Решение матричных игр размерности m × n

Решение матричных игр размерности 𝒎×𝒏 Содержание лекции • Графическое решение матричных игр mх2 • Правила упрощения платежной матрицы игры • Решение игр с помощью линейного программирования РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА • Кремлёв, А. Г. Теория игр: основные понятия : учебное пособие для вузов / А. Г. Кремлёв ; под научной редакцией А. М. Тарасьева. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 141 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-034141. — URL : https://urait.ru/bcode/453797 • Кузнецов, Б. Т. Математика : учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б. Т. Кузнецов. — Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. — 719 c. — ISBN 5-238-00754-Х. — Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. — URL: http://www.iprbookshop.ru/8092.html Графические решения матричных игр Рассмотрим решение игры mх2 графическим методом. Графические решения матричных игр Пусть игра не имеет седловой точки, тогда цена игры: Графиком функции верхняя огибающая семейства прямых является Графические решения матричных игр Абсцисса нижней точки верхней огибающей семейства прямых является оптимальной стратегией игрока В: а ордината – ценой игры  Рис. 3 Графические решения матричных игр Пример 2. 4 1 П 2.5  0 1 3  2  5 4 1 П 2.5  0 1 3  2  5 qопт 1 * *   0.5 q  1  q 2 1  0.5 2 3 * 5 * p  p   0.375 p1  1  p   0.625 4 8 8 q1* Оптимальные смешанные стратегии S *A  0.625; 0;0;0.375 и S B*  0.5; 0.5 при цене игры   2.5 Упрощение матричной игры Правила упрощения платежной матрицы игры Правила упрощения платежной матрицы игры Правила упрощения платежной матрицы игры Пример Платёжная матрица игры задана в виде Получим матрицу Упростим игру (упростим платёжную матрицу). 1-я и 4-я строки равны. Поэтому отбросим 4-ю строку. Вероятность p4 = 0. В полученной матрице 2-я строка доминирует над 3-й строкой (6 > 3, 5 > 4, 8 = 8, 7 > 6). Поэтому отбросим 3-ю строку. Вероятность p3 = 0. 2-й столбец доминирует над 3-м столбцом (9 = 9, 5 < 8). Поэтому отбросим 3-й столбец. Вероятность q3 = 0. Строки полученной матрицы между собой не сравнимы (8 > 6, 4 < 7), столбцы тоже (8 < 9, 6 > 5; 8 > 4, 6 < 7; 9 > 4, 5 < 7). Дальнейшее упрощение невозможно. Мы свели игру 4×4 к игре 2×3 Решение игр с помощью линейного программирования Решение игр с помощью линейного программирования Решение игр с помощью линейного программирования Введем обозначение Получим Кроме того выполняются условия Решение игр с помощью линейного программирования Решение игр с помощью линейного программирования Решая эту задачу получаем оптимальное решение и максимальное значение целевой функции Компоненты оптимальной смешанной стратегии: Решение игр с помощью линейного программирования Решение игр с помощью линейного программирования