Резонанс в электрических цепях

Краткое содержание 3.7. Цепи с индуктивно-связанными элементами 3.7.8. Передача энергии между индуктивно-связанными элементами. 3.7.9. Трансформатор с линейными характеристиками. Идеальный трансформатор. 3.8. Резонанс в электрических цепях 3.8.1. Резонанс в последовательном контуре. 3.8.2. Резонансные свойства параллельного контура. 3.8.3. Резонанс в сложных разветвленных цепях. Индуктивно-связанные элементы В том случае, если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти элементы индуктивно связаны, возникающую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции. Катушки являются индуктивносвязанными элементами. Схемное изображение 2 3.7.8. Передача энергии между индуктивносвязанными элементами Рассмотрим, как передается энергия между двумя индуктивно связанными катушками. Выделим эти элементы: Пусть комплексные токи в катушках I1 = I11 , I2 = I 22 . Составим выражение для комплексной мощности первого и второго элемента, обусловленные взаимной индукцией: * U L1 U M12 U M 21 U L2 S1M = U M12  I 1 = jMI2 I 1 = jMI 2 I1 ( 2 − 1 ) = = −MI 2 I1 sin ( 2 − 1 ) + jMI 2 I1 cos ( 2 − 1 ) * * Получаем, что S2 M = − S 1M * * S 2 M = U M 21  I 2 = jMI1 I 2 = jMI1I 2 ( 1 − 2 ) = = −MI1I 2 sin ( 1 − 2 ) + jMI1I 2 cos ( 1 − 2 ) Активная мощность: P1M = − P2 M = MI1I 2 sin ( 1 − 2 ) P1M + P2 M = 0 Реактивная мощность: Q1M = Q2 M = MI1I 2 cos ( 1 − 2 ) 3 Передача энергии между индуктивно-связанными элементами Суммарная активная мощность, обусловленная взаимной индукцией и поступающая в оба элемента, равна нулю. Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, в общем случае отлична от нуля и может быть как положительной, так и отрицательной. Если 0  1 − 2   , то P1M  0 , P2 M  0 , т.е. энергия поступает в первый элемент и возвращается обратно в цепь через второй. 4 3.7.9. Трансформатор с линейными характеристиками. Идеальный трансформатор. В простейшем случае трансформатор представляет собой две индуктивно связанные катушки, которые называют обмотками. Как правило, обмотки расположены на общем сердечнике. Воздушный трансформатор не имеет сердечника и используется: 1) для развязки электрических цепей; 2) При согласовании нагрузки и генератора для получения максимальной мощности нагрузки. u1 первичная обмотка i2 (t ) u2 вторичная обмотка приемник источник i1 (t ) Схемное изображение 5 Уравнения линейного трансформатора Линейный трансформатор описывается линейной системой уравнений для комплексных токов и напряжений первичной и вторичной обмоток. первичная обмотка с током I1 подсоединена к источнику с напряжением U1, вторичная обмотка с током I2 подсоединена к приемнику Zн. При показанном на рисунке выборе условно-положительных направлений токи ориентированы одинаково относительно одноименных зажимов. Обозначим: X 1 = L1 , X 2 = L2 , X M = M = kcв X 1 X 2 Уравнения трансформатора U1 = U L1 + U R1 + U M12 0 = U L2 + U R2 + U M 21 − U 2 U 2 = − Z н I2 U L1 = jL1 I1 = jX 1 I1 U R1 = R1 I1 U M12 = jMI2 = jX M I2 U L2 = jL2 I2 = jX 2 I2 U R2 = R2 I2 U M 21 = jMI1 = jX M I1 6 Вносимое сопротивление Обозначим активное сопротивление вторичного контура RII = R2 + Rн реактивное сопротивлениеX II = X 2 + X н . Уравнения трансформатора U1 = ( R1 + jX 1 ) I1 + jX M I2 − jX M I1 = ( RII + jX II ) I2 I2 = − jX M I1 RII + jX II Подставим в первое уравнение:    jX M  X M2 U1 = ( R1 + jX 1 ) I1 + jX M  − I = I R + jX +  1  1 1 1 R + jX  RII + jX II  II II   X M2 ( RII − jX II ) U1 Z вх = = R1 + jX 1 + I RII2 + X II2 7 Комплексное вносимое сопротивление трансформатора