Резонаторы и фильтры СВЧ

Лекция 5. Резонаторы и фильтры СВЧ 5.1. Резонаторы СВЧ 5.1.1. Оъемные резонаторы СВЧ и их характреистики В низкочастотной радиотехнике одними из самых важных элементов являются колебательные (резонансные) контуры с сосредоточенными параметрами. Они состоят из конденсаторов и катушек индуктивности. Геометрические размеры этих элементов и соединительных проводников значительно меньше, чем длина волны колебаний. Потому такие контуры практически не излучают электромагнитную энергию. Добротность их обусловлена только тепловыми потерями в катушках и соединительных проводниках и потерями в диэлектрике конденсатора. С увеличением частоты геометрические размеры элементов контуров становятся соизмеримыми с длиной волны, что приводит к увеличению излучения. В СВЧ диапазоне вместо колебательных контуров применяются объемные резонаторы. Объемным резонатором (англ. – cavity resonator) называют ограниченный отражающими поверхностями объем, который имеет связь с внешним электромагнитным полем, обладает способностью накапливать электромагнитную энергию и характеризуется набором дискретных собственных частот. В общем случае резонатор можно образовать совокупностью металлических или диэлектрических тел, в средине или вблизи которых будет концентрироваться переменное электромагнитное поле. Свойства объемных резонаторов схожи со свойствами колебательных контуров. Благодаря высокой добротности в сантиметровом диапазоне (~103–104) объемные резонаторы применяются как вторичные эталоны частоты. Они являются основными элементами микроволновых генераторов, на их основе строят замедляющие системы и фильтры. При внесении в резонатор диэлектрического или магнитного образца изменяется его резонансная частота и добротность, на этом эффекте основывается определение диэлектрических и магнитных параметров материалов. В теории объемных резонаторов различают режимы собственных (свободных) и вынужденных колебаний. Собственные колебания (англ. – natural oscillation, eigenmode) – это возможные поля в объемном резонаторе при отсутствии источников. Спектр собственных колебаний резонатора представляет собой бесконечное множество различных типов колебаний (типов полей), для каждого из них характерным является свое распределение электромагнитного поля и определенная собственная длина волны и собственная частота (англ. – natural frequency, eigenfrequency). В резонаторе без потерь (стенки идеально проводящие, отверстий в оболочке нет, внутренний объем заполнен идеальным диэлектриком) собственные колебания были бы незатухающими. В реальном объемном резонаторе всегда есть потери энергии, которые приводят к затухающим колебаниям. Незатухающие колебания в реальном резонаторе могут существовать только в режиме вынужденных колебаний (англ. – forced oscillation), при котором в резонатор через элемент связи вводится энергия стороннего источника 108 (генератора). Для возбуждения резонатора необходимо, чтобы частота колебаний генератора была равна одной из резонансных частот (англ. – resonant frequency) объемного резонатора. В этом случае в резонаторе возникает резонанс и амплитуда поля вынужденных колебаний достигает наибольшего значения. В объемном резонаторе с малыми потерями (с большой добротностью) резонансные частоты приближенно равны собственным частотам этого резонатора без потерь. Объемный резонатор является многорезонансной системой в отличие от колебательного контура с сосредоточенными элементами, который резонирует только на одной частоте. Простейшим объемным резонатором является отрезок регулярной линии передачи l , ограниченный с обоих боков отражающими стенками. Допустим, что в волноводе на частоте ω возбуждена волна определенного типа. Длину волны в волноводе определим выражением Λ= λ 1 − (λ / λ кр ) 2 = 2π , β (5.1) де λ = λ 0 ε r μ r – длина волны в среде; λ 0 – длина волны в вакууме; ε r , μ r − относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; λ кр – критическая длина волны; β – фазовая постоянная. Когда волна доходит до конца указанного отрезка, она отражается от стенки и распространяется в обратном направлении и, отразившись от другой стенки, интерферирует с первичной волной. Этот процесс повторяется многократно, результирующее поле образует стоячую волну. Если в результате интерференции амплитуда первичной волны увеличивается, то в отрезке волновода происходит накопление энергии, то есть наблюдается резонанс. Условием резонанса является синфазность первичной и двукратно отраженной волн. Последняя на своем пути получает фазовый сдвиг Δφ = βl + φ1 + βl + φ 2 , (5.2) где φ1, 2 – сдвиги фаз в результате отражения от стенок, которые зависят от типа поляризации и равны 0 или π . Таким образом, условие резонанса имеет вид Δφ = 2βl + φ1 + φ 2 = 2 π s, s = 1, 2, ... . (5.3) Взяв к сведению возможные значения φ1 и φ 2 , преобразуем (7.3) к виду Λ = 2l / p , (5.4) где p = s − δ; δ = 0 или 1 в зависимости от типа поляризации волны. То есть индекс p принимает целое положительное значение, начиная с 0 или 1. 109 Таким образом, в случае резонанса на отрезке волновода l укладывается целое число p длин полуволн Λ 2 , то есть l = p Λ 2 . При этом значению p = 0 соответствует бесконечно большая длина волны в волноводе. Объемные резонаторы рассмотренного типа могут быть реализованы на основе прямоугольных, круглых волноводов, коаксиальных и других линий передачи. Такие резонаторы еще называют закрытыми или полыми. Если свернуть отрезок линии передачи в кольцо, получим так называемый кольцевой резонатор, или резонатор бегущей волны (РБВ). Условием резонанса в таком резонаторе будет равенство фаз первичной волны и волны, которая обошла резонатор по периметру кольца. То есть, периметр кольца должен быть равен целому числу длин волн l = pΛ , p = 1, 2, ... . В данном случае в резонаторе устанавливается режим бегущей волны. Для описания свойств резонатора с потерями вводят понятие комплексной собственной частоты ω0 = ω′ + jω′′ (аналогичным образом можно ввести комплексную резонансную частоту). Мнимая часть описывает затухание колебаний в резонаторе. Обычно ω′′ << ω′ и ω 0 ≈ ω′ . Одним из основных параметров объемного резонатора является его добротность. Добротностью (англ. – quality, Q-factor) объемного резонатора на данном типе колебаний называют отношение действительной части собственной частоты к удвоенному значению мнимой: Q= ω′ . 2ω′′ (5.5) Величину обратную добротности, которая определяет относительное уменьшение амплитуды колебаний за каждый последующий период, называют декрементом затухания (англ. – decrement): d= 1 2ω′′ . = Q ω′ (5.6) В случае малых потерь добротность резонатора можно определить по формуле (энергетическое определение добротности) Q = 2π Wз W = ω0 з , Wп Pп (5.7) где Wз – запасенная при резонансе электромагнитная энергия; Wп – энергия полных потерь за период; Pп – средняя за период мощность полных потерь; ω0 – резонансная частота. Добротность, которая зависит от мощности полных потерь, часто называют нагруженной (англ. – loaded) добротностью резонатора. Мощность полных потерь имеет вид Pп = P0 + Pвн , 110 (5.8) где P0 – мощность собственных потерь (непосредственно в резонаторе); Pвн – мощность внешних потерь, которая определяется выходом энергии из резонатора через элементы связи во внешнюю цепь. Из (7.7) и (7.8) следует, что 1 1 1 , = + Qн Q0 Qвн (5.9) причем Q0 называют собственной (англ. – unloaded, internal) добротностью резонатора; Qвн – внешней (англ. – external) добротностью, обусловленной потерями на элементах связи. Собственную добротность можно определить следующим образом: 1 1 1 , = + Q0 Qм Qд (5.10) где Qм – добротность, обусловленная потерями в проводниках стенок резонатора; Qд – добротность, обусловленная потерями в диэлектрике. Коэффициент полезного действия (англ. – efficiency) резонатора равен отношению мощности, которая излучается в нагрузку, к суммарной мощности потерь в резонаторе: η= Pвн 1 1 . = = Pвн + P0 1 + P0 Pвн 1 + Qвн Q0 (5.11) Величину κ = Pвн / Р0 = Q0 / Qвн называют коэффициентом связи (англ. – coupling coefficient) резонатора. При κ =1 излучаемая в нагрузку мощность равна