Расчета переходного процесса операторным методом

Лекция 12 п/п Ст. преподаватель Коваленко В. Е. кафедра ПрЭ, Томск 2021 г. Тема: «Переходные процессы в линейных электрических цепях». Изучаем операторный метод расчёта переходных процессом. Используем преобразование Лапласа. Рассматриваем порядок расчёта. Прямую и обратную задачи, которые надо выполнить при решение этим методом. Сформулируем правила Кирхгофа, и закон Ома в операторной форме. Рассмотрим пример решения задачи этим методом. Операторный метод Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом Операторный метод — это метод расчёта переходных процессов в электрических цепях, основанный на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного (либо операторной переменной), в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Преобразование функций действительного переменного в операторную функцию производится с помощью методов операционного исчисления. Последовательность расчёта операторным методом: 1) Анализ цепи до коммутации и определение ННУ. Нахождение токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в моменты времени до коммутации и момент коммутации (t = -0 , t = 0). 2) Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. При ненулевых ННУ в каждую ветвь с индуктивность включают источник ЭДС, равной и направленной по току, а в ветвь с емкостью включают ЭДС, равную и направленную против тока ветви. 3) Определение операторных изображений. Находят операторное изображение воздействия и по рассчитанной операторной схеме выражают искомые величины. 4) Нахождение операторных характеристических корней. Операторное характеристическое уравнение строят из приравнивания знаменателя операторного изображения искомой величины к нулю. 5) Определение оригиналов искомых функций. Осуществляется обратная задача по теореме разложения. Операторный метод позволяет производить расчёт сложных схем менее трудоёмко, чем классический метод. Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Изображение заданной функции преобразованием Лапласа: определяется в соответствии с прямым (1) . В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как: или Следует отметить, что если оригинал . увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют. В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов. Изображения типовых функций Оригинал Изображение А Закон Ома в операторной форме Пусть имеем некоторую ветвь от m до n (см. рис. 3), выделенную из цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. рис.3 Для мгновенных значений переменных можно записать: . Тогда на основании приведенных выше соотношений получим: . Отсюда (2) , где - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи. Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на . Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 3 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 4. рис. 4 Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю . Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура . При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде. В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 5 для двух случаев: 1 - ;2 . Рис. 5 В первом случае в соответствии с законом Ома . Тогда и . Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 5 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 6. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов: рис. 6 откуда и ; . Переход от изображений к оригиналам Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами: 1. Посредством обратного преобразования Лапласа , которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как: . На практике этот способ применяется редко. 2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала. Например, для изображения тока в цепи на рис. 7 можно записать рис.7 . Тогда в соответствии с данными табл. 1 , что соответствует известному результату. 3. С использованием формулы разложения Пусть изображение полиномов искомой переменной определяется отношением двух , где . Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей (3) , где - к-й корень уравнения Для определения коэффициентов (3) на ( . умножим левую и правую части соотношения ): . При . Рассматривая полученную неопределенность типа запишем по правилу Лопиталя, . Таким образом, . Поскольку отношение что есть постоянный коэффициент, то учитывая, , окончательно получаем (4) . Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения виду равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к . В заключение раздела отметим, что для нахождения начального конечного соотношения и значений оригинала можно использовать предельные которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения. Расчеты операторным методом цепей с двумя реактивными элементами. Ещё раз отметим- операторный метод отличается от классического переходом к операторной схеме замещения и определение постоянных интегрирования. При этом начальные значения находятся только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях в момент коммутации. 1. В исследуемой схеме выбираем направления токов и напряжений, определяем начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях до коммутации, т.е. ННУ. 2. По электрической схеме после коммутации составляется операторная. При этом в ветви, содержащие индуктивности и емкости, вводятся дополнительные ЭДС: согласно с током встречно с током Если iL(0) = 0, Uc(0) = 0, то эти величины в схему не включаются. Рассмотрим применимо к схеме на рис. 8 а. а) б) рис. 8 Для схемы на рис. 6 а известны параметры U=100 В, L= 100 мГн, С=100 мкФ, R=10 Ом. Определим для схемы до коммутации ННУ. Составить операторную схему замещения она представлено на рис.6 б. Напомним, что операторная схема замещения составляется для состояния электрической схемы после коммутации. 3. По операторной схеме замещения находятся операторные выражения исследуемых величин. При этом используется любой из известных в электротехнике метод: законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов и др. Полученные выражения могут быть двух видов: а) с нулевым корнем, например (5) б) без нулевого корня, например , (6) В обоих случаях характеристическое уравнение В(р) находится в знаменателе (7) 4. Определяются корни характеристического уравнения (8) 5. Составляются формулы теоремы разложения для искомых переходных величин. Эти уравнения отличаются в зависимости от значения корней. а) Нет нулевого корня, остальные - вещественные, разные, отрицательные. (9) где б) Есть нулевой корень, остальные вещественные, разные, отрицательные. в) Нет нулевого корня, но другая пара - комплексные, сопряженные (10) где (11) г) Есть нулевой корень при паре комплексных, сопряженных (12) Решите задачу самостоятельно для цепи, рис. 8 а. операторным методом, получите зависимости iC(t) и UL(t) после коммутации. Задание к Лекции. Самостоятельно решить задачу для схемы рис. 8 до конца.