Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция №11
§ 16. Релятивисткие поправки к движению электрона в электромагнитном поле.
Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент
Рассмотрим уравнение Дирака, описывающее движение заряженной частицы во
внешнем электромагнитном поле.
iℏ
∂Ψ
e
̂ − 𝐀) + eФ + mc 2 β] Ψ.
= [c𝛂 (𝐩
∂t
c
(11.1)
Если электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то в этом случае
необходимо перейти к стационарным решениям вида
(11.2)
Ψ(𝐫, t) = Ψ(𝐫) exp(−iEt/ℏ).
Тогда уравнение (11.1) примет вид
e
̂ − 𝐀) + eФ + mc 2 β] Ψ(𝐫).
EΨ(𝐫) = [c𝛂 (𝐩
c
(11.3)
Ограничимся здесь рассмотрением только положительных значений энергии и
выделим в энергии собственную энергию mc 2 (энергию покоя)
E = E ′ + mc 2 .
(11.4)
Используем приближение Паули, т. е. запишем четырёхкомпонентную волновую
функцию Ψ через двухкомпонентные функции
φ
Ψ = (χ) ,
φ=(
Ψ1
),
Ψ2
Ψ
χ = ( 3 ).
Ψ4
(11.5)
Тогда уравнение (11.3) с учётом сказанного представится в виде двух уравнений
e
(E ′ − eФ)φ = c𝛔 (𝐩
̂ − 𝐀) χ ,
c
e
(2mc 2 + E ′ − eФ)χ = c𝛔 (𝐩
̂ − 𝐀) φ .
c
(11.6)
Исследуем эту систему уравнений в нерелятивистком приближении для слабых
полей, т. е. в системе уравнений Дирака (11.6), учтём лишь члены порядка v⁄c , так что
|E ′ − eФ| ≪ mc 2 .
В этом случае величина E ′ − eФ = mv 2 /2 и отношение (E ′ − eФ)/mc 2 ~ (v⁄c)2 ,
так что такими членами будет пренебрегать. Тогда получим
e
̂ − 𝐀) χ + eФφ,
E ′ φ = c𝛔 (𝐩
c
e
̂ − 𝐀) φ
c𝛔 (𝐩
1
e
c
̂ − 𝐀) φ.
χ=
≈
𝛔 (𝐩
2
′
2mc + E − eФ 2mc
c
(11.7)
Подставляя значение 𝜒 из второго уравнения системы (11.7) в первое уравнение,
находим уравнение, содержащее только спиновую функцию φ
2
e
̂ − 𝐀)]
[𝛔 (𝐩
c
E′φ = {
+ eФ} φ .
2m
(11.8)
Используя операторное тождество
(𝛔𝐀)(𝛔𝐁) = 𝐀𝐁 + i𝞂[𝐀 ∙ 𝐁],
(11.9)
находим
2
e
e 2 eℏ
̂ − 𝐀)] = (𝐩
̂ − 𝐀) − 𝞂 rot𝐀.
[𝛔 (𝐩
c
c
c
(11.10)
Учитывая, что 𝐇 = rot𝐀 получим нерелятивисткое уравнение для движения
частицы со спином (1/2) в электромагнитном поле
𝐞 2
̂ − 𝐀)
(𝐩
eℏ
𝐜
(𝛔𝐇)} φ .
E′φ = {
+ eФ −
2m
2mc
(11.11)
Уравнение (11.11) было впервые получено Паули (1927 г.), поэтому его называют
уравнением Паули. Сравнивая это уравнение с нерелятивистким уравнением Шредингера
для случая стационарных состояний, мы видим, что (11.11) содержит в операторе
Гамильтона дополнительное слагаемое
−(𝛍
̂𝐇) = −μ0 (𝛔𝐇),
(11.12)
где μ0 = eℏ/2mc − магнетон Бора. Это выражение можно интерпретировать как энергию
взаимодействия с магнитным полем магнитного момента частицы, соответствующего
оператору
𝛍
̂ = μ0 𝛔 .
(11.13)
Учтём, что значение механического момента электрона
𝐒̂ =
ℏ
𝞂.
2
(11.14)
Как следствие теории Дирака находим соотношение
𝛍
̂=
e
𝐒̂ ,
m0 с
(11.15)
которое ранее было введено для объяснения опыта Эйнштейна – де Гааза.