мощности, которая рассеивается в резонаторе. Такой режим называют критическим (англ. – critically coupled). При этом нагруженная добротность в два раза меньше собственной добротности, то есть Q0 . (5.12) 2 При условии κ > 1 излучаемая в нагрузку мощность превышает мощность, которая рассеивается в резонаторе. Такой режим называют режимом пересвязи (англ. – overcoupled). И, наконец, при слабой связи ( κ < 1 ) потери мощности в нагрузке меньше потерь мощности в резонаторе, возникает так называемый режим недосвязи (англ. – R0 C0 L R L0 C10 C undercoupled). Нагруженная добротность при этом близка к собственной а б добротности резонатора. Рис. 5.1. Эквивалентная схема резонатора: Резонаторы СВЧ имеют бескоа – общая схема; нечное количество собственных чаб – схема нагруженного резонатора стот, однако вблизи определенной реQ= 111 зонансной частоты резонатор можно представить эквивалентной схемой в виде параллельного или последовательного колебательного контура. При этом считают, что взаимодействие между соседними типами колебаний отсутствует. Выбор параллельной или последовательной схемы зависит от выбора плоскости отсчета фаз (эквивалентного представления параметров резонатора). Если в режиме расстройки ( ω ≠ ω0 ) входное сопротивление Z вх → 0 в этой плоскости, то следует пользоваться параллельной схемой, если Z вх → ∞ – последовательной. На практике отдают предпочтение параллельному контуру (рис.5.1,а). Для выполнения эквивалентности необходимо, чтобы колебательные системы имели одинаковую резонансную частоту и одинаковую добротность, то есть Q0 = C0 R0 = C0 R0ω0 ; L0C0ω02 = 1 . L0 (5.13) С помощью этих двух уравнений, если известны параметры резонатора Q0 и ω 0 , можно определить элементы эквивалентного контура R0 , C0 , L0 с точностью до произвольной постоянной. Теперь учтем внешние потери. Для этого допустим, что резонатор связан с линией передачи, которая согласована с нагрузкой. Заменим линию ее эквивалентом в виде единичного нормированного сопротивления. Тогда получим эквивалентную цепь (рис.5.1,б), элементы которой нормированы к волновому сопротивлению линии передачи. При этом выражения для добротности принимают вид Q0 = CRω0 ; Q = C R ω0 ; Qвн = Cω0 ; LCω02 = 1 . R +1 (5.14) Тогда коэффициент связи равен κ = Q0 / Qвн = R . Таким образом, уравнения (5.15) (5.14) и (5.15) определяют элементы эквиваarg(Γн ) Γн π –π а б Рис.5.2. Частотные зависимости модуля ( а) и фаз ы (б) коэффициента отражения 112 лентного контура R , C , L через κ , Q0 и ω 0 . Применяя методы классической теории цепей, можно найти нормированное сопротивление контура в виде 1 zн′ =  + R 1   j  Cω −  Lω   −1 −1   ω ω0   . = κ 1 + jQ0  − ω ω   0  (5.16) На рис.5.2 изображены частотные зависимости модуля и фазы коэффициента отражения резонатора Γ = ( zн′ − 1) ( zн′ + 1) . Видно, что в случае связи, меньшей критической κ < 1 (кривая 1), на зависимости Γ наблюдается узкий минимум, а фаза коэффициента отражения при ω = ω0 достигает π и остается близкой к этому значению. Скачок от π до − π на графике обусловлен областью значений функции arg(Γн ) . При критической связи κ = 1 (кривая 2), коэффициент отражения на резонансной частоте равен нулю, то есть резонатор на этой частоте согласован с линией, а фаза скачкообразно изменяется от π / 2 до − π / 2 . Если связь больше критической κ > 1 (кривая 3), фаза коэффициента отражения изменяется монотонно, а Γ имеет широкий минимум при ω = ω0 . Таким образом, для определения коэффициента связи κ достаточно измерить КСВ на резонансной частоте (при этом сопротивление резонатора является активным) и установить: зависимость фазы коэффициента отражения от частоты является монотонной или нет. В первом случае κ = K ст , во втором – κ = 1 / K ст = K бв . Когда рабочая частота достаточно удалена от резонансной, то сопротивление контура Z представляет собой практическое короткое замыкание ( Γ ≅ −1 ). 5.1.2. Эквивалентные схемы резонаторов разных типов и способы возбуждения объемных резонаоров Существует разнообразное число конструкций объемных резонаторов разнообразного назначения, в частности для применения в генераторах, усилителях, фильтрах, для измерения параметров материалов, для технологических установок СВЧ, энергетики и т.п. Геометрическую форму и тип колебаний выбирают исходя из технологичности изготовления резонатора, возможности настройки, получения максимальной добротности и желаемой конфигурации поля. Простейшие резонаторы представляют собой отрезки регулярной линии передачи длиной Λ 2 или Λ 4 , разомкнутые или короткозамкнутые на концах. В табл.5.1 приведены эквивалентные схемы и основные формулы для расчета таких резонаторов. Указанные выражения получены в рамках теории длинных линий с рабочими волнами Т-типа. Однако приведенные формулы можно использовать и для приближенного анализа волноводных резонаторов с рабочими колебаниями Е- или Н-типов, если резонаторы рассматривать в узкой полосе 113 частот вблизи отдельной резонансной частоты и влиянием соседних колебаний можно пренебречь. Таблица 5.1 Эквивалентные схемы Расчетные формулы l=p l Zн=0 W Zвх L R C Zвх l Yвх Yн=0 Y Yвх L G C l Yвх Yн=∞ Y Yвх L G C l Zвх Zн=∞ W L C R Zвх Λ0 X πΛ , p = 1, 2, 3, ... , Q = ≈ 20 , R αλ 0 2 2 1 nπW  Λ 0    ≈ X = ω0 L = 2  λ 0  ω0 C p R = Wαl = WαΛ 0 2 Λ B πΛ l = p 0 , p = 1, 2, 3, ... , Q = ≈ 20 , 2 G αλ 0 2 1 pπY  Λ 0    B = ω0 C = ≈ 2  λ 0  ω0 L p 1 G = Yαl = YαΛ 0 , Y = 2 W Λ B πΛ l = (2 p − 1) 0 , p = 1, 2, 3, ... , Q = ≈ 20 , G αλ 0 4 2 (2 p − 1) πY  Λ 0  1 ≈ B = ω0 C =   4 ω0 L  λ0  (2 p − 1) YαΛ , Y = 1 G = Yαl = 4 W Λ X πΛ l = (2 p − 1) 0 , p = 1, 2, 3, ... , Q = ≈ 20 , R αλ 0 4 (2 p − 1) πW  Λ 0  1 X = ω0 L = ≈   4 ω0 C  λ0  (2 p − 1)WαΛ R = Wαl = 4 2 Полые резонаторы преимущественно выполняют на основе волноводов прямоугольного (рис.5.3,а) или цилиндрического (рис.5.3, б) сечения, которые закорачиваются с обоих концов поперечными металлическими стенками. Если длина резонатора задана, то можно найти его резонансную длину волны и частоту: λ0 = 1 (1 λ кр )2 + ( p 2l )2 , ( f 0 = v ⋅ 1 λ кр 114 )2 + ( p 2l )2 , (5.17) где Λ = λ 0 ( 1 − λ λ кр )2 – длина волны в волноводе, v = с ε r μ r – скорость распространения электромагнитных волн в среде, заполняющей резонатор. Для призматического (прямоугольного) резонатора имеем λ 0 mnp = 2 (m a )2 + (n b )2 + ( p l )2 , (5.18) где a,b,l – геометрические размеры резонатора, m,n,p – индексы резонансных колебаний, для цилиндрического резонатора – λ 0 mnp = 2 (ν mn a )2 + ( p l )2 , (5.19) де a – радиус; l – длина резонатора; ν mn - n-й корень функции Бесселя m-го порядка для Е-колебаний или n-й корень производной этой функции Бесселя для Н-колебаний. Из выражений (5.18), (7.19) следует, что для полых резонаторов с ростом геометрических размеров растет значение собственной длины волны (уменьшается собственная в а б частота). Однако существуют случаи аномального поведения собственных частот для Е типов колебаний в резонаторах в виде усеченного сферического секє ж тора, когда с уменьшением объёма резонаторов их собственная г д е частота уменьшается. При этом з для собственной частоты колеРис. 