Расчет статически неопределимых систем методом сил

Л е к ц и я 10 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 1. Понятие о статически неопределимых системах Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств: 1. Они надежнее, разрушение некоторых элементов не всегда приводит к разрушению всей системы. 2. Они выдерживают бо́льшую нагрузку. 3. У них деформации меньше. 4. Изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия. 5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов. У статически неопределимых систем есть так называемые «лишние» связи, число которых называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости простой системы определяется из дискового аналога по следующей формуле: n = W  2 nШ + nС + nC0 – 3n Д . Рис. 10.1 53 Например, степени статической неопределимости балки (рис. 10.1 а) и рамы (рис. 10.1 в) будут: n=2·0+0+4–3·1=1 и n=2·0+1+4–3·1=2. Использование этой формулы при расчете сложных рам затруднительно. Поэтому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей системы; 2) удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов (рис. 10.1 б, г, е). Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равняется трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из nк замкнутых контуров, из которых удалены nуд связей, будет n=3nк – nуд. При использовании этой формулы для балки (рис. 10.1 а) и рам (рис. 10.1 в, д) необходимо определить общее число замкнутых контуров nк и удаленных связей nуд (рис. 10.1 б,г,е). Тогда − для балки: n=32–5=1; − для обеих рам: n=32–4=2, n=32–4=2. Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле n= nС+ n С0 –2nУ . Например, для фермы (рис. 10.1 ж): n=6+3–24=1. 2. Выбор основной системы Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС). Например, у балки (рис. 10.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 10.2 б). Рис. 10.2 54 Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 10.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 10.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему. Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее рациональную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 10.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче. Поэтому основная система должна быть: 1) обязательно геометрически неизменяемой; 2) простой для расчета; 3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки. 3. Сущность метода сил В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил. Изучим метод сил на примере предыдущей балки. Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 10.2 а) и ОС (рис. 10.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю: =0. По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения X (рис. 10.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения P (рис. 10.3 б) от заданной силы P. Поэтому =X+P=0. Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнением совместности деформаций. Рис. 10.3 Так как сила X неизвестна, перемещение X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 10.3 в). Перемещение , возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить. 55 В линейно-упругой системе по закону Гука X= X. Тогда последнее уравнение принимает вид  X+P=0. Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны  и P, из него определяется неизвестная сила: X= –P/ . Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X1, X2, , Xn. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций: 1 = Δ1X 1 + Δ1X 2 ++ Δ1X n +1P=0, 2 = Δ2X 1 + Δ2X 2 ++ Δ2X n +2P=0, . . . . . . . . . . . . . . n= ΔnX 1 + ΔnX 2 ++ ΔnX n +nP =0. При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей  ij по различным направлениям, эти уравнения приводятся к системе уравнений: 11 X1 +  12 X2++  1n Xn+ 1 P=0,  21 X1 +  22 X2++  2n Xn+2P=0, . . . . . . . . . . . . .  n1 X1 +  n2 X2++  nn Xn+nP=0. Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь  ii – главные коэффициенты,  ij – боковые коэффициенты. Свободные члены iP называются грузовыми коэффициентами. Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:  11  12   1n   X1   Δ1P  0        0     X Δ 21 22 2n 2 2P  ; X =   ; P =  ; =  0 =  ,                       1n  2n   nn  Xn   ΔnP  0  где  – матрица податливости, X – вектор неизвестных, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:  X +P = 0. Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных: X = – –1P . Здесь –1 – обратная матрица податливости. 56 4. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты при неизвестных  ij и грузовые коэффициенты iP канонических уравнений – возможные перемещения от единичных сил и нагрузки. У них есть два индекса. Первый индекс i указывает на направление, а второй индекс j (или P) – на причину перемещения. Методику вычисления этих коэффициентов изучим на примере некоторой условной системы (рис. 10.4 а) и ее основной системы (рис. 10.4 б). Рис. 10.4 Для определения коэффициентов  ij рассмотрим два состояния ОС: 1) i-ое единичное состояние – воздействие силы Xi=1 (рис. 10.4 в); 2) j-ое единичное состояние – воздействие силы Xj=1 (рис. 10.4 г). Если в этих состояниях возникают внутренние усилия Μ i , Qi , N i и Μ j , Q j , N j , то возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформациях j-го состояния будет: n lk  QQ N N  –Vij=    M i M j +  i j + i j  dx. GF EF   EI k=1 0   С другой стороны, возможная работа внешних сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна Wij=1ij=ij . По принципу возможных перемещений Wij=–Vij. Приравнивая их, получаем формулу для вычисления коэффициентов при неизвестных: n lk  QQ N N  ij=    Mi M j +  i j + i j  dx . GF EF   EI k=1 0   57 Теорема Максвелла. Перемещение в i-ом направлении от единичной силы в j-ом направлении равна перемещению в j-ом направлении от единичной силы в i-ом направлении, т.е. ij=ji . Доказательство. Возможную работу сил i-го состояния (рис. 10.4 в) на перемещениях j-го (рис. 10.4 г) мы уже определили: Wij=ij. А возможная работа сил j-го состояния на перемещениях i-го равна Wji=1ji=ji. По теореме Бетти Wij=Wji. Следовательно, ij=ji . Эта теорема позволяет уменьшать объем вычислений при нахождении боковых коэффициентов системы канонических уравнений. Теперь выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов. Вначале определим возможную работу сил i-го единичного состояния (рис. 10.4 в) на перемещениях грузового состояния (рис. 10.4 д): WiP=1iP=iP . С другой стороны, возможная работа внутренних сил M i , Qi , N i i-го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна l n k Mi M P QQ NN  –ViP=    +  i P + i P  dx. EI EF GF k=1 0   По принципу возможных перемещений WiP= –ViP. Приравнивая их, получим формулу вычисления грузовых коэффициентов: l n k M i MP QQ NN  iP=    +  i P + i P  dx. EI EF GF k=1 0   Так как в рамах и балках перемещения определяются в основном изгибными деформациями, то коэффициенты канонических уравнений можно вычислять по сокращенным формулам: l n k l n k  ij =   M i M j dx= M i  M j , EI k=1 iP =   k=1 0 Mi M P dx= M i  M P , EI где условный знак  использован для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора и означает условное «произведение» двух эпюр. Вопросы 1. Какие отличия имеют статически неопределимые системы от статически определимых систем? 2. Как определяется число лишних связей статически неопределимой системы? 3. Каким требованиям должна удовлетворять основная система? 4. В чем заключается физический смысл канонических уравнений метода сил? 5. Чем отличается вычисление коэффициентов при неизвестных от вычисления грузовых коэффициентов? 6. Какое преимущество дает использование теоремы Максвелла? 58 Л е к ц и я 11 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ (продолжение) 5. Проверка правильности коэффициентов При вычислении коэффициентов системы канонических уравнений возможны ошибки. Поэтому их надо проверять. Существует три способа проверки коэффициентов. 1. Построчная проверка проводится для проверки всех коэффициентов одного уравнения. Если сложить все коэффициенты при неизвестных i-го уравнения, то n   ij =  i1 +  i2 + … +  in = M i  M 1 + M i  M2 + … + Mi  M n = j 1 = M i  ( M 1 + M 2 + ...+ M n )= M i  M  =  i . n Здесь: M  =  M i = M 1 + M 2 + ...+ M n – суммарная единичная эпюра,  i i=1 – результат «произведения» i-ой единичной эпюры на эту эпюру. Отсюда следует, что если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, т.е. n   ij = M i  M , j 1 то коэффициенты этой строки вычислены верно. 2. Универсальная проверка используется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Приведем (без доказательства) только общее правило этой проверки: если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на себя, т.е. n n    ij = M  i 1 2  M = M , j 1 то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно. 3. Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Приведем правило проверки столбца из грузовых коэффициентов: если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, т.е. n  iP = M  i 1  MP , то грузовые коэффициенты вычислены верно. 59 6. Определение внутренних усилий После подсчета и проверки коэффициентов системы канонических уравнений, все они подставляются в уравнения, а потом система уравнений решается относительно неизвестных X1, X2, …, Xn. Затем определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Эту задачу можно решать двумя способами: 1) подстановкой найденных величин X1, X2, …, Xn в основную систему и определением ее усилий M, Q, N; 2) используя эпюры внутренних усилий в единичных состояниях Μ i , Q i , Ν i и в грузовом состоянии MP, QP, NP: M= Μ 1 X1+ Μ 2 X2+ …+ Μ n Xn+MP ; Q= Q 1 X1+ Q 2 X2+ …+ Q n Xn+QP ; N= N 1 X1+ N 2 X2+ …+ N n Xn+NP . При расчете рам и балок обычно используется только первая из этих формул, и по ней строится эпюра изгибающих моментов M. Эпюра Q строится по эпюре M с учетом дифференциальной зависимости, а эпюра N строится по эпюре Q способом вырезания узлов. 7. Алгоритм метода сил Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов: 1. Определение степени статической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение единичных и грузовой эпюр. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений. 7. Решение системы канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она состоит из двух частей: 1) статическая проверка − проверка условий равновесия; 2) кинематическая проверка − проверка всех условий M i  M =0 ( i  1. n ) или общего условия M   M =0. Действительно, M i  M  M i  ( M1 X1  M2 X2    M n X n + M P ) =   i1 X1   i2 X 2    in Xn   iP . А это выражение равно нулю, так как является i-ой строкой системы канонических уравнений. Отсюда следует, что и M   M  ( M 1  M 2    M n )  M  0 , поскольку каждый из его сомножителей равняется нулю. 60 8. Определение перемещений Перемещения статически неопределимых систем можно вычислять по известной формуле Мора. В системах с преобладанием изгибных деформаций (например, в рамах и балках) она имеет вид: n lk M M =   EI dx= M  M.  1 Здесь M и M – эпюры моментов от единичной силы и нагрузки в заданной статически неопределимой системе. Однако, построение этих эпюр связано с решением трудоемких задач раскрытия статической неопределимости. Задача упрощается, если одну из этих эпюр строить в основной системе и использовать формулы = M0  M или = M  MP, где M0 и MP – единичная и грузовая эпюры в любой основной системе метода сил. 9. Расчет симметричных рам Симметричными называются системы, расчетные схемы которых симметричны относительно некоторой оси. Расчет любой симметричной рамы (рис. 11.1 а) можно упростить, если воспользоваться ее симметрией и разложить внешнюю нагрузку на симметричную (рис. 11.1 б) и кососимметричную (рис. 11.1 в) нагрузки. Рис. 11.1 Тогда, хотя раму приходится рассчитывать дважды, выбор основной системы по рис. 11.2 а дает значительный выигрыш в вычислениях. Рис. 11.2 61 Канонические уравнения метода сил при расчете этой рамы будут:  11 X1+  12 X2+  13 X3+1P=0,  21 X1+  22 X2+  23 X3+2P=0,  31 X1+  32 X2+  33 X3+3P=0. Во всех трех единичных состояниях построим эпюры моментов (рис. 11.2 б, в, г). Из них две эпюры (рис. 11.2 б, г) – симметричные, а одна (рис. 11.2 в) – кососимметричная. Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимноортогональны, т.к. их “произведение” равно нулю: с кс M i  M j =0. Поэтому следующие коэффициенты системы канонических уравнений обращаются в нуль:  12 =  21 =0 и  32 =  23 =0, и система канонических уравнений распадается на две независимые системы: (2)  22 X 2  2P  0,  11 X 1   13 X 3  Δ1P  0, (1)   31 X 1   33 X 3  Δ3P  0; Значит, некоторые коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений значительно меньших размеров. а) Расчет на симметричную нагрузку Так как эпюра изгибающих моментов при действии симметричной нагрузки также является симметричной (рис. 11.2 д), то она ортогональна кососимметричной эпюре M 2 . Следовательно, 2P=0. Поэтому, как следует из уравнения (2), X2=0. Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричная неизвестная равна нулю. В этом случае эпюра изгибающих моментов будет строиться по формуле M с = Μ 1 X1+ Μ 3 X3+M сP . Она, как сумма симметричных эпюр, также будет симметричной. В этом случае эпюра Q будет кососимметричной, а эпюра N будет симметричной. б) Расчет на кососимметричную нагрузку В этом случае эпюра изгибающих моментов кососимметрична (рис. 11.2 е) и ортогональна симметричным эпюрам M 1 и M 3 . Поэтому 1P=3P=0, и, как следует из системы уравнений (1), X1=X3=0. Итак, при кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Тогда эпюра изгибающих моментов строится по формуле M кс = Μ 2 X2+M кс P , она и эпюра N будут кососимметричными, а эпюра Q − симметричной. Окончательная эпюра определяется как сумма двух решений: M  M с  M кс . 62 9. Группировка неизвестных Если при расчете симметричной рамы (рис. 11.3 а) выбрана обычная основная система (рис. 11.3 б), все коэффициенты канонических уравнений  11 X1+  12 X2 +1P=0,  21 X1+  22 X2 +2P=0 будут отличаться от нуля. Рис. 11.3 Если же неизвестные группировать по формулам X1=Y1 +Y2 , X2=Y1 – Y2 , что соответствует выбору основной системы на рис. 11.3 д, то единичные эпюры (рис. 11.3 е, ж) будут ортогональными ( M 1  M 2 =0), а канонические уравнения распадутся на два независимых уравнения:  11 Y1 +1P=0,  22 Y2 +2P=0. Итак, при группировке неизвестных некоторые коэффициенты обращаются в нуль, и их вычислять не требуется. В то же время система канонических уравнений распадается на две, что упрощает их решение. Как видим, группировка неизвестных уменьшает объем вычислений. Вопросы 1. Какие имеются способы проверки коэффициентов канонических уравнений? 2. Из каких этапов состоит алгоритм метода сил? 3. Какие способы проверки правильности расчета существуют? 4. Как определяются перемещения статически неопределимых систем? 5. Какая система называются симметричной? 6. Какое преимущество дает использование симметрии рамы? 7. В чем состоит группировка неизвестных? 63 Л е к ц и я 12 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Как уже знаем, при расчете статически неопределимых систем методом сил исключаются лишние связи, а за неизвестные принимаются силы (усилия) в этих связях. После их вычисления из канонических уравнений можно определять все остальные усилия, а также перемещения, напряжения и деформации системы. Напряженно-деформированное состояние (НДС) статически неопределимых систем можно устанавливать и по-другому. В этом случае связи не исключаются, а делается наоборот – в систему вводятся дополнительные связи. За неизвестные принимаются перемещения во введенных связях, которые определяются из канонических уравнений. Поэтому этот метод называется методом перемещений. 1. Неизвестные метода перемещений Установим минимальное число узловых перемещений, необходимых для определения напряженно-деформированного состояния статически неопределимой стержневой системы. С этой целью определим простейшие деформации некоторого стержня АВ стержневой системы, которые он получает при переходе в новое положение AB под воздействием внешней нагрузки (рис. (12.1 а). Данная задача упрощается, если стержень закрепить по обоим концам и, задавая его концам некоторые независимые перемещения, привести стержень к окончательному деформированному состоянию AB . Рис. 12.1 64 Как следует из рис. 12.1, для этого концам закрепленного стержня АВ необходимо последовательно задавать поступательные (линейные) перемещения Δ и ΔAB (рис. 12.1 б, в), угловые перемещения  A и  B (рис. 12.1 г, д), а внутри стержня приложить внешнюю нагрузку (рис. 12.1 е). От перемещения Δ всего стержня внутренние усилия и деформации не возникают (на рис. 12.1 б M 1 = 0 ). Внутренние усилия и деформации от местной нагрузки, действующей в пределах закрепленного стержня АВ, можно найти отдельно. Значит, для определения НДС всего стержня достаточно знать три неизвестных перемещения – два угловых перемещения его концов  A ,  B и одно поступательное перемещение – взаимное смещение концов стержня ΔAB . Поэтому степень кинематической неопределимости отдельного стержня равняется трем. 2. Выбор основной системы Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Для ее получения в заданную систему следует ввести столько дополнительных связей, чтобы концы всех стержней были закреплены, т. е. исключены их перемещения. Поэтому общее число вводимых связей будет равно числу неизвестных метода перемещений. Однако число вводимых связей может быть весьма большим. Например, рама на рис. 12.2 а состоит из пяти стержней. По результатам проведенного выше анализа, степень ее кинематической неопределимости (или число неизвестных метода перемещений) будет 5·3=15. Рис. 12.2 65 Это число можно уменьшить, если принять следующие гипотезы: 1) поперечные и продольные деформации стержней малы; 2) длина хорды, соединяющей концы изогнутого стержня, равна первоначальной длине стержня; 3) в упругом рамном узле углы между стержнями сохраняются. Действительно, в этом случае в данной раме достаточно будет знать только три перемещения – поступательное перемещение Δ и два угловых перемещения  1 и  2 (рис. 12.2 а). Таким образом, число неизвестных уменьшилось намного – с пятнадцати до трех. Из третьей гипотезы следует, что число неизвестных угловых перемещений будет определяться по формуле n угл = числу упругих рамных узлов. Для определения числа неизвестных поступательных перемещений (в дальнейшем их будем называть линейными перемещениями) во все узлы рамы, включая и опоры, нужно ввести шарниры (рис. 12.2 б). Тогда число линейных перемещений легко определяется по известной формуле кинематического анализа для фермы n лин  W  2nУ – nС – nС0 . В рассматриваемой раме имеем n лин =2 6 – 5 – 6 =1. Общее число всех неизвестных перемещений определяется по формуле n = n угл + n лин и называется степенью кинематической неопределимости. Сами неизвестные перемещения обозначаются однотипно: Z 1 , Z 2 , Z 3 , ..., Z n . После определения числа неизвестных в заданной системе (ЗС) следует вводить столько же связей для исключения перемещений концов ее стержней. Например, в рассмотренную раму введем две заделки и одну опорную связь. Полученная схема (рис. 12.2 в) будет основной системой (ОС) метода перемещений. Таким образом, для получения ОС метода перемещений необходимо: – в упругие рамные узлы заданной системы ввести n угл заделок; – в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввести n лин опорных связей (они вводятся так, чтобы система с введенными шарнирами стала геометрически неизменяемой). Введенные связи, хотя внешне и похожи на обычные опорные связи, от них принципиально отличаются, потому что: 1) введенная заделка исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения; 2) введенная опорная связь исключает только линейное перемещение узла, оставляя возможность поворота (рис. 12.2 г, д). 66 При соблюдении этих требований ОС метода перемещений, по-сути, является единственной. Пусть необходимо выбрать ОС метода перемещений для рамы (рис. 12.3 а). Она имеет четыре жестких узла. Значит, число угловых неизвестных n угл =4. Для определения числа линейных неизвестных во все узлы и опоры рамы введем шарниры (рис. 12.3 б). Тогда имеем: n лин  2nУ – nC – nС0  2  8  8  6  2 . Поэтому общее число неизвестных будет n  n угл + n лин =4+2=6. Вводя в жесткие узлы ЗС четыре заделки и две опоры, исключающие линейные перемещения узлов рамы (последние вводятся так, чтобы механизм на рис. 12.3 б стал геометрически неизменяемым), получаем требуемую ОС (рис. 12.3 в). Рис. 12.3 3. Сущность метода перемещений Данный вопрос изучим на следующем примере (рис. 12.4 а). Эта рама четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 12.4 б. Рис. 12.4 67 При использовании же метода перемещений раму следует превратить в кинематически определимую. Для этого в заданную систему (ЗС) достаточно ввести n  n угл + n лин =1+0=1 кинематическую связь. Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим основную систему (ОС), показанную на рис. 12.4 в. Потребуем, чтобы усилия и деформации ОС были такими же, как у ЗС. Для этого перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы  (рис. 12.4 а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 12.4 в) должен равняться нулю: R =0. Эту реакцию определим, рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы. В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение Z=1 и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 12.4 г). Такая реакция от единичного перемещения называется жесткостью. В грузовом состоянии приложим только внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию RP (рис. 12.4 д). С учетом упругости системы и принципа суперпозиции, наше уравнение приводится к виду r · Z+ RP =0 . Оно называется каноническим уравнением метода перемещений. Если известны реакции r и RP, то из него можно найти величину узлового перемещения: Z= – RP /r. Если степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n, ее ОС получается введением n дополнительных связей с неизвестными Z1, Z2, …, Zn. Чтобы ОС была эквивалентна ЗС, реакции во введенных связях должны равняться нулю. С учетом этого можно записать n уравнений. После рассмотрения n единичных состояний, одного грузового состояния и дальнейшего определения реакций (реактивных усилий) во всех состояниях, эти уравнения приводятся к следующему виду: r11Z 1  r12 Z 2    r1n Z n  R1P  0, r21Z 1 + r22 Z 2 +  + r2n Z n + R2P = 0, . . . . . . . . . . . rn1Z 1 + rn2 Z 2 +  + rnn Z n + RnP = 0. Все вместе они называются системой канонических уравнений метода перемещений. Здесь rii – главные коэффициенты, rij – боковые коэффициенты. Свободные члены RiP являются грузовыми коэффициентами. После введения матриц и векторов 68  r11 r12 r r r =  21 22    rn1 rn 2     r1n  r2n  , Z=    rnn   Z1  Z 2     , RP =   Z n   R1P   R2P    , 0 =    RnP  0  0      0  система канонических уравнений записывается в матричной форме: r · Z + RP = 0, где r – матрица жесткости, Z – вектор неизвестных, RP – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. Отсюда определяется вектор неизвестных: Z = – r–1 RP, где r–1 – обратная матрица жесткости. Вопросы 1. Какие величины являются неизвестными метода перемещений? 2. Что такое степень кинематической неопределимости? 3. Какие гипотезы принимаются при расчете рам методом перемещений? 4. Как определяется основная система метода перемещений? 5. Что называется жесткостью? 6. В чем заключается сущность метода перемещений? 