Расчет статически неопределимых рам методом сил

Расчет статически неопределимых рам методом сил При расчете плоских стержневых систем число степеней свободы может быть подсчитано по формулам (1.1) и (1.2): n = 3Д – 2Ш – С, если n < 0, то заданная система статически неопределима; n = 3К – Ш, если n > 0, то заданная система статически неопределима. Для расчета таких конструкций одних уравнений статики становится недостаточно и составляются дополнительные уравнения совместности деформаций. Одним из основных методов расчета статически неопределимых систем является метод сил. В этом методе от заданной статически неопределимой стержневой системы переходят к новой статически определимой путем отбрасывания необходимого количества «лишних» связей. Отбрасываемые «лишние» связи заменяются действием неизвестных реактивных сил в этих связях. Стержневая система, полученная путем отбрасывания «лишних» связей называется основной системой метода сил. Основная система должна отвечать следующим требованиям: – быть статически определимой; – оставаться геометрически неизменяемой. Как правило, для одной и той же статически неопределимой конструкции существует несколько вариантов основной системы, отвечающих перечисленным требованиям. На рис. 2.1, а приводится плоская рама, конструкция дважды статически неопределима: n  3 Д  2 Ш  С  3 1  2  0  5  2 . На рис. 2.1, б, в, г, д даются возможные варианты основной системы (с указанием для наглядности неизвестных сил в удаленных связях) для расчета заданной рамы методом сил. Промежуточные вычисления будут зависеть от принятой к расчету основной системы, а окончательный результат получится один. Рациональность принятой основной системы метода сил оценивается сложностью проведения вспомогательных (промежуточных) расчетов. Если к выбранной основной системе прикладываются внешние нагрузки и неизвестные реакции по направлению удаленных связей, то такую систему называют эквивалентной (рис. 2.2). Чтобы работа эквивалентной системы полностью совпадала с работой заданной системы, следует учесть ограничения: в эквивалентной системе должны отсутствовать перемещения по направлениям удаленных связей. Для линейно деформируемых систем при вычислениях указанных перемещений используется принцип независимости действия сил: (2.1) Δ1x  11X1  12 X 2  Δ1F  0 , где Δ1x – полное перемещение в направлении вертикальной удаленной связи в опоре В; δ11 – перемещение в направлении вертикальной удаленной связи от действия на конструкцию единичной силы X 1 ; X1 – величина реактивной вертикальной силы в опоре В от действия заданной нагрузки; δ12 – перемещение в направлении вертикальной удаленной связи от действия на конструкцию единичной силы ( индекс 2) X 1 ; X2 – величина реактивной горизонтальной силы в опоре В от действия заданной нагрузки; Δ1F – перемещение в направлении вертикальной удаленной связи в опоре В от действия всей заданной нагрузки. Сумма всех перемещений приравнивается к нулю, так как в заданной раме вертикальное перемещение невозможно. Уравнения типа (2.1) называются каноническими уравнениями метода сил. Для n раз статически неопределимой плоской стержневой конструкции составляется система канонических уравнений n-го порядка: δ11 Х 1  δ12 Х 2  δ13 Х 3  ...  δ1n Х n  Δ1F  0;   δ 21 Х 1  δ 22 Х 2  δ 23 Х 3  ...  δ 2 n Х n  Δ 2 F  0;  .................................................................  δ n1 Х 1  δ n 2 Х 2  δ n3 Х 3  ...  δ nn Х n  Δ nF  0,  (2.2) здесь δij    l 1 M i M j dz EI (2.3) перемещение в направлении удаленной связи i от действия единичного фактора X j , подсчитываемое энергетическим методом вычисления интеграла Мора (1.18). Чтобы вычислить величины всех коэффициентов, необходимо построить эпюры изгибающих моментов от единичных факторов X n по направлениям всех удаленных связей. При вычислении следует помнить, что коэффициенты на главной диагонали δ ii могут быть только положительными, а побочные попарно равны δij  δ ji . Для контроля правильности подсчета коэффициентов можно использовать равенство δ    ij l где MS MSMS dz , EI (2.4) – суммарная единичная эпюра изгибающих M S  M 1  M 2  ...  M n , получается в моментов, результате алгебраической суммы ординат всех единичных эпюр в характерных сечениях элементов рамы. Проверка (2.4) контролирует только правильность вычисления коэффициентов δ ij , но не проверяет правильности построения единичных эпюр M n . Свободные слагаемые канонических уравнений (2.2) подсчитываются также энергетическим методом: Δ jF    l где 1 M i M F0 dz, EI (2.5) M i – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил, построенная от действия единичного фактора Xi ; M F0 – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил, построенная от действия внешних нагрузок. Для контроля правильности вычислений величин свободных слагаемых канонических уравнений используется равенство 1 M S M F0 dz . (2.6) l EI После проверки вычислений коэффициентов ij и свободных слагаемых iF из решения системы линейных алгебраических уравнений (2.2) определяются величины реакций Xi в удаленных связях (т.