Если ось z направить вдоль магнитного поля, то проекция оператора спинового
магнитного момента электрона равна
μ̂z =
e
Ŝ .
m0 с z
(11.16)
Так как собственные значения оператора Ŝz равны ±ℏ/2, то собственные значения
оператора спинового магнитного момента равны ±eℏ/2m0 с. Отсюда получаем, что
отношение магнитного спинового момента к механическому равно e/mc , т. е. в два раза
превышает соответствующее отношение для моментов, обусловленных орбитальным
движением.
§ 17. Спин – орбитальное взаимодействие
Рассмотрим движение частицы со спином 1/2 в электрическом поле с точностью
до членов порядка v 2 /c 2 . Полагая в уравнениях системы (11.6) 𝐀 = 0, получим
[E ′ − V(r)]φ = c𝛔𝐩
̂χ,
2
′
[2mc + E − V(r)]χ = c𝛔𝐩
̂φ.
(11.17)
Вычислим из второго уравнения системы (17) функцию χ с точностью до первых
степеней отношения (E ′ − V)/2mc 2, т. е. точностью (v 2 /c 2 ). Подставляя значение
χ = (1 −
в первое уравнение системы
двухкомпонентную функцию φ
(E ′ − V)φ =
̂
E ′ − V 𝛔𝐩
)
φ
2mc 2 2mc
(11.17),
(11.18)
находим
уравнение,
̂
𝛔𝐩
E′ − V
̂φ.
(1 −
) 𝛔𝐩
2m
2mc 2
содержащее
только
(11.19)
Используя тождество (11.9), преобразуем правую часть уравнения (11.19) к виду
̂ f(𝐫)(𝛔𝐩
̂) = f(𝐫)(𝛔𝐩
̂)(𝛔𝐩
̂) − iℏ(𝛔 gradf)(𝛔𝐩
̂) =
𝛔𝐩
2
̂ − iℏ(gradf)𝐩
̂ + ℏ𝞂 [(gradf) ∙ 𝐩
̂].
= f(𝐫)𝐩
(11.20)
Тогда уравнение (11.19) преобразуется и виду
̂ ′ φ,
E′φ = 𝐇
̂ ′ = (1 −
H
(11.21)
̂2
E′ − V 𝐩
ℏ𝞂
iℏ
[(gradV)
]
(gradV)𝐩
̂
̂.
)
+
𝑉
+
∙
𝐩
−
2mc 2 2m
4m2 c 2
4m2 c 2
(11.22)
Чтобы последовательно учесть все члены, имеющие порядок v 2 /c 2 , следует
помнить, что функция φ нормирована с этой же точностью. Действительно
φ
∫ ρdτ = ∫ Ψ+ Ψdτ = ∫ φ+ χ+ ( χ ) dτ = ∫(φ+ φ + χ+ χ)dτ =
̂
̂
E ′ − V + 𝛔𝐩
E ′ − V 𝛔𝐩
= ∫ [φ φ − (1 −
)
φ
(1
−
)
φ] dτ =
2mc 2
2mc
2mc 2 2mc
̂2
𝐩
= ∫ φ+ (1 −
) φdτ .
(11.23)
4m2 c 2
+
̂)(𝛔𝐩
̂) = 𝐩
̂2 , причём удерживаем в
Здесь принимаем во внимание, что (𝛔𝐩
разложении только те члены, которые по точности не превышают v 2 /c 2 .
Введём вместо функции φ другую функцию
Ψ = ĝφ
(11.24)
такую, что
∫ Ψ+ Ψdτ = ∫ φ+ g + ĝφdr = 1.
(11.25)
Сравнивая (11.25) и (11.23) можно найти явный вид оператора преобразования
1/2
̂2
𝐩
ĝ = (1 −
)
4m2 c 2
≈1−
̂2
𝐩
.
8m2 c 2
(11.26)
Подействуем оператору g + слева на обе части уравнение (11.21) и получим
̂ ′ φ = (ĝ𝐇
̂ ′ ĝ −1 )ĝφ.