7. Как записывается система канонических уравнений метода перемещений? Л е к ц и я 13 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (продолжение) 4. Элементарные состояния основной системы Как было установлено в предыдущей лекции, коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений – реакции, определяемые в единичных и грузовом состояниях. Например, rij – реакция, возникающая в i-ой связи в j-ом единичном состоянии, RiP – реакция, возникающая в iой связи в грузовом состоянии. Все эти реакции равны сумме реакций отдельных стержней, объединенных в узлах основной системы. Для их определения необходимо рассчитывать статически неопределимые стержни различной длины и жесткости с различными закреплениями по концам, получающие разные перемещения или нагруженные различными силами. С целью упрощения таких расчетов все типовые задачи, встречающиеся при расчете различных основных систем, решаются для общего случая. Их называют элементарными состояниями основной системы, а результаты их расчетов сводятся в таблицу. Эти задачи в большинстве случаев бывают статически неопределимыми и поэтому решаются методом сил. Рассмотрим решение двух типовых задач. 69 1) Стержень с равномерно распределенной нагрузкой q Степень статической неопределимости этой системы (рис. 13.1 а) n=1. Каноническое уравнение имеет вид δX  ΔP  0 . Выбирая основную систему (рис. 13.1 б), в единичном (рис. 13.1 в) и грузовом (рис. 13.1 д) состояниях строим единичную (рис. 13.1 г) и грузовую эпюры (рис. 13.1 е). Рис. 13.1 Определим коэффициенты канонического уравнения: 2 l3 ql 4 δM  , , ΔP  M  M P   3EI 8EI Δ 3 а затем неизвестную реакцию: RB  X   P  ql . После этого из  8 уравнений статики определяем остальные реакции, а по формуле M  M X  M P строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13.1 ж). 2) Поворот одного конца стержня с заделанными концами Пусть один конец стержня с заделанными концами поворачивается на единичный угол (рис. 13.2 а). У этой системы степень статической неопределимости n=3. Однако, если не учитывать продольную деформацию, вместо заданной системы можно рассматривать стержень с правой опорой в виде ползуна (рис. 13.2 б) и принять n=2. Система канонических уравнений будет: δ11 X 1  δ12 X 2  Δ1P  0 , δ 21 X 1  δ 22 X 2  Δ2P  0 . Если основную систему выбрать симметричной (рис. 13.2 в), в обоих единичных состояниях (рис. 13.2 г, е) единичные эпюры M 1 , M 2 легко строятся (рис. 13.2 д, ж). В грузовом состоянии (рис. 13.2 з) момент не возникает, поэтому M P  0 . 70 Рис. 13.2 Определим коэффициенты канонических уравнений: 2 2 l3 l δ11  M 1  , δ12  δ21  M 1  M 2  0 , δ22  M 2  . 12EI EI l l l Из рис. 13.2 з следует, что Δ1P   tg   1  и Δ2P      1 , а 2 2 2 из канонических уравнений получаем X 1  –6 EI2 , X 2  l EI . l Так как M P = 0 , имеем M  M 1 X 1  M 2 X 2 (рис. 13.2 и). Аналогичные расчеты проводятся для всех типовых случаев, встречающихся в различных основных системах. Результаты их расчетов сводятся в единую таблицу (табл. 2). 5. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами. Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений статики. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составлять уравнения равновесия (статики). Если искомая реакция является реактивным моментом, то она определяется из условия равенства нулю 71 Таблица 2 Таблица метода перемещений 72 момента в узле M=0; если же она является реактивной силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции X=0. Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений. Докажем одну полезную теорему. Первая теорема Релея. Реакция, возникающая в j-ой связи от перемещения i-ой связи на единицу, равна реакции i-ой связи от перемещения j-ой связи на единицу, т.е. rji = rij . Доказательство. Рассмотрим i-ое и j-ое единичные состояния основной системы некоторой рамы (рис. 13.3 а, б) и соответствующие эпюры моментов в этих состояниях (рис. 13.3 г, д). Возможная работа сил j-ого единичного состояния (рис. 13.3 б) на перемещениях i-го состояния (рис. 13.3 а) равна W ji = rij  1= rij . Работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния будет Wij = r ji  1= r ji . По теореме Бетти Wji =Wi j . Значит, равны и правые части, т.е. rij  rji . Рис. 13.3 Эту теорему иногда называют теоремой о взаимности реакций. Она позволяет сократить объем вычислений побочных коэффициентов канонических уравнений. 73 Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений перемножением эпюр. Этот способ применяется при сложности определения коэффициентов статическим способом или для проверки результатов статического способа. Для вывода формулы кинематического способа определим две возможные работы. Работа внешних сил j-го единичного состояния на перемещениях i-го состояния нам известна: Wji = rij . А возможная работа внутренних сил j-го единичного состояния на деформации i-го состояния M i / EI равна: MiM j  V ji    dx. EI По принципу возможных перемещений Wji  Vji  0 или Wji  Vji . Отсюда получаем искомую формулу: MiM j dx или rij  M i  M j . EI Формула вычисления грузовых коэффициентов аналогичной формулы метода сил (дается без вывода): rij    отличается от M i M P0 dx или RiP   M i  M P0 , EI где M P – грузовая эпюра изгибающих моментов в любой статически определимой системе, полученной из заданной системы удалением лишних связей. RiP    6. Определение усилий После определения всех коэффициентов, они подставляются в систему канонических уравнений. Затем она решается и определяются неизвестные Z1, Z2, …, Zn. После этого определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Этот расчет выполняется аналогично методу сил. Вначале по формуле M  M 1 Z1  M 2 Z 2    M n Z n  M P определяются моменты. Затем по эпюре M определяются поперечные силы Q, а по ним – продольные силы N. 7. Алгоритм метода перемещений Метод перемещений реализуется в следующей последовательности: 1. Определение степени кинематической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 74 5. Построение эпюр моментов во всех состояниях. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений (при необходимости – их проверка). 7. Решение канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она проводится аналогично методу сил – статическим и кинематическим способами. Как видим, алгоритмы метода перемещений и метода сил совпадают. 8. Сравнение методов сил и перемещений При более подробном рассмотрении можно выявить не только сходные, но и принципиально отличающиеся стороны методов сил и перемещений. Рассмотрим некоторые из них: − оба метода используются для расчета статически неопределимых систем; при принятии одинаковых допущений оба приводят к единому результату, а при использовании в разных областях дополняют друг-друга; − в методе сил неизвестными являются силы, а в методе перемещений неизвестными являются перемещения; при расчете одной и той же системы число их неизвестных часто бывает разным, поэтому одни системы выгоднее рассчитывать методом сил, другие − методом перемещений; − в методе сил основная система получается удалением связей, а в методе перемещений – введением связей; в методе сил вариантов основной системы много, а в методе перемещений она единственна; − единичные состояния в методе сил определяются воздействием единичных сил, в методе перемещений – единичных перемещений; − в методе сил необходимые эпюры в основной системе строятся обычным способом, а в методе перемещений – по готовой таблице; − коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений определяются проще (из уравнений статики); − многие из боковых коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений равняются нулю, что упрощает ее решение и т.д. Вопросы 1. Как рассчитываются элементарные состояния основной системы метода перемещений? 2. Какие способы используются при определении коэффициентов канонических уравнений метода перемещений? 3. Как формулируется теорема Релея? 4. Как определяются окончательные усилия в методе перемещений? 5. Из каких этапов состоит алгоритм метода перемещений? 6. Какие сходства и различия имеют метод сил и метод перемещений? 75 Л е к ц и я 14 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ СМЕШАННЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДАМИ Кроме методов сил и перемещений, при расчете статически неопределимых систем могут использоваться и другие методы. Например, когда структура расчетной схемы сооружения по длине и высоте неоднородна (одна часть имеет малое количество лишних связей, а другая − большое количество лишних связей и малую подвижность), выгодно использовать смешанный или комбинированный методы. 14.1. Смешанный метод расчета Этот метод основан на смешанном выборе неизвестных основной системы статически неопределимой системы − в одной части они выбираются по методу сил (удалением лишних связей), а в другой − по методу перемещений (введением дополнительных связей). Поэтому основные неизвестные этого метода состоят из двух типов величин − сил и перемещений, а их общее количество определяет число неизвестных метода. Так как к одной части основной системы применяется метод сил, то и основная система смешанного метода может выбираться по-разному. Как и в методах сил и перемещений, в смешанном методе рассматриваются единичные и грузовое состояния основной системы. Эпюры усилий в этих состояниях строятся по-разному − в одной части как в методе сил (например, методом простых сечений), а в другой части − как в методе перемещений (с использованием таблицы метода перемещений). Канонические уравнения смешанного метода также бывают двух типов. Уравнения первого типа − кинематические уравнения, аналогичные уравнениям метода сил. Они выражают условия равенства нулю перемещений в удаленных связях. Уравнения второго типа − статические уравнения, аналогичные уравнениям метода перемещений. Они выражают условия равенства нулю реакций во введенных связях. Если обозначить неизвестные силы через X 1 , X 2 , …, X k , а неизвестные перемещения через Zk+1, Zk+2, …, Zn, канонические уравнения смешанного метода будут двух типов: 11 X 1    1k X k  1,k 1Z k 1  …  1n Z n  1P  0,  (I)  . . . . . . . . . . . .  X  …   X    Z      Z    0; kk k k ,k 1 k 1 kn n kP  k1 1  rk1,1 X 1… rk1,k X k  rk 1,k 1Z k 1… rk 1,n Z k 1… rk 1,n Z n  Rk 1,P  0,  (II)  . . . . . . . . . . . . r X  …  r X  r nk k n,k 1Z k 1   rnn Z n  RnP  0.  n1 1 76 Как обычно, в этих уравнениях выполняются равенства ij=ji, rij=rji. Однако в уравнения I-го типа, кроме коэффициентов 11,…,kk, определяемых в основной системе как перемещения от единичных сил Xi=1 (i=1,2,…,k), входят коэффициенты  ij , определяемые как перемещения от единичных перемещений Zj=1 (j=k+1,…,n). А в уравнения II-го типа, кроме обычных коэффициентов rk+1,k+1, …, rnn, входят коэффициенты r ji , определяемые как реакции от единичных сил Xi=1. Упростить их определение позволяет следующая теорема. Вторая теорема Релея. Величина перемещения системы в i-ом направлении от единичного перемещения j-ой связи равна реакции в j-ой связи от действия единичной силы в i-ом направлении, взятой с обратным знаком, т.е. ij= –rji. Доказательство. Для этого рассмотрим некоторую систему и два его возможных состояния. В одном из них прикладывается единичная сила Xi=1 (рис. 14.1 а), а во втором − единичное перемещение (рис. 14.1 б). Рис. 14.1 Возможная работа сил первого состояния на перемещениях второго равна W12=1ij + rji1, а возможная работа сил второго состояния на перемещениях первого равна W21=0. По теореме Бетти W12=W21. Приравнивая два выражения работы, получим требуемое соотношение ij=–rji. Доказанная теорема позволяет определять некоторые коэффициенты канонических уравнений без вычислений. Например, если вначале были вычислены ij, то rji=–ij, если же были вычислены rji, то ji=–rij. Грузовые коэффициенты канонических уравнений смешанного метода iP (i=1,2,…,k) и RjP (j=k+1,…,n) определяются также как в методах сил и перемещений. Окончательная эпюра изгибающих моментов в смешанном методе строится по формуле M= M 1 X1+…+ M k Xk+ M k 1 Zk+1+…+ M n Zn+MP. Правильность этой эпюры проверяется также как в методах сил и перемещений: перемещения в удаленных связях и реакции во введенных связях должны равняться нулю. 77 Когда число неизвестных смешанного метода велико, канонические уравнения удобно записать в матричной форме DY+ Δ P =0, где матрица коэффициентов канонических уравнений D, вектор неизвестных Y и вектор грузовых коэффициентов Δ P имеют вид  δ11  ...  