5.3. Резонаторы СВЧ: а – призматический; баний типа Е112 помимо налиб – цилиндрический; в – сферический; г – тороидальный; д – коаксиальный; е – коаксиальчия падающего участка на криный с укорачивающей емкостью; є,ж – полосковой зависимости собственных вые; з – обозначение на схемах частот от отношения радиусов сферических оснований, имеется ещё и пологий минимум. Собственные потери полых металлических резонаторов определяются потерями в металлической оболочке, поэтому их добротность зависит от типа колебаний и проводимости оболочки. Следует иметь в виду, что накопленная энергия в резонаторе пропорциональна его объему V , а потери – площади внутренней поверхности оболочки S , потому собственная добротность про1 V порциональна отношению этих параметров Q0 ~ , где δ s – глубина скинδs S слоя. Таким образом, максимальная собственная добротность должна быть у 115 сферического резонатора (рис.5.3,в), однако существенным недостатком таких резонаторов является сложность их изготовления. Для уменьшения длины коаксиальных резонаторов, что особенно актуально в дециметровом диапазоне, используют конструктивную (укорачивающую) емкость на конце центрального стержня (рис.5.3,д-е). Иногда для конкретных практических задач применяют резонаторы более сложных форм, например тороидальные, в случае построения магнетронов (рис.5.3,г). В интегральных схемах СВЧ диапазона широко применяются резонаторы на основе полосковых и микрополосковых линий. На рис.5.3 представлены примеры реализации резонаторов на полосковых линиях. Геометрическую форму резонатора и тип колебаний выбирают исходя из технологичности изготовления резонатора, возможности настройки, получения максимальной добротности и требуемой конфигурации поля. Связь резонатора с линией должна обеспечивать возбуждение строго определенного типа колебаний и не допускать возникновение колебаний других типов. Для этого необходимо знать структуру поля в резонаторе для разных типов колебаний, которые могут существовать на рабочих частотах резонатора. Элементы возбуждения выбирают так, чтобы можно было образовать одну компоненту (электрическую или магнитную) определенного типа колебаний. Если при этом не удается избежать возбуждения паразитных типов колебаний, то их подавление осуществляют с помощью специальных устройств. В случае работы с коаксиальной линией для возбуждения полого резонатора используют петлю или штырь (рис.5.4,а-б). Петлю в а б рассматривают как магнитный диполь. Ее площадь Рис. 5.4. Схемы питания объемного резонаора: а – с помощью штыря; б – с помощью петли; должна быть перпендикув – с помощью диафрагмы лярной линиям магнитного поля резонатора, а штырь – параллельным линиям электрического поля. Элементы связи следует размещать в максимумах соответствующих полей. В случае работы с металлическим волноводом полый резонатор преимущественно возбуждают с помощью диафрагмы (рис.5.4 ,в), расположение которой определяется аналогичным соображением (диафрагма соответствует комбинации электрического и магнитного диполей) Следует помнить, что величина связи, которая определяется, например, площадью петли и местом размещения ее в резонаторе, приводит к изменению резонансной частоты. 116 5.1.3. Резонаторы открытого типа и их характеристики Для электромагнитных волн сантиметрового диапазона в качестве колебательных систем получили широкое применение объемные полые резонаторы. При переходе к более коротким волнам геометрические размеры объемных резонаторов уменьшаются пропорционально длине волны. В случае пропорционального уменьшения всех размеров в N раз его добротность снижается в N раз, объем резонатора и накопленная в нем энергия при той же напряженности поля уменьшается в N 3 раз. Также с ростом частоты увеличиваются тепловые потери в металлах. Кроме того, уже в миллиметровом диапазоне длин волн размеры резонатора становятся настолько малыми, что его изготовление с требуемой точностью становится трудоемким. Потому перспективным способом перехода к более короткими волнам без изменения размеров резонатора является использование колебаний с более высокими индексами, собственные частоты которых значительно выше, чем у колебаний с небольшими индексами, которые применяют в сантиметровом диапазоне. Однако спектр собственных частот замкнутых резонансных объемов в случае перехода к более высоким частотам сгущается: количество колебаний ΔN , которое приходится на интервал частот Δω , равно в соответствии с формулой Релея – Джинса ΔN = V , 2π 2c 3 (5.20) где V – объем резонатора, c – скорость распространения электромагнитных волн (эта формула тем точнее, чем выше круговая частота ω ). Начиная с некоторой частоты, резонансные кривые разных видов колебаний в закрытом резонаторе становятся настолько близко расположенными друг к другу, что может наблюдаться их перекрытие, то есть резонатор теряет способность осуществлять частотную селекцию сигналов. Выходом из перечисленных затруднений стало применение открытых резонаторов. Открытыми резонаторами (ОР; англ. L – open resonator) называют такие колебательные системы, которые имеют довольно добротные собственные колебания, сопроРис. 5.5. Резонатор, образованный вождающиеся излучением энергии в окрудвумя неоднородностями жающее пространство. Например, в отличии от закрытых объемных резонаторов, открытые волноводные резонаторы (ОВР) представляют собой отрезок волновода, не закороченный с торцов. Резонансные явления в них возникают за счет отражения электромагнитных волн от открытых концов волновода. В отличие от многосвязных линий, из открытого конца которых обычно наблюдается заметное излучение. Рассмотрим открытый резонатор образованный двумя неоднородностями в регулярном волноводе, расположенными на расстоянии L друг от друга (рис.5.5). Радиационную (англ. – radiation), то есть обусловленную потерями на 117 излучение, добротность рассмотренного резонатора можно приближенно оценить по формуле 2 4π  l  2 2 (5.21) Qрад =   1 − Γ1 + Γ2 2 , p Λ где Γ1 , Γ2 – коэффициенты отражения от левой и правой неоднородностей. Из этой формулы следует, что при фиксированном количестве полуволн p , которое укладывается по длине резонатора, его радиационная добротность быстро растет с ростом соотношения l Λ , а также с увеличением коэффициентов отражения от неоднородностей. Радиационная добротность уменьшается в случае роста индекса p , то есть с увеличением количества вариаций поля вдоль продольной оси резонатора. Считая Г1 = Г2 = 0, находим минимальное значение добротности, которую может иметь открытый резонатор: [ ( 2 Qмин 4π  l  =   , p λ p = 1,2,... . ) ] (5.22) Эта добротность может достигать больших значений при l >> λ , то есть при ( Λ >> λ . Поскольку Λ = λ 1 − f кр / f )2 , то это условие выполняется на часто- тах, близких к критической частоте волновода. Формула (5.22) качественно справедлива и для открытого волноводного резонатора, излучение из которого осуществляется в свободное пространство. При этом под Г1 и Г2 следует понимать коэффициенты отражения от открытого конца волновода, значения которых при λ ≈ λ кр могут быть близки к единице. В рассмотренном ОВР высокую добротность имеют только колебания типа Emn1 и Hmn1. Потому плотность спектра высокодобротных колебаний разрежена по третьему индексу, благодаря чему он сохраняет свои частотноселективные свойства на более высоких частотах по сравнению с аналогичным закрытым резонатором. С целью повышения радиационной добротности используются открытые резонаторы на отрезках нерегулярных волноводов, сечение которых уменьшается от центра к краям (рис.5.6). Например, симметричный биконический резонатор (БР), создают на базе круглого волновода, радиус которого изменяется по линейному закону z θ z 2a0 2a1 r = z tg θ , а0 – минимальный радиус z zкр2 zкр1 посредине резонатора; l – длина резонатора; θ – угол при вершине конуса; zкр1, zкр2 – продольные координаты критических сечений. L В средней части таких резоРис. 7.6. Биконичический резонатор наторов существуют волны, постоянные распространения которых уменьшаются в случае удаления от центра ре118 зонатора. Вблизи тех сечений, для которых выполняются критические условия ( γ = 0 ), образуются каустические поверхности (на рис.7.6 изображены пунктиром), от которых наблюдается практически полное отражение волн. Поскольку эти поверхности находятся внутри резонатора, излучение из открытых концов значительно уменьшается. Но при этом с ростом добротности увеличивается густота спектра собственных колебаний. Резонаторы данного типа можно создавать на волноводах любого сечения. На практике наиболее часто применяют резонаторы на базе волновода круглого сечения с азимутально-симметричными колебаниями H 0 np . В таких резонаторах удается получить максимально высокую добротность благодаря малым продольным токам в металлических стенках. Наличие отверстий в запредельных областях обеспечивает возможность размещения исследуемых образцов во внутреннюю полость резонатора, что обусловило применение биконических резонаторов в измерительной технике. Отверстия связи резонатора с источником колебаний и детектирующим устройством расположены в области максимального диаметра резонатора, то есть оснований конусов. Увеличение размеров отверстий связи приводит к увеличению коэффициента передачи и степени искажения структуры электрического поля, а также уменьшению резонансной частоты и нагруженной добротности биконических резонаторов, при этом оптимальное значение диаметра отверстия связи, обеспечивающее минимальную погрешность определения резонансной частоты, составляет 0,28а0 от диаметра основания конических составляющих резонатора . Возможна такая комбинация диаметров открытых торцов биконического резонатора (менее 0,72а0) и диаметров отверстий связи, при которых его резонансная частота и нагруженная добротность будут незначительно отличаться от этих же параметров для закрытого резонатора. При достижении диаметра открытого торца резонатора определенных предельных значений, которые могут быть охарактеризованы значением половины диаметра основания конических составляющих резонатора, добротность резонатора значительно снижается, а его практическое применение теряет смысл. 