Расчет статически определимых систем на постоянную нагрузку. Расчет ферм на постоянную нагрузку

Лекция 3. Расчет статически определимых систем на постоянную нагрузку. Расчет ферм на постоянную нагрузку Расчет статически определимых систем на постоянную нагрузку. Важной задачей расчета сооружений является определение их напряженнодеформированного состояния (НДС). Эта задача состоит из: – определения опорных реакций и внутренних усилий; – определения напряжений; – определения перемещений и деформаций. Перед расчетом должны быть установлены геометрические размеры и формы элементов сооружения, физические характеристики материала, внешняя нагрузка и особенности ее воздействия. Наиболее простым является расчет статически определимых систем. Статически определимой называется система, внутренние усилия которой можно определить только из уравнений статики (равновесия). Статически определимые системы (СОС) имеют свои особенности: 1) их внутренние усилия не зависят от упругих характеристик материала, форм сечений и площадей элементов; 2) воздействие температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов не вызывают внутренних усилий; 3) если нет внешних нагрузок, все внутренние усилия равны нулю. 1. Определение опорных реакций Сооружение, воспринимая внешнюю нагрузку, через свои элементы передает ее опорам, вызывая в них опорные реакции. При определении опорных реакций используется принцип освобождения от связей: всякое тело можно освободить от связей, заменив их воздействие реакциями. После этого из уравнений равновесия можно определить величины опорных реакций. Уравнения равновесия плоской системы записываются в трех формах: 1)∑ (∑ 0, ∑ и ∑ 0, ∑ – суммы проекций на взаимно-пересекающиеся оси x и y, ∑ сумма моментов всех сил относительно любой точки A на плоскости); 2) ∑X = 0, ∑MA = 0, ∑MB = 0 (точки A и B не должны лежать на одном перпендикуляре к оси x); - 3) ∑MA A = 0, ∑MB B = 0, ∑MC C=0 (точки А, В, С не должны леежать на од дной прямо ой). нутренниее усилия ст тержневой й системы 2. Вн В элем ментах плосской стерж жневой систтемы возни икают три уусилия: продолльная силаа N, поперречная сил ла Q, изгиб бающий м момент M. Для любоого попееречного сеечения стер ржня они оопределяюттся как на рис. р 3.1. Рисуно ок 3.1 Изгибаающий мо омент – ээто сумма моментов в всех силл, лежащих х слева (и или спраава) от сечеения относи ительно осии z: лев пр В стрроительной й механикее знак изги ибающего момента м об бычно не усстанавливаается, а эпю юра M иззображает тся на стор роне растяянутого воллокна. Поперечная сила а – это сум мма проекц ций всех си ил, лежащиих слева (или справа) от сечен ния на ось y: лев пр Попереечная силаа положиттельна, есл ли вращаетт элемент по часово ой стрелке, и отри ицательна, если е вращаает его проотив часово ой стрелки. Продол льная сила а – это сум мма проекц ций всех си ил, лежащиих слева (или справа) от сечен ния, на осьь x: лев пр Продолльная силаа положитеельна, если и растягиваает элементт, и отрицательна, ессли сжим мает его. Междуу M и Q сущ ществует ддифференци иальная зав висимость:: Исходяя из геомеетрическогоо смысла первой п про оизводной,, величина Q равняеттся тангеенсу угла между м осью ю эпюры M и касател льной к ней й. По эпюрре M можн но определи ить знак Q. Для этоого ось эпю юры M нуж жно повернуть до совп падения с ккасательно ой к ней. Ессли й стрелке, Q будет со о знаком «+ +», а если ппротив часо овой стрелки, повоорот будет по часовой то соо знаком «–». « Эпюры попереччных и про одольных сил с можноо изображаать на люб бой стороне от оси и стержня, но эпюру изгибающего моментта нужно ообязательно изображаать на сттороне расттянутого во олокна. 