Обозначим активное сопротивление вторичного контура RII = R2 + Rн реактивное сопротивление X II = X 2  X н. Входное сопротивление трансформатора X M2 ( RII jX II ) U1 Z вх = = R1 + jX 1 + I RII2 + X II2 Z внос X M2 = Z вх − ( R1 + jX 1 ) = 2 RII 2 RII + X II Rвнос X M2 = 2 RII 2 RII + X II X внос = X M2 j 2 X II 2 RII + X II X M2 X II 2 2 RII + X II вносимое сопротивление Активное вносимое сопротивление всегда больше нуля, реактивное имеет характер, противоположный XII. 8 Трансформатор с разомкнутыми вторичными обмотками Составим уравнения трансформатора при разомкнутой вторичной обмотке (режим «холостого хода») 2   2 1   2 U 2 = + jX M I1 (1) U 2 = − jX M I1 (2) Напряжение на первичной обмотке U1 = ( R1 + jX 1 ) I1 = Z1 I1 Выберем I1 = I10 (1) U 2 (2) U 2 1 2 U1 U L1 U R1 I1 ВДТ и ТДН в режиме «холостого хода» 9 Коэффициент трансформации • • Коэффициент трансформации положительное число n= w1 / w2, где w1 – число витков первичной обмотки, w2 – число витков вторичной обмотки. Комплексный коэффициент трансформации по напряжению U KU = 1 U2 I2 • Комплексный коэффициент трансформации по току K I = I1 U1 =n Трансформатор, для которого выполняется условие U2 при любой нагрузке, называют совершенным трансформатором. Предельный случай совершенного трансформатора называют идеальным. 10 Требования к идеальному трансформатору 1) 2) 3) 4) 5) Активное сопротивление первичной и вторичной обмоток должно быть минимальным: R1 → 0 R2 → 0 Коэффициент связи kсв = 1 или M = L1L2 Для идеального трансформатора U I w KU = 1 = K I = 2 = n = 1 U2 I1 w2 Комплексная мощность первичной цепи равна комплексной мощности вторичной цепи: S1 = S 2 Идеальный трансформатор преобразует сопротивление нагрузки пропорционально квадрату коэффициента трансформации без изменения аргумента: U nU 2 Z вх.ид.тр-ра = 1 = = n2 Zн I2 I1 n Идеальный трансформатор преобразует только модуль сопротивления нагрузки, без изменения аргумента или характера этой нагрузки. 11 3.8. Резонанс в электрических цепях Понятие «резонанс» для режимов электрической цепи взято из курса физики. О резонансных явлениях говорят, когда при исследовании колебательных процессов наблюдается резкое проявление (усиление) какого-либо явления при изменении какого-либо параметра. При этом характеризовать интенсивность колебательного процесса можно по разным критериям. В электрических цепях, содержащих емкостные и индуктивные элементы, исследуют электрические колебания. За критерий резонанса можно взять максимум амплитудного значения заряда конденсатора, что соответствует максимальной амплитуде напряжения на конденсаторе. Этот критерий определяет амплитудный резонанс. В основном в качестве критерия режима резонанса принимают условие совпадения по фазе тока и напряжения в пассивных двухполюсниках, содержащих индуктивные, емкостные и резистивные элементы (фазовый резонанс). В дальнейшем именно этот критерий будет определять «резонанс». Возможен резонанс на участке цепи или вся цепь может быть настроена в резонанс. 12 3.8.1. Резонанс в последовательном контуре Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (R L C – контур). Пусть напряжение на входе u (t ) = U m sin t , частота источника может меняться в широком диапазоне Уравнение цепи u (t ) = u R (t ) + u L (t ) + uC (t ) di uR (t ) = Ri (t ) uL (t ) = L dt Комплексный метод расчета: X L = L , X C = 1 C 1 uC (t ) =  idt C X L = XC U = U R + U L + UC = = RI + jX L I − jX C I активноиндуктивный активноемкостной чисто резистивный13 Резонанс в последовательном контуре U = U R + U L + U C = U ab + U bc + U cd = = RI + jX L I − jX C I Если X L = X C U bd = U bc + U cd = U L + U C = jX L I − jX C I = jI ( X L − X C ) = 0 входное сопротивление цепи чисто активное Z = Z ab = R Из условия L = 1 C следует, что резонанса можно достичь, изменяя частоту напряжения источника или параметры реактивных элементов – индуктивность и емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой: p L = 1  pC p = 1 LC Индуктивное и емкостное сопротивление при резонансной частоте равны: 1 L p L = = =  pC C 14 Характеристическое сопротивление и добротность резонансного контура Характеристическое сопротивление резонансного контура:  = X L  = XC p p = L C Действующие значения напряжения на индуктивном и емкостном элементах при резонансе равны и могут значительно превышать входное напряжение, которое равно напряжению на активном сопротивлении 1В  = p 1В Q= Отношение напряжения на индуктивном и емкостном элементах к входному напряжению при резонансе называют 100 В добротностью контура: LC U U I Q= L = C = = U U RI R UC = 100 U 15 Частотные характеристики последовательного контура Зависимость параметров цепи X () , (), Z () от частоты приложенного напряжения называют частотными характеристиками. U = RI + jX L I − jX C I = ( R + jX L − jX C ) I Z ( ) Z () = R + jX () = R + j  L − 1  = Z ()e j() C   Модуль комплексного входного сопротивления 1   Z () = R 2 +  L −   C   Фазный угол  = u − i 2 1    L −  C   () = arctg R частотные зависимости 16 Резонансные кривые последовательного контура Зависимости действующих значений I () , U R () , U L () , U C () от частоты приложенного напряжения называют резонансными кривыми. U = const Зависимость I () I () = U Z () U R () = RI () U L () = LI () U C () = I () C →0 резонансная кривая тока в относительных единицах I ( p ) = I p = U R  = p → 17 Резонансные кривые последовательного контура Замечание: Для цепи с добротностью Q  1 2 возрастание UL от нуля до значения U происходит монотонно, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UL при некоторой частоте достигает максимального значения ULmax>U, а затем уменьшается до значения U. Для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UС монотонно убывает от U до нуля, а для цепи с добротностью Q  1 2 напряжение UС при некоторой частоте достигает максимального значения UCmax >U, а затем уменьшается до нуля. Пример для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом. Резонансная частота  р=1000 рад/с U R () U L () U C () добротность Q=0,5 добротность Q=1 18 Избирательные свойства резонансного контура Резонансные кривые и частотные характеристики показывают, что цепь обладает избирательными свойствами: обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к резонансной. Избирательные свойства широко используются в электротехнике и радиотехнике. При этом режим резонанса является нормальным режимом работы устройства. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, значительные токи и напряжения могут быть опасными. Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура, которую определяют как разность частот, между которыми ток превышает значение Ip ( I  1 ). 2 Ip 2 Ip Пересечение горизонтальной линии, определяющей значение 2 с резонансными кривыми определяет граничные частоты  1 и  2, между которыми расположена полоса пропускания. 