Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных (уравнение Лапласа). Тема 4. Лекция Рассмотрим решение уравнений в частных производных на примере уравнения теплопроводности. Если в сплошной среде температура зависит от координат и времени U(x,y,z,t), то возникают тепловые потоки, направленные от более нагретых точек к точкам менее нагретым. Эти тепловые потоки описываются следующим дифференциальным уравнением: с – удельная теплоёмкость материала ρ – плотность материала λ – коэффициент теплопроводности F – плотность тепловых источников ΔU – оператор Лапласа в прямоугольных координатах: Кроме уравнения должны быть заданы граничные условия. Задано распределение температуры по поверхности тела (не меняется во времени). Предполагается, что температурное поле во времени не меняется. Предполагается, что внутренних источников тепла нет. F(x,y,z,t)=0 Для простоты возьмём плоскую пластину. Уравнение Лапласа для плоскости сводится к виду: Решение уравнения методом конечных разностей связано с заменой производных конечными приращениями и заменой исходного дифференциального уравнения алгебраическим уравнением, описывающим связь между значениями функции в соседних точках i, i+1, i-1. При этом используются центральные разности вида: Заменим производные конечными приращениями: Выразим из этого уравнения UI,J : Применительно к задаче на плоскости, метод конечных разностей называется методом сеток. Решение сводится к нахождению множества значений в узлах сетки U(Xi,Yi). Всю исследуемую область покрывают сеткой с одинаковым шагом по осям Х и У. Полагая известными температуры на граничных точках, вычисляем значения температуры во внутренних точках с помощью последнего уравнения. Фрагмент сетки В общем случае задача решается итерационным методом с первоначальным заданием исходного распределения температуры в узлах сетки. Удобно пользоваться методом Зейделя. Блок-схема решения уравнения Лапласа для квадратной области. Исходные данные взять согласно полученному варианту. Программу оформить в виде макроса и назначить какому-либо объекту.