Резонанс в электрической цепи. Компенсация реактивной мощности. Расчет эффективности использования КУ

4.4 Резонанс в электрической цепи Резонанс напряжений. Рассмотрим последовательное соединение резистора с сопротивлением R , идеальной катушки с индуктивностью L и идеального конденсатора с емкостью C ( RLC контур).Пусть напряжение на входе u (t )  U m sin t , частота   2f . Для мгновенных значений напряжений на участках, напряжения и тока u(t )  uR (t )  uL (t )  uC (t ) , uR (t )  Ri(t ) , uL (t )  L di 1 , uC (t )   idt . C dt Применим комплексный метод расчета. Комплексная схема замещения на заданной частоте ( X L  L , X C  1 C ) имеет вид: U  U R  U L  U C  Z  I Полное (входное) комплексное сопротивление: Z U  R  jX L  jX C  R  j ( X L  X C ) . I X Векторные диаграммы комплексов напряжения и комплекса тока: При X L  X C ток отстает от При X L  X C ток опережает При X L  X C ток и входное входного напряжения (индуктивный характер входного сопротивления) входное напряжение (емкостной характер входного сопротивления) напряжение совпадают по фазе (резистивный характер входного сопротивления) При изменении частоты входного синусоидального напряжения проводятся измерения действующих значений тока, напряжения на отдельных элементах, строятся частотные характеристики Z () , () и резонансные кривые I () , U R () , U L () , U C () . Действующее значение напряжения на входе в таком случае поддерживается неизменным. При равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений в цепи наблюдается резонанс напряжений. В таком случае в любой момент времени мгновенные значения напряжений на реактивных элементах равны, сдвинуты по фазе на половину периода и, следовательно, противоположны по знаку. Входное напряжение совпадает с напряжением на резисторе, т.е. совпадает по фазе с током. Реактивные мощности также равны и противоположны по знаку, увеличение энергии магнитного поля в катушке происходит в результате уменьшения электрической энергии, запасенной в конденсаторе; увеличение электрической энергии из-за уменьшения магнитной энергии. Происходит обмен энергии между реактивными элементами, генератор расходует энергию на активном сопротивлении. Коэффициент мощности в условиях резонанса cos   R  1 , так как Z X  X L  X C  0 и Z  R . Угловая частота 0 (  р ), при которой наблюдается резонанс находится из условия 0 L  1 . Для исследования LC 1 , т.е равна 0  0C резонансных явлений вводят расчетные величины: характеристическое сопротивление   0 L  U 1 и добротность конура Q  L U 0C  0 UC U  0  . R Резонансные кривые тока и напряжения также строят в относительных единицах; для разных значений добротности контура кривые Резонансные кривые напряжений: I () имеют вид: Ip Замечание: Для цепи с добротностью Q  1 2 возрастание UL от нуля до значения U происходит монотонно, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UL при некоторой частоте L   p достигает максимального значения ULmax>U, а затем уменьшается до значения U. Для цепи с добротностью Q  1 монотонно убывает от U до нуля, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UС 2 напряжение UС при некоторой частоте C   p достигает максимального значения UCmax >U, а затем уменьшается до нуля. Частотные характеристики последовательного контура: Резонансные кривые и частотные характеристики показывают, что цепь обладает избирательными свойствами: обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к резонансной. Избирательные свойства широко используются в электротехнике и радиотехнике. При этом режим резонанса является нормальным режимом работы устройства. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, значительные токи и напряжения могут быть опасными. Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура, которую определяют как разность частот, между которыми ток превышает значение линии I  Ip 2 ( Ip 2 ( I 1  ). Пересечение горизонтальной Ip 2 I 1  ) с резонансными кривыми определяет граничные частоты 1 и Ip 2 2, между которыми расположена полоса пропускания. Чем выше добротность, тем уже полоса пропускания: Q  p 1 2 . Модуль комплексного сопротивления цепи 2     p  1  1   2 2 2 2 Z ()  R 2   L   R   L   R 1  Q      p     LC  C     p p p     Ip Действующее значение тока I ()  . 2   p  1  Q2       p  2 2 Пример 16. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом. Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротность Q=1. U C () U L () U R () 0 0 Пример 17. На осциллографе представлены резонансные кривые RLC -контура для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=20 Ом. Резонансная частота 0=1000 рад/с, добротность Q=0,5. U C () U R () U L () 0 Параллельное соединение активных и реактивных элементов. Резонанс токов. Рассмотрим параллельное соединение двух активно-индуктивных приемников. Активное сопротивление и индуктивность первого приемника R1 и L1 , второго приемника R2 и L2 . Требуется определить коэффициент мощности каждого приемника и всей цепи. Пусть действующее значение синусоидального источника напряжения U , угловая частота   2f . Полные сопротивления (импедансы) первой и второй ветви Z1  R12  (L1 )2  R12  X12 и Z 2  R22  (L2 )2  R22  X 22 . Действующие значения токов первой и второй ветви I1  U R X 2 1 2 1 и I2  U R X 2 2 2 2 . Токи в ветвях отстают от приложенного напряжения на углы 1 и 2 , определяемые из равенства R1 R и cos 2  2 (коэффициенты мощности приемников). Примем начальную Z1 Z2 фазу приложенного напряжения за нулевую ( U  U 0 ), векторная диаграмма комплексных токов I1  I11 и I2  I 22 будет иметь вид: cos 1  Ток в ветви с источником I представляет собой векторную сумму токов I  I1  I2 . Геометрически каждый вектор может быть представлен как сумма двух составляющих: активной (направлена по вектору напряжения) и реактивной (перпендикулярна вектору напряжения): I  Iа  I р , I1  I1а  I1 р , I2  I2 а  I2 р . Активная и реактивная составляющие могут быть определены как I1а  I1 cos 1 , I 2 а  I 2 cos 2 , I1 р  I1 sin 1 , I 2 р  I 2 sin  2 . Активная составляющая суммарного тока I а  I1а  I 2а , реактивная составляющая I р  I1 р  I 2 р . Действующее значение тока I  мощности всей цепи cos   Iа . I I а2  I р2 , коэффициент Рассмотрим параллельное соединение двух ветвей, одна из которых содержит активное сопротивление R и индуктивность L , другая - конденсатор емкостью С. Пусть начальная фаза приложенного напряжения принята за нулевую ( U  U 0 ), тогда ток в ветви с индуктивностью и активным сопротивлением отстает от напряжения на угол 1 и содержит активную и реактивную составляющие, а ток в ветви с идеальным конденсатором опережает напряжение на угол 2   2 и содержит только реактивную составляющую. Подключение ветви с идеальным конденсатором к активно-индуктивному приемнику уменьшает реактивную составляющую суммарного тока, т.е. увеличивает коэффициент мощности всей цепи. Кроме того, действующее значение суммарного тока становится меньше, что приводит к уменьшению потерь в соединительных проводах и обмотках генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно активно-индуктивной нагрузке. Можно подобрать величину емкости так, чтобы реактивная составляющая суммарного тока равнялась нулю, тогда действующее значение тока будет минимальным и равным активной составляющей. В таком случае I 2  I 2 р  I1 р  I1 sin 1 , I2  U L1 U L1 U   2  U C , I1 sin 1  , 2 2 2 2 2 R  (  L ) XC R1  (L1 ) R1  (L1 ) 1 1 следовательно, C  L1 L1 C  и . Ток на входе цепи и напряжение R12  (L1 )2 R12  (L1 )2 будут совпадать по фазе и в цепи будет наблюдаться резонанс токов. Обмен энергий при резонансе. Определим сумму энергий электрического и магнитного полей цепи W=WЭ+ WМ. Пусть ток в контуре i(t )  I m sin t , напряжение на емкостном элементе при резонансной частоте uC (t )  1  idt  U Cm sin( pt  )  U Cm cos  pt .  