Решение краевой задачи методом прогонки

Решение краевой задачи методом прогонки 1. Решить на отрезке [a,b] краевую задачу (6.1) методом прогонки с точностью . 2. Построить интегральную кривую. 3. Найти точное решение краевой задачи. 4. Найти максимум модуля отклонения в узловых точках приближенного решения от точного. Краткая теория Для решения на отрезке [a,b] численным методом линейной краевой задачи (6.1) нужно сначала разбить отрезок [a,b] на n равных частей точками: где – шаг решения. Обозначим и аппроксимируем производные в уравнении по формулам тогда краевая задача (6.1) сведется к системе n+1 линейных алгебраических уравнений (6.2) в которой (6.3) Алгебраическую систему (6.2) обычно решают методом прогонки. Для этого систему (6.2) преобразовывают к системе (6.4) в которой (6.5) Из последнего уравнения системы (6.4) находят Найденное yn подставляют в предпоследнее уравнение системы (6.4). и так до тех пор, пока из первых уравнений системы (6.4) найдут y1, y0. Решение краевой задачи методом прогонки обычно ведется в форме таблицы, состоящей из 8 колонок. Структура этой таблицы приведена ниже. Таблица 3. Метод прогонки для краевой задачи xi ai bi ci di i vi yi x0 x1 . . . xn Заполнение таблицы ведется по колонкам сверху вниз. При этом первая колонка – значения аргумента xi (i=0,1,2,…,n); 2, 3, 4, 5 колонки – значения коэффициентов ai, bi, ci, di, вычисленные по формулам (6.3); 6, 7 колонки – значения коэффициентов i, vi, найденные по формулам (6.5). последняя колонка – решения yi краевой задачи (6.1) в указанных узлах; эта колонка заполняется снизу вверх. Для оценки погрешности решения краевой задачи (6.1), найденного методом прогонки, используется формула (6.6) в которой и – приближенные значения решения, найденные методом прогонки с шагами h и 2h соответственно. Выбор начального шага в методе прогонки осуществляется следующим образом. Если – заданная точность счета, то грубое приближение начального шага найдем по формуле . Определим количество промежутков, на которые делится отрезок [a,b], по формуле . Округлим n0 до большего целого, четного n и найдем шаг интегрирования краевой задачи (6.1) по формуле . Решаем исходную краевую задачу сначала с шагом 2h, затем с шагом h и находим по формуле (6.6) оценку погрешности. Если погрешность превышает , уменьшаем шаг интегрирования в 2 раза и снова делаем просчет. И так до тех пор, пока погрешность не станет меньше заданного .