3. М Методы опр ределения внутренни их усилий Внутреенние усил лия статиччески определимых систем оппределяюттся методаами просстых сечени ий, совместтных сеченний, вырезаания узла, замены з свяязей и др. 3.1. М Метод проостых сечеений Этот метод м позвволяет расссматриватьь внутренн нее усилиее как внеш шнюю силуу и опрееделять егоо из уравнен ний статикки (равновеесия). Наприм мер, внутренние усиллия балки (рис. ( 3.2 а) в сечениии К определ ляются как на рис. 3.2 б. Рисуно ок 3.2 Алгори итм метод да просты ых сечений: 1) подеелить систеему на учасстки; 2) выбррать участо ок и провессти поперечное сечен ние; 3) выбррать одну (наиболее ( ппростую) из и отсеченн ных частей;; 4) состтавить три уравнения у равновесия; 5) из них определ лить внутреенние усил лия M, Q, N; N 6) для данного уч частка посттроить эпю юры M, Q, N; N 7) повтторить пункты 2-6 дляя остальны ых участков в. 3.2. М Метод совместных сечений с Этот метод м испол льзуется прри расчете многодиск ковых систеем. Наприм мер, для раасчета треххдисковой рамы р (рис. 3.3 а) провводятся три и совместн ных сечен ния I, II, III. В результате пооявляются девять нееизвестныхх реакций (рис. 3.3 б): опоррные реакц ции R1, R2, H и межддисковые реакции р X1, X2, X3, Y 1, Y2, Y3. Составив С д для кажддого дискаа по три уравненияя равновеси ия, т.е. 3* *3=9 уравннений, из их решен ния опрееделяются все в 9 реакц ций. Рисуно ок 3.3 Алгори итм метод да совмест тных сечен ний: 1) совм местными сечениями с разделить систему наа части (дииски); 2) обоззначить опо орные и мееждисковые реакции; 3) для каждого ди иска записаать уравнен ния равнов весия; му полученнных уравнеений; 4) решить систем 5) кажд дый диск рассчитать р отдельно и построитьь эпюры; 6) объеединить всее эпюры в общие эпю юры M, Q, N. N Метод выр резания уззла 3.3. М Исполььзуется дляя определенния усилий й простых систем. с Сущноость мето ода: выреззается узеел с не более б чем м двумя неизвестны н ыми усиллиями; силлы, действу ующие в узле, проеецируются на две осси; из эти их уравнен ний опрееделяются искомые и уссилия. Наприм мер, при расчете р баллочно-ферм менной сисстемы (рисс. 3.4 а), по осле того как к опрееделены оп порные реаакции (рис.. 3.4 б), вы ырезается узел у А (рисс. 3.4 в) и составляюттся ураввнения равн новесия: cos 45 sin 45 cos 45 sin 45 /2 Из нихх определяю ются иском мые продол льные силы ы: 4 sin 45 Рисуно ок 3.4 3.4. М Метод зам мены связеей Исполььзуется пр ри расчете сложных статическ ки определлимых систтем, которрые труддно рассчиттать другим ми способаами. Сущноость мето ода: сложнная систем ма превращ щается в более про остую путтем переестановки связи с (или несколькиих связей) в другое место; из уссловия экви ивалентноссти задан нной и зааменяющей й систем оопределяеттся усилиее в пересттавленной связи; заттем система рассчи итывается известными и и методами и. Наприм мер, для расчета рам мы (рис. 3.5 5 а) удалим м правый ввертикальн ный стержеень задан нной системы (ЗС) и введем