C 2 2 CU Cm Li 2 CuC2 LI m2   sin 2  pt  cos 2  pt , но 2 2 2 2 2 CU Cm LI 2 1 L  Im  I m , откуда  m . Следовательно, суммарная энергия  pC C 2 2 Суммарная U Cm энергия W 2 2 LI m2 CU Cm LI m2 CU Cm 2 2 W sin  pt  cos  pt    const (не изменяется с течением 2 2 2 2 времени). Уменьшение энергии магнитного поля сопровождается увеличением энергии электрического поля и наоборот. Энергия, поступающая в цепь от источника питания, целиком переходит в теплоту. Максимальная активная мощность достигается при U2 . Для частот в полосе пропускания  1; 2  активная R  Pp  мощность P   ; Pp  . 2  резонансе: Pp  I p R  2 Резонанс в сложных разветвленных цепях. В разветвленных цепях, содержащих реактивные элементы, условием резонанса является равенство нулю мнимой части комплексного входного сопротивления или проводимости: Im  Z вх   0 или Im Yвх   0 . У разветвленной цепи с несколькими реактивными элементами может быть несколько резонансных частот. Для чисто реактивных участков может быть обеспечен резонанс токов или резонанс напряжений. Условие резонанса для цепей, содержащих активные сопротивления, определяет также условие максимальной активной мощности, т.к. в таком случае входное сопротивление оказывается чисто активным, ток и напряжение на входе совпадают по фазе, cos   1 . Пример 18. Известны параметры элементов цепи, действующее значение напряжения на входе U = const. Определить резонансные частоты. Решение.  p1L  Резонанс токов будет наблюдаться, если I1  I2  I3  0 . Тогда 1 1 и резонансная частота  p1  . Для резонанса напряжений или  p1C2 LC2  1  j p 2 L   j   C  1 p2 2   j 0  C   1 p2 1  j p 2 L  j   p 2 C2    L     C2   1  0 , т.е. такой резонанс  p 2C1  1    p 2 L    C p2 2   1 возможен при условии, что  p 2 L  ,  p 2   p1 . При резонансе напряжений  p 2C2 модуль тока I1 будет максимален, комплексные ток I1 и напряжение U будут совпадать по фазе, т.к. Im  Z вх   0 . Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному в цепи синусоидального тока Рассмотрим соединение активного двухполюсника (А) с пассивным (П). Представим активный двухполюсник последовательной схемой замещения с параметрами U хх , Z вх , а пассивный как Z н . По I методу эквивалентного U xx ( Rвх  Rн )  ( X вх  X н ) 2 2 генератора действующее значение тока: , где Zвх  Rвх  jX вх , Zн  Rн  jX н . Условия передачи максимальной мощности: 1) X вх  X н  0 (сумма реактивных составляющих равна нулю); 2)так как U xx , то I ( Rвх  Rн ) наблюдается при условии должно равняться 2 RнU хх , максимум мощности P  Rн I  ( Rвх  Rн )2 2 dP  0 , т.е Rн  Rвх (активное сопротивление нагрузки dRн активному сопротивлению источника). Следовательно,  Zн  Rн  jX н  Rвх  jX вх  Z вх . К. п. д. при передаче максимальной мощности равен =0, 5. Пример 19. Для цепи известны параметры R1  100 Ом, L  318 мГн. ЭДС источника элементов активного двухполюсника: e(t )  200 2 sin 314t В. Нагрузкой служат сопротивление нагрузки Rн и конденсатор емкостью С, выполняющего роль компенсатора. Найти: 1) При каких значениях Rн и С в нагрузке выделяется максимальная мощность Pmax . 2) Сравнить Pmax с мощностью Р0 в нагрузке при отсутствии компенсатора. Решение: 1) Условие согласования генератора (активного двухполюсника) и нагрузки – входная проводимость генератора равна комплексно-сопряженной проводимости  нагрузки генератора: Yвх.Г  Y н , 1 1   1 1 1    1 j  j где Yвх.Г      См. 3  314  31,8 10   100 100   R jX L   100   1  1 1  1   1 1  Так как Yн    , следовательно Y     j  См. н  XC   Rн ( jX C )   Rн ( jX C )   Rн  Из условия равенства Yвх.Г  Y н получим Rн  100 Ом, X C  100 Ом и C 1  3,18 105 Ф. X C 2) Расчет тока в нагрузке при наличии компенсатора можно провести методом узловых потенциалов. 