Решение уравнения Дирака для свободной частицы

Лекция №9 § 13. Решение уравнения Дирака для свободной частицы В качестве простейшего примера решения уравнения Дирака рассмотрим движение свободной частицы. Имеем iℏ ∂Ψ = (с𝛂𝐩 + mc 2 β)Ψ. ∂t (9.1) В стационарных состояниях зависимость волновой функции от времени можно представить в виде Ψ(𝐫, t) = Ψ(𝐫)exp (− iEt ). ℏ (9.2) Подставляя (9.2) в уравнение Дирака получим EΨ = (с𝛂𝐩 + mc 2 β)Ψ. (9.3) Будем далее рассматривать состояния с определённым импульсом. Тогда решение уравнения (9.3) будем искать в виде плоской волны Ψ(𝐫) = uei𝛂𝐩/ℏ . (9.4) Отсюда для функции u получим уравнение Eu = (с𝛂𝐩 + mc 2 β) u. (9.5) Здесь u − четырёх компонентная функция, которую удобно представить в виде u1 u2 φ u = (u ) = ( χ ), 3 u4 (9.6) u1 u3 где φ = (u ) , χ = (u ), т. е. через двухкомпонентные функции φ и χ. Тогда уравнение 2 4 (9.5) запишется в виде (mc 2 − E)φ + c𝛔𝐩χ = 0 { c𝛔𝐩φ − (mc 2 + E)χ = 0. (9.7) Для того, чтобы полученная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы её детерминант обращался в нуль mc 2 | c𝛔𝐩 − E c𝛔𝐩 | = 0. − (mc 2 + E) (9.8) Раскрывая определитель, получим E 2 − m2 c 4 = c 2 (𝛔𝐩)2 . Учитывая операторное тождество (9.9) (𝛔𝐀)(𝛔𝐁) = 𝐀𝐁 + i𝞂[𝐀 ∙ 𝐁], (9.10) которое справедливо для двух произвольных, коммутирующих с 𝛔 операторов 𝐀 и 𝐁, находим E 2 = c 2 p2 + m2 c 4 (9.11) известное соотношение между энергией и импульсом. Откуда извлекая корень, получим E = ±Ep , (9.12) где Ep = 𝑐√p2 + m2 c 2 . Если E определяется соотношением (9.12) или E = 𝜆Ep , где 𝜆 = ±1, то подставляя (9.12) в (9.7) можно одну двухкомпонентную функцию выразить через другую, например, χ= c𝛔𝐩 φ, mc 2 + λE (9.13) считая φ произвольной функцией. Здесь φ − есть независящая от координат двухкомпонентная спиновая функция, на которую действуют матричные операторы 𝛔. Эту функцию обычно нормируют условием φ+ φ = u1∗ u1 + u2∗ u2 = 1. (9.14) Тогда функция Дирака, соответствующая состояниям с определёнными значениями импульса 𝐩, энергии Ep и знака у энергии 𝜆, может быть записана в виде ipr 𝜑 exp ( ℏ ) Ψ𝐩λ (𝐫) = N ( c𝛔𝐩 φ) , (2πℏ)3/2 mc 2 + λE (9.15) где N − нормировочный множитель, который находится из условия нормировки + ∫ Ψ𝐩λ Ψ𝐩′ 𝛌′ dτ = δλλ′ δ(𝐩 − 𝐩′ ). (9.16) Откуда находим 1/2 mc 2 + λEp N=[ ] 2λEp . (9.17) Рассмотрим положительное решение уравнения Дирака, т. е. 𝜆 = ±1, E = ±Ep и перейдём к нерелятивисткому пределу E~mc 2 ,тогда E = ±Ep = mc 2 + E ′ , где E ′ ≪ mc 2 . Тогда χ= c𝛔𝐩 φ, mc 2 + E ′ φ≈ 𝛔𝐩 v φ~ φ ≪ φ, mс c (9.18) т. е. спинор 𝜒 меньше спинора φ в отношении v/c. Для состояний с E = −Ep , которые соответствуют отрицательным решениям, получим φ≈− c𝛔𝐩 v χ ≈ − χ, mc 2 c (9.19) т. е. функции Ψ1 и Ψ2 являются малыми, а функции Ψ3 и Ψ4 являются большими. Интересно отметить, что состояния свободного движения частицы с определённым значением импульса могут различаться значением ещё одной физической величины, обусловленной наличием спина у частицы. Введём такой оператор ℏ 2 где ∑ = ( ∑ 𝐩, (9.20) 𝛔 0 ). 0 𝛔 Оператор (9.20) коммутирует частиц. Поэтому соответствующая движения. Поскольку при свободном то очевидно интегралом движения оператору с оператором Гамильтона свободного движения ему физическая величина является интегралом движении импульс является интегралом движения, будет и физическая величина, соответствующая 1 0 0 −1 ∑ = ( 2 𝑧 2 0 0 0 ℏ ℏ 0 0 0 0 ), 1 0 0 −1 (9.21) где ось z выбрана вдоль направления импульса. Собственные функции этого оператора соответствующих собственным значениям ℏ/2 и −ℏ/2 могут быть представлены в виде (9.15) со спиновыми функциями 1 φ1 = ( ) и φ2 = ( ). 1 Говорят, что в состоянии φ1 , спин частицы направлен вдоль импульса, т. е. 𝛔𝐩 = p. В состоянии φ2 спин частицы направлен против импульса, т. к. 