одну связзь в левый й шарнир.. Тогда шаарнир стан нет прип пайкой С, а примыкаю ющие к нем му стержни и будут жестко связанны. Обознаачив усили ие в удалленной связзи через X, X получим так называаемую основную сисстему (ОС) для расчеета рамы ы (рис. 3.5 б). Рисуно ок 3.5 Услови ием эквиваалентности ОС по отн ношению к ЗС будет уусловие равенства нуулю момеента в точ чке С: MC=0. = По приинципу су уперпозици ии, этот моомент равн няется сум мме момеентов от си илы X и внеешней нагррузки: Далее рассмотрим р м два состоояния ОС: 1) един ничное состтояние (ЕС С), где приккладываются силы X= =1 (рис. 3.5 5 в); 2) груззовое состо ояние (ГС), где приклаадывается нагрузка (ррис. 3.5 г). Тогда предыдуще п ее уравнениие примет вид Здесь 1, 2, … , n – заменяяемые связи; X1, X2, …, Xn – ннеизвестные внутренн ние усиллия в этих связях; с sij – усилие в ii-ой связи в j-ом един ничном сост стоянии; SiPP – усилие в iой сввязи в грузовом состо оянии. Из этой й системы уравненийй определяю ются неизвестные X1, X2, …, Xn. Общий й вывод. Расчет лю юбой статтически оп пределимойй системы приводитт к решеению систтемы n линейных л уравнений й с n неи известными ми. Если определитеель полуученной си истемы ураавнений оттличен от нуля ( 0), внуутренние усилия у буд дут конеечными велличинами. Если же оопределитеель равняеется нулю (det=0), то о внутренн ние усиллия определлить нельзяя. В этом сллучае систеема является мгновеннно изменяяемой. РАСЧЕ ЕТ ФЕРМ М НА ПОСТ ТОЯННУЮ Ю НАГРУ УЗКУ ма – это геометрич чески неиззменяемая система, состоящая из прямы ых стержн ней, Ферм соеддиненных в узлах жесттко или шаарнирно (ри ис. 3.6 а). Замеена жесткихх узлов фер рмы шарниирами преввращает ее в шарнирнную ферму (рис. 3.6 б) б и упроощает расчеет. Рисуно ок 3.6 Для сттатической определим мости и гееометричесской неизм меняемости и шарнирн ных ферм м должно выполнятьс в ся условие 2 При действии д узловой у н агрузки сттержни фермы рабоотают в основном о на растяяжение илли сжатие, а моменты ы и поперечные силы в них оотсутствуют. Поэтомуу в стерж жнях шарн нирной фер рмы опредееляются тол лько продо ольные усил илия. Полож жительное усилие у Nij в стержне фермы ф меж жду узлами i и j (рис. 3.7 а) следуует напрравить в стоорону от шарниров ш (ррис. 3.7 б). Рисуно ок 3.7 При раасчете фер из рм использзуются раззличные меетоды. Расссмотрим некоторые н них. 1. М Метод выреезания узло ов Этот метод м основван на посследователььном выреззании и раассмотрени ии равновессия узлоов фермы. Сущноость мето ода: выреззается узел л, в котор ром не боллее двух неизвестны ых; состаавляются уравнения у равновесияя ∑ 0, ∑ 0; из и них опрределяютсяя неизвестн ные проддольные усилия. Посл ле этого моожно выреззать следую ющий узел и продолж жить расчетт. В метооде вырезаания узловв необходи имо устан новить поррядок выреезания узллов. Напрример, для расчета фермы (рис.. 3.8 а) снаачала выреж жем узел A (рис. 3.8 б) и запиш шем ураввнения равн новесия: cos sin n 1.5 Из нихх 1,5 5 / tan 1,,5 / sin ; Рисуно ок 3.8 Теперьь вырежем узел 10 (риис. 3.8 в) и запишем условия у раввновесия: Из нихх получаем: 1,5 5 / tan 0. ; После этого можн но вырезатть узлы 1, 9, 9 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5. У метоода вырезан ния узлов еесть недосттаток: ошибка (неточнность), доп пущенная при п расччете