119 5.1.4. Диэлектрические резонаторы и их характеристики Другим способом уменьшить потери при переходе к миллиметровому диапазону является применение диэлектрических (ДР) и металлодиэлектрических резонаторов (МДР). Их широко используют в частотном диапазоне 10300 ГГц. В отличие от полых металлических резонаторов в ДР высокодобротные колебания возникают за счет отражения электромагнитных волн от границы диэлектрик-воздух. Диэлектрические резонаторы – это открытые резонансные системы, то есть при отражении от границы резонатора часть энергии излучается во внешнее пространство. С ростом частоты диэлектрические потери увеличиваются значительно медленнее, чем тепловые потери в металле, к тому же уменьшаются потери на излучение. Благодаря большой диэлектрической проницаемости геометрические размеры ДР значительно меньше, чем габариты полых резонаторов на тех же частотах. ДР преимущественно имеют форму цилиндра, кольца или прямоугольного параллелепипеда. Иногда применяют ДР более сложной геометрической формы (Т-образные, крестообразные и др.). Материалы для изготовления резонаторов должны иметь малые диэлектрические потери (тангенс угла диэлектрических потерь tg δ ~ 10 −3 − 10 −4 ), температурный коэффициент диэлектрической проницаемости и температурный коэффициент линейного расширения (ТКЛР). Для уменьшения геометрических размеров применяются диэлектрики с диэлектрической проницаемостью ε ≈ 10 и более. Добротность ДР зависит от потерь в диэлектрике и потерь на излучение. То есть 1 1 1 , = + Q Qд Qрад (5.23) где Qд ≈ 1 tg δ – добротность обусловленная потерями в диэлектрике, tg δ = ε′′ ε′ - тангенс угла диэлектрических потерь. Для уменьшения радиационных потерь, особенно в коротковолновой части сантиметрового и миллиметровом диапазонах, на практике широко применяются цилиндрические ДР квазиоптического типа работающие на азим утальных типах колебаний высоких порядков. Слабое излучение таких колебаний объясняется тем, что они формируются волнами типа «шепчущей галереи», которые распространяются вблизи боковой криволинейной поверхности резонатора и падают на нее под очень малыми углами. При этом коэффициент отражения становится близок к единице. Потери на излучение устраняют полным или частичным экранированием в металлодиэлектрических резонаторах, однако в этом случае возникают дополнительные потери в стенках экрана. Снижение добротности особенно заметно при незначительной относительной диэлектрической проницаемости (10–40) и в случае близкого расположения экрана от ДР. Обычно размер экрана 120 составляет 1,3…1,6 диаметра ДР. Отдельную группу МДР составляют волноводно-диэлектрические резонаторы (ВДР). Определенный практический интерес представляют открытые волноводные металлодиэлектрические резонаторы предельного типа. Такие резонаторы сочетают в себе достоинства, как закрытых объемных резонаторов, так и открытых, а именно: высокие значения добротности, разреженный спектр собственных колебаний, простоту размещения исследуемого объекта в рабочем объеме резонатора. Примером такой структуры может служить открытый резонатор, представляющий собой отрезок запредельного цилиндрического волновода, внутри которого размещена осесимметричная диэлектрическая вставка переменного поперечного сечения, выполненная в виде трубки, внутренний диаметр которой плавно увеличивается от краев к центру (рис.5.7). Размещение в объеме заl0 2a0 ε2 предельных волноводов диэлектрических вставок, позволяет соφ ε1 здать высокодобротные резонаторы за счет практически полного отражения электромагнитной волны рабочего типа от запреld дельных участков волновода на lr 2b торцах резонатора. В качестве рабочих могут Рис. 5.7. ОВР с диэлектрической использоваться любые типы ковставкой переменного сечения лебаний, для которых волновод является запредельным и условия распространения выполняются лишь в области, частично заполненной диэлектриком вблизи центральной части резонатора. Однако, наиболее предпочтительными являются колебания, образованные азимутально-симметричными волнами магнитного типа H0n, обладающими аномально малым затуханием, обусловленным практически полным отсутствием продольных токов в металлической стенке волновода. Благодаря этому колебания H0np типа обладают наиболее высокой добротностью, что является важным преимуществом, например, при использовании данного резонатора в качестве первичного преобразователя для радиоволновых измерений. Поле осесимметричных колебаний в центре волновода крайне мало, что позволяет использовать для определения параметров исследуемых объектов, размещаемых вдоль оси резонатора классические методики, основанные на методе малых возмущений. Кроме того, на свойствах колебаний H0np типа значительно слабее сказываются параметры элементов связи. Плавное изменение сечения диэлектрической вставки позволяет применять подобные резонансные структуры при исследовании параметров газообразных сред, в том числе и в потоке. 121 5.1.5. Проходные резонаторы и их характеристики Проходной (англ. – reentrant) резонатор (рис.5.8,а) имеет два элемента связи (вход и выход). Это приводит к появлению потерь на излучение в первое и второе плечо. Выражение для нагруженной добротности принимает вид 2 1 а n1 : 1 R 1 1 1 1 , = + + Q Q0 Qвн1 Qвн 2 C (5.24) где Qвн1 , Qвн 2 – внешние добротности плеч 1 и 2, их часто называют добротностями входа и выхода. Коэффициенты связи определяются соотношениями 1 : n2 L κ1 = Q0 / Qвн1 ; κ 2 = Q0 / Qвн 2 . (5.25) б Тогда выражение для нагруженной добротности (7.24) можно записать в виде Рис. 5.8. Резонатор, включенный на проход: а – общий вид, б – эквивалентная схема Q= Q0 . 1 + κ1 + κ 2 (5.26) В общем случае, когда связи отличаются ( κ1 ≠ κ 2 ) , в эквивалентной схеме (рис.5.8,б) следует предусмотреть трансформаторы с такими коэффициентами трансформации, чтобы κ1 = R R , . κ = 2 1 / n12 1 / n22 (5.27) Уравнение (5.27) вместе с уравнениями LCω0 = 1 , RCω0 = Q0 (5.28) устанавливают четыре соотношения между пятью величинами, которые подлежат определению R , C , L , n1 и n2 . Таким образом, одна из величин может быть задана произвольно. Удобно положить, что R = 1 , после чего Cω 0 = 1 = Q0 ; n1 = κ1 ; n2 = κ 2 . Lω 0 (5.29) Нормированная проводимость эквивалентной схемы на резонансной частоте будет равна y′ = 1 1  1 + n22  = (1 + κ 2 ) . 2 n1  R  κ1 (5.30) По условию согласования необходимо, чтобы y′ = 1 , это будет выполняться в случае, когда κ1 = 1 + κ 2 . 122 (5.31) Таким образом, если коэффициенты связи одинаковы ( κ1 = κ 2 = κ) , согласования линии с резонатором достичь невозможно. Известно, что коэффициент передачи из плеча 1 в плечо 2 также будет максимальным, когда выполняется условие согласования (5.31). Причем коэффициент передачи растет с увеличением κ1 и κ 2 , однако при этом уменьшается нагруженная добротность Q и селективность. 5.1.6. Микрополосковые резонаторы и их характеристики Простейшим м и к р о п о л о с к о в ы м р е з о н а т о р о м (МПР) является отрезок микрополосковой линии (МПЛ). Концы полоскового проводника МПР бывают как разомкнуты, так и коротко замкнуты на экран. Ширина W полоскового проводника в общем случае может изменяться вдоль его длины. Обычно она изменяется скачком. Скачок ширины W уединенного МПР приводит к скачку волнового сопротивления Z участка МПЛ. Микрополосковые резонаторы, имеющие скачки волнового сопротивления, называют н е р е г у л я р н ы м и. Напротив, волновое сопротивление р е г у л я р н о г о МПР постоянно по всей длине его полоскового проводника. Так как на разомкнутых концах полоскового проводника образуются узлы тока, а на короткозамкнутых концах – узлы напряжения, то длина регулярного МПР с обоими разомкнутыми концами l = nλ g /2 (n = 1, 2, 3, …), (5.32) а длина регулярного МПР с одним разомкнутым концом и одним короткозамкнутым концом l = nλ g /4 (n = 1, 3, 5, …), (5.33) где λ g – длина волны в МПЛ на резонансной частоте. Электрические длины θ этих резонаторов на резонансной частоте кратны соответственно π и π/2. Поэтому МПР с обоими разомкнутыми концами называют п о л у в о л н о в ы м, а МПР с одним разомкнутым и одним короткозамкнутым концом – ч е т в е р т ь в о л н о в ы м. Заметим, что суммарная электрическая длина составляющих отрезков нерегулярного МПР уже не кратна π и π/2. Микрополосковые резонаторы в фильтрах СВЧ обычно включают по схеме четырехполюсника. Точки входа и выхода МПР могут быть выбраны в любой точке полоскового проводника. Часто эти точки выбирают на концах проводника. Получим уравнение для р е з о н а н с н ы х ч а с т о т резонатора СВЧ. Рассмотрим входную комплексную проводимость Yвх (ω) резонатора с разомкну123 тым выходом (Yвых = 0). Очевидно, что частоты ω n , на которых Yвх (ω) обращается в нуль, являются частотами свободных колебаний уединенного резонатора. Последние, в свою очередь, совпадают с резонансными частотами вынужденных колебаний. В отсутствие потерь комплексная проводимость резонатора СВЧ, как и LC-контура, является чисто мнимой величиной. Поэтому уравнение для определения резонансных частот резонатора СВЧ можно записать в виде B(ω n ) = 0 , (5.34) где B(ω) ≡ −Im Yвх (ω) – реактивная проводимость на входе резонатора СВЧ при разомкнутом выходе. Z θ Y вх Рис. 5.9. Схема регулярного полуволнового МПР Получим формулы для реактивных проводимостей B(ω) некоторых МПР. Начнем с регулярного полуволнового МПР, изображенного на рис.5.9. Его входом и выходом являются концы полоскового проводника с электрической длиной θ и волновым сопротивлением Z. Комплексная проводимость на входе четырехполюсника при разомкнутом выходе связана с элементами A и C его матрицы передачи [A] формулой Yвх = C/A. (5.35) Получаем комплексную проводимость Yвх = − iY tg θ, (5.36) а с ней и реактивную проводимость B(ω) = Y tg θ, (5.37) где Y = Z −1 – волновая проводимость отрезка МПЛ, образующего резонатор. Из формул (5.34) и (5.37) получаем подтверждение того, что на резонансной частоте электрическая длина θ регулярного полуволнового МПР кратна π. 124 Используя для реактивной проводимости B(ω) выражение (5.37), вычисляем крутизну реактивной проводимости на частоте n-го резонанса b = Y nπ/2. (5.38) Здесь при дифференцировании B(ω) по ω учтено, что θ пропорционально ω. Z1 Y вх Z2 θ1 θ2 θT Рис. 5.10. Схема нерегулярного полуволнового МПР Перейдем теперь к нерегулярному полуволновому МПР, получающемуся каскадным соединением двух отрезков МПЛ с волновыми сопротивлениями Z1, Z2 и электрическими длинами θ1 , θ2 ( рис.5.10). Суммарная электрическая длина такого резонатора θ T = θ1 + θ 2 . Найдем матрицу передачи: [A] = ⎡ cos θ1 cos θ 2 − Z1Y2 sin θ1 sin θ 2 − i ( Z 2 cos θ1 sin θ 2 + Z1 sin θ1 cos θ 2 )⎤ (5.39) =⎢ ⎥. ⎢⎣− i (Y1 sin θ1 cos θ 2 +Y2 cos θ1 sin θ 2 ) cos θ1 cos θ 2 − Y1Z 2 sin θ1 sin θ 2 ⎥⎦ Подставляя элементы A и C матрицы (5.39) в выражение (5.35) и выделяя в нем мнимую часть, получаем B (ω) = Y1 (Y1 − Y2 ) sin (θ1 − θ 2 ) + (Y1 + Y2 ) sin θT (Y1 − Y2 ) cos (θ1 − θ 2 ) + (Y1 + Y2 ) cos θT . (5.40) В частном случае θ 1 = θ 2 из формул (5.40), (5.34) находим, что на частоте n-го резонанса суммарная электрическая длина проводников θT = nπ, (5.41) а крутизна реактивной проводимости на входе отрезка МПЛ с волновым сопротивлением Z1 1 + Y1 Y2 nπ b = Y1 . (5.42) 2 1 − (−1) n + ⎛⎜1 + (−1) n ⎞⎟ Y Y ⎝ 125 ⎠ 1 2 Z1 Z1 Y вх θс θ1 Z2 θT θ2 Рис.. 5.11. Схема кондуктивного подключения нерегулярного МПР Рассмотрим теперь случай, когда точка входа МПР смещена от конца полоскового проводника с волновым сопротивлением Z1 на расстояние θ c < θ1 , как показано на рис.5.11. Такой способ подключения МПР называют к о н д у к т и в н ы м или автотрансформаторным. Реактивная проводимость на входе МПР складывается из реактивных проводимостей двух частей резонатора, на которые точка кондуктивного подключения делит его. Суммируя выражения(5.37) и(5.40), в которые предварительно внесены соответствующие уточнения для электрических длин, получаем B(ω) = Y1 (Y1 − Y2 ) sin (θ1 − θ 2 ) + (Y1 + Y2 ) sin θT . 2 cos θc [Y1 cos θ 2 cos (θ1 − θc ) − Y2 sin θ 2 sin (θ1 − θc )] (5.43) Сравнивая числители выражений(5.40) и (5.43), замечаем, что кондуктивное подключение не влияет на резонансные частоты МПР. Они попрежнему являются корнями уравнения ( Y1 − Y 2 ) sin ( θ 1 − θ 2 ) + ( Y1 + Y 2 ) sin θ T = 0 . (5.44) Дифференцируя (5.43) и учитывая (5.44) получаем значение параметра крутизны реактанса : b = Y1 (Y1 − Y2 ) (θ1 − θ 2 ) cos (θ1− θ 2 ) + (Y1 +Y2 ) θT cos θT . 4 cos θc [Y1 cos θ 2 cos (θ1− θ c ) − Y2 sin θ 2 sin (θ1− θ c )] (5.45) Подробнее остановимся на симметричной конструкции нерегулярного полуволнового МПР, изображенной на рис.5.12. Резонатор такой конструкции называют резонатором со с к а ч к о м в о л н о в о г о с о п р о т и в л е н и я (СВС). Резонатор с СВС получается каскадным соединением двух нерегулярных полуволновых МПР, изображенных на рис.5.12, один из которых предварительно повернут на 180° или зеркально отображен относительно поперечной плоскости. 126 а W1 W2 l2 2l1 б Y вх W2 l2 Z2 Z1 Z1 Z2 θ2 θ1 θ1 θ2 θT Рис.5.12.Симметричный нерегулярный полуволновый МПР: а − рисунок полоскового проводника; б − схема Матрицу передачи такого МПР можно рассчитать, перемножая матрицу передачи левой половины резонатора, получающуюся из (6.8) заменой индексов 1 → ← 2, на матрицу передачи правой половины резонатора, выражаемую формулой (5.39).Подставляя элементы A и C полученной матрицы в формулу(5.35) и выделяя в ней мнимую часть, находим реактивную проводимость на входе МПР B = Y2 ( 2(K tg θ1 + tg θ 2 )(K − tg θ1 tg θ 2 ) )( ) ( ) , (5.46) K 1 − tg θ1 1 − tg θ 2 − 2 K + 1 tg θ1 tg θ 2 2 2 2 где K – параметр СВС, определяемый отношением K = Z 2 / Z 1. (5.47) Приравнивая нулю выражения в обеих круглых скобках числителя в формуле (5.46), получаем, согласно (5.34), два независимых уравнения для определения резонансных частот K − tgθ 1 tgθ 2 =0, (5.48) K tgθ 1 + tgθ 2 =0. (5.49) Уравнение (5.48) задает частоты ω n всех нечетных резонансов, в том числе и первого (n = 1, 3, 5, …). Уравнение (5.49) задает частоты всех четных резонансов (n = 2, 4, 6, …). Полосы пропускания в фильтрах СВЧ образуются на резонансных частотах. Обычно первую полосу пропускания фильтра делают рабочей (основной). Через нее проходит выделяемый сигнал. Все остальные полосы пропус127 кания оказываются паразитными. Через них проходят помехи и шумы. Часто бывает важно как можно дальше отодвинуть от рабочей полосы ближайшую к ней паразитную полосу пропускания. Найдем зависимость суммарной электрической длины θT = 2θ 1 + 2θ 2 на частоте первого резонанса от θ1 . Для этого уравнение (5.48) перепишем в виде tg θT tg θ1 + K tg θ1 = 2 1− K (K ≠ 1). (5.50) На рис.5.13по формуле (5.50) построены зависимости суммарной электрической длины θT симметричного нерегулярного МПР от относительной электрической длины его внутреннего участка. Видно, что уменьшение K при 0 < 2θ1/θ T < 1 приводит к уменьшению θT , а увеличение K – к увеличению θT . Так как волновое сопротивление любой МПЛ увеличивается с уменьшением ширины ее полоскового проводника, уменьшение ширины центрального участка МПР приводит к уменьшению отношения K. Поэтому уменьшение ширины центрального участка полоскового проводника в МПР с СВС приводит к уменьшению его электрической длины (θT < π), а увеличение ширины – к увеличению электрической длины (θT > π). Уменьшение суммарной электрической длины θT нерегулярного МПР при фиксированной резонансной частоте ω1 означает уменьшение его суммарной геометрической длины lT = 2l 1 + 2l 2 , а уменьшение θT при фиксированной длине lT означает понижение резонансной частоты ω1. θT / π 2 1 1.00 0.5 0.75 K = 0.2 0.50 0.25 0.00 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2θ1/ θΤ Рис. 5.13. Зависимости суммарной электрической длины нерегулярного полуволнового МПР от длины его внутреннего участка 128 Наоборот, увеличение θT означает увеличение длины lT или повышение частоты ω1. Найдем минимум функции θT (θ1) при K < 1 и максимум при K > 1. Дифференцируя правую и левую части уравнения (5.50) по θ1 , получаем [tg 2 θ1 − K ] / [ ( 1 − K ) sin 2 θ1] = 0. Отсюда, принимая во внимание (5.50), находим, что в точке экстремума θ1 = θ 2 = arctg K , θT = 4 arctg K . (5.51) На рис.5.14 по формулам (5.48) и (5.49) построены зависимости θT ( lg K ) на резонансных частотах при различных значениях 2θ1 / θT . Очевидно, что при фиксированной длине резонатора lT аналогичные зависимости имеют резонансные частоты ω n . Как уже отмечалось, для увеличения ширины высокочастотной полосы заграждения часто бывает важно обеспечить максимальное отношение резонансных частот ω 2 /ω1. Расчет показывает, что это отношение экстремально, когда электрическая длина внутреннего участка МПР составляет 1/3 от суммарной электрической длины резонатора, то есть при 2θ1 /θ T = 1/3. Этот случай иллюстрирует график на рис. 5.14, б. Вычислим теперь параметр крутизны реактивной проводимости резонатора с СВС на частоте первого резонанса. Дифференцируя (5.46) и учитывая (5.48) получаем ⎛ sin 2θ 2 ⎞ ⎟⎟ . (5.52) b = Y2 ⎜⎜ θ 2 + θ1 sin 2 θ ⎝ 1⎠ Результаты, приведенные в этом разделе, требуют следующего уточне- ния. Все расчеты МПР выполнены в о д н о м о д о в о м приближении, то есть в приближении д л и н н ы х л и н и й . Это значит, что при расчете резонаторов учитывалась только волна основного типа, которая является единственной волной в МПЛ, осуществляющей перенос энергии. Никакие волны высших типов, которые локализуются вблизи нерегулярностей МПЛ, не учитывались. В микрополосковом резонаторе такими нерегулярностями являются разомкнутые концы полоскового проводника. Локализация на них волн высшего типа проявляется в резком возрастании погонной плотности зарядов. 129 θT / π θT / π 4 ω4 4 ω4 3 ω3 3 ω3 2 ω2 2 ω2 ω1 1 2θ1/ θT = 1/10 1 2 θ1 / θT = 1 / 3 ω1 −3 −2 −1 lg K −3 −2 а −1 lg K б θT / π θT / π ω4 4 ω4 ω3 3 ω3 2 ω2 2 1 ω1 1 4 3 2 θ1/θT = 1/ 2 2 θ1/ θT = 2 / 3 ω2 ω1 −3 −2 −1 в −3 lg K −2 −1 г lg K Рис.5.14.Зависимости электрических длин МПР от параметра СВС при различной длине внутреннего участка Такое возрастание эквивалентно внесению в схему МПР некоторой точечной к о н ц е в о й е м к о с т и Ck дополнительно к погонной емкости C. Величина концевой емкости, пФ, может быть вычислена по приближенной формуле C k = 1.373 ε eff + 0.3 ε eff − 0. 258 ε eff W h + 0. 264 h , W h + 0.8 Z (5.53) где толщина подложки h и ширина полоскового проводника W выражены в 130 миллиметрах, а волновое сопротивление Z − в омах. При 2 ≤ ε r ≤ 50 и W ≥ 0.2 погрешность этой формулы составляет около 4 %. Очевидно, что наличие концевых емкостей Ck на концах отрезка МПЛ эквивалентно его удлинению на каждом конце на величину Δl = C k /C. Поэтому при расчете МПР в одномодовом приближении влияние волн высшего типа будет учтено, если конечную расчетную длину l полоскового проводника укоротить на величину Δl с каждого конца. Из (5.53) следует, что укорочение может быть вычислено по формуле Δl = 0.412 ε eff + 0.3 W h + 0.264 ⋅ h. ε eff − 0.258 W h + 0.8 (5.54) Рассмотренные здесь нерегулярные МПР содержат кроме разомкнутого конца еще одну нерегулярность – скачок ширины полоскового проводника. На нем также локализуются волны высшего типа. Они обеспечивают непрерывность напряженности электрического и магнитного поля по обе стороны поперечной плоскости, в которой состыковываются две МПЛ. 131 5.2. Фильтры СВЧ Фильтры являются обычно пассивными взаимными устройствами и характеризуются частотной зависимостью вносимого в тракт затухания: L  ω  Pвх  1  ξ 2 φ2  jω , Pвых (5.55) где Рвх, Рвых – входная и выходная мощности четырехполюсного фильтра; ξ – коэффициент, характеризующий постоянство коэффициента передачи в полосе пропускания; ц – функция аппроксимации (фильтрации). Полоса частот с малым затуханием называется полосой пропускания, а полоса частот с большим затуханием – полосой заграждения. Полосы пропускания и заграждения определяются по граничным частотам (частотам среза), выделяемым по заданным уровням затухания. По взаимному расположению полос пропускания и заграждения принято выделять следующие типы фильтров: – фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающие частотные составляющие сигналов ниже заданной граничной частоты и подавляющие спектральные составляющие сигналов с частотами выше граничной; – фильтры верхних частот (ФВЧ), пропускающие сигналы на частотах выше заданной и подавляющие спектральные составляющие других частот; – полосно-пропускающие (полосовые) (ППФ), пропускающие спектральные составляющие сигнала в пределах заданной полосы частот и подавляющие составляющие сигнала вне этой полосы; – полосно-заграждающие (режекторные) (ПЗФ), подавляющие сигналы в пределах заданной полосы частот и пропускающие спектральные составляющие сигнала вне этой полосы; – специальные, имеющие сложную частотную характеристику. Частотные характеристики рабочего затухания L и структурные обозначения ФНЧ, ФВЧ, ППФ и ПЗФ приведены на рис. 5.15. 5.2.1. Низкочастотное прототипирование и синтез фильтров СВЧ Расчет фильтров производится с помощью специальных преобразований с использованием низкочастотного прототипа: при этом осуществляются следующие переходы: – для ФНЧ Ω ω , ωнч где ωнч – граничная частота; 132 Ω  ωвч – для ФВЧ где ωвч – граничная частота; Ω – для ППФ ωпп = ω ω ωпп  1 Δδпп , ωпп , , ω0 – средняя частота в полосе пропускания, Δδпп ω0 относительная величина полосы пропускания; Δδпз Ω – для ПЗФ , 1  ωпз ωпз где ωпз  ω , ω0 – средняя частота в полосе заграждения, Δδпз ω0 относительная величина полосы заграждения. где а – – б в г Рис. 5.15. Частотные характеристики фильтров Вид характеристики низкочастотного прототипа зависит от функции аппроксимации (фильтрации), которая определяет тип фильтра. В настоящее время наиболее распространенной методикой расчета фильтров СВЧ является методика, согласно которой вначале рассчитывается низкочастотный (НЧ) фильтр-прототип. Нахождение параметров схемы 133 фильтра-прототипа по заданной частотной характеристике фильтра является задачей параметрического синтеза. Для общности результатов все величины нормируются. Сопротивления нагрузки и генератора принимаются равными единице. Наряду с нормировкой по сопротивлению проводится нормировка по частоте, например, граничная частота полосы пропускания принимается равной единице. Таким образом, расчет фильтра СВЧ сводится к синтезу схемы НЧ-прототипа и замене элементов с сосредоточенными параметрами их эквивалентами с распределенными параметрами. Для аппроксимации частотных характеристик затухания применяется ряд функций, удовлетворяющих условиям физической реализуемости фильтров. В настоящее время применяют следующие виды аппроксимаций фильтров: 1. Баттерворта φ(Ω)  Ω n , (5.56) φ(Ω)  cos(n arctgΩ). (5.57) где n – число звеньев фильтра. 