Решение систем линейных алгебраических уравнений

Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹɪɚɛɨɬɚ Ɋɟɲɟɧɢɟɫɢɫɬɟɦɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɧɚɗȼɆ ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚɡɚɞɚɱɢ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɩ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɫ ɩ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ «a11 x1 ® ®®a21 x1 ¬ ®. . . ® ®­an1 x1 a12 x2 ! a1n xn  b1 , a22 x2 ! a2n xn  b2 , (3.1) . . . . . . . . a n 2 x2 ! ann xn  bn . ɢɥɢɜɦɚɬɪɢɱɧɨɣɮɨɪɦɟ Ax b , ¥ a a ! a1n ´ ¥b ´ µ ¦ 11 12 ¦ 1µ ¦ a a ! a2n µ ¦ b2 µ A  ¦ 21 22 b ,  ¦! µ , .............. µ ¦ µ ¦ µ ¦b µ ¦a a !a µ § n¶ nn ¶ § n1 n 2 (3.2) ¥ x1 ´ ¦ µ ¦x µ x ¦ 2µ, ! ¦ µ ¦ µ § xn ¶ ɝɞɟȺ – ɦɚɬɪɢɰɚɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ b ɢ x – ɫɬɨɥɛɟɰɫɜɨɛɨɞɧɵɯɱɥɟɧɨɜɢ ɫɬɨɥɛɟɰ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ȿɫɥɢ ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ ɧɟɨɫɨɛɟɧɧɚɹ ɬɟɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶɷɬɨɣɦɚɬɪɢɰɵɧɟɪɚɜɟɧɧɭɥɸɬɨɫɢɫɬɟɦɚ  ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟɪɟɲɟɧɢɟ ɉɪɢɦɟɧɹɟɦɵɟ ɜ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɛɢɬɶ ɧɚ ɞɜɟ ɝɪɭɩɩɵɬɨɱɧɵɟ ɩɪɹɦɵɟ ɢɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɟ  Ɍɨɱɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɚɤɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɤɨɬɨɪɵɟ ɜ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɱɬɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɬɨɱɧɨ ɛɟɡ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɣ  ɩɪɢɜɨɞɹɬɤɬɨɱɧɵɦɡɧɚɱɟɧɢɹɦɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ xi ɉɨɫɤɨɥɶɤɭɧɚɩɪɚɤɬɢɤɟ ɜɫɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɫ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɹɦɢ ɬɨ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɬɨɱɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɟɢɡɛɟɠɧɨ ɛɭɞɭɬ ɫɨɞɟɪɠɚɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɧɵɦ ɬɨɱɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣɹɜɥɹɟɬɫɹɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɜɨɫɧɨɜɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɥɟɠɢɬ ɢɞɟɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ȼ ɷɬɨɦɦɟɬɨɞɟɪɟɲɟɧɢɟɫɢɫɬɟɦɵɪɚɫɩɚɞɚɟɬɫɹɧɚɞɜɚɷɬɚɩɚ 1) ɉɪɹɦɨɣɯɨɞɤɨɝɞɚɫɢɫɬɟɦɚ  ɩɪɢɜɨɞɢɬɫɹɤɬɪɟɭɝɨɥɶɧɨɦɭɜɢɞɭ « x1 c12 x2 ! c1n xn  d1 , ® ® x2 ! c2 n xn  d 2 , ® ® ¬. . . . . . . . . . ® xn 1 cn 1 n xn  d n 1 , ® ® ®­ xn  d n , (3.3) ɝɞɟɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵɭɪɚɜɧɟɧɢɣɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹɫɥɟɞɭɸɳɢɦɨɛɪɚɡɨɦ ( 0) akj  akj , ckj  (k akj k , j  1,2,!, n , 1) ( k 1) akk aij( k )  aij( k j  k 1, k , 1) (k aik 1) ckj , 2,!, n , k  1,2,!, n , i, j  k 1, k (3.4) 2,!, n , k  1,2,!, n . ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɩɪɚɜɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɮɨɪɦɭɥɚɦ bk(0)  bk , d k  bi( k )  bi( k 1) aik( k bk( k 1) (k akk 1) 1) , dk , k  1,2,!, n , i  k 1, k (3.5) 2,!, n , k  1,2,!, n .  Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ cij ɢɩɪɚɜɵɟɱɚɫɬɢ d i (i=1, 2,…, n, j=i+1, i+2,…, n) ɯɪɚɧɹɬɫɹ ɜ ɩɚɦɹɬɢ ɗȼɆ ɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɩɪɢ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɟɧɢɢ ɨɛɪɚɬɧɨɝɨɯɨɞɚɤɨɬɨɪɵɣɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹɜɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ xi ɢɡɫɢɫɬɟɦɵ  Ɉɛɳɢɟɮɨɪɦɭɥɵɨɛɪɚɬɧɨɝɨɯɨɞɚɢɦɟɸɬɜɢɞ n xn  d n , xi  d i ¤ cij x j , j i 1 (i  n 1, n 2, !, 1) . (3.6) ɉɪɢɦɟɪɆɟɬɨɞɨɦȽɚɭɫɫɚɪɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «2 x1 x2 0,1x3 x4  2,7 , ® ®®0,4 x1 0,5 x2 4 x3 8,5 x4  21,9 , ¬ ®0,3 x1 x2 x3 5,2 x4  3,9 , ® ®­ x1 0,2 x2 2,5 x3 x4  9,9 . Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɉɪɹɦɨɣɯɨɞɉɪɢɜɟɞɟɦɡɚɞɚɧɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭɤɬɪɟɭɝɨɥɶɧɨɦɭ ɜɢɞɭɢɫɩɨɥɶɡɭɹɮɨɪɦɭɥɵ  ɢ  Ɍɨɝɞɚɫɢɫɬɟɦɚɡɚɩɢɲɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɨɛɪɚɡɨɦ « x1 ® ®® ¬ ® ® ®­ 0,05 x3 0,5 x4  1,35 , x2 13,4 x3 29 x4  71,2 , 0,5 x2 x3 1,72298 x4  4,72298 , x4  1 . Ɉɛɪɚɬɧɵɣɯɨɞɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɢɡɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɫɢɫɬɟɦɵɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣɩɨɮɨɪɦɭɥɟ  ɧɚɯɨɞɢɦɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɟ x4  1 , x3  4,72298 1,72298  3 , x2  71,2 13,4 – 3 29  2 , x1  1,35 0,5 – 2 0,05 – 3 0,5  1 . ɉɪɨɝɪɚɦɦɚɪɟɚɥɢɡɭɸɳɚɹɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɩɪɢɜɟɞɟɧɚɜɩɪɢɥ Ɉɫɧɨɜɧɵɦ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɟɦ ɦɟɬɨɞɚ Ƚɚɭɫɫɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ( k 1) ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨ ɬɨɦ ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬ akk  ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɜɟɞɭɳɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦɧɚk-ɦɲɚɝɟɢɫɤɥɸɱɟɧɢɹɢɧɚɤɨɬɨɪɵɣɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹɞɟɥɟɧɢɟ ɨɬɥɢɱɟɧɨɬɧɭɥɹȾɚɠɟɟɫɥɢɤɚɤɨɣ-ɬɨɜɟɞɭɳɢɣɷɥɟɦɟɧɬɧɟɪɚɜɟɧɧɭɥɸ ɚɩɪɨɫɬɨɛɥɢɡɨɤɤɧɟɦɭɬɨɜɩɪɨɰɟɫɫɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣɦɨɠɟɬɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶ ɫɢɥɶɧɨɟ ɧɚɤɨɩɥɟɧɢɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɂɡɛɟɠɚɬɶ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɬɪɭɞɧɨɫɬɟɣ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬɦɟɬɨɞȽɚɭɫɫɚɫɜɵɛɨɪɨɦɝɥɚɜɧɨɝɨɷɥɟɦɟɧɬɚɈɫɧɨɜɧɚɹɢɞɟɹ ɦɟɬɨɞɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨɛɵ ɧɚ ɨɱɟɪɟɞɧɨɦ ɲɚɝɟ ɢɫɤɥɸɱɚɬɶ ɧɟ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɨ ɧɨɦɟɪɭ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɚ ɬɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɦ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɜɟɞɭɳɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɡɞɟɫɶ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɝɥɚɜɧɵɣ ɬɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɷɥɟɦɟɧɬ Ɍɟɦ ɫɚɦɵɦ ɟɫɥɢ det A x 0  ɬɨ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣɧɟɛɭɞɟɬɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬɶɞɟɥɟɧɢɟɧɚɧɭɥɶ ɉɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦɢɦɟɬɨɞɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹɬɚɤɢɟɦɟɬɨɞɵɤɨɬɨɪɵɟ ɞɚɠɟ ɜ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɱɬɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɞɭɬɫɹ ɛɟɡ ɨɤɪɭɝɥɟɧɢɣ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɥɢɲɶ ɫ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ Ɍɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɤɚɤ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ Ʉ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ ɦɟɬɨɞɚɦ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɦɟɬɨɞ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɦɟɬɨɞ ɁɟɣɞɟɥɹɢɞɪɄɚɠɞɵɣɢɡɷɬɢɯɦɟɬɨɞɨɜɧɟɜɫɟɝɞɚɹɜɥɹɟɬɫɹɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɜɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢɤɤɨɧɤɪɟɬɧɨɦɭɤɥɚɫɫɭɫɢɫɬɟɦɥɢɧɟɣɧɵɯɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ɇɟɬɨɞɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɉɭɫɬɶɫɢɫɬɟɦɚɥɢɧɟɣɧɵɯɭɪɚɜɧɟɧɢɣ A x  b ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨɨɛɪɚɡɨɦɩɪɢɜɟɞɟɧɚɤɜɢɞɭ x C x d, (3.7) ɝɞɟɋ– ɧɟɤɨɬɨɪɚɹɦɚɬɪɢɰɚD d – ɜɟɤɬɨɪ-ɫɬɨɥɛɟɰ ɂɫɯɨɞɹɢɡɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ¥ x ( 0) ´ ¦ 1 µ ¦ ( 0) µ x ¦ 2 µ, ¦. . . . µ µ ¦ ¦ x ( 0) µ § n ¶ ɫɬɪɨɢɦɢɬɟɪɚɰɢɨɧɧɵɣɩɪɨɰɟɫɫ x (k 1)  C x (k ) d, (k  0,1, 2,! ) , ɢɥɢɜɪɚɡɜɟɪɧɭɬɨɣɮɨɪɦɟ « x ( k 1)  c11 x ( k ) c12 x ( k ) ! c1n xn( k ) d1 , 2 1 ®® 1 ¬. . . . . . . . . . . . . . . . ® ( k 1)  cn1 x1( k ) cn 2 x2( k ) ! cnn xn( k ) d n . ®­ xn ɉɪɨɢɡɜɨɞɹ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɜɟɤɬɨɪɨɜ x , x ( 2) , …, x (k ) , … Ⱦɨɤɚɡɚɧɨɱɬɨɟɫɥɢɷɥɟɦɟɧɬɵɦɚɬɪɢɰɵɋ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬɨɞɧɨɦɭ ɢɡɭɫɥɨɜɢɣ (1) n ¤ cij j 1 ɢɥɢ b A 1, (i  1,2,!, n) (3.8) n ¤ cij ( j  1,2,!, n) , b B 1, (3.9) i 1 ɬɨ ɩɪɨɰɟɫɫ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɫɯɨɞɢɬɫɹ ɤ ɬɨɱɧɨɦɭ ɪɟɲɟɧɢɸ ɫɢɫɬɟɦɵ x ɩɪɢ ɥɸɛɨɦɧɚɱɚɥɶɧɨɦɜɟɤɬɨɪɟ x (0) ɬɟ x  lim x (k ) . k md Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɬɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɥɢɲɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɢ ɜɫɹɤɢɣ ɜɟɤɬɨɪ x (k ) ɢɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ Ɉɰɟɧɤɚ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ x (k ) ɞɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨɣɢɡɫɥɟɞɭɸɳɢɯɮɨɪɦɭɥ A xi xi( k ) b max x (jk ) x (jk 1) , 1 A j 1,2,!, n ɟɫɥɢɜɵɩɨɥɧɟɧɨɭɫɥɨɜɢɟ  ɢɥɢ xi xi( k ) b B 1 n x (jk ) ¤ B x (jk 1) , j 1 ɟɫɥɢɜɵɩɨɥɧɟɧɨɭɫɥɨɜɢɟ   ɇɚɱɚɥɶɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ x (0) ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɛɪɚɧ ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɂɧɨɝɞɚɛɟɪɭɬ x (0)  d Ɉɞɧɚɤɨɧɚɢɛɨɥɟɟɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɜɡɹɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟɝɪɭɛɨɣɩɪɢɤɢɞɤɨɣ ɉɪɢɜɟɞɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɤ ɜɢɞɭ   ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ȼɚɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɱɬɨɛɵ ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɨɞɧɨ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɣ  ɢɥɢ   ɉɪɢɦɟɪ Ɋɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «1,02 x1 0,05 x2 0,1x3  0,795 , ®® ¬ 0,11x1 1,03 x2 0,05 x3  0,849 , ® ®­ 0,11x1 0,12 x2 1,04 x3  1,398 , ɩɪɨɢɡɜɟɞɹ ɬɪɢ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɍɤɚɡɚɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɞɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɚɤɨɜɚ ɱɬɨ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɛɥɢɡɤɢ ɤ ɟɞɢɧɢɰɟ ɚ ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ – ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵɉɨɷɬɨɦɭɞɥɹɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹɦɟɬɨɞɚɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɡɚɩɢɲɟɦ ɞɚɧɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭ  ɜɜɢɞɟ « x1  0,795 0,02 x1 0,05 x2 0,1x3 , ®® ¬ x2  0,849 0,11x1 0,03x2 0,05 x3 , ® ®­ x3  1,398 0,11x1 0,12 x2 0,04 x3 . ɍɫɥɨɜɢɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ   ɞɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ 3 ¤ c1 j  0,02 0,05 0,1  0,17  1 , j 1 3 ¤ c2 j  0,11 0,03 0,05  0,19  1 , j 1 3 ¤ c3 j  0,11 0,12 0,04  0,27  1 , j 1 Ȼɟɪɟɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɫɬɨɥɛɟɰ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜɨɤɪɭɝɥɢɜɟɝɨɷɥɟɦɟɧɬɵɞɨɞɜɭɯɡɧɚɤɨɜɩɨɫɥɟɡɚɩɹɬɨɣ x ( 0) ¥ 0,80 ´ ¦ µ  ¦ 0,85 µ . ¦1,40 µ § ¶ Ⱦɚɥɟɟɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɧɚɯɨɞɢɦ ɩɪɢk=1 ɩɪɢk=2 ɩɪɢk=3 x1(1)  0,962 , x2(1)  0,982 , x3(1)  1,532 ; x1( 2)  0,978 , x2( 2)  1,002 , x3( 2)  1,560 ; x1(3)  0,980 , x2(3)  1,004 , x3(3)  1,563 . Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɪɢ k  ɢ k  ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɱɟɦ ɧɚ E  3 – 10 3 ɩɨɷɬɨɦɭɜɡɹɜɜɤɚɱɟɫɬɜɟɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ x1 z 0,980 , x2 z 1,004 , x3 z 1,563 , ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɢɯɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɣɧɟɩɪɟɜɡɨɣɞɟɬ A 1 A E 0,27 – 3 – 10 1 0,27 3  1,1 – 10 