одногго узла, влияет наа последу ующие вычисления. Поэтому результатты, полуученные эти им методом м, надо коннтролироваать. Наприм мер, резулььтаты расч ета фермы могут бытть проверенны по форм муле ∙ где ∙ – усилия в стержняях, li – дли ины стержн ней, Px и P Py – проек кции нагруззок (вклю ючая и опоорные реакц ции), x и y – координааты нагрузок. Из меттода вырезаания узлов вытекают следующие признакии, упрощаю ющие расч чет ферм м: 1) если и в узле схо одятся два стержня и внешняя нагрузка н нее приложен на (рис. 3.9 а), то обба усилия равны р нулю ю: N1= N2=00; 2) если и в узле схо одятся два стержня, а внешняя нагрузка н ддействует в направлен нии одноого стержняя (рис. 3.9 б), б то N1=P P, N2=0; 3) если и в трехстеержневом узле два стержня с лежат на однной прямой, а внешн ней нагрузки нет (ррис. 3.9 в), то усилияя в двух сттержнях раавны: N1= N 2, а усилие в боковвом стерж жне равно нулю: N3=0; 4) если и в четыреехстержневвом узле стержни по опарно леж жат на одной прямой й, а внеш шней нагруузки нет (ри ис. 3.9 г), тоо усилия по опарно рав вны между собой: N1= N2, N3= N4. Рисуно ок 3.9 Исполььзуя эти признаки, ллегко опред деляются некоторые н усилия раассмотренн ной ферм мы (рис. 3.88 а): – по 2--му признак ку N1-10=N11-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N = 4-7=0; – по 3--му признак ку NA-10=N N99-10=N8-9; NB-6=N6-7=N N7-8; NA-1=N N1-2; NB-5= N4-5. 2. М Метод сквоззных сечен ний Этот метод м позволяет опрееделять усилие в стеержне ферм мы, решая только од дно ураввнение. Сущноость метода: попереек фермы проводится такое скквозное сеч чение, чтообы появвилось не более б трех неизвестнных усилий й; в точке пересечени п ия направл лений двух из них ссоставляеттся уравнен ние моментта, из котор рого опредееляется треетье усилиее. Точка, в которо ой составлляется ураавнение момента, нназывается моментн ной точккой. В качеестве прим мера рассм мотрим ту же ферму,, проведя ппоперек втторой панеели сквоозное сечен ние I–I (рис. 3.8 а). Р Рассматриввая равновеесие левой части от сечения с (ррис. 3.10)), составим м уравнениее момента в точке 1: Отсюд да получаем м: 4 4.5 Рисунок 3.10 Точка 9 является моментнойй точкой дл ля Так какк Для 2 sin , получааем . По оэтому 1.5 ∙ 2 1.5 / siin . моменттной являеттся точка А: А ∑ ∙ 0 . Отсюд да 0. Иногдаа (наприм мер, когда два стер ржня парааллельны) моментно ой точки не сущеествует. В этом слу учае вместто уравнен ния моментта следуетт составлятть уравнен ние проеекции на оссь, перпенд дикулярную ю этим парааллельным м стержням м. У метоода сквозны ых сеченийй есть один н недостатток: в слож жных фермаах не удаеттся проввести такоее сквозноее сечение, чтобы пояявились то олько три ннеизвестны ых усилия.. В этом м случае часть ч неизвестных ннужно опр ределить зааранее илии использо овать друггие метооды. 3. М Метод совмеестных сеч чений Этот метод м испо ользуется для расчеета ферм, которые нневозможн но рассчитаать метоодами выреезания узло ов и сквознных сечений й. Сущноость метод да: попереек фермы проводятся п я несколькко совместн ных сечени ий; для полученны ых частей фермы ссоставляюттся уравнеения равноовесия; этти уравнен ния решааются совм местно; затеем каждая часть ферм мы рассчиттывается оттдельно. Наприм мер, опорн ные реакциии фермы на н рис. 3.11 1 а легко оопределитьь, но усилия в