19 Избирательные свойства резонансного контура Чем больше добротность, тем уже полоса пропускания: Q= p 1 −2 Модуль комплексного сопротивления 2 1   Z () = R +  L −  = C   2 2 Действующее значение тока I () = Ip   p  1+ Q  −    p   2   1  2 2 2 = R + p L  −  =   p  p LC    p  2 = R 1+ Q  −     p  2 2 20 Избирательные свойства резонансного контура Пример для U=10 В, L=10 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом. Резонансная частота  р=1000 рад/с добротность Q=0,5 Граничные частоты  1=422 рад/с,  2=2422 рад/с. добротность Q=1 Граничные частоты  1=616 рад/с,  2=1616 рад/с. 21 Обмен энергий при резонансе Определим сумму энергий электрического и магнитного полей цепи W=WЭ+ WМ. Пусть ток в контур i (t ) = I m sin t, напряжение на емкостном элементе при резонансной частоте 1  i d t = U sin(  t − ) = −U Cm cos  pt Cm p  C 2 2 CU Cm Li 2 CuC2 LI m2 2 + = sin  pt + cos 2  pt Суммарная энергия W = 2 2 2 2 2 2 1 L CU Cm LI m = U = I = I так как Cm m m , то 2 2  pC C uC (t ) = 2 2 LI m2 CU Cm LI m2 CU Cm 2 2 W= sin  pt + cos  pt = = = const 2 2 2 2 Максимальная активная мощность достигается при резонансе: 2 U Для частот в полосе пропускания активная Pp = I p2 R = мощность R  Pp  P   ; Pp    1; 2  2  22 3.8.2. Резонанс в параллельном контуре При параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов : Комплексный метод расчета: BL = 1 L BC = C реактивные проводимости I = I R + I L + IC = GU − jBLU + jBCU 1 − C ) Комплексная проводимость Y () = G − jBL + jBC = G − j ( L Если BL = BC , то на участке (b,c) наблюдается резонанс токов: I LC = I L + IC = − jBLU + jBCU = 0 Ybc = YL + YC = − jBL + jBC = 0 Z bc =  I = I R + I L + IC = I R = GU резонансная частота  pC = 1 p L p = 1 LC 23 Частотные характеристики и резонансные кривые параллельного контура Действующее значение тока I LC () = B() U Действующее значение тока I () = 2 I R2 + I LC () при  =  p I LC ( p ) = 0 I ( p ) = I R = GU = B () частотные зависимости U R U = const резонансная кривая I () 24 Последовательный и параллельный резонанс на участке цепи • • Резонанс напряжений на участке цепи при последовательном соединении индуктивного и емкостного элемента обеспечивает нулевую векторную сумму напряжений или короткозамкнутый участок. Резонанс токов на участке цепи при параллельном соединении индуктивного и емкостного элементов обеспечивает векторную сумму токов или разрыв с бесконечно большим сопротивлением этого участка. Условие: X L = X C ( BL = BC ) 1 p L =  pC L, C = const U L + UC = 0 I L + IC = 0 Lp = C= 1 C 2 1 L 2 p = 1 LC , C = const , L = const 25 3.8.3. Резонанс в сложных разветвленных цепях В разветвленных цепях, содержащих реактивные элементы, условием резонанса является равенство нулю мнимой части комплексного входного сопротивления или входной проводимости. У разветвленной цепи с несколькими реактивными элементами может быть несколько резонансных частот. Для чисто реактивных участков может быть обеспечен резонанс токов или резонанс напряжений. Условие резонанса для цепей, содержащих активные сопротивления, определяет также условие максимальной активной мощности, т.к. в таком случае входное сопротивление оказывается чисто активным, ток и напряжение на входе совпадают по фазе cos  = 1 . Im  Z вх  = 0 Im Yвх  = 0 26 Резонанс в сложных разветвленных цепях Пример: Известны параметры элементов цепи, действующее значение напряжения на входе U = const. Определить резонансные частоты. Резонанс токов будет наблюдаться, если 1 I1 = I2 + I3 = 0  p1L =  p1C2 1  p1 = LC2 Резонанс в цепи будет наблюдаться, если Im  Z вх  = 0  1  j p 2 L  − j   C  1 p2 2   −j =0  p 2C1  1   j p 2 L − j   p 2 C2   решение возможно, если  p 2 L   L  C   2  1    p 2 L −   p 2 C2   1  p 2 C2 I1 U совпадают по фазе + 1 =0  p 2C1  p 2   p1 27 Автор доц. каф. ТОЭ НИУ «МЭИ» Жохова М.П. [email protected] 28