3. Ɇɟɬɨɞ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɨɞɢɮɢɤɚɰɢɟɣ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ Ɉɧ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ k+1)-ɝɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɝɨ xi ɩɪɢ i  1 ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɭɠɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɟɪɚɧɟɟ k +1)-ɟɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɹɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ x1 , x2 ,…, xi 1 . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ   ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨ ɦɟɬɨɞɭ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɜɟɞɭɬɫɹɩɨɮɨɪɦɭɥɚɦ « x ( k 1)  c11 x ( k ) c12 x ( k ) ! c1n xn( k ) d1 , 2 1 ® 1 ® ( k 1)  c21 x1( k 1) c22 x2( k ) ! c2n xn( k ) d 2 , ® x2 ¬ ®. . . . . . . . . . . . . . . . ® ® x ( k 1)  c x ( k 1) c x ( k 1) ! c x ( k ) d . n1 1 n2 2 nn n n ­ n ɍɤɚɡɚɧɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɨɫɬɚɸɬɫɹɜɟɪɧɵɦɢɢɞɥɹɦɟɬɨɞɚɁɟɣɞɟɥɹɈɛɵɱɧɨɦɟɬɨɞɁɟɣɞɟɥɹɞɚɟɬ ɥɭɱɲɭɸɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɱɟɦɦɟɬɨɞɩɪɨɫɬɨɣɢɬɟɪɚɰɢɢɯɨɬɹɷɬɨɛɵɜɚɟɬɧɟ ɜɫɟɝɞɚ Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɦɟɬɨɞ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɛɨɥɟɟ ɭɞɨɛɧɵɦ ɩɪɢ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɢ ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ xi( k ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢɯɪɚɧɢɬɶɡɧɚɱɟɧɢɹ x1( k ) , x2( k ) , …, xi( k1) . ɉɪɢɦɟɪ ɆɟɬɨɞɨɦɁɟɣɞɟɥɹɪɟɲɢɬɶɫɢɫɬɟɦɭ «20,9 x1 1,2 x2 2,1x3 0,9 x4  21,70 , ® ®®1,2 x1 21,2 x2 1,5 x3 2,5 x4  27,46 , ¬ ®2,1x1 1,5 x2 19,8 x3 1,3 x4  28,76 , ® ®­0,9 x1 2,5 x2 1,3 x3 32,1x4  49,72 . Ɋɟɲɟɧɢɟɉɪɢɜɟɞɟɦɢɫɯɨɞɧɭɸɫɢɫɬɟɦɭɤɜɢɞɭ   1 « ® x1  20,9 (21,70 ® ® 1 ® x2  (7,46 21,2 ® ¬ 1 ® (28,76 x  3 ® 19,8 ® ® 1 (49,72 ® x4  32,1 ­ 1,2 x2 2,1x3 1,2 x1 1,5 x3 0,9 x4 ) , 2,5 x4 ) , 2,1x1 1,5 x2 1,3 x4 ) , 0,9 x1 2,5 x2 1,3 x3 ) . 1) ɧɟɬ Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɫɢɫɬɟɦɵɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬɭɫɥɨɜɢɸ  4 4 ¤ c1 j z 0,20  1 , ¤ c2 j z 0,24  1 , j 1 j 1 4 4 ¤ c3 j z 0,25  1 , ¤ c4 j z 0,15  1 . j 1 j 1 ɉɨɷɬɨɦɭɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɢɬɟɪɚɰɢɣɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɧɚɉɪɢɷɬɨɦA=0,25. ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ x (0) ɜɨɡɶɦɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɫɬɨɥɛɰɚ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɨɤɪɭɝɥɢɜ ɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɨ ɞɜɭɯ ɡɧɚɤɨɜ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ x ( 0) ¥1,04 ´ µ ¦ ¦1,30 µ ¦ . 