварталы; 2) метод скользящих средних; 3) аналитическое выравнивание. Рассмотрим использование метода скользящих средних и аналитического выравнивания по данным примера 1. Расчеты оформим в таблице 38. Таблица 38 Выпуск продукции (тыс. шт.) Расчет скользящей средней Скользящие средние по выпуску, тыс. шт. Январь 30 - - Февраль 28 Март 32 Апрель 36 Май 38 Месяц 30 + 28 + 32 3 28 + 32 + 36 3 32 + 36 + 38 3 - 30,000 32,000 35,333 - Скользящие средние, освобожденные от случайных колебаний, неуклонно возрастают, характеризуя явную тенденцию к росту. 49 Аналитическое выравнивание позволяет оформить тренд в виде какой-либо функции, например, прямой линией: yt = a0 + a1 t . Следует определить параметры уравнения a0 и a1 с помощью метода наименьших квадратов. Если показатель времени обозначается так, что ∑t = 0, то параметры определяются по формулам y a0 = y = ∑ ; n a1 = ∑ yt . ∑t2 При нечетном числе уровней ряда динамики для получения ∑ t = 0 , уровень, находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчета времени и обозначается цифрой 0. Если же число уровней ряда четное, то они нумеруются от -3; -1; и т.д. до +1; +3 и т.д. Рассчитаем параметры уравнения прямой a0 и a1 y 164 a0 = ∑ = = 32,8 тыс. шт. 5 n a1 = ∑ y t 24 = = 2,4 тыс.шт. 2 10 t ∑ Тренд примет вид: yt = 32,8 + 2,4 ⋅ t . Расчеты оформим в таблице 39. Таблица 39 50 Месяц y t y ⋅t t2 yt Январь 30 -2 -60 4 32,8 + [2,4 ⋅ (− 2 )] = 28,0 Февраль 28 -1 -28 1 32,8 + [2,4 ⋅ (− 1)] = 30,4 Март 32 32,8 + 2,4 ⋅ 0 = 32,8 Апрель 36 +1 +36 1 32,8 + 2,4 ⋅ 1 = 35,2 Май 38 +2 +76 4 32,8 + 2,4 ⋅ 2 = 37,6 Итого 164 24 10 164 Придавая конкретные значения t , получим выровненные значения выпуска продукции. Параметр a1 означает, что выпуск продукции в среднем возрастает на 2,4 тыс. шт. – это тенденция развития выпуска продукции от месяца к месяцу. Используя рассчитанные ранее показатели: средний абсолютный ∆y и средний темп роста (T ), можно определить прирост прогнозируемый выпуск продукции на несколько месяцев вперед. Прогноз выпуска продукции на июнь: - на основе среднего абсолютного прироста yиюнь = y май + ∆y = 38 + 2 = 40 тыс. шт., ( ) - на основе среднего темпа прироста yиюнь = y май ⋅ T = 38 ⋅ 1,0609 = 40,314 тыс. шт., - на основе тренда yиюнь = 38,2 + 2,4 ⋅ 3 = 40 тыс. шт., t = 3 , отсчет идет от нуля. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Розничный товарооборот предприятия торговли районного потребительского общества характеризуется следующими данными: Таблица 40 Показатель Розничный товарооборот, млн. руб. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 24 30 36 Определите: 1. Среднегодовой объем товарооборота. 2. Среднегодовой темп роста товарооборота. Задача 2. Численность работников характеризуется данными (чел.): промышленного предприятия Таблица 41 51 Показатель 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. Розничный товарооборот в действующих ценах, млн. руб. 310,0 320,0 332,4 340,0 358,6 370,0 Определите: 1. Абсолютные приросты (цепные и базисные), темпы роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное значение 1% прироста. Результаты оформите в таблице. 2. За период с 2004 по 2008 годы определите следующие среднегодовые показатели: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста. 3. Проведите аналитическое выравнивание ряда товарооборота по прямой линии и определите размер розничного товарооборота на 2010 год на основе параметров уравнения прямой, выражающей общую тенденцию (тренд) данного ряда. Задача 5. Имеются следующие данные о грузовых перевозках по месяцам: Таблица 42 Месяц Перевозки, млн.т. Январь 84 Февраль 79 Март 89 Апрель 87 Май 91 Вычислите: 1. Среднемесячный объем перевозок. 2. Цепные и базисные: темпы роста, темпы прироста. 3. Абсолютное значение 1% прироста. 4. Расчеты оформите в таблице. 5. Средние показатели: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста. 6. Основную тенденцию развития методом аналитического выравнивания по прямой линии. 7. Прогнозируемые значения уровня перевозок на июнь на основе среднего темпа роста и тренда. Тема 5. Индексы 52