𝛔𝐩 = −p. Следовательно, в состояниях описываемых спиновыми функциями, проекция спина имеет определённое значение. Возможно, конечно, состояния, в которых проекция спина не имеет определённого значения. Этим состояниям соответствует спиновые функции φ = α1 φ1 + α2 φ2 . В общем случае спиновые функции изображаются двумерными одностолбцовыми матрицами или функциями от переменной, пробегающей два значения. § 14. Состояние с отрицательной энергией. Понятие об электронно – позитронном вакууме. Частицы и античастицы Рассмотрим подробнее полученные решения для свободной частицы из уравнений Дирака. В частности имеем E = ±√p2 c 2 + m2 c 4 . (9.22) В квантовой механике возможны скачкообразные переходы из состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией. Иными словами оба класса состояний уже не разделены непроходимым барьером. В тоже время, исключение состояний с отрицательной энергией противоречит общим положениям квантовой механике, так как волновые функции состояний с положительной энергией не образуют полную систему функций. С другой стороны, невозможно допустить существование свободных частиц с отрицательной энергией. Подобные частицы обладали бы такими свойствами, которые принципиально отличаются от свойств всех наблюдавших в природе частиц. Например: частица с отрицательной энергией −|E1 | могла бы переходить в состояние с меньшей отрицательной энергией −|E2 |, |E2 | > |E1 |. При этом разность |E2 − E1 | могла бы превращаться в полезную работу. Такой переход мог бы совершаться непрерывно, поскольку |E2 | ничем не ограничено и частицы с отрицательно энергией могла бы служить бесконечно большим источником работы. Рис. 1. Схема возможных уровней энергии свободной дираковской частицы Рассмотрим соображения Дирака насчёт отрицательных энергий более подробно. Пусть Nα− (p) и Nα+ (p) означают числа электронов, находящихся соответственно в состояниях с отрицательной и положительной энергией и имеющих импульс 𝐩. Индекс 𝛼 может принимать два значения в соответствии с направлением спина. Эти числа, в согласии с принципом Паули, могут принимать значения только 0 или 1. В состоянии вакуума (индекс v) мы имеем (−) (+) Nαv (p) = 1, Nαv (p) = 0, (9.23) при всех значениях импульса. Действительно, все состояния с отрицательной энергией при этом заняты, а все состояния с положительной – свободны. При этом энергия Ev и заряд q v в вакууме определяются соотношениями (−) Ev = − ∑ E(p)Nαv (p), α,p qv = (9.24) (−) −|e| ∑ Nαv (p), α,p здесь e −заряд электрона. Так как импульс и энергия свободных частиц ничем не ограничены, значения Ev и q v бесконечно велики. Однако согласно Дираку эти величины принципиально не наблюдаемы. Наблюдаемыми являются лишь такие величины, которые характеризуют отклонение от состояния вакуума. Напишем, далее полную энергию E системы и заряд q системы в том случае, когда в пространстве находятся электроны в состояниях с положительной энергией, а в состояниях с отрицательной энергией имеются свободные места (+) (−) E = ∑[Nα (p) − Nα (p)]E(p), α,p q= (+) − ∑|e|[Nα (p) α,p + (−) Nα (p)]. (9.25) В соответствии со сказанным выше наблюдаемы лишь следующие разности: (+) (−) (−) E − Ev = ∑[Nα (p) + Nαv (p) − Nα (p)]E(p), α,p q − qv = (+) −|e| ∑[Nα (p) α,p + (−) Nα (p) − (−) Nαv (p)] . (9.26) Из формул (9.26) мы видим, что если некоторое состояние с отрицательной (−) энергией свободно, т. е. Nα (p) = 0, то оно соответствует положительному вкладу в наблюдаемые значения энергии и заряда. Действительно в формуле (9.26) входят (−) (−) выражения Nαv (p) − Nα (p). Если состояние с отрицательной энергией свободно (−) (−) (−) Nα (p) = 0, то Nαv (p) − Nα (p) = 1. При этом возникает положительный вклад в энергию и заряд системы, равный соответственно Eр и |e|.