Модели на основе ОДУ; краевая задача — постановка задачи

ЛЕКЦИЯ №11. МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ОДУ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 1. Постановка задачи Стандартная постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений выглядит следующим образом vk x    k x ,v1 ,v2 , ... ,vn , 1 k  n , а дополнительные условия ставятся более, чем в одной точке отрезка интегрирования уравнений. (Понятно, что в этом случае порядок системы не может быть меньше второго):  k v1 (  k ),v2 (  k ),..., vn (  k )   k , 1 k  p , x0   k  xl . Общая классификация методов решения краевых задач та же, что и в случае задачи Коши: существуют точные, аналитические приближенные и численные методы. О точных методах сказано ранее. Среди приближенных методов можно указать методы Ритца, Галеркина, метод рядов Фурье. Численные способы решения краевых задач представлены на практике методами: стрельбы, разностным, проекционно-разностным . Рассмотрим разностный метод решения. 6.2. Разностный метод Поставим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка v( x )  g( x )v( x )  f ( x ) , a xb , (1) v( a )  c, v( b )  d . На отрезке [ a ,b ] строим сетку { xi  x0  ih },i  0 ,..., N , где h - шаг сетки. Заменяя вторую производную ее разностным аналогом, получим y i 1  2 y i  y i  1  g i yi  f i , h2 где g i  g( x i ) , fi  f ( xi ) . После преобразований придем к разностному уравнению следующего вида y i 1  ( 2  h 2 g i ) y i  y i  1  h 2 f i , (2) 1 i  N 1 . Получили систему из ( N  1 ) -го алгебраического уравнения, в которой неизвестными являются приближенные значения искомой функции в узлах - yi . Вместе с граничными условиями число уравнений равно числу неизвестных. Решая эту систему уравнений, найдем все y i . Рассмотрим вопросы существования и единственности решения и сходимости приближенного разностного решения к точному. Пусть g( x )  0 . Система (2) является системой линейных алгебраических уравне- ний. Коэффициент g N  0 , поэтому матрица этой системы обладает свойством диагонального преобладания. В этом случае, как известно, решение линейной системы существует и оно единственно. В качестве способа нахождения решения системы (2) может быть использован вариант метода Гаусса - метод прогонки, учитывая, что в данном случае матрица системы трехдиагональная. Докажем сходимость. Пусть g ( x ) и f ( x ) дважды непрерывно дифференцируемы. 2 Тогда разностное решение равномерно сходится к точному с погрешностью O( h ) при h 0 . Представим вторую производную от функции v( x ) в виде разностного аналога с учетом остаточного члена ряда Тейлора в форме Лагранжа v ( xi )  где vi 1  2vi  vi 1 1 2 IV  h v ( i ), h2 12  i удовлетворяет условию x i 1   i  x i  1 . Точное решение (6.12) будет удовлетворять следующему разностному уравнению vi 1  ( 2  h g i )vi  vi 1 2 h 4 IV  h fi  v ( i ). 12 2 (3) Вычтем последнее уравнение из (2), получим z i 1  ( 2  h g i ) z i  z i  1 2 h 4 IV   v ( i ) , 12 (4) где z i  yi  vi - погрешность приближенного решения. Перепишем (4) вместе с граничными условиями для погрешности в виде ( 2  h g i ) z i  z i 1  z i  1 2 h 4 IV  v (  i ), 12 (5) z0  0, z N  0 . Возьмем точку x m такую, в которой z i достигает максимума (граничная точка не может быть точкой x m ). Принимая во внимание сформулированное выше условие можем в точке x m записать неравенство, следующее из (5) ( 2  h g m ) z m  z m 1  z m  1 2 h 4 IV  v (m ) 12 gi  0 , . Заменяя z m 1 на z m , можно только усилить неравенство, в итоге получается оценка v IV ( x ) h 2 v IV (  m ) h 2 . zm   max 12 gm 12 g( x ) Отсюда вытекает утверждение, которое следовало доказать. По поводу устойчивости задачи следует заметить следующее. При g( x )  0 задача Коши плохо обусловлена, а разностная схема (2) нечувствительна к этой неустойчивости. В случае, когда g ( x )  0 , не выполняется достаточное условие прогонки, однако в прак- тических вычислениях данное обстоятельство, как правило, оказывается несущественным и не вызывает сложностей в получении решения. Приведенная выше разностная схема (2) в случае нелинейной задачи усложняется. Если имеется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка v ( x )  f ( x , v( x )) , (6) v( a )  c, v( b )  d , то разностная схема в результате тех же действий, что и при построении схемы (2), примет вид y i 1  2 y i  y i  1  h 2 f ( x i , y i ) , 1  i  N  1 , (7) y0  c , y N  d . Решение (7) удобно искать, проведя линеаризацию системы. Процедура линеаризации заключается в следующем. Записывают значение решения в i -й точке на s -й итерации в виде y i( s )  y i( s 1 )  (is ) , а функцию в правой части преобразуют с помощью ряда Тейлора f ( x i , y i( s ) )  f ( x i , y i( s 1 ) )  f v( x i , y i( s 1 ) )(is ) . После этого уравнение (6.17) преобразуется следующим образом ( y i(s11 )  (is)1 )  2( y i( s 1 )  (is ) )  ( y i(s11 )  (is)1 )   h 2 f ( x i , y i( s 1 ) )  h 2 f v( x i , y i( s 1 ) )(is ) или (is)1  [ 2  h 2 f v( x i , y i( s 1 ) )] (is )  (is )   h 2 f ( x i , y i( s 1 ) )  y i(s11 )  2 y i( s 1 )  y i(s11 ) , 1  i  N  1, (8) (0s )  0 ,(Ns )  0 . Полученная система решается прогонкой с применением итерационного процесса. Итерации сходятся квадратично. Если линеаризацию не использовать, то итерационная процедура организуется согласно схеме y i(s1)  2 y i( s )  y i(s1)  h 2 f ( x i , y i( s 1 ) ) , 1  i  N  1, (9) y 0( s )  c ,y N( s )  d . Здесь итерации сходятся, если 1 ( b  a ) 2 M s  1 , где M s  max f v . 8 Метод линеаризации более удобен и быстрее приводит к результату, чем метод простых итераций (9).