1  E jX L 200 j100   100  90 1 jX L  1 R1  1 ( jX C )  1 Rн 1 j100  1 100  1 ( j100)  1 100 В, ток в нагрузке Iн  1  90 А. Мощность в сопротивлении нагрузки при согласовании равна: Pmax  I н2 Rн  12 100  100 Вт. 3) Мощность в сопротивлении нагрузки при отсутствии компенсатора: 1  E jX L 200 j100   89,4  63,4 А, ток в нагрузке 1 jX L  1 R1  1 Rн 1 j100  1 100  1 100 Iн  0,894  63,4 А, P0  0,8942 100  80 Вт. Выигрыш по мощности в нагрузке при наличии компенсатора составил 100/80 = 1,25 раза или 25%. 4.5 Компенсация реактивной мощности. Расчет эффективности использования КУ Основные понятия, относящиеся к компенсации реактивной мощности  компенсация реактивной мощности Воздействие на баланс реактивной мощности в узле ЭЭС с целью регулирования напряжения и снижения потерь электроэнергии  компенсирующие устройства (КУ) Синхронные компенсаторы, конденсаторы, предназначенные для компенсации реактивной мощности  конденсаторная батарея Статическое устройство, предназначенное для регулирования реактивной мощности  падение напряжения Разница комплексных напряжений на входе и выходе линии электропередачи (комплексная величина)  потери активной мощности в элементе сети Разница между потоками активной мощности в начале и конце элемента сети  потери реактивной мощности в элементе сети Разница между потоками реактивной мощности в начале и конце элемента сети  потеря напряжения в элементе сети Разница модулей напряжений в начале и конце элемента сети Задача компенсации реактивной мощности состоит в оценки целесообразности установки КУ, количества и мест установки КУ. Рассмотрим вопрос о использовании батареи конденсаторов (КБ), подключаемых параллельно потребителю1. При этом после компенсации повышается коэффициент мощности cos . Затраты на установку компенсирующих конденсаторов окупаются за счет уменьшения действующего значения 2  P  тока в линии, уменьшения потери активной мощности P  I R    R и  U cos   2 потери напряжения U . Для этого необходимо провести расчет емкости батареи конденсаторов. Расчет «падения напряжения» и «потери напряжения» в линии электропередачи (ЛЭП) с известным активным и реактивным сопротивлением. Емкость воздушной линии практически не влияет на передаваемую мощность и для приближенных расчетов линия электропередачи задается активным и индуктивным сопротивлением. По условию задачи приемник также имеет активно-индуктивный характер, заданы активная мощность приемника P2 , действующее значение напряжения приемника (напряжение на выходе линии электропередачи) U 2 и коэффициент мощности приемника. Следует отметить различие в условных изображениях линии электропередачи, используемое в принципиальных схемах ЭЭС и расчетной схемы замещения. 1 см. Параллельное соединение активных и реактивных элементов. Принципиальная схема однофазной Эквивалентная расчетная схема замещения линии линии электропередачи электропередачи Пример 20: Для линии электропередачи с заданными параметрами R , X L определить ток на входе линии I1 , напряжение на входе U1 . Определить «падение напряжения», «потерю напряжения», «потерю мощности» при заданных U 2 , P2 , cos 2 . Пусть U1 - комплекс действующего напряжения на входе линии, U1 - действующее значение напряжения на входе линии, P1 - активная мощность на входе линии; U 2  U 20 - комплекс действующего напряжения на выходе линии (на приемнике), U 2 заданное действующее значение напряжения на выходе линии (на приемнике), P2 активная мощность на выходе линии (на приемнике). Необходимо определить "падение U   U1  U 2 , "потерю напряжения" U  U1  U 2  U1  U 2 , "потерю напряжения" мощности" P  P1  P2 . Решение: Ток в линии I1  I2 . Определим реактивные потери в приемнике: Q2  P2 tg 2 , где tg 2  1  (cos 2 )2 sin 2  . Составим параллельную схему замещения приемника cos 2 cos 2 (активно-индуктивный характер приемника, ток отстает от напряжения, 2  0 ). В таком случае I2  I2  Ia  I p (см. "треугольник токов"). Так как P2 Q  j 2  I 2i 2 . U2 U2 P2  U 2 I a , Q2  U 2 I p , то Ток на входе линии I1  I1i1  I2  I 2i 2 . Комплекс напряжения на входе линии: P P Q  Q  U1  U 2  RI1  jX L I1  U 2  R  2  j 2   jX L  2  j 2  . U2  U2  U 2 U 2 Определим "падение напряжения": P P Q  Q  U   U1  U 2  R  2  j 2   jX L  2  j 2   U2  U2  U 2 U 2 RP RQ2 X P X Q  RP X Q   X P RQ2   2j  j L 2  L 2   2  L 2  j L 2    U акт  jU реакт U2 U2 U2 U2 U2   U2 U2   U2 Напряжение на входе линии U1  U   U 2  U акт  jU реакт  U 2  U1u1 , где U1 - действующее значение напряжения на входе линии. Определим "потерю напряжения": U  U1  U 2 . Активная мощность на входе линии: P1  U1I1 cos(u1  i1 )  U1I1 cos 1 . Активная мощность на выходе линии: P2  U 2 I 2 cos(u 2  i 2 )  U 2 I 2 cos 2 . 