E ′ ĝφ = ĝ𝐇
(11.27)
Значит преобразование (11.24) должно сопровождаться преобразованием оператора
Гамильтона
̂ = ĝ𝐇
̂ ′ ĝ −1 .
H
(11.28)
̂ Ψ.
E′Ψ = H
(11.29)
Тогда
̂ с точностью до v 2 /c 2 равен
Причём оператор H
̂ = (1 −
H
̂2
̂2
𝐩
𝐩
̂ ′ (1 +
)
H
)=
8m2 c 2
8m2 c 2
[E ′ − V(𝐫)]2
̂2
𝐩
ℏ𝞂
[(gradV) ∙ 𝐩
̂] + х
=
+ V(𝐫) −
+
2mc 2
4m2 c 2
2m
ℏ𝟐
+
∇2 V(𝐫) .
(11.30)
8m2 c 2
При получении равенства (11.30) были использованы следующие формулы
̂2 V(𝐫) − V(𝐫)𝐩
̂2 = −ℏ𝟐 ∇2 V(𝐫) − 2iℏ(gradV)𝐩
̂,
𝐩
(11.31)
2
E′ − V 2
E′ − V
2
̂ ≈𝐩
̂ −(
(1 −
)𝐩
) .
2mc 2
c
(11.32)
Первые два слагаемые в (11.30) соответствуют нерелятивисткому оператору
Гамильтона. Три последних учитывают релятивисткие поправки порядка v 2 /c 2 . Их можно
записать в виде
W = W1 + W2 + W3 ,
(11.33)
где W1 = (ℏ𝟐 /8m2 c 2 ) ∙ ∇2 V − поправка, впервые введённая Дарвином. В случае
кулоновского поля V(r) = (−e2 Z/r). Учитывая, что ∇2 (1/r) = −4πδ(r), получаем
πℏ𝟐 e2 Z
W1 =
δ(r).
2m2 c 2
(11.34)
Величину W1 иногда называют оператором контактного взаимодействия. Он
определяет дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром в s – состояниях,
т. к. соответствующая дополнительная энергия
∆𝐸 = ∫ Ψ + W1 Ψdτ
(11.35)
пропорциональна |Ψ(0)|2 и отлична от нуля лишь для s – состояний (𝑙 = 0), поскольку
только в этом случае |Ψ(0)|2 ≠ 0. Для всех же других состояний (𝑙 ≠ 0), этот квадрат
волновой функции при r = 0 обращается в нуль
Ψnlm (𝐫) = R nl (r)Ylm (θ, φ)
R10 (r) =
2
𝑎3/2
e−r/𝑎 (1s − состояние),
R 21 (r) =
W2 = −
R 20 (r) =
(11.36)
1
r
(1 − )e−r/𝑎 (2s − состояние),
𝑎
√2𝑎2
1
r −r/𝑎
e
(2p − состояние),
2√6𝑎3 𝑎
(E ′ − V(r))2
,
2mc 2
(11.37)
W2 есть поправка к оператору кинетической энергии, возникающая из – за релятивисткого
изменения массы частицы при изменении скорости.
Последнее слагаемое в (11.16) есть
W3 =
ℏ𝞂
[gradV(𝐫) ∙ 𝐩
̂]
4m2 c 2
(11.38)
– поправка, которую, называют оператором спин – орбитального взаимодействия.
В центрально – симметричном поле:
gradV(𝐫) =
∂V 𝐫
.
∂r r
(11.39)
Откуда
W3 =
ℏ𝞂 ∂V
̂ ),
(𝐬̂𝐋
2m2 c 2 ∂r
(11.40)
ℏ
̂ = [𝐫 ∙ 𝐩
̂] − оператор орбитального момента, 𝐬̂ = 𝞂 − оператор спинового момента.
где 𝐋
2
В s – состоянии среднее значение поправки W3 равно нулю. Но в s – состоянии W1
отлична от нуля. В этом смысле оператор контактного взаимодействия называется
оператором спин – орбитального взаимодействия в s – состоянии.
gradV(𝐫) = −e𝓔.
(11.41)
Тогда оператор спин – орбитального взаимодействия можно записать в виде:
W3 = −
𝑒ℏ𝞂
[𝓔 ∙ 𝐩
̂],
4m2 c 2
𝓔 − напряженность электрического поля.
(11.42)