Резонансные свойства электрических цепей синусоидального тока

ЛЕКЦИЯ 4. РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Мы уже знаем, что алгебраическая форма комплексного сопротивления Z имеет действительную R и мнимую jX части Z  R  jX . Значение действительной и мнимой частей определяются составом и структурой схемы. Для схемы с последовательно включенными R, L, и С элементами реактивное сопротивление X  L  1 . C Очевидно, что значение слагаемых зависит от частоты  . При малых частотах емкостная составляющая имеет большое значение, а индуктивная малое. Поэтому реактивное сопротивление схемы Х принимает емкостной характер. При больших частотах Х принимает индуктивный характер. Существует такая частота 0 , при которой 0 L  1 . 0 C При этой частоте реактивное сопротивление равно нулю, а комплексное сопротивление цепи становится активным. Такой режим выделяют особо и называют резонансным. Под резонансным режимом работы электрической цепи понимают режим, при котором ее сопротивление является чисто активным. Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений. 1. Резонанс токов Резонанс токов возникает в цепи с параллельным включением элементов (рис.5.1). Такая цепь содержит два сложных потенциальных узла, а все элементы находятся под одним и тем же напряжением e(t )  u (t )  U m  sin t . 1 (5.1) ĪC i ĪR 1 iR R iL L Ū φ iC С Ī e(t) Īr = ĪL - ĪC ĪC ĪL ĪL 1' Рис. 5.2 Рис. 5.1 Для любого из узлов - 1 или 1’ справедлив первый закон Кирхгофа: i (t )  i R (t )  i L (t )  iC (t ). (5.2) Применяя к (5.2) выражения (1.7) и (1.12) приведем его к виду t i(t )  u (t ) 1 du (t )   u (t )dt  C . R L0 dt (5.3) Подставим в (5.3) вместо u(t) его значение из (5.1) и решим его i(t )  Um U  sin t  m cos t  U m C  cos t. R L (5.4) Векторная диаграмма, построенная по (5.4) приведена на рис. 5.2. В качестве исходного в ней принят общий для всех элементов цепи вектор напряжения U . С этим вектором совпадает по направлению вектор тока через резистор. Его величина равна U IR  . R Вектор тока через индуктивность I L  U / L отстает от вектора напряжения, а вектор тока через емкость опережает его на 90о. Проведем последовательное сложение векторов I a , I L , I C . Результатом сложения является вектор I . Он сдвинут по фазе относительно вектора U на угол . Разность векторов I L иI C дает вектор реактивного тока I r . Его величина I r  UC  U 1    U  C  . L L   2 (5.5) Векторы I a ; I и I r образуют треугольник токов. Для этого треугольника справедливы выражения 2 2 1  1  2 2 I  I  I  U     C   U G  B . L  R  2 a 2 r (5.6) 1 L  arctg B . (5.7) 1 G R Треугольник токов наглядно показывает, что для достижения резонанса в цепи необходимо обеспечить равенства противофазных токов I L и I C . Тогда результирующий реактивный ток цепи I r и угол  будут равны нулю, а сопротивление цепи станет активным. Из выражения (5.5) видно что I r может быть равно нулю при соблюдении условия I   аrctg r  arctg Ia C  С  1  0. L (5.8) Отсюда легко определить: -частоту 0 , на которой наступает резонанс (резонансную частоту) при заданных значениях элементов L и С  0 1 ; LC (5.9) -значение одного из элементов L или С, если заданы резонансная частота 0 и другой элемент 1 1 (5.10) L 2 , C 2 . 0 C 0 L Определим значение тока всей цепи и токов, протекающих в ее ветвях в режиме резонанса. Действующее значение тока всей цепи I 0 на частоте 0 легко найти по (5.6) I0  U R (5.11) Но это значение равно току, протекающему через активное сопротивление цепи I R т.е. 3 I0  IR (5.12) Ток, протекающий через элемент L определим по закону Ома U . 0 L Подставляя в (5.13) вместо U его значение из (5.11) получим I oL  U  YL  I 0L  (5.13) R I . 0 L 0 (5.14) Аналогично определяем выражение для тока через элемент I oC  R 0CI 0 (5.15) Принимая во внимание (5.8) нетрудно сделать вывод о том, что токи протекающие через индуктивный и емкостной элементы равны по величине, но противоположны по фазе. Величина Q равная R  R 0C  Q 0 L (5.16) может быть больше единицы, в специальных устройствах достигает несколько десятков и сотен единиц и называется добротностью. Еще раз подчеркнем замечательную особенность цепи в режиме резонанса. Токи протекающие в ветвях реактивных элементов могут принимать значения в десятки и сотни раз больше общего тока цепи. Поэтому резонанс цепи называют резонансом токов. Очень важно и то, что они противофазны. Именно это указывает на то, что в цепи происходит колебательный процесс с частотой 0 по передаче электрической энергии конденсатора в магнитную энергию индуктивности и наоборот. Энергия источника на этот процесс не затрачивается (при идеальных L и С). Она расходуется только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь рис.5.1. называют параллельным колебательным контуром. Чтобы завершить анализ цепи рассмотрим зависимость ее токов и напряжения от частоты (рис.5.4). Ток, протекающий через элемент R - iR ĪC i, u ĪR iL iC u Ū i iR ĪL ω0 Рис. 5.3 Рис. 5.4 4 ω определяется законом Ома и не зависит от частоты. Ток через емкость ic согласно (5.15) прямопропорционален частоте, а ток через индуктивность iL обратнопропорционален. На частоте 0 они равны по величине, но противоположны по направлению. Общий ток цепи определяется суммой трех токов. Поэтому он имеет большое значение на частотах, дальних от резонансной, но принимает значение iR на резонансной частоте. Физически это означает что на резонансной частоте проводимость цепи минимальна ( она равна проводимости только элемента R). Поэтому падение напряжения между узлами 1-1’ максимально на частоте 0 и имеет вид резонансной огибающей. В силу этих качеств параллельный колебательный контур широко применяют в радио и радиотехнических устройствах для выделения сигналов на заданной частоте. 2. Резонанс напряжений Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным включением элементов (рис.5.5). u,i R1 uC uL L E С e(t) i ω ωСм ω0 ωLм Рис. 5.5 Известно, что выражением Рис. 5.6 комплексное сопротивление Z  R  j(L  токов цепи определяется 1 ). C По определению резонанс в цепи рис.5.5 наступает, когда выполнится условие L  1 . C Отсюда видно, что резонанс в цепи возникает на частоте 0  1 / LC . Очевидно также, что L  1 / 02C , C  1 / 02 L . Видим, что полученные выражения полностью соответствуют (5.9) и (5.10). Это подтверждает единство физической сути различных видов резонанса. 5 Определим ток и напряжение всей цепи , а также падение напряжения на ее отдельных элементах в режиме резонанса. Так как сопротивление всей цепи в режиме резонанса минимально и равно R то ток в ней максимален и равен E (5.17) I0  , R а падение напряжения определяется ЭДС источника - Е. Падение напряжения на отдельных элементах легко найти по закону Ома. Так, падение напряжения на резисторе R равно U 0R  R  I 0  E . (5.18) Тривиальный математически результат интересен по физической сути. Все напряжение источника выделяется на одном элементе цепи. Падение напряжения на индуктивности равно U 0L  X L  I 0  0L R E. (5.19) Величина 0 L R Q (5.20) называется добротностью и может принимать значение десятков и сотен единиц. Значит, падение напряжения на индуктивности может в десятки и сотни раз превышать ЭДС источника. Падение напряжения на емкости равно U 0C  X C  I 0  E / R 0C . (5.21) Так как 0 L / R  1 / R0 C , то падение напряжения на емкости равно по величине падению напряжения на индуктивности, но согласно (5.8) они противоположны по знаку. Отношение напряжения на индуктивности или на емкости в режиме резонанса к току в этом режиме называют характеристическим сопротивлением  , причем  U 0L 0 L R   E   0 L  I0 R E L2 L .  LC C (5.22) В силу того что U 0 L  U 0C  E , рассматриваемый режим назван резонансом напряжений. Противофазность напряжений U 0C и U 0 L указывает на то, что в цепи происходит такой же колебательный процесс с частотой 0 , как и в параллельном колебательном контуре. 6 Здесь также энергия источника затрачивается только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь называется последовательным колебательным контуром. Завершим анализ резонанса напряжений разбором частотной зависимости тока цепи рис.5.5. и падений напряжений на элементах L и С от частоты (рис.5.6). На рисунке пунктиром отмечен график ЭДС. Падение напряжения на идеальной индуктивности при   0 равно нулю. С увеличением частоты сопротивление индуктивности, а значит и падение напряжения на ней увеличивается. Когда частота устремляется в бесконечность сопротивление ХL также устремляется в бесконечность. При этом падение напряжения стремится к Е. Между крайними точками существует экстремум напряжения U Lm который находится по формуле U Lm  U L0 R2 1 4 2 . (5.23) Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением  Lm  0 R2 1 2 2 . (5.24) Сопротивление емкости на частоте   0 равно бесконечности и значит напряжение на ее обкладках равно Е. С увеличением частоты сопротивление Х С уменьшается, а при    стремится к нулю. Между крайними точками также существует экстремум причем U Cm  UC0 R2 1 4 2 . (5.25) Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением  Сm   0  1  R2 . 2 2 (5.26) Так как подкоренное выражение в (5.24) и (5.26) всегда меньше единицы то очевидно, что  Cm  0  Lm . Кроме того 7 U L0  U C 0 U Lm  U Cm . В силу этих особенностей единственным верным признаком наступления резонанса в цепи является максимум тока, значение которого изменяется с изменением частоты по резонансной кривой. 8