2   P2 Разность P  P1  P2 определяет "потерю мощности": P  I R    R.  U 2 cos 2  2 1 Пример 21. Дано: U 2  380 В, P2  80000 Вт, cos 2  0,45 . Параметры линии R  0,25 Ом, X L  0,25 Ом. Определим сдвиг фаз межу синусоидальными напряжением и током на входе приемника (потребителя): 2  arccos0,45  63,3 , тогда tg 2  tg 0,45  1,99 . Реактивная мощность потребителя Q2  P2 tg 2  80000 1,985  159200 Вар. Комплекс тока на входе приемника (потребителя): I2  P2 Q 80000 159200 j 2  j  210,53  j 418,95 А, по условию задачи комплекс тока U2 U2 380 380 в линии I1  I2  I  210,53  j 418,95  468,87  63,3 А. Комплексное напряжение источника (на входе линии) определим с учетом заданных активном и индуктивном сопротивлении линии R  jX L  0,25  j 0,25  0,35345 Ом: U1  U 2  I ( R  jX L )  380  468,87  63,3 0,35345   380  165,51  18,3  380  (157,14  j51,97)  537,14  j51,97  539,65  5,5 B Потеря напряжения U  U1  U 2  539,65  380  159,65 В. Падение напряжения (комплексная величина) U   U1  U 2  165,51  18,3  157,14  j51,97 В. Мощность источника P1  U1I1 cos 1  539,65  468,87  cos(5,5  63,3)  134831,39 Вт, мощность приемника P2  U 2 I 2 cos 2  380  468,87  cos(0  63,3)  80055,44  80000 Вт. Потеря мощности P  P1  P2  134831,39  80000  54831,39 Вт. Проверка расчета: P  I 2 R  468,872  0,25  54959,77  54831,39 Вт. Пример 22: Рассчитать емкость конденсатора Cкомп , чтобы повысить коэффициент мощности cos до cos  . Решение: Так как активная мощность потребителя после компенсации должна остаться неизменной, то не меняется активная составляющая тока I a ( P2  U 2 I a ). Реактивная составляющая тока должна быть меньше и определяется через заданный коэффициент Q I p мощности tg   . Используя векторную диаграмму, можно определить  P2 I a действующее значение тока в ветви с конденсатором: I C  I p  I p  I a tg   I a tg  . IC  U2  CкомпU 2 . XC Cкомп  P U 22 Учитывая, что P  U2Ia , емкость конденсатора: (tg   tg ) . Пример 23. Рассчитать емкость конденсатора, подключение которого параллельно потребителю (Пример 22) увеличивает коэффициент мощности до cos 2  0,86 . Оценить целесообразность использования КУ. После компенсации cos 2  0,86 , tg 2  0,593 . Две составляющие тока в линии активная и реактивная определены в Примере18: I2  I1  Ia  jI p  210,53  j 418,95 A , следовательно I p Ia  tg 2  0,593 и I p  I a tg 2  210,53 0,593  124,84 A . После компенсации I2  I1  Ia  jI p  210,53  j124,84  244,76  30,7 A . Комплексное напряжение источника: U1  380  244,76  30,7 0,35345  380  86, 414,3   380  (83,72  j 21,34)  463,72  j 21,34  464, 212,6 B Потеря напряжения U   U1  U 2  464,21  380  84,21 В. Падение напряжения (комплексная величина): U   U1  U 2  83,72  j 21,34  86,414,3 В. Мощность источника P1  U1I1 cos 1  464,21 244,76cos(2,6  30,7)  94964,47 Вт, приемника P2  U 2 I 2 cos 2  380  244,76cos(30,7)  79973,82  80000 (не изменилась) Потеря мощности P  P1  P2  14964,47 Вт. Проверка расчета: P  I 2 R  244,762  0,25  14976,86  14964,47 Вт. Сравним расчетные величины до (Пример 22) и после компенсации о оценим эффективность использования КУ. До компенсации После компенсации Эффективность U2 380 В 380 В U1 539,65  5,5 464,212,6 В U 159,65 В 84, 21 В U 165,51 18,3 В 86,414,3 I 468,87 А 244,76 А 47,7% P 54831,39 Вт 14964,47 Вт 72,7% S2  U 2 I 178170,6 ВА 93008,8 ВА 47,8% S1  U1I 253025,7 ВА 113620 ВА 55,1% 47,7%