е. раскрывается статическая неопределимость заданной конструкции). Раскрыв статическую неопределимость, расчеты внутренних усилий в элементах конструкций возможно производить различными способами. В пособии рассматривается наиболее общая методика, в соответствии с которой окончательная эпюра изгибающих моментов в заданной статически неопределимой раме получается с использованием принципа независимости действия сил для линейно деформируемой системы:  Δ iF    M  M 1 X 1  M 2 X 2  M 3 X 3  ...  M n X n  M F0 . (2.7) Необходимо ранее построенные эпюры изгибающих моментов от действия единичных факторов X i умножить на величины реакций X i , вычисленные при решении системы уравнений (2.2). Если величина Xi отрицательна, то ординаты эпюры M i X i следует откладывать на противоположных волокнах элементов рамы по сравнению с эпюрой M i . Для контроля правильности построения окончательной эпюры М в заданной раме выполняются проверки: 1) статическая – для любой отсеченной части рамы M  0 (обычно вырезаются узлы рам); 2) деформационная – перемещения по направлениям всех удаляемых в процессе расчета связей должны в действительности отсутствовать:  l MSM dz  0 . EI (2.8) После проверки правильности эпюры изгибающих моментов М в заданной статически неопределимой раме строится эпюра Q. С целью построения эпюры Q поочередно рассматривается равновесие всех элементов рамы: M  M n 1 , (2.9) Q nz  Qnz0  n ln где Qnz – поперечная сила в произвольном сечении z на рассматриваемом участке элемента рамы; Qnz – поперечная сила в произвольном сечении z шарнирной двух опорной балки от действия внешней нагрузки на рассматриваемом элементе рамы; M n 1 – изгибающий момент в левом сечении рассматриваемого участка рамы (принимается по эпюре М); M n – изгибающий момент в правом сечении рассматриваемого участка элемента рамы (принимается по эпюре М). l n – длина рассматриваемого участка; Распределение продольных сил N устанавливается из равновесия узлов рамы с использованием результатов построения эпюры Q (подробнее при решении конкретных примеров). После выявления распределения внутренних усилий от действия внешних нагрузок в заданной статически неопределимой конструкции, т.е. после построения эпюр M, Q, N, проводится окончательная проверка всего решения (конструкция отсекается от опор, в сечениях указываются величины вычисленных силовых внутренних факторов, проверяется выполнение уравнений статики для плоской стержневой системы): x  0 ; y  0 ; M  0 . Пример 7. Для рамы, приведенной на рис. 2.4, построить эпюры M, Q, N от действия заданной нагрузки, если I1 : I 2  1 : 2 ( I 2  2I1 ). Для удобства выполнения расчетов в начале и конце каждого из участков рамы проставляются индексы (рис. 2.4). Решение. 7. Степень статической неопределимости заданной конструкции подсчитывается по формуле (1.1): n  3Д  2Ш  С  3  2  2  1  6  2 , заданная система дважды статически неопределима (присутствуют две «лишние» связи). 2. Основная система метода сил получается путем удаления двух «лишних» связей у заданной рамы. Варианты основных систем приводятся на рис. 2.5, а, б, в. Любая из конструкций на рис. 2.5, а, б, в отвечает требованиям, предъявляемым к основной системе метода сил: статическая определимость и геометрическая неизменяемость. К расчету принимается основная система (рис. 2.5, в). 3. Эквивалентная система приводится на рис. 2.6. Чтобы работа эквивалентной системы (а следовательно, и распределение внутренних усилий M, Q, N) ничем не отличалась от заданной рамы, следует учесть два ограничения в виде канонических уравнений метода сил (2.2). Для дважды статически неопределимой рамы составляются два линейных алгебраических уравнения с двумя неизвестными Х1 и Х2. Физический смысл каждого из уравнений заключается в отрицании перемещений в направлении удаленных «лишних» связей: 11 X1  12 X 2  1F  0;    21 X 2   22 X 2   2 F  0. (2.10) (во втором уравнении Х1 – индекс) Все слагаемые канонических уравнений метода сил (2.10) являются перемещениями сечений рамы от воздействия различных силовых факторов. Перемещения могут быть определены энергетическим методом вычисления интегралов Мора типов (2.3) и (2.5). 4. С целью вычисления интегралов Мора и проверки правильности расчета в основной системе метода сил (см. