Решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона методом Фурье

Лекция 4. Решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона методом Фурье в прямоугольнике 1. Решение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике методом Фурье (разделения переменных). Задача Дирихле. Будем решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (см. рисунок): . Рассмотрим сначала однородное уравнение и будем искать решение в виде произведения . Тогда поскольку левая часть полученного равенства зависит только от переменной , а правая – только от , и значит для выполнения равенства при всех необходимо равенство обеих частей константе. Предположим теперь, что краевые условия на двух противоположных сторонах прямоугольника нулевые, например, . Тогда . Получили однородную краевую задачу для которая должна иметь ненулевые решения, чтобы можно было добиться удовлетворения краевых условий на оставшейся части границы. Полученную задачу называют задачей Штурма-Лиувилля: найти значения (собственные значения задачи Штурма-Лиувилля), при которых существуют нетривиальные решения указанной краевой задачи (собственные векторы задачи Штурма-Лиувилля). Рассмотрим 3 случая. 1. , , а значит не является собственным значением задачи Штурма-Лиувилля. 2. . Составим характеристическое уравнение для уравнения : . Уравнение имеет действительные корни , откуда . Из условия получаем а т.к. определитель системы , то и краевая задача имеет только тривиальное решение. 3. . Из краевых условий , откуда . Отсюда получаем: – собственные значения и, соответственно, – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. После того как найдены собственные функции, мы можем найти решение первой краевой задачи для уравнения Пуассона Решение будем искать в виде ряда по собственным функциям: Подставляя этот ряд в уравнение Пуассона, получим: Разложим теперь в ряд по синусам правую часть: Приравнивая коэффициенты при одинаковых синусах в левой и правой частях полученного равенства, приходим к уравнениям для коэффициентов : Далее, подставим ряд в краевые условия: Отсюда , где . Получили для краевую задачу, имеющую единственное решение. Действительно, общее решение уравнения , а из краевых условий Поскольку определитель полученной системы отличен от нуля, однозначно из нее определяются. Таким образом, мы получили решение задачи Дирихле в виде ряда по собственным функциям. Следует отметить, что этот ряд, вообще говоря, не обязан сходиться, а в случае сходимости его сумма может не быть решением нашей задачи. Для выполнения того и другого на правую часть уравнения и краевые условия следует наложить ограничения, существенно более сильные, нежели стандартное условие Дини разложимости в ряд Фурье. Мы, однако, не будем сейчас останавливаться на этом вопросе. Чтобы закончить рассмотрение задачи Дирихле, укажем, что следует делать, если . В этом случае с помощью замены можно добиться обнуления указанных краевых условий для новой неизвестной функции : . Разумеется, правая часть уравнения и оставшиеся краевые условия могут в результате замены измениться: , , . Вторая и третья краевые задачи. Если на всех сторонах прямоугольника задана производная по нормали к границе , имеем дело с задачей Неймана. Если же на части сторон задать нормальную производную, а на остальных – саму неизвестную функцию, получим третью краевую задачу. Решение указанных задач методом Фурье проводится по той же схеме, что и задачи Дирихле. Укажем собственные функции соответствующих задач Штурма-Лиувилля. В случае краевого условия (отметим, что на нижней границе прямоугольника , а на верхней ). Далее, для условия а для условия Наконец, в случае ненулевых краевых условий можно путем замены неизвестной функции перейти к задаче с нулевыми условиями на двух противоположных сторонах прямоугольника аналогично тому, как это было показано для задачи Дирихле.