D=  δk1 rk 1,1  ...  r  n1 ... ... ... ... ... ...  1 δ1,k δ1k ... ...  δkk δk,k 1 rk1,k rk 1,k 1 ... ... rnk rn,k 1 ... ... ... ... ... ...  Δ1P   X1    δ1n  ...   ...  ...   Δ    Xk   δkn  ; Δ P =  kP  .  ; Y=  Z rk  1,n   Rk 1,P   k 1   ...   ...  ...    RnP    rnn   Zn  Тогда неизвестные метода определяются по формуле Y= – D-1 Δ P . Алгоритм смешанного метода состоит из следующих этапов: 1. Определение числа неизвестных. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение эпюр в этих состояниях. 6. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. 7. Решение канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N . 9. Проверка правильности расчета. Как видим, этот алгоритм совпадает с алгоритмами метода сил и перемещений. Однако, по сути, каждый этап расчета отличается от них. В качестве примера рассмотрим некоторые этапы расчета рамы, представленной на рис. 14.2 а. Число неизвестных, если ее рассчитывать методами сил и перемещений, будут nмс=3nк – nуд=32–2=4, nмп=nугл + nлин=2+1=3. Когда выбирается основная система по смешанному методу как на рис. 14.2 б, число неизвестных будет nсм=1+1=2. Тогда канонические уравнения запишутся так:  Z 2  1P  0 , 11 X1  12  X1  r22 Z 2  R2 P  0 . r21 Коэффициенты канонических уравнений 11 и 1P определяются как в методе сил − перемножением единичной и грузовой эпюр моментов по 78 рис. 14.2 в, д, а коэффициенты r22 и R2P определяются как в методе перемещений − вырезанием узлов единичного и грузового состояний по рис.  проще всего определяется как в методе переме14.2 г, д. Коэффициент r21    r21  . щений − по рис. 14.2. Тогда, по второй теореме Релея, имеем 12 Рис. 14.2 Дальнейший расчет ведется, как обычно, по указанному выше алгоритму. 8.3. Комбинированный метод расчета В этом методе основная система выбирается частично по методу сил (не удаляя все лишние связи) или частично по методу перемещений (не вводя дополнительные связи во все необходимые места). Поэтому, если основная система выбирается по методу сил, то она будет статически неопределимой. Если же она выбирается по методу перемещений, то будет кинематически неопределимой. В связи с этим, эпюры в единичных и грузовых состояниях основной системы смешанного метода нужно строить для нестандартных элементов. Поэтому, кроме основных неизвестных, в этом методе выбираются и вспомогательные неизвестные. Их общее число будет равно числу неизвестных смешанного метода. 79 Использование комбинированного метода обычно проще чем использование смешанного метода, т.к. основные неизвестные в нем рассматриваются отдельно от вспомогательных. Поэтому соответствующие два типа канонических уравнений рассматриваются раздельно. А в смешанном методе, как мы видели, оба типа канонических уравнений приходится рассматривать совместно. При расчете симметричных рам комбинированный метод дает преимущества, если разложить нагрузку на симметричную и кососимметричную составляющие. Рассмотрим этот случай на примере рамы (рис. 14.3 а), число неизвестных которой по методам сил и перемещений будут nмс=3nк – nуд=31–0=3, nмп=nугл + nлин=2+1=3. Внешнюю нагрузку представим как сумму симметричной (рис. 14.3 б) и кососимметричной (рис. 14.3 в) нагрузок. Рис. 14.3 Как было установлено при расчете симметричной рамы методом сил, метод сил выгоден при расчете на кососимметричную нагрузку. Действительно, при выборе основной системы как на рис. 14.3 б, симметричные неизвестные X1 и X3 будут обращаться в нуль, и поэтому из трех уравнений останется только одно каноническое уравнение  22 X 2   2ксP  0 . Рис. 14.4 Аналогично, при расчете на симметричную нагрузку, кососимметричные неизвестные Z1 и Z3 метода перемещений (рис. 14.4 а) также обратятся в нуль, и из трех уравнений остается только одно каноническое уравнение r22 Z 2  R2сP  0 . 80 Таким образом, расчет заданной системы с тремя неизвестными сводится к простым расчетам двух систем, имеющих по одной неизвестной. Окончательная эпюра изгибающих моментов определяется суммой двух решений: M  M с  M кс . Вопросы 1. В чем сущность смешанного метода? 2. Как формулируется вторая теорема Релея? 3. С какой целью применяется эта теорема? 4. Какое преимущество имеет комбинированный метод расчета? Л е к ц и я 15 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ 1. Континуальный и дискретный подходы в механике В механике существуют два разных взгляда на объект исследования: континуальный и дискретный подходы. Континуальный подход (по-латыни continuum – непрерывный, сплошной) основан на рассмотрении сооружения как непрерывной системы, состоящей из бесконечного числа элементов. Такой подход позволяет определять напряженно-деформированное состояние (НДС) системы во всех ее точках. Однако для этого необходимо составлять и решать системы дифференциальных уравнений в частных производных. Например, в теории упругости составляется система дифференциальных уравнений, состоящая из уравнений равновесия, совместности деформаций и физических уравнений. Дискретный подход (по-латыни discretus – прерывистый, состоящий из отдельных частей) основан на изучении НДС сооружения только в отдельных точках. Количество и место этих точек устанавливается расчетчиком. При дискретном подходе рассматриваются элементы расчетной схемы конечного размера (например, отдельные стержни) и изучаются условия равновесия, внутренние усилия, деформации и перемещения лишь отдельных точек системы. Такой подход приводит к системе алгебраических уравнений – аналогу дифференциальных уравнений континуального подхода. В последние годы дискретные методы расчета сооружений начали широко использоваться. Их преимущество состоит в матричном представлении статических, геометрических и физических свойств сооружения, проведении расчета различных по форме и сложности сооружений по единым методикам и алгоритмам на компьютере. Общая схема расчета сооружений дискретным методом выглядит так: 81 Рис. 15.1 2. Дискретная модель стержневой системы Выбор дискретной расчетной модели стержневой системы начинается с разбиения расчетной схемы на элементы – на стержни постоянного сечения. В плоской стержневой системе эти элементы могут соединяться в шарнирном или жестком узлах (рис. 15.2): u2 u2 u1 u1 u3 жесткий узел шарнирный узел Рис. 15.2 Здесь u1, u2, u3 – независимые перемещения узла (u1, u2 – линейные перемещения, u3 – угловое перемещение). У шарнирного узла число независимых перемещений равно двум, а у жесткого – трем. Они называются степенями свободы узла. Общее число степеней свободы дискретной модели определяется суммой чисел степеней свободы отдельных узлов. Если обозначить его через n, а все перемещения узлов пронумеровать рядом натуральных чисел от 1 до n и объединить в единый вектор, получим u  u1 u 2  u n . Он называется вектором перемещений дискретной модели. Если в расчетной схеме имеются стержни переменного сечения, их следует представить в виде нескольких стержней постоянного сечения, а в места скачков сечений необходимо вводить узлы. В системах с криволинейными стержнями (в арках, кольцах и др.) криволинейные элементы следует заменять ломаной фигурой – многоугольником. В дискретном методе нагрузка может быть приложена только в узлах. 82 Однако в расчетной схеме нагрузка может быть и распределенной, и приложенной в виде сосредоточенных сил в точках, не совпадающих с узлами. Такие нагрузки следует переносить в соседние узлы как узловые силы, действующие в направлении степеней свободы дискретной модели. В результате этого формируется вектор внешней нагрузки P   P1 P2  Pn . Внутренние усилия и деформации, которые требуется определить, также собираются в отдельные вектора S   S1 S 2  S m  , Δ   Δ1 Δ2  Δm , где S – вектор усилий, Δ – вектор деформаций, m – число усилий. Внешнюю нагрузку в узлы можно переносить по-разному. В качестве примера рассмотрим три варианта переноса распределенной нагрузки q, действующей на балку (рис. 15.3 а), в узел расчетной модели, введенной в середине этой балки (рис. 15.3 б). Рис. 15.3 а) Статически эквивалентный перенос Поделим балку на два участка, а распределенную в них нагрузку учтем как давления ql/4 на концы участков балки (рис. 15.3 в). Давления на концы балки воспринимаются ее опорами, поэтому их можно не учитывать. Объединив оставшиеся две силы в середине балки, получим статически эквивалентную нагрузку, приложенную в середине балки: l l l P  q  q  q  0,5ql . 4 4 2 б) Перенос с сохранением энергии Решение этой задачи подробно рассматривать не будем. Отметим только, что для этого необходимо приравнять энергии рассматриваемой 83 балки (рис. 15.3 а) и балки с сосредоточенной силой (рис. 15.3 б). В результате получается «точный» результат: 2ql P  0,637 ql .  в) Перенос по таблице метода перемещений Для этого следует исключить перемещения узла введением дополнительных связей и по таблице метода перемещений определить возникающие реакции во введенных связях (рис. 15.3 г). Если эти реакции сложить и приложить в обратном направлении (рис. 15.3 д), получим величину эквивалентной нагрузки: 5 5 5 P ql  ql  ql  0,625 ql . 16 16 8 Теперь сравним три варианта расчета. Конечно, вариант б) дает точный результат. Однако он сложен для реализации. Вариант а) наиболее прост, но дает неточный результат. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться вариантом в), вполне простым для использования и дающим вполне точный результат. В качестве примера рассмотрим следующую раму (рис. 15.4 а) и выберем ее расчетную модель (рис. 15.4 б). Для переноса нагрузок P и q в двух элементах рамы в узлы расчетной модели воспользуемся таблицей метода перемещений. Соответствующие схемы показаны на рис. 15.4 в, г. Полученные реакции в обратном направлении прикладываем к узлам выбранной расчетной модели (рис. 15.4 б). Рис. 15.4 84 3. Уравнения дискретного метода. Уравнение равновесия Система уравнений, составляемая в дискретном методе, называется полной системой уравнений строительной механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия (статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение. Составление уравнения равновесия основано на следующем рассуждении: если сооружение находится в равновесии, то его дискретная модель также находится в равновесии; следовательно, и отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в равновесии. В качестве примера рассмотрим ферму (рис. 15.5 а). Рис. 15.5 Выберем дискретную модель фермы (рис. 15.5 б) и будем считать, что в ее элементах e1 и e2 возникают только продольные усилия. Поэтому, вырезав узел 1 (рис. 15.5 в), можно составить два уравнения равновесия узла как суммы проекций сил на направления перемещений узла u1 и u2:  u1   N 1cos  N 2 cos  P1  0 ,  u 2   N 1sin  N 2 sin  P2  0 . Представим эти уравнения в матричной форме  cos cos   N 1   P1  0   sin  sin   N 2    P2   0 и обозначим входящие сюда матрицы и вектора:  cos cos  , S   N 1  , P   P1  , 0  . A  2 N   P2  0    sin  sin    В результате получим матричное уравнение AS P  0 , которое называется уравнением равновесия, где A – матрица равновесия, S – вектор усилий, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. По матрице A можно установить некоторые особенности расчетной модели. Возможны три случая. 1. n = m (A – квадратная матрица размерности nxn). Если определитель матрицы A не равняется нулю (detA0), расчетная модель сооружения статически определима и геометрически неизменяема. В этом случае усилия определяются непосредственно из уравнения равновесия: 85 S   A 1 P . Рассмотренная нами ферма является именно такой (n=m=2). 