Расчет трехшарнирных арок

Общие определения арки Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего - центральный (рис.1). Арки относятся к распорным системам, т.е. таким системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемое распором. Определение опорных реакций При действии внешней нагрузки (Рi, qi) на трехшарнирные системы, в каждой их опоре возникают по две реакции: вертикальные -VA,VB и горизонтальные (распор) – НA, НB (рис.2). Определение опорных реакций в таких системах производится с помощью составления уравнений равновесия. Рис. 2 Определение опорных реакций P Pii f HAA A B YAA HBB YBB L Pi YAo ai YBo bi Эп.М o o Mmax o MC 1) ΣMа = 0; -Рi × аi + VB × L = 0; VB = VB°= (Рi×аi) / L . Получаем, что выражение для опорной реакции VB в арке совпадает с аналогичным выражением в балке на двух шарнирных опорах того же пролета загруженной той же вертикальной нагрузкой. Воспользуемся нулевым индексом для обозначения величин, характеризующих эту простую балку. P Pii f HAA A B YAA HBB YBB L Pi YAo ai YBo bi Эп.М o o Mmax o MC 2) Опорную реакцию VA можно определить из условия ΣYi= 0 или ΣМB= 0: ΣМB= 0; -VA× L + Рi × bi =0; VA = (Рi × bi) / L = VAo Делаем такой же вывод: определение VB аналогично определению VB°. Σхi = 0; НA− НB= 0; НA = НB = Н. При действии лишь вертикальной нагрузки Рi, горизонтальные опорные реакции (распор Н) равны между собой. P Pii f HAA A B YAA HBB YBB L Pi YAo ai YBo bi Эп.М o o Mmax o MC 3) Для определения величины распора Н от действия внешней нагрузки составим четвертое уравнение: ΣMc лев=0; -VA× L/2 + Рi × (L/2−ai) + H×f = 0 "К"; τ − ось, касательная к очертанию арки в точке "К"; σ − ось, перпендикулярная к оси в точке "К". М, Q, N - внутренние усилия, направленные согласно правилу знаков. Составим уравнение равновесия для отсеченной части относительно точки "К": ΣМк = 0; − VA × xк + Σ Рi × (xк − ai) + H × yк + Мк= 0. Выделяя из этого уравнения Мк и учитывая, что: VA × xк − Σ Рi × (xк − ai) = Мкo, получим: Мк= Мкo − H × yк Анализируя это выражение можно заметить, что арочные системы рациональнее балочных, вследствие некоторого уменьшения величины балочного момента М за счет возникающего распора Н. "К"; τ − ось, касательная к очертанию арки в точке "К"; σ − ось, перпендикулярная к оси в точке "К". М, Q, N - внутренние усилия, направленные согласно правилу знаков. Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось σ: Σσi = 0 : −Qк + (VA − Σ Рi) × Соs αк− Н × Sin αк = 0; Выделяя Qк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим: Qк = Qко × Соs αк − Н × Sin αк Для отсеченной части составим сумму проекций всех сил на ось τ: Στi= 0 : Nк + Н × Соs αк + (VA − Σ Рi) × Sinαк= 0; Выделяя Nк, с учетом того, что VA − Рi = Qко, окончательно получим: Nк = − Qко × Sin αк − Н × Соs αк. Рациональным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом ее сечении равен нулю. При действии вертикальной нагрузки, нами было получено следующее выражение для момента: Мк = Мкo − H × yк Прировняв это выражение к нулю и выделяя выражение для ординаты yк, будем иметь: yк = Мкo / Н = Мкo × f / Мco (Н= Мco/ f) Анализ полученной формулы показывает: − уравнение рациональной оси арки определяется видом нагрузки; − при вертикальной нагрузке ось арки будет рациональной, если ее очертание меняется по закону изменения балочного момента.