2. Чебышева 3. Кауэра φ(Ω)  H1  μ Ω2oμ  Ω2 Ωμ2  Ω2 . (5.58) Здесь Ω oμ и Ωμ – нули и полюсы, определяемые функцией Якоби, H 1 – постоянный коэффициент. Характеристика затухания фильтра Баттерворта приведена на рис. 5.16, а. Фильтр Баттерворта характеризуется монотонным изменением затухания в полосе пропускания и задерживания. а б в Рис. 5.16. Частотные характеристики затухания фильтров: а – Баттерворта; б – Чебышева; в – Кауэра 134 Характеристика затухания фильтра Чебышева имеет равноволновой колебательный характер в полосе пропускания и монотонный – в полосе задерживания (рис. 5.16, б). Частотные характеристики фильтров Кауэра имеют колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания (рис. 5.16, в). Характеристики затухания фильтров Бесселя монотонны в полосе пропускания и задерживания. Кроме указанных применяются также аппроксимации ультрасферическими полиномами (полиномами Гегенбауэра), полиномами Лежандра, Лагерра, Эрмита и др. При одинаковом числе звеньев и полосе пропускания большую крутизну спада АЧХ имеет фильтр с равноволновой характеристикой. Следовательно, при одинаковых полосе и крутизне спада указанный фильтр имеет меньшее число звеньев. В то же время его ФЧХ менее линейна, чем ФЧХ фильтра с максимально плоской АЧХ. Фильтры Чебышева обеспечивают наилучшее приближение к идеальной прямоугольной частотной характеристике при заданном числе звеньев фильтра. Фильтр Кауэра обеспечивает быстрое увеличение затухания сразу же за частотой среза и до первой режекторной частоты. Характеристика затухания фильтра Кауэра имеет минимумы в полосе задерживания. Фильтры с линейной фазовой характеристикой применяются в тех случаях, когда требуется обеспечить постоянство группового времени задержки. Лучшими ФЧХ обладают фильтры с гладкой аппроксимирующей функцией, (фильтр Бесселя и Баттерворта). Фильтр Бесселя, обладая хорошими фазовыми характеристиками, имеет меньшее затухание, чем фильтр Баттерворта. 5.3. Общие принципы построение фильтров СВЧ на неоднородных линиях В табл. 5.1 приведены эквивалентные схемы низкочастотных прототипов фильтров, используемые при реализации этих фильтров. После выбора прототипа фильтра и преобразования частотной переменной возникает задача, связанная с заменой идеальных сосредоточенных элементов прототипа. Решение этой задачи осуществляется в зависимости от диапазона частот, в котором должен работать фильтр, типа применяемых линий передачи, требований к относительной полосе пропускания фильтра и др. Наиболее распространенный прием – замена сосредоточенных емкостей, индуктивностей и колебательных контуров отрезками линий передачи, которая особенно удобна, если относительная полоса пропускаемых частот фильтра превышает 5 %. Примеры замены сосредоточенных индуктивностей и емкостей, последовательных и параллельных резонансных контуров полосовых фильтров, обычно реализовываемые в виде отрезков линий передачи, рассмотрены в разд. 4. 135 Таблица 5.1. Эквивалентные схемы низкочастотных прототипов фильтров В лестничном прототипе полосно-пропускающего фильтра с чередованием последовательных и параллельных резонансных контуров все контуры должны вплотную примыкать один к другому, что создает определенные сложности при реализации фильтров. Этот недостаток можно устранить с переходом к новому прототипу с четвертьволновыми связями, в котором резонансные контуры включаются в линию передачи на расстоянии λв/4 один от другого. Принцип построения фильтров с четвертьволновыми связями основан на эквивалентности двух четырехполюсников: четырехполюсника в виде сосредоточенного последовательного нормированного сопротивления z в разрыве линии передачи и полуволнового отрезка линии передачи с сосредоточенной нормированной проводимостью у = z, шунтирующей отрезок в его средней точке (рис. 5.17). Эквивалентность устанавливается сравнением классических матриц передачи четырехполюсников. Пусть полуволновый отрезок линии передачи зашунтирован проводимостью у в виде каскадного соединения трех элементарных четырехполюсников: отрезка регулярной линии передачи длиной λв/4, параллельной проводимости у и второго отрезка длиной λв/4. 136 Рис. 5.17. К пояснению принципа образования четвертьволновых связей При построении фильтра с четвертьволновыми связями все последовательные контуры прототипа заменяют полуволновыми отрезками линии передачи, шунтированными в серединах параллельными резонансными контурами; при этом схема фильтра принимает вид, показанный на рис. 5.18. z Рис. 5.18. Реализация ППФ с четвертьволновой связью Полная эквивалентность построенного таким образом фильтра и его прототипа имеет место лишь на средней частоте, где длина отрезков линий связи равна точно λв/4. В качестве колебательных контуров в фильтрах с четвертьволновыми связями можно применять параллельные шлейфы, резонансные диафрагмы, а также объемные резонаторы различных типов. Существенным недостатком фильтров с четвертьволновыми связями является увеличение габаритов из-за присутствия соединительных отрезков линий между соседними резонаторами. Этот недостаток может быть устранен переходом к непосредственным связям соседних резонаторов. Как известно, сопротивления неоднородностей, включенных через λ/2 вдоль линии, суммируются. Поэтому подключение к линии передачи через λ/2 резонаторов, выполненных на отрезках этой же линии передачи или же в виде объемных резонаторов, позволяет получить полосовой фильтр. Выбирая соответствующим образом резонансные частоты резонаторов и их параметры, можно получить требуемую частотную характеристику фильтра. Фильтры нарезонаторах реализуются как ППФ или ПЗФ. ППФ, выполненный на трех закороченных отрезках двухпроводной 137 линии, показан на рис. 5.19, где l1, l2, l3 – длины закороченных отрезков. Когда l2> l1> l3, полоса пропускания фильтра получается более широкой. Очевидно, что такой фильтр пропускает частоты около средней частоты, для которой длина волны определяется как λср = l1/4. Рис. 5.19. Реализация ППФ с полуволновой связью 5.3.1. Построение фильтров СВЧ на микрополосковых линиях ФНЧ образуется линейным проводником, имеющим конфигурацию, показанную на рис. 5.20, а. На рис. 5.39, б показана эквивалентная электрическая схема этого фильтра. Участок l1 линии имеет большее волновое сопротивление, относительно сопротивления подводящей линии, а участок l2 имеет меньшее сопротивление. Если l1< λ1/4 и l2< λ1/4 (λ1 соответствует граничной частоте ФНЧ), то участок l1 имеет индуктивное сопротивление, так как является аналогом закороченного отрезка линии передачи длиной меньше λ/4, а участок l2 имеет емкостное сопротивление, так как является аналогом разомкнутого отрезка линии передачи с длиной меньше λ/4. Расчет параметров этих неоднородностей был рассмотрен в предыдущем разделе. Рис. 5.20. ФНЧ на МПЛ: а – конфигурация; б – эквивалентная схема 138 ФВЧ образуется с помощью отрезков линий, закороченных на конце и разрывов в основной линии передачи (рис. 5.21, а). Длины закороченных отрезков l1, l2, l3 должны удовлетворять условиям, рассмотренным выше для ФНЧ. Разрывы в основной МЛП образуют последовательные ёмкости. Эквивалентная схема фильтра приведена на рис 5.21, б. Рис. 5.21. ФВЧ на МЛП: конструкция (а); эквивалентная схема (б) Имеется большое количество конструкций ППФ на МПЛ. На рис. 5.22, а показана конструкция фильтра, образованная системой последовательных резонаторов СВЧ, выполненных в виде разомкнутых отрезков линии передачи длиной λ0/2 (λ0 – длина волны, соответствующая средней частоте), связь между контурами образуется небольшими разрывами в линии передачи S1, S2 и т.