Рентные платежи и их анализ

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Методы финансовых расчётов Лекция 5 Рентные платежи и их анализ Михалева Мария Юрьевна кандидат экономических наук m.mikhaleva@yandex.ru Финансовая рента: основные понятия Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени Обобщающие показатели – наращенная сумма и приведённая величина Геометрическая прогрессия 𝑏0 ∙ 𝑞𝑛 − 1 Σ= 𝑞−1 2 Наращенная сумма обычной ренты 1+𝑖 𝑛−1 1+𝑖 𝑛−1 𝑆=𝑅∙ =𝑅∙ 1+𝑖 −1 𝑖 𝑆 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑛,𝑖 𝑆𝑡 = 𝑅 ∙ 1 + 𝑖 𝑛−𝑡 3 Рентные платежи p = 1 раз в году, начисление процентов m раз в году 𝑖 𝑚∙𝑛 1+ −1 𝑚 𝑆=𝑅∙ 𝑖 𝑚 1+ −1 𝑚 𝑆 =𝑅∙𝑠 𝑛∙𝑚, 𝑖 𝑆𝑡 = 𝑅 ∙ 1 + 𝑚 𝑖 𝑚 𝑚∙ 𝑛−𝑡 4 Рентные платежи p раз в году, начисление процентов m = 1 раз в году 𝑆=𝑅∙ 1+𝑖 𝑝∙ 1 𝑝∙𝑛 𝑝 1+𝑖 𝑆=𝑅∙ 1 𝑝 −1 −1 𝑝 𝑠𝑛,𝑖 𝑅 𝑆𝑡 = ∙ 1 + 𝑖 𝑝 1 𝑝∙ 𝑛−𝑡 5 Рентные платежи p раз в году, начисление процентов m раз в году 𝑆=𝑅∙ 𝑖 1+ 𝑚 𝑝∙ 𝑚 𝑝∙𝑛 𝑝 𝑖 1+ 𝑚 𝑚 𝑝 −1 =𝑅∙ −1 𝑆=𝑅∙ 𝑖 1+ 𝑚 𝑝∙ 𝑚∙𝑛 𝑖 1+ 𝑚 −1 𝑚 𝑝 −1 𝑝,𝑚 𝑠𝑛,𝑖 𝑅 𝑖 𝑆𝑡 = ∙ 1 + 𝑝 𝑚 1 𝑝∙𝑚∙ 𝑛−𝑡 6 Рентные платежи p = m раз в году, начисление процентов m раз в году 𝑆=𝑅∙ 𝑖 1+ 𝑚 𝑚∙ 𝑚∙𝑛 −1 𝑖 1+ −1 𝑚 𝑆=𝑅∙ =𝑅∙ 𝑚∙𝑛 𝑖 1+ 𝑚 −1 𝑖 𝑝=𝑚 𝑠𝑛,𝑖 𝑅 𝑖 𝑆𝑡 = ∙ 1 + 𝑝 𝑚 𝑛−𝑡 7 Современная величина обычной ренты 1 𝑛 = 1: 𝐴 = 𝑅 ∙ , 1+𝑖 1 1 𝑛 = 2: 𝐴 = 𝑅 ∙ +𝑅∙ 1+𝑖 1+𝑖 𝑛 𝑎𝑛,𝑖 = 𝑡=1 𝑎𝑛,𝑖 1 𝑉= 1+𝑖 2 = 𝑅 ∙ 𝑉 + 𝑅 ∙ 𝑉2 𝑛−1 𝑉 𝑉𝑡 = 𝑉 ∙ 𝑉−1 1 1 −1 1− 1 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 = ∙ = 1 1+𝑖 𝑖 −1 1+𝑖 𝑛 8 Современная