Растяжение-сжатие, напряжения на наклонных площадках

Лекция №3 Растяжение – сжатие, физико-математические характеристики материалов Напряжения на наклонных площадках. Потенциальная энергия упругих деформаций. Статически неопределимые задачи на растяжение – сжатие. Учет монтажных зазоров и температуры. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через Авн. В результате этой работы в упругом теле накапливается потенциальная энергия U. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К: Авн=U+K. Если нагружение идет медленно, то К=0 (процесс нагружения – статический): Авн=U. При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является механическим аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинных часовых механизмах. На рис. 2.4 показан растянутый стержень. Очевидно, что работа силы F на перемещении ∆l численно равна площади треугольника ОВС, т.е. Авн=U=1/2·F∆l. Коэффициент ½ означает, что сила прикладывается постепенно от 0 до своего максимального значения. Если внешняя нагрузка прикладывается по другому закону, то и коэффициент будет другим. Исключая из полученного выражения для потенциальной энергии величину абсолютной деформации ∆l получим: F 2l U= 2 EA . (3.1) Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dz (см.рис. 3.1). Рис. 3.1 Для элементарного участка N 2 dz dU = 2 EA , а для всего стержня l N 2 dz U =∫ 2 EA . (3.2) Энергетические соотношения широко используются при определении перемещений в сложных упругих системах. Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составляющей угол α с плоскостью нормального сечения (рис. 3.2). Полное напряжение р на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна быть направлена по оси стержня и равна растягивающей силе σА, т.е. pAα = σA , где Аα – площадь косого сечения, Aα = p = σ cos α . A , тогда cos α Рис. 3.2 Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 2.5, в), находим σ α = p cos α ; τ α = p sin α или 1 (3.3) 2 Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня значения возникающих в сечении напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня. При α=0, σα = σ, τα= 0; При α=90, σα= τα=0. Касательное напряжение τα, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом в 45° к оси растянутого стержня: (3.4) τmax=σ/2. Рассмотрим теперь выделенный прямоугольный элемент ABCD в растянутом стержне, наклоненный под углом α к вертикальной оси стержня (рис. 3.3). На двух взаимно перпендикулярных площадках возникают нормальные и касательные напряжения. По выведенной ранее зависимости (3.3) запишем выражения для касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках: σ α = σ cos 2 α ; τ α = σ sin 2α . 1 2 τ ′ = σ sin 2α ; 1 2 1 2 τ ′′ = σ sin 2(α + 90) = − σ sin 2α ; τ ′ = τ ′′ . (3.5) Рис. 3.3 Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если не учитывать знак) касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений. Во всех рассмотренных до сих пор примерах нормальные силы в поперечных сечениях стержня определяли при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной части. В этом случае составленных уравнений статики хватало для нахождения неизвестных. Такие системы называются статически определимыми. Но такое нахождение нормальных сил, да и вообще внутренних сил, далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются статически неопределимыми. Можно сказать, что под n раз статически неопределимой системой понимается такая система, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на n единиц. Определение всех неизвестных сил, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениями перемещений. Рассмотрим принцип составления уравнений перемещений на простейшем примере раскрытия статической неопределимости системы. Пример 3.1. Прямой однородный стержень (рис. 3.4) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой F, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне. Рис. 3.4 Система, очевидно, один раз статически неопределима, поскольку две реакции опор RA и RB не могут быть определены из одного уравнения равновесия RA+RB=F. Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на столько же сократиться нижняя. Следовательно, ∆l AC = ∆lBC . Выражая удлинения через силы, получим: 1 2 RA l RB l 3 = 3 . EA EA Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим: RA = 1 2 2F F , RB = F . Наибольшее напряжение σ max = . 3 3 3A При большей степени статической неопределимости необходимо составлять систему дополнительных уравнений перемещений вдобавок к уравнениям статики. Прочное овладение приемами раскрытия статической неопределимости может быть достигнуто при решении достаточно большого числа задач. В частности, в некоторых задачах статическая неопределимость обусловлена наличием монтажных зазоров или температурным воздействием. Рассмотрим варианты таких задач. Пример 3.2. Прямой однородный стержень жестко закреплен с одного конца и изготовлен с монтажным зазором относительно расстояния l между опорами (рис. 3.5,а). Стержень растягивают и жестко закрепляют со второго конца (рис. 3.5,б). Монтажный зазор принимается значительно меньшим длины стержня, т.е Δ<