1,44 µ µµ ¦¦ 1 , 55 § ¶ ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɛɭɞɟɦ ɜɟɫɬɢ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɜɟɥɢɱɢɧɵ x (jk ) x (jk 1) (j  ɧɟɫɬɚɧɭɬɦɟɧɶɲɟɧɚɩɪɢɦɟɪ E  10 3 . ɉɪɢ k=1 x1(1)  0,7512  ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ x2(1) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɭɠɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ x1(1) : x2(1)  0,9674  ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ x3(1) ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x1(1) ɢ x2(1) : x3(1)  1,1977  ɇɚɤɨɧɟɰ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x1(1) , x2(1) ɢ x3(1) ɩɨɥɭɱɚɟɦ x4(1)  1,4037 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɟɞɟɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɪɢ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ k. ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɩɪɢk=2 x1( 2)  0,8019 , x2( 2)  0,9996 , x3( 2)  1,1996, x4( 2)  1,4000 ; x2(3)  1,0000 , x3(3)  1,1999, x4(3)  1,4000 ; x2( 4)  1,0000 , x3( 4)  1,1999, x4( 4)  1,4000 . ɩɪɢk=3 x1(3)  0,8001 , ɩɪɢk=4 x1( 4)  0,8000 , Ɇɨɞɭɥɢ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi(k ) ɩɪɢ k  ɢ k  ɧɟ ɩɪɟɜɵɲɚɸɬ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨɱɢɫɥɚEɩɨɷɬɨɦɭɜɤɚɱɟɫɬɜɟɪɟɲɟɧɢɹɫɢɫɬɟɦɵɜɨɡɶɦɟɦ x1 z 0,8000 , x2 z 1,0000 , x3 z 1,1999 , x3 z 1,4000 . ɉɪɢɷɬɨɦɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɷɬɢɯɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɯɡɧɚɱɟɧɢɣɧɟɩɪɟɜɡɨɣɞɟɬ A 1 A max x (j4) j 1, 2,3, 4 x (j3)  0,25 – 10 1 0,25 4  3,3 – 10 5. Ɂɚɞɚɧɢɹɤɪɚɛɨɬɟ  ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɫɯɟɦɵ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɚɦɢ Ƚɚɭɫɫɚ ɩɪɨɫɬɨɣ ɢɬɟɪɚɰɢɢ ɢ Ɂɟɣɞɟɥɹ ɇɚɩɢɫɚɬɶɨɬɥɚɞɢɬɶɢɜɵɩɨɥɧɢɬɶɩɪɨɝɪɚɦɦɵɪɟɲɟɧɢɹɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɦɚɬɪɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɟ A x  b ɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɜ ɬɚɛɥ  ɑɟɬɧɵɦ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦ ɪɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ ɫ ɜɵɛɨɪɨɦ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɈɫɬɚɥɶɧɵɦ– ɦɟɬɨɞɨɦɁɟɣɞɟɥɹ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶɬɨɱɧɨɫɬɧɵɟɨɰɟɧɤɢɦɟɬɨɞɨɜɩɨɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ D  max xi xi* , i  1,!, N , ɝɞɟ xi* – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ xi – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ Ɍɚɛɥɢɰɚ ʋ ) 1 2 3 Ɇɚɬɪɢɰɚɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɫɢɫɬɟɦɵA 4,52 3,56 9,34 1,64 0,31 0,26 0,61 0,40 1,32 9,13 3,12 0,77 ))) 9,11 2,24 1,72 6,75 14,28 2,07 4,13 0,98 3,00 2,32 1,80 7,12 0,14 0,30 0,27 0,32 0,18 0,24 0,22 0,20 0,31 0,34 0,36 0,17 2,06 3,40 7,11 0,76 5,84 1,21 8,14 2,51 1,13 0,17 2,32 1,10 ɋɬɨɥɛɟɰɫɜɨɛɨɞɧɵɯ Ɍɨɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟx* ɱɥɟɧɨɜ b )))) )V 6,77 0,5 22,25 1,0 3,99 1,5 20,08 2,0 1 1,02 1 1,00 1 1,34 1 1,27 1 30,17 2 3,62 1 19,06 3 2,09