величина обычной ренты 1 1− 1+𝑖 𝐴=𝑅∙ 𝑖 𝑛 = 𝑅 ∙ 𝑎𝑛,𝑖 𝐴𝑡 = 𝑅/ 1 + 𝑖 𝐴∙ 1+𝑖 𝑛 =𝑅∙ 1− 1 1+𝑖∙ 1+𝑖 𝑖 𝑎𝑛,𝑖 ∙ 1 + 𝑖 1 𝑠𝑛,𝑖 ∙ 1+𝑖 𝑛 𝑛 𝑛 𝑡 1+𝑖 𝑛−1 =𝑅∙ =𝑆 𝑖 = 𝑠𝑛,𝑖 = 𝑎𝑛,𝑖 9 Свойства коэффициента приведения 1 1− 1+𝑖 = 𝑖 𝑛 1 lim 1 + 1+𝑖 𝑛→∞ = 𝑖 𝑛 𝑎𝑛,𝑖 𝑎∞,𝑖 1 = 𝑖 10 Приведённая величина годовой ренты с начислением m раз в году 𝐴=𝑅∙𝑎 𝑖 𝑛∙𝑚,𝑚 𝑎 𝑖 𝑛∙𝑚,𝑚 1 1− 𝑖 𝑚∙𝑛 1+𝑚 = 𝑖 1+ −1 𝑚 𝐴𝑡 = 𝑅 𝑖 1+ 𝑚 𝑚∙𝑡 11 Приведённая величина p-срочной ренты с начислением m = 1 раз в году 𝑝 𝐴 = 𝑅 ∙ 𝑎𝑛,𝑖 𝑝 𝑎𝑛,𝑖 = 1 1− 1+𝑖 𝑝∙ 1+𝑖 1 𝑝 𝑛 −1 12 Приведённая величина p-срочной ренты с начислением m ≠ p раз в году 𝐴=𝑅∙𝑎 𝑎 𝑝 𝑖 𝑚∙𝑛,𝑚 = 𝑝 𝑖 𝑚∙𝑛,𝑚 1 1− 𝑖 1+ 𝑚 𝑝∙ 𝑅 ! 𝐴𝑡 = 𝑝 𝑖 1+ 𝑚 𝑚 𝑝 𝑖 1+ 𝑚 𝑚∙𝑛 −1 𝑚 𝑝 13 Определение параметров финансовых рент Определение разового платежа: 𝑆 𝑅= 𝑠𝑛,𝑖 𝐴 𝑅= 𝑎𝑛,𝑖 14 Определение срока ренты, 1 1+𝑖 𝑛−1 𝑆=𝑅∙ 𝑖 1+𝑖 𝑛 𝑆 = ∙𝑖+1 𝑅 𝑆 𝑛 ∙ ln 1 + 𝑖 = ln ∙𝑖+1 𝑅 𝑆 ln ∙𝑖+1 𝑅 𝑛= ln 1 + 𝑖 15 Определение срока ренты, 2 𝐴 𝐴 − ln 1 − ∙ 𝑖 ln 1 − ∙ 𝑖 𝑅 𝑅 𝑛= = ln 1 + 𝑖 ln 1 + 𝑖 −1 16 Определение срока ренты 𝑝=1 𝑝=1 𝑚=1 𝑚>1 𝐴 ln 1 − ∙ 𝑅 𝑝>1 𝑚=1 𝐴 ln 1 − ∙ 𝑖 𝑅 𝑚=𝑝 𝑚≠𝑝 ln 1 − 𝐴 ∙𝑝∙ 𝑅 −1 −1 𝑆 ln ∙ 𝑅 𝑆 ∙𝑖+1 𝑅 ln 1 + 𝑖 𝑖 1+ 𝑚 𝑚 𝑚 ∙ ln 1 + 1 𝑝 −1 −1 𝑆 ln ∙ 𝑝 ∙ 𝑅 −1 𝑚 𝑝 1+𝑖 −1 +1 𝑖 𝑚 1 𝑝 −1 +1 ln 1 + 𝑖 𝑆 ∙𝑖+1 𝑅 𝑖 𝑚 ∙ ln 1 + 𝑚 ln 𝑖 𝑚 𝑖 𝑚 𝑖 𝑚 ∙ ln 1 + 𝑚 1+ ln 𝑖 𝑚 𝐴 ln 1 − ∙ 𝑝 ∙ 1 + 𝑖 𝑅 ln 1 + 𝑖 𝑚 ∙ ln 1 + 𝑝>1 𝑚 𝑖 1+ 𝑚 𝑚 ∙ ln 1 + 𝑝>1 −1 𝐴 ln 1 − ∙ 𝑖 𝑅 ln 1 + 𝑖 −1 −1 ln 𝑆 ∙𝑝∙ 𝑅 1+ 𝑖 𝑚 𝑚 𝑝 −1 +1 𝑖 𝑚 ∙ ln 1 + 𝑚 17 Определение процентной ставки 1+𝑖 𝑛−1 𝑆=𝑅∙ 𝑖 1 1− 1+𝑖 𝐴=𝑅∙ 𝑖 𝑛 18