д. Эквивалентная схема такого фильтра показана на рис. 5.22, б. Рис. 5.22. ППФ на МПЛ с торцевой связью резонаторов: а – конструкция; б – эквивалентная схема Сравнительно большие габаритные размеры являются основным недостатком данной конструкции ППФ. Конструкция ППФ на встречных стержнях приведена на рис. 5.23, а. 139 Фильтр определяет систему близкорасположенных резонаторов СВЧ, выполненных на четвертьволновых закороченных отрезках, связанных друг с другом за счет краевых полей. Эквивалентная схема этого фильтра приведена на рис. 5.23, б. Рис. 5.23. ППФ на встречных стержнях: а – конструкция; б – эквивалентная схема Конструкция ПЗФ, состоящего из подключенных через четверть волны ответвлений линий передачи, включающих узкий l1 и широкий l2 проводники, приведена на рис. 5.24, а. Такое ответвление эквивалентно последовательному соединению индуктивности и емкости. Если эквивалентные индуктивность и емкость образуют резонанс на частоте f0, то в МПЛ сопротивление в точках подключения отвода оказывается близким к нулю. В этом случае сопротивление участка линии передачи будет очень большим – отрезок длиной λ/4 закорочен на конце. Эквивалентная схема ПЗФ приведена на рис. 5.24, б. Рис. 5.24. ПЗФ: а – конструкция; б – эквивалентная схема; l1, l2 – отрезки линии, создающие последовательный контур Фильтры, выполненные на МПЛ, обладают рядом преимуществ, основными из которых являются: технологичность – при серийном изготовлении стоимость фильтра резко снижается; малые габариты – их конструкции поддаются точному расчету, что позволяет автоматизировать 140 проектирование с помощью ЭВМ. Недостатком является относительно большая величина потерь, обусловленная свойствами МПЛ. Одной из серьезных проблем, возникающих при проектировании фильтров, является получение узких полос пропускания. Это вызвано ограниченной добротностью существующих типов линий передачи, применяемых в современной микроэлектронике СВЧ. Для реализации узкополосных фильтров с малыми потерями в полосе пропускания применяют различные высокодобротные резонаторы, например, на акустических линиях, на ферритовых сферах, а также объемные диэлектрические резонаторы. Значительного уменьшения массогабаритных параметров фильтров можно достичь при использовании объемных многослойных структур, реализующихся в ОИС СВЧ. Некоторые примеры многослойных фильтров на ОИС СВЧ и КВЧ приведены на рис. 5.25 и 5.26. Так, на рис. 5.25, а, б показаны конструкции избирательных двухзвенных ППФ, а на 5.44, в – ФНЧ, выполненных из симметричных экспоненциальных линий, связанных через диафрагмы. Достоинством такого фильтра являются увеличенная ширина полосы заграждения, неравномерный (неэквидистантный) спектр резонансных частот и низкий уровень паразитных эффектов, связанный с высшими типами волн и колебаний. Для повышения крутизны скатов характеристики избирательности следует применять резонаторы, нагруженные определенным образом. В качестве примера на рис. 5.25, б показана схема конструкции полоснопропускающего фильтра, обеспечивающая полюсы затухания высокого порядка. Центральные резонаторы такого фильтра следует нагрузить на разомкнутые отрезки неоднородных линий. а б в Рис. 5.25. Схема конструкции двухзвенного ППФ и фильтра ФНЧ на симметричных экспоненциальных линиях, связанных через диафрагмы На рис. 5.46 приведены схемы конструкций двухзвенных ППФ на ступенчатых линиях передачи ( рис. 5.26 , а) и на Т-образных ячейках (рис. 5.45, б), а также на ячейке Вигнера-Зейтца (рис. 5.26, в). Наряду с неоднородными ЛП в качестве элементов фильтров применяют структуры в виде наборных ячеек (многокомпонентные элементы). На рис. 5.26, а 141 показана конструкция двухзвенного полосно-пропускающего фильтра на симметричных ступенчатых линиях, связанных через диафрагмы. Аналогично выполняют фильтры на основе Т-образных ячеек ( см. рис. 5.26, б). Многокомпонентные элементы могут содержать как отрезки однородных линий, так и неоднородных. На рис. 5.26, в показана схема конструкции фильтра на ячейке Вигнера–Зейтца, состоящей из неоднородных линий. а б в Рис. 5.26. Схемы конструкций двухзвен ных ППФ: а – на ступенчатых линиях передачи; б – на Т-образных ячейках; в – на ячейке Вигнера–Зейтца В упомянутых фильтрах диафрагма сохраняет свойства резонатора в многослойной структуре. Однако возможен и другой метод конструирования, при котором профилированные диафрагмы наделяют избирательную структуру новыми свойствами. Улучшить характеристику избирательности фильтров можно при использовании многослойных структур, в которых существуют связи между несмежными резонаторами, например, при «сгибании» плоскостной цепи, проходящей через различные слои многослойной структуры. 5.3.2. Построение фильтров СВЧ на микрополосковых резонаторах Топология микрополоскового фильтра с обозначением конструктивных параметров представлена на рис. 5.27, а. Каждый резонатор содержит нерегулярный шлейф, благодаря чему в каждом резонаторе на частотах, близких к основному полуволновому резонансу, возбуждаются две моды колебания, причем одна из них участвует только в формировании полосы пропускания, а на частоте второй, дополнительной, моды происходит еще и режекция СВЧ-мощности. 142 а б Рис. 5.27. Топология двухмодового микрополоскового фильтра (а) и его частотная характеристика (б) прямых и обратных потерь Эти обстоятельства приводят к тому, что частотная характеристика обратных потерь данного фильтра имеет вид, как у четырехзвенного, и, кроме того, увеличивается крутизна склонов частотной характеристики прямых потерь за счет режекции вблизи полосы пропускания (рис. 5.27, б). Высокие селективные свойства такой конструкции фильтра делают ее очень перспективной, однако препятствием к ее широкому применению является трудность расчета такой конструкции. Характерная особенность, которая отличает этот фильтр от обычных фильтров на полуволновых резонаторах, заключается в том, что в нем на один резонатор приходится больше настраиваемых параметров топологии. Всего данный фильтр имеет девять основных настраиваемых параметров, в то время как у обычного четырехзвенного их шесть. Кроме того, изменение одного (из возможных) параметра топологии приводит к одновременному существенному изменению нескольких параметров частотной характеристики, которые в свою очередь зависят от множества других параметров топологии фильтра. Например, параметр d1 влияет и на центральную частоту, и на ширину полосы пропускания, и на обратные потери одновременно, но, кроме этого, на те же самые параметры частотной характеристики оказывают существенное влияние такие параметры топологии, как длина резонатора lw, длина другого шлейфа d2, зазор между резонаторами S, координата подключения фильтра к внешней линии lc. Все это создает значительные трудности при выборе нужного параметра топологии фильтра для корректировки частотной характеристики и усложняет процесс настройки. Следует отметить некоторые особенности частотной характеристики, незаметные на первый взгляд. На рис. 5.27, б хорошо видны экстремумы прямых потерь (обозначены буквами a и b), на частотах которых при некоторых высоких значениях добротности могут возникать малоинтенсивные пики обратных потерь, составляющие десятые доли децибела. 143 5.4. Волноводные фильтры СВЧ Волноводные фильтры в последнее время все чаще применяют в коротковолновой части сантиметрового и длинноволновой части миллиметрового диапазонов волн, где они имеют лучшие характеристики по сравнению с фильтрами на полосковых линиях и диэлектрических резонаторах. Однако, последние уверенно вытеснили волноводные фильтры из дециметрового и длинноволновой части сантиметрового диапазонов. На рис.5.28 а изображена конструкция волноводного ППФ на индуктивных штырях, здесь полуволновые резонаторы связаны через четвертьволновые отрезки. Достоинство фильтра с четвертьволновыми связями состоит в простоте настройки. Каждое звено можно настраивать индивидуально на резонансную частоту с помощью емкостного винта, а потом – провести сборку всего устройства. Недостаток такого фильтра – большие габариты. Волноводный ППФ на диафрагмах с непосредственной связью (рис.5.28, б) имеет сравнительно меньшую длину, однако он сложнее в настройке. На рис.5.28 в приведена конструкция РФ на короткозамкнутых шлейфах. Высокую технологичность для реализации в миллиметровом диапазоне имеют так называемые fin-line фильтры, которые образуются размещением в прямоугольном волноводе избирательно металлизированной диэлектрической ленты или металлической перфорированной ленты в (рис.5.28,г). В настоящее время коаксиальные фильтры, по-видимому, применяются реже, чем фильтры других типов. Основным применением коаксиальных фильтров можно считать ФНЧ (рис.5.28, д). На рис.5.28 ,е изображена конструкция коаксиального ППФ. Наибольшим технологическим достоинством коаксиальных фильтров остается простора их изготовления при высокой точности допусков на размеры элементов. К недостаткам следует отнести высокую металлоемкость и большие габариты в длинноволновой части СВЧ диапазона, где они характеризуются наибольшей добротностью. Λ/2 Λ/4 Λ/2 Λ/2 Λ/2 а б А А А-А в г д е Рис. 5.28. Фи льтры СВЧ: а – волноводный ППФ на индуктивных штырях; б - волноводный ППФ на диафрагмах; в - РФ на короткозамкнутых шлейфах; г - fin-line фильтр; д – коаксиальный ФНЧ; е – коаксиальный ППФ. 144