ее сттержнях неельзя опред делить споссобами вырезания узлов и сквоозных сечен ний. Поэтоому провводим совм местные сеечения I-I и II-II и рассматрива р аем равноввесие двух х полученн ных частеей (рис. 3,111 б, в). Рисунок 3.11 В них имеются и шесть ш неизввестных уси илий NA-1, N1-5, N2-3, N 2-B, N3-4, NA-5 жно A . Их мож найтти составивв по три ур равнения рравновесия для обоих х частей. ЗЗатем, испо ользуя споссоб выреезания узлоов, определ ляются и осстальные усилия у в стеержнях феррмы N1-2, N5-B, N4-B, NА-3, N4-5. 4. Раасчет шпреенгельных х ферм С цельью экономи ии материаала в ферм мах стремятся исполььзовать стеержни малоого попееречного сечения. с Однако это может пр ривести к значителььному изги ибу и потеере устойчивости некоторых н стержней. Для исклю ючения таких явленийй в панели такой ферм мы (рис. 3.12 а) вводят в доп полнительнные стержн ни − шпреенгельные элементы и получаают шпренгельную ю ферму (р рис. 3.12 бб). В дальн нейшем первоначальнную ферму у (ферму без б шпреенгелей) длля простоты ы будем наазывать глаавной ферм мой. Рисунок 3.12 Шпрен нгели ферм мы могут быть одно оэтажными и и двухэтаажными. Одноэтажн О ный ю нагрузку у в пределаах одной ппанели и передает п еее в шпреенгель восспринимаетт внешнюю узлы ы только од дного поясаа, а двухэтаажный − пеередает внеешнюю наггрузку и в узлы другоого поясса (из нижн него пояса в верхний, и наоборотт). Рассмоотренные выше в мето ды можно использов вать и для расчета шпренгельн ш ных ферм м. Однако их расчеет упрощаается, если и разложитть ферму на главну ую фермуу и закреепленные в узлах шпренгели. ш На рис. 4.8 4 показан н пример ттакого раззложения для д одноой панели одноэтаж жной (рис. 3.13 а, б, в) и двухэтажно д ой (рис. 3.13 3 г, д, е) шпреенгельных ферм. Рисунок 3.13 типа сттержней: − стерж жни 1 типаа – входят ттолько в гл лавную фер рму; − стерж жни 2 типаа – входят ттолько в шпренгели; − стерж жни 3 типаа – входят в состав и главной г фер рмы, и в соостав шпренгелей. Наприм мер, на рисс. 3.13 а сттержни фер рмы 1-2, 2-3, 1-5 и 2-66 (как частть элементаа 25) буудут относи иться к пер рвому; стерржни 3-6 и 4-6 − ко второму; сттержни 5-6,, 4-5 и 3-4 − к третььему типу. А стержн ни 1-5, 2-33, 3-4, 5-4 и 5-6 ферм мы на рисс. 3.13 г бу удут первоого, стерж жни 1-6 и 4-6 − вто орого, стерржни 1-2 и 2-6 − треетьего типаа. Кроме того, т стерж жни третььего типа на н рис. 3.13 3 а, г дополлнительно отмечены о пунктирной п й линией. Расчетт шпренгел льной ферм мы начинаается с рассчета тех ш шпренгелей й, к которы ым прилложена узлловая нагру узка (напрример, в уззле 4). После этого определяю ются опорн ные реаккции шпрен нгеля и меетодом выррезания узлов −продольные уссилия во вссех стержн нях шпреенгелей Ni’’ . мы без шппренгелей), на которую Затем проводитсся расчет гглавной феермы (ферм приккладываютсся все ее узловые силы, а также доп полнительнные силы со сторооны шпренгелей, равные опорным реакциям шпренгелей и приложенных в обратном направлении. Далее любым из рассмотренных выше методов вычисляются продольные усилия во всех стержнях главной фермы . После этого определяются окончательные величины усилий в стержнях шпренгельной фермы, которые вычисляются по следующим формулам: − для стержней 1 типа: Ni = Ni’; − для стержней 2 типа: Ni = Ni’’ ; − для стержней 3 типа: Ni = Ni’+ Ni’’ .