2. n m. В этом случае система статически неопределима, а число m–n определяет степень ее статической неопределимости. Если ранг матрицы A равняется n, то такая система геометрически неизменяема. 3. n m. Такая система геометрически изменяема. Вопросы 1. Какова сущность континуального подхода? 2. Что такое дискретный подход в механике? 3. Какова общая схема реализации расчета при дискретном подходе? 4. Как определяется дискретная модель стержневой системы? 5. Какой способ переноса нагрузки предпочтительнее и чем это обосновано? 6. Что такое уравнение равновесия и как оно получается? 7. Какие особенности расчетной модели можно установить по полученной матрице равновесия? Л е к ц и я 16 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ (продолжение) 4. Геометрическое уравнение Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения, но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Систему таких уравнений будем называть геометрическим уравнением. Порядок составления геометрического уравнения изучим на примере рассмотренной в предыдущей лекции фермы (рис. 16.1 а). Рис. 16.1 Пусть под действием нагрузки элементы фермы получают только продольные деформации (рис. 16.1 б). Деформацию (удлинение) первого элемента e1 можно определить по левой схеме на рис. 16.1 в: Δ1  u1 cosα  u 2 sinα . Деформация второго элемента e2 определяется по правой схеме рис. 16.1 в: 86 Δ2  u1 cosα  u 2 sinα (из-за сжатия e2 от перемещения u1 первое слагаемое взято со знаком «–»). Перепишем эти уравнения в виде  cosα  u1  sinα  u2  Δ1  0 , cosα  u1  sinα  u 2  Δ2  0 и представим в матричной форме   cosα  sinα   u1   Δ1  0   cosα  sinα  u    Δ   0  .   2   2    Это матричное уравнение можно записать в виде A1u + Δ =0, где u  u1 u 2 и Δ  1  2 – вектора перемещений и деформаций,  cosα  sinα  A1    – связующая матрица. Кроме того, из предыдущей  cosα  sinα    cosα cosα  лекции нам известна матрица равновесия A    . Сравнив их  sinα  sinα   t между собой видим, A1  A (символ t означает операцию транспонирования). Это свойство позволяет переписать полученное матричное уравнение в виде (1) A t u Δ  0 . Оно называется геометрическим уравнением. Использование одной и той же матрицы A в двух уравнениях – в уравнении статики и в геометрическом уравнении – соответствует известному в механике принципу двойственности. 5. Физическое уравнение Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы. Выбранная нами расчетная модель сооружения такова, что механические и геометрические характеристики ее отдельных элементов постоянны, а внешняя нагрузка действует только в узлах. В этом случае по нескольким конечным значениям усилий в элементах расчетной модели можно определять усилия во всех точках стержней. В расчетных моделях плоской стержневой системы обычно встречаются три типовых элемента: 1) элемент с двумя жесткими узлами, 2) элемент с шарнирным и жестким узлами, 3) элемент с двумя шарнирными узлами. Рассмотрим их по отдельности, вводя следующие обозначения: er – некоторый элемент, r – номер этого элемента. 87 1) Элемент с двумя жесткими узлами (рис. 16.2 а). В нем продольная и поперечная силы постоянны, а Q можно выразить через конечный и M  Mн начальный моменты элемента: Q  к . l 2) Элемент с шарнирным и жестким узлами (рис. 16.2 б). В нем M поперечную силу можно выразить через конечный момент: Q  к . l 3) Элемент с двумя шарнирными узлами (рис. 16.2 в). В нем имеется лишь постоянная продольная сила N. а) б) в) Рис. 16.2 Зависимость между внутренними усилиями и деформациями этих элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме (2) Δr  BrS r , где B r – матрица податливости элемента, связывающая вектор перемещений элемента Δr с вектором усилий S r . Например, в элементе 1-го типа связь между компонентами векторов r перемещений Δ  { l  н  к } и внутренних усилий S r  {N M н M к } выражается формулами (даются без вывода) l l N , EF l l н  Mн  M , 3EI 6 EI к l l к  Mн  M . 6 EI 3EI к Если эти уравнения записать в матричной форме (2), то матрица податливости элемента будет 88  l  0   EF 0  l l  Br   0 . 3 EI 6 EI   l l   0  6 EI 3 EI  Для элемента второго типа имеем  l  0   S r  {N M к } , Δr  {  l  к} , B r   EF . l   0   3 EI  Для элемента третьего типа  l  S r  { N } , Δr  {  l } , B r   .  EF  Теперь рассмотрим полную дискретную модель сооружения как системы, состоящей из m элементов e1 , e 2 ,…, em . Для всех этих элементов можно записать уравнения (2), связывающие вектора деформаций элементов Δ1 , Δ 2 , , Δm с векторами усилий S1 , S 2 ,, S m . Если объединить все эти уравнения в общую систему, а вектора деформаций и  усилий отдельных элементов объединить в вектора S  S1 S 2  S r  S m    и Δ  Δ1 Δ 2  Δ r  Δ m , то полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения Δ =BS. Оно устанавливает связь между деформациями и усилиями расчетной модели и называется физическим уравнением, а матрица B1 0    2 B   B   B1 B 2  B m      m  0 B  называется матрицей податливости системы. Здесь знак   означает диагональность матрицы. 6. Решение полной системы уравнений Итак, при расчете НДС плоской стержневой системы дискретным методом участвуют четыре вектора: 89 P   P1 P2  Pn  u   u1 u 2  u n  – вектор нагрузки; – вектор перемещений; S  S1 S2  Sm – вектор усилий;  Δ      2  m – вектор деформаций. Между этими векторами имеется три зависимости: 1 AS P  0 A t u Δ  0 Δ  BS – уравнение равновесия; – геометрическое уравнение; – физическое уравнение. (3) (4) (5) Уравнения (3)-(5) объединяются в общую систему уравнений и называются полной системой уравнений строительной механики. Ее решение дает полную картину НДС всего сооружения. Систему уравнений (3)-(5) с тремя неизвестными S, u, Δ можно решать тремя способами. а) Решение в смешанной форме Для этого правую часть уравнения (5) нужно подставить вместо Δ в уравнение (4). Тогда останутся два уравнения: AS   P , (6) t (7) A u BS  0 . Объединим их в одно матричное уравнение:  A 0  S   P  .  B A t   u    0  Из его решения определяются искомые внутренние усилия и деформации сооружения: 1 S     A 0  P  . u   B A t   0  Однако, из-за большой размерности обращаемой матрицы несимметричности, расчет этим способом сложен для реализации. и б) Решение в перемещениях Для этого из (7) найдем усилия: S   B 1A t u   KA t u , ее (8) где обратная к B матрица K  B 1 называется матрицей жесткости. Теперь подставим (8) в (6) и получим AKA t u  P . Из него определяется вектор перемещений u  (AKA t ) 1 P . Если этот результат подставить в (8), то определяются и усилия. в) Решение в усилиях Из-за сложности решения рассматривать его не будем. 90 Алгоритм дискретного метода Порядок расчета по способу б) определяется так: 1. Ввести в расчетную схему узлы и выбрать расчетную модель. 2. Составить вектор узловых перемещений u и вектор нагрузки Р. 3. Составить вектора неизвестных усилий S и деформаций Δ . 4. Перенести внешнюю нагрузку в узлы. 5. Вырезая узлы, записать уравнения равновесия. 6. Собрать матрицу равновесия A и вектор нагрузки P. 7. Составить матрицы податливости отдельных элементов B r и собрать из них матрицу податливости необъединенных элементов B. 8. Решить полную систему уравнений строительной механики. Решение в перемещениях ведется в следующей последовательности: а) K  B 1 ; б) C  KA t ; в) K 0  AKA t  AC ; г) B 0  K 01 ; д) u  B 0 P ; е) S   Cu ; ж) Δ  BS . 9. По вектору усилий S построить эпюры M, Q, N . При необходимости по векторам u и Δ можно получить общую картину деформации сооружения. Вопросы 1. Какой физический смысл имеет геометрическое уравнение? 2. В чем заключается принцип двойственности? 3. Какие типовые элементы рассматриваются в плоской стержневой системе? 4. Как составляются физические уравнения? 5. Что такое матрица податливости элемента? 6. Какими способами решается полная система уравнений? 7. Из каких этапов состоит алгоритм дискретного метода? Л е к ц и я 17 РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ 1. Внутренние усилия пространственных систем Все сооружения являются пространственными, и на них действуют нагрузки, лежащие в разных плоскостях. Поэтому и расчетные схемы сооружений должны быть пространственными. Как известно, в плоских стержневых системах есть три внутренних усилия M, Q, N (рис. 17.1 а). В пространственных стержневых системах 91 таких усилий шесть: изгибающие моменты M y и M z , крутящий момент M x  H , поперечные силы Q y и Qz , продольная сила N (рис. 17.1 б). Рис. 17.1 2. Опоры пространственных систем и их реакции Пространственные системы опираются на пространственные опоры со своими кинематическими и статическими свойствами. Обычно связи опор считаются жесткими, с нулевыми перемещениями по их направлениям. При определении опорных реакций используются уравнения равновесия. В отличие от плоских систем, опоры пространственных систем могут быть 15 типов. Из них рассмотрим четыре типа опор. 1. Шаровая подвижная опора (рис. 17.2 а). На рисунке изображается как шарик, свободно качающийся между опорной плоскостью и элементом конструкции, а в расчетной схеме – как одна вертикальная связь. У этой опоры имеется пять степеней свободы – она дает возможность поступательных перемещений в двух и поворотов в трех направлениях. В ней возникает только одна опорная реакция R y . 2. Шаровая опора на цилиндрических катках (рис. 17.2 б). На рисунке изображается как шарик между двумя балансирами, один из которых жестко связан с элементом конструкции, а другой находится на цилиндрических катках. В расчетной схеме изображается двумя связями. У этой опоры имеется четыре степени свободы – одно поступательное перемещение и три поворота. В ней возникают две реакции R y и R z . Рис. 17.2 92 3. Шаровая неподвижная опора (рис. 17.2 в). На рисунке изображается как шарик между двумя балансирами, жестко связанными с элементом конструкции и основанием, а в расчетной схеме - в виде трех связей. У этой опоры есть три степени свободы – возможность поворота в трех направлениях. В ней возникают три реакции Rx , R y , R z . 4. Заделка (рис. 17.2 г). На рисунке она изображается как заделанный брус (или стержень), а в расчетной схеме как обычная заделка. У заделки степеней свободы нет. В ней возникают три реакции Rx , R y , R z и три реактивных момента M x , M y , M z . Кроме рассмотренных здесь, еще имеется 11 различных опор. Реакции статически определимых пространственных систем определяются из шести уравнений равновесия. Имеется четыре варианта записи этих уравнений, из которых рассмотрим только два: 1. X=0; Y=0; Z=0;  M x =0;  M y =0;  M z =0. Здесь X, Y, Z – суммы проекций на три оси x, y, z, которые не должны лежать в одной плоскости и быть параллельными; суммы моментов не обязательно составлять относительно тех же осей. 2. M1=0; M2=0; M3=0; M4=0; M5=0; M6=0. Здесь 1, 2, …, 6 – шесть любых осей в пространстве. Но: – эти оси не должны пересекать одну прямую; – число параллельных осей не должно быть больше трех; – если три оси пересекаются в одной точке, остальные три не должны быть параллельными. 3. Кинематический анализ пространственных систем Как известно, расчетная схема сооружения должна быть геометрически неизменяемой. Многие условия и выводы, полученные при кинематическом анализе плоских систем, применимы и при анализе пространственных систем. Однако их недостаточно. Потому при анализе пространственных систем вводятся новые понятия и рассматриваются новые способы анализа их геометрической неизменяемости. Любую геометрически неизменяемую часть пространственной системы будем называть телом. Тело без связей имеет шесть степеней свободы – три независимых поступательных перемещения и три поворота. Следовательно, для исключения этих степеней свободы тело нужно закреплять как минимум шестью связями. Простейший способ закрепления тела к земле показан на рис. 17.3 а, где имеется три типа опор – шаровая подвижная опора A, шаровая опора на цилиндрических катках B и шаровая неподвижная опора C. Из них опора C исключает три поступательных перемещения тела, опора B – два поворота и опора A – один поворот. 93 Рис. 17.3 Связи, соединяющие два тела, могут быть разными. Простейшая связь в виде стержня (С) показана на рис. 17.3 б. Если же два тела соединяются шаровым шарниром (рис. 17.3 в), то это соединение эквивалентно трем связям (рис. 17.3 г). Припайка, жестко связывающая два тела (рис. 17.3 д), эквивалентна шести связям. Если в пространственной системе имеется nТ тел, nШ шаровых шарниров, nC стержней, nC0 опорных связей и nП припаек, то число степеней свободы такой системы определяется по формуле W = 6nТ – 3nШ – nC – nC0 – 6nП . Как и для плоской системы, для геометрической неизменяемости пространственной системы необходимо выполнение условия W0. 4. Расчет пространственных ферм Расчет пространственных систем намного сложнее расчета плоских систем. Поэтому изучим только основы расчета ферм. Кинематический анализ такой фермы проводится по формуле W = 3nУ – nC – nC0 , где nУ – число узлов фермы. Требование W0 является необходимым условием геометрической неизменяемости фермы. Для статической определимости необходимо выполнение условия W=0. Но, как известно, количественного анализа недостаточно, следует проводить и качественный анализ. Для этого можно использовать принципы образования геометрически неизменяемых пространственных систем. Например, простейшим принципом является присоединение к телу триады (шарового шарнира с тремя связями). При его использовании вначале в ферме выделяют простейшее геометрически неизменяемое тело – треугольную пирамиду. Затем к нему последовательно присоединяют отдельные триады. Геометрическую неизменяемость пространственной системы можно проверять и методом нулевой нагрузки: если при расчете системы без нагрузки усилия во всех стержнях и опорные реакции окажутся равными нулю, то система неизменяема; если же возникает неопределенность типа 0/0, система мгновенно изменяема. 94 Изучим два метода расчета пространственных ферм. Метод сечений применяется при расчете ферм с простейшим образованием. Имеется два его варианта. а) Метод вырезания узлов. Основан на последовательном вырезании узлов фермы, в которых число неизвестных усилий не более трех. Составляются три уравнения проекций на три оси: X=0, Y=0, Z=0. Эти оси не должны быть параллельными одной плоскости. На этом методе основан признак определения нулевых стержней (стержней, усилия в которых равны нулю): если узел с тремя пересекающимися стержнями не нагружен, то усилия во всех трех стержнях равны нулю. б) Метод моментной оси. Сущность метода: через ферму проводится сквозное сечение, затем составляется и решается уравнение момента относительно некоторой оси. Ось, для которой составляется уравнение момента, называется моментной осью. Эта ось выбирается так, чтобы в уравнение вошла только одна неизвестная. Метод разложения на плоские фермы. Когда стержни фермы располагаются группами на нескольких плоскостях, этот метод дает большой выигрыш в расчетах. Метод основан на следующей теореме: если силы, действующие на пространственную ферму, лежат в одной плоскости, то усилия во всех стержнях фермы, лежащих вне этой плоскости, равны нулю. Порядок расчета фермы по этому методу состоит в следующем: внешняя нагрузка разлагается на несколько плоскостей; части фермы, лежащие в разных плоскостях, рассчитываются только на нагрузку в своей плоскости; затем применяется принцип суперпозиции. Например, на следующую ферму (рис. 17.4 а) нагрузка действует только в двух плоскостях. Следовательно, ее расчет можно свести к расчету только двух плоских ферм (рис. 17.4 б, в). В стержнях фермы, лежащих на третьей боковой плоскости (рис. 17.4 г), все усилия равны нулю. Рис. 17.4 95 5. Определение перемещений пространственных систем В пространственных стержневых системах в общем случае могут возникать шесть внутренних усилий. Поэтому формула вычисления перемещений содержит шесть компонент: n lk  M M QPy Q y Q Q M M H H N N y P     Py  Pz z  P   y   z Pz z  P  dx ,  EI y EIz EI к GF GF EF  k 1 0  где индексом P обозначены усилия грузового состояния: MPy , MPz , HP – два изгибающих и крутящий моменты, QPy , QPz , NP – две поперечные и продольная силы; надчеркиванием обозначены соответствующие усилия единичного состояния; Iy , Iz , Iк – моменты инерции относительно осей y, z и полярный момент инерции;  y ,  z – коэффициенты формы сечения. Определение перемещений по этой формуле проводится, как и при определении перемещений плоских стержневых систем. В пространственных рамах влиянием продольных и поперечных сил обычно пренебрегают и учитывают только первые три члена этой формулы, а в фермах учитывается только последний член. 6. Расчет пространственных рам методом сил Степень статической неопределимости определяется по формуле n  6nк  nуд , пространственной рамы где nк – число замкнутых контуров, n уд – число удаленных связей. Для ферм используется другая формула: n  nC  nC0  3 nУ , где nС – число стержней, nС0 – число опорных связей, nУ – число узлов. Основная система и канонические уравнения метода сил имеют тот же смысл и вид, как и для плоских рам. Но входящие в них коэффициенты определяются с учетом изгибающих моментов в двух плоскостях и крутящего момента в каждом элементе рамы. Построение промежуточных и окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка такие же, как и при расчете плоских рам. Вопросы 1. Какие усилия возникают в пространственных стержневых системах? 2. Чем отличается кинематический анализ пространственных систем от кинематического анализа плоских систем? 3. Какие методы используются при расчете пространственных ферм? 4. Какие особенности имеют определение перемещений и расчет методом сил пространственных систем по сравнению с плоскими? 96 Л е к ц и я 18 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ) Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок. Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). 1. Понятие о методе конечных элементов Метод конечных элементов – это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами (КЭ). В дискретном методе мы рассмотрели три типовых стержневых элемента, которые используются и в МКЭ как конечные элементы. Например, элемент 3-его типа в МКЭ называется ферменным (рис. 18.1 а), а 1-го типа – плоским стержневым конечным элементом (рис. 18.1 б). При расчете пространственных рам используется КЭ бруса (рис. 18.1 в). В расчетах плоских тел (плит или пластин) используются треугольный (рис. 18.1 г) или четырехугольный (рис. 18.1 д) конечные элементы. При расчете пространственных сооружений могут использоваться призменный КЭ (рис. 18.1 е) или тетраэдальный КЭ (рис. 18.1 ж) и др. Для расчета различных сооружений разработано множество других КЭ. Рис. 18.1 МКЭ – дискретный метод. В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ, соединенных между собой в узлах конечноэлементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели. Как мы знаем, можно выбирать разные расчетные схемы сооружения. Но и в пределах одной расчетной схемы можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, потому что сооружение можно разбить не 97 только на разное количество однотипных КЭ, но и представить его как комбинацию различных типов КЭ. С другой стороны, при расчете сооружения могут быть реализованы различные варианты МКЭ в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений. 2. Вариационные основы МКЭ При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется их полная потенциальная энергия U: U = W – V. (1) Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно все они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения. Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, существует принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю: U  0. Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. В результате этого получается вариационное уравнение Лагранжа U  0 , где символ  означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Тогда последнее уравнение формулируется как принцип Лагранжа: для равновесия системы необходимо, чтобы вариация работы ее сил на возможных перемещениях равнялась нулю. Принцип Лагранжа позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. С учетом (1), принцип Лагранжа принимает вид V  W . Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации (приближенного определения) непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям. В строительной механике используются и другие вариационные принципы, такие как принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др. Однако мы будем пользоваться только вариационным принципом Лагранжа как основы варианта МКЭ в форме метода перемещений. 98 3. Аппроксимация конечного элемента Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы (рис. 18.2 а), так и с двумя (рис. 18.2 б) или даже с одной степенью свободы. В первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем − лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут иметь шесть (рис. 18.2 в) или три степени свободы (рис. 18.2 г). Рис. 18.2 Для упорядочения степеней свободы и соответствующих перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в общий вектор перемещений u. Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так называемые координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов: u  Cα . Здесь u – вектор перемещений внутренних точек КЭ, C – матрица координатных функций, α – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома, КЭ называется комплекс-элементом. В качестве примера рассмотрим простейший ферменный КЭ с узлами i и j (рис. 18.3 а) в местной системе координат x . Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы по оси x и соответствующие им узловые перемещения u1i и u1j . Допустим, что в узлах КЭ действуют силы P1i и P1j (рис. 18.3 б). Рис. 18.3 99 Перемещения внутренних точек ~ x элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени u  u (x )  α1  α2 x . Запишем его в матричной форме: α  u  1 x    1   C  ,  α2  где C  1 ~x  − матрица координатных функций, α   α1 α 2  − вектор неизвестных коэффициентов. Подставив x  0 и x  l в наш полином, получим два равенства: u (0 )  u (0 )   1 , u (l )  u (l )   1   2l . С другой стороны, u(0)= u1i и u(l)= u1j (рис. 18.3 б). Учитывая их, предыдущие равенства перепишем так: u1i   1 , u1 j   1   2 l . Тогда их можно записать в матричной форме u1i  1 0   1  u       1j  1 l   2  и представить как матричное уравнение u  Φα , связывающее вектор узловых перемещений  u  u1i u1j  и вектор 1 0  a2  через матрицу Φ   . 1 l  Определим вектор α : координат α  a1 1 0  u1i  1 0  u1i   1 αΦ u       . 1 l  u1j    1 l 1 l  u1j  1 Тогда 0   u1i   x    1 u  Cα  1 x   1   1 x    u   1  l   1 l 1 l   1j   2 или x   u1i    l  u1 j  u  Hu . x   x Входящая сюда матрица H  1  называется матрицей форм. Она l l   позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов. 100  в КЭ По аналогии с перемещениями, поле внутренних усилий P также можно аппроксимировать через вектор узловых сил P по формуле   HP. P Например, для рассмотренного КЭ имеет место зависимость   1  x P  l  x   P1  .  l   P2  Вопросы 1. Какой из подходов механики реализуется в МКЭ? 2. Какие основные типы КЭ используются в МКЭ? 3. Как формулируется принцип Лагранжа? 4. Для чего используются координатные функции? 5. Что такое матрица форм? Л е к ц и я 19 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МКЭ (продолжение 1) 4. Матрица жесткости КЭ Известные в механике геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать в виде, аналогичном рассмотренным ранее уравнениям дискретного подхода. Например, для дискретной системы: для континуальной системы: t  t u , Δ  A u, ε  A . Δ  BS , ε  Bσ  и B – матрицы Здесь ε и σ – вектора деформаций и напряжений, а A равновесия и податливости континуальной системы. В отличие от дискретного подхода, уравнения континуального подхода удовлетворяются во всех точках системы. При рассмотрении конечного элемента как континуальной системы принцип Лагранжа  V   W можно записать в виде t  ε t σ dV   u P dV ,   V V где левая и правая части представляют возможные работы внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V. После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с использованием матрицы форм H. Тогда, после ряда преобразований, получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ Ku  P , в которой симметричная квадратная матрица 101   1A  t H dV K   H t AB V называется матрицей жесткости конечного элемента. Физический смысл элемента kij этой матрицы – это реакция, возникающая в i-ом направлении от заданного единичного перемещения в j-ом направлении. Рассмотрим примеры получения матриц жесткостей некоторых КЭ. а) Матрица жесткости ферменного элемента В рассматриваемом одноосном напряженном состоянии (рис. 18.3)  связь между деформациями и перемещениями КЭ будет   d u(x) dx .  t u видим, что матрица Сравнив его с матричным уравнением ε  A равновесия является дифференциальным оператором с одним членом, т.е.  t = d d x . Тогда, из уравнения связи между деформацией и напряжением A 1  1.  =  следует, что матрица податливости будет B E E Для определения матрицы жесткости КЭ вычислим x   1 1  1  t H  d 1  x A =  =  1 1 , d x  l l   l l  l   A  t H t  1  1 , B 1  E . t A H l  1  В данном случае интегрирование по объему V сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. dV  F d x (F − площадь сечения КЭ). С учетом этого, получаем окончательную матрицу жесткости элемента: l 1  1 1 EF  1 1 t   1  t K   H AB A H dV     E   1 1  F d x =  1 1  . l 1 l l    V 0    б) Матрица жесткости КЭ плоского бруса Рассмотрим конечный элемент бруса с постоянной площадью поперечного сечения F и моментом инерции I в некоторой местной системе координат ~ x O~ y (рис. 19.1 а). Рис. 19.1 Вектор узловых перемещений бруса определим так: u  { u1i u2i u3i u1 j u2 j u3 j } . 102 Если не учитывать поперечную деформацию (сдвиг), деформацию элемента можно представить как сумму двух деформаций − растяжения (рис. 19.1 б) и изгиба (рис. 19.1 в). Первая деформация рассматривалась при изучении ферменного элемента. Поэтому изучим только случай чистого изгиба элемента. В этом случае вектор узловых перемещений элемента будет короче: u  { u 2i u 3i u 2j u3j } . Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом третьей степени y (x )  1   2 x   3 x 2   4 x 3 . Четыре коэффициента полинома определим по граничным условиям. Например, в левом конце элемента при ~ x  0 имеем y (0)  1  u2i , y (0)   2  u3i . Еще два условия имеют место для правого конца. В результате достаточно длинной цепочки выкладок получим матрицу форм H , аппроксимирующую внутренние перемещения u конечного элемента через вектор узловых перемещений u : H12 H H   11  H 21 H 22 H13 H 23 H14  . H 24  Компоненты этой матрицы − функции третьей степени. К примеру, x 2 x 3 H11  1  3 2  2 3 . l l Не приводя достаточно сложных вычислений, приведем лишь матрицу податливости изгибного элемента 1 2 1 6 EI 1 2  и ее матрицу жесткости B  12 l 2 6 l  12 l 2 6 l  EI  6 l 4 6 l 2  K  . l  12 l 2  6 l 12 l 2  6 l  2 6 l 4   6 l Теперь определим полную матрицу конечного элемента бруса. Для этого следует объединить узловые перемещения ферменного элемента u1i, u1j и узловые перемещения изгибного элемента u2i, u3i, u2j, u3j в вектор узловых перемещений элемента бруса u  { u1i u 2i u3i u1 j u2 j u3 j } согласно рис. 19.1. Это приводит к объединению матриц жесткостей ферменного элемента и элемента бруса. В результате получается окончательная матрица конечного элемента бруса: 103 0 F I 0   F I 2 2  0 12 l 6 l  12 l 6 l   EI  0 6 l 4 6 l 2  . K F I 0  l  F I  0  12 l 2  6 l 12 l 2  6 l   0 6 l 2 6 l 4   в) Матрица жесткости прямоугольного КЭ Рассмотрим прямоугольный конечный элемент постоянной толщины t с четырьмя узлами i, j, k, m и размерами 2a и 2b (рис. 19.2). Рис. 19.2 Вектор узловых перемещений будет состоять из восьми компонент: u  { u1i u 2 i u1 j u 2 j u1k u 2 k u1m u 2 m } . Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать двумя функциями с восемью неизвестными коэффициентами  , u x (x , y )  α1  α2 x  α3 y  α4 xy  . u y (x, y )  α5  α6 x  α7 y  α8 xy Для определения этих коэффициентов запишем восемь граничных условий. Например, в узле i, где ~ x~ xi   a , ~y  ~yi  b , эти граничные условия имеют вид u x (x, y )  u1i , u y (x , y )  u2i . В трех остальных узлах записываются аналогичные шесть условий. Тогда матрица форм элемента принимает вид H 0 H 2 0 H 3 0 H 4 0  H 1 ,  0 H 1 0 H 2 0 H 3 0 H 4  1 где, например, H 1  a  ~ x b  ~y  , F  4 ab – площадь прямоугольника. F Окончательная матрица жесткости конечного элемента получается в виде квадратной матрицы размерами 88. Для наглядности ее лучше представить в блочном виде с блоками одинакового размера 22: 104  K ii   K ji Et K  12(1   2 )  K ki K  mi K ij K ik K jj K K kj K kk K mj K mk jk K im   K jm  . K km   K mm  Здесь μ – коэффициент Пуассона материала КЭ. Элементы каждого блока матрицы определяются по разным формулам. Например, a  b 4 a  2(1   ) b K ii    1, 5 (1   )    . a b 4  2(1   ) b a  1, 5(1   ) Вопросы 1. Что такое ферменный элемент? 2. Чему равна матрица жесткости ферменного элемента? 3. Какие упрощения приняты при определении матрицы жесткости КЭ бруса? 4. Сколько узловых перемещений имеет прямоугольный конечный элемент? Л е к ц и я 20 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МКЭ (продолжение 2) 5. Перенос нагрузки в узлы В расчетной модели сооружения по МКЭ нагрузка должна быть приложена только в узлах. Поэтому действующую на систему внеузловую нагрузку необходимо переносить в узлы. Порядок переноса нагрузки в узлы расчетной модели в простых случаях остается таким же, как и ранее. Например, в стержневых системах используется таблица метода перемещений. Если к прямоугольному КЭ приложена изменяющаяся по линейному закону распределенная нагрузка (рис. 20.1 а), то узловые силы (рис. 20.1 б) определяются по формулам l 2 1  l 1 2  Pk   q1  q2  , Pm   q1  q2  . 23 3  23 3  Рис. 20.1 105 При переносе объемной нагрузки, например собственного веса четырехугольного КЭ, в каждый узел нужно прикладывать четвертую часть его веса G (рис. 20.1 в). При переносе собственного веса треугольного КЭ в каждый узел прикладывается его третья часть (рис. 20.1 г). В общем случае вектор узловой нагрузки определяется по формуле P   HP dV . V 6. Переход к общей системе координат Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе координат. Затем осуществляется переход к глобальной (общей) системе координат. Рассмотрим порядок такого перехода. Пусть некоторый узел i в местной системе координат x -y имеет перемещения u1i , u2i , u3i , которые следует преобразовать в перемещения узла u1i , u2i , u3i в общей системе координат x-y (рис. 20.2 а). Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы преобразования координат. Для плоской системы она имеет вид  cos  x,x  cos  x, y  cos  x,z     L  cos  y,x  cos  y, y  cos  y,z   .  cos  z,x  cos  z, y  cos  z,z   Рис. 20.2 Если координатные системы ортогональны и поворот осуществляется на угол , то  cos sin 0  L    sin cos 0  .  0 1  Для шарнирного узла с двумя степенями свободы  cos L   sin sin  . cos  106 (1) Эти матрицы позволяют использовать матрицы и вектора геометрических и жесткостных характеристик КЭ, полученных в местной системе координат, при получении соответствующих характеристик КЭ в общей системе координат. Например, преобразование вектора координат прямоугольного КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m (рис. 20.2 б), рассмотренного в местной системе координат x -y , в общую систему координат x-y осуществляет матрица L 0   i Lj   L . L k     Lm  0 Блоки Li , L j , L k , L m этой матрицы имеют вид (1). Имея матрицу  в местной системе координат, можно определять ее жесткости КЭ K матрицу жесткости в общей системе координат по формуле L K  Lt K . 7. Объединение конечных элементов Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так: u  u1 u 2  u i  u n , P   P1 P2  Pi  Pn  . После построения матриц жесткостей всех конечных элементов 1 K , K 2 , , K m и определения векторов узловых нагрузок P1 , P 2 , , P m в общей системе координат следует сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения. Это можно проделать так. Вначале матрицы жесткости всех КЭов собираются в единую диагональную матрицу K , а вектора узловых нагрузок − в единый вектор P : K1   P1     2 2   K P  K P   . ,          P m  Km  0 Они еще не учитывают связи между соседними конечными элементами в узлах их примыкания. Для объединения КЭов в единую систему используется энергетический принцип: энергия конечно-элементной модели системы равняется сумме энергий всех ее КЭ. В этом случае матрица жесткости 107 объединенной системы будет определяться по формуле K = Гt K Г , где Г – объединяющая матрица. Элементы этой матрицы состоят только из нулей и единиц, а отдельные ее блоки соответствуют узлам КЭ и строятся по принципу: если КЭ содержит данный узел, то записывается единичная матрица, если нет – нулевая матрица. А соответствующие узловые нагрузки будут объединяться по формуле P = Гt P . Однако получение матрицы жесткости K и вектора нагрузки P таким способом требует больших вычислительных работ. Задача упрощается, если составить так называемую матрицу индексов, определяющую соответствие номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. Тогда матрицу жесткости K можно получать рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации, заключенной в матрице индексов. При этом рассылка идет с суммированием рассылаемого блока матрицы жесткости КЭ с имеющимся блоком в матрице K. Такой метод называется методом сложения жесткостей. Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично. В результате этих действий формируется разрешающее уравнение МКЭ, по виду совпадающее с уравнением МКЭ для отдельного КЭ: Ku=P . Но уже здесь K и P − матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы. Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости. 8. Учет граничных условий Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить относительно перемещений u. Причина в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной (т.е. ее определитель равняется нулю). Чтобы выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части – на перемещения по закрепленным (з) и незакрепленным (н) направлениям: u   uз uн . Так как опоры сооружения обычно бывают достаточно жесткими, их перемещения можно принять равными нулю ( u з  0 ), а нагрузку, приходящуюся на опоры, не учитывать. В таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера. Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткости K и усложняет дальнейшее решение. Поэтому используется другой прием: все элементы строк и столбцов 108 матрицы жесткости, соответствующие закреплениям, приравниваются нулю, и лишь вместо их диагональных элементов ставятся единицы. В таком случае разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид: 0  uз   0  E  0 K  u    P  .  нн   н   н  Здесь E − единичная матрица, K нн и Pн − блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям. 9. Определение перемещений, усилий и напряжений После решения разрешающего уравнения и определения вектора узловых перемещений u из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i-го КЭ по формуле u i  Hiui . Усилия в узлах и напряжения внутри КЭов вычисляются по формулам Si  K iui , i  t Hui .   B 1 A В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так:   E d  x 1 dx  l x   u1i   1 1   u1i  E  E     l l  u   l (u1 j  u1i ) . l  u1 j     1j  10. Порядок расчета МКЭ В настоящее время разработаны вычислительные комплексы, позволяющие рассчитывать на компьютере сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. К таким относятся расчетные комплексы ABACUS, ANSIS, NASTRAN, ЛИРА, СУМРАК и др. Эти расчетные комплексы рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ. Они состоят из трех основных частей: 1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения (автоматического разбиения на КЭ по задаваемой сетке), определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе. 2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в него 109 компьютерные программы предназначены для: составления и решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность и жесткость; решения задач динамики и устойчивости. 3. Постпроцессор – предназначен для обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах. Алгоритм расчета сооружений МКЭ состоит из следующих основных этапов: 1. Выбор расчетной модели. 2. Перенос нагрузки в узлы. 3. Определение матриц жесткостей КЭов. 4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат. 5. Сборка глобальной матрицы жесткости K. 6. Учет граничных условий. 7. Решение разрешающего уравнения K u  P . 8. Вычисление внутренних усилий. 9. Обработка результатов расчета. Вопросы 1. Почему и как внешняя нагрузка переносится в узлы? 2. Как осуществляется переход к общей системе координат? 3. Как формируется глобальная матрица жесткости? 4. Как учитываются граничные условия? 5. Что такое глобальная матрица жесткости? 6. Каким образом вычисляются перемещения и внутренние усилия? 7. Какие функции выполняют препроцессор, процессор и постпроцессор? 8. Из каких этапов состоит алгоритм МКЭ? Л е к ц и я 21 ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ 1. Введение в динамику сооружений Колебания представляют одну из наиболее распространенных форм движения. Колеблются ветви деревьев, зажатая в тисках металлическая пластинка, колеблются качели, вагоны на рессорах при движении, вода и предметы на ней. Колеблются здания и сооружения от ветра, землетрясения, от работы различных машин и механизмов. При колебании сооружения величины и знаки внутренних усилий (напряжений) непрерывно меняются, что может привести к быстрому разрушению отдельных элементов, частей или всего сооружения. Динамика сооружений изучает механические колебания сооружений. Как теоретическая наука, она разрабатывает различные методы и 110 алгоритмы расчета сооружений на динамические воздействия. В то же время она является прикладной наукой и решает конкретные задачи. Среди решаемых динамикой сооружений задач самыми важными являются четыре задачи динамики: 1) определение частот и форм собственных колебаний; 2) проверка на резонанс; 3) проверка динамической прочности; 4) проверка динамической жесткости. Решение задач динамики намного сложнее решения задач статики, т.к. приходится учитывать дополнительный фактор – время. При расчете на колебания сооружение рассматривается как колебательная система. Колебательные системы делятся на два типа. Диссипативная система – это система, у которой происходит диссипация (рассеивание) энергии. Консервативная система – это система, у которой рассеиванием энергии пренебрегают. Простейшей моделью консервативной колебательной системы является система из пружины и массы (рис. 21.1 а). Жесткость пружины r характеризует упругость системы, а масса m – ее инерционные свойства. Простейшей моделью диссипативной системы является система из пружины, вязкого элемента и массы (рис. 21.2). Сила сопротивления c, возникающая в вязком элементе, стремится остановить колебания системы. Такой элемент называют демпфером (или амортизатором). Поэтому диссипативную систему часто называют демпфированной системой. Рис. 21.1 Рис. 21.2 2. Степень свободы и расчетная модель колебательной системы Под степенью свободы в динамике сооружений понимается направление возможного независимого перемещения отдельной массы. В отличие от понятия степени свободы в статике сооружений (например, в кинематическом анализе), при определении динамических степеней 111 свободы учитываются и деформации элементов. Число динамических степеней свободы Wдин – это наименьшее число параметров, необходимых для определения положения всех масс системы. Если рассматривать сооружение как систему из бесконечного числа элементарных масс, получим систему с бесконечным числом динамических степеней свободы. Расчет колебаний даже простейших систем (балок, плит или оболочек) по такой континуальной модели является непростой задачей. Поэтому в динамике сооружений расчетную модель стараются выбирать в виде системы с сосредоточенными массами. Массы сооружения можно дискретизировать по-разному. Иногда, сосредоточив распределенную массу сооружения только в нескольких точках, можно достаточно точно рассчитать простейшие колебания. Массу сооружения обычно сосредотачивают в характерных точках, где действуют наибольшие нагрузки. Если положение таких точек установить трудно, места и величины сосредоточенных масс могут быть найдены из условия равенства энергий всей системы и ее дискретной модели. Сосредоточенные массы, определяемые таким способом, называются приведенными массами. Большие массы, сосредоточенные на сооружении (грузы, различные машины, станки, оборудование и др.) рассматриваются как кусковые массы. Приведенные и кусковые массы плоской системы имеют три степени свободы: они могут совершать колебания в двух независимых взаимноперпендикулярных направлениях и вращаться относительно центра массы. Если вращение (крутильное колебание) массы не учитывать, получим точечную массу. Число степеней свободы точечной массы равно двум. Рассмотрим ряд примеров. 1. Шарнирно-опертая балка (рис. 21.3 а) состоит из бесконечного числа элементарных масс dm, положение которых определяют бесконечное число перемещений y(x). Поэтому Wдин =∞. Если же массу балки сосредоточить в одной точке, положение точечной массы m будет определять один параметр – перемещение ym (рис. 21.3 б). Тогда Wдин =1. Если массу балки сосредоточить в трех точках, то поРис. 21.3 ложение масс m1, m2, m3 будут определять три параметра y1, y2, y3 (рис. 21.3 в). Поэтому у этой системы Wдин =3. 2. Водонапорная башня (рис. 21.4 а) и одноэтажная рама (рис. 21.4 в). У них основные массы расположены наверху. Поэтому их можно рассматривать как колебательные системы с одной массой и одной 112 степенью свободы, т.е. принять Wдин =1 (рис. 21.4 б, г). Рис. 21.4 3. Дымовую трубу с распределенной массой (рис. 21.5 а) нельзя рассматривать как динамическую систему только с одной степенью свободы, так как это приводит к неточным результатам. Ее следует рассматривать как систему с достаточно большим числом степеней свободы (рис. 21.5 б) и принять Wдин =n. Рис. 21.5 3. Основные виды и характеристики колебаний В колебательной системе происходит периодический переход одного вида энергии в другой, когда потенциальная энергия (энергия, зависящая от положения системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот. Наглядное представление колебательного процесса можно получить, если построить график колебаний отдельной массы в координатах t (время) и y (перемещение). Если в колебательную систему будет поступать внешняя энергия, колебания будут нарастающими (рис. 21.6 а). Если к консервативной системе внешняя энергия не поступает, колебания будут незатухающими (рис. 21.6 б). Если энергия системы уменьшается (например, за счет трения в диссипативной системе), колебания будут затухающими (рис. 21.6 в). Рис. 21.6 113 Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний – это кривая, показывающая положение точек колебательной системы относительно положения равновесия в фиксированный момент времени. Простейшие формы колебаний можно и наблюдать. Например, видны формы колебаний провода, висящего между двумя столбами, или струны гитары. Колебания, происходящие при отсутствии внешней нагрузки, называются свободными колебаниями. Свободные колебания диссипативной системы являются затухающими, потому что ее полная энергия убывает. Энергия консервативной системы остается постоянной, и ее свободные колебания будут незатухающими. Однако в природе консервативных систем не существует, поэтому их колебания изучаются только теоретически. Свободные колебания консервативных систем называются собственными колебаниями. Периодические колебания – это колебания, удовлетворяющие условию y(t)=y(t+T). Здесь T – период колебаний, т.е. время одного колебания. Периодические колебания имеют и другие важные характеристики. Например, амплитуда a – это половина размаха колебания: a=(ymax – ymin )/2, круговая частота  – число колебаний за 2 секунды, техническая частота f – число колебаний за одну секунду. Гармонические колебания – это колебания, изменяющиеся по закону y(t)  a sin( t  ) или y(t)  a cos(  t   ). Здесь  t   – фаза колебаний,  – начальная фаза. Вынужденные колебания возникают под воздействием внешних сил. Вибрация – это вынужденные колебания, происходящие с относительно малой амплитудой и не слишком малой частотой. 4. Виды динамических нагрузок Колебания сооружения возникают от динамических нагрузок. В отличие от статических, динамические нагрузки изменяются с течением времени по величине, направлению или положению. Они сообщают массам системы ускорения, вызывают инерционные силы, что может привести к резкому возрастанию колебаний, и в итоге – к разрушению всего сооружения или его частей. Рассмотрим основные виды динамических нагрузок. Периодическая нагрузка – это нагрузка, прикладываемая к сооружению через определенный период. Источниками периодических нагрузок являются различные машины и механизмы: электродвигатели, металлообрабатывающие станки, вентиляторы, центрифуги и др. Если их вращающиеся части не уравновешены, то они при работе вызывают гармоническую нагрузку (нагрузку, изменяющуюся по закону синуса или косинуса). Такая нагрузка называется вибрационной нагрузкой. Поршневые компрессоры и насосы, штамповочные машины, дробилки, 114 копры и др. создают негармоническую нагрузку. Импульсная нагрузка создается взрывом, падающим грузом или частями силовых установок (молотов, копров и др.). Подвижная нагрузка создается железнодорожным составом, автомобильным транспортом и др. Весьма опасными являются недетерминированные (случайные) нагрузки. Это – ветровые, сейсмические, взрывные нагрузки. 5. Методы динамики сооружений Напряженно-деформированное состояние (НДС) колеблющегося сооружения постоянно меняется с течением времени. Чтобы проследить эти изменения, составляются дифференциальные уравнения колебаний. Существуют различные методы получения таких уравнений. а) Кинетостатический метод В этом методе уравнения колебаний системы составляются на основе принципа Даламбера, согласно которому уравнения динамического равновесия можно получить из уравнений статического равновесия добавлением инерционных сил, равных произведению массы на ускорение и направленных в противоположную ускорениям сторону. б) Кинематический метод Когда в сооружении имеются одновременно сосредоточенные и распределенные массы, записать уравнения равновесия сложно. Тогда используется кинематический метод, основанный на принципе возможных перемещений: работа всех сил системы на ее возможных перемещениях равна нулю. в) Энергетический метод Основан на законе сохранения механической энергии, согласно которой сумма потенциальной и кинетической энергий колебательной системы постоянна во времени: U + К = const. Этот метод используется при решении задач о собственных колебаниях упругих консервативных систем. Вопросы 1. Какие основные задачи решает динамика сооружений? 2. Что такое диссипативная система? 3. Чем отличается консервативная система от диссипативной? 4. Какова разница между динамической и статической степенями свободы? 5. На какие основные виды делятся колебания колебательных систем? 6. Чем отличаются собственные и свободные колебания? 7. Что такое периодическое колебание? 8. Какие виды динамической нагрузки существуют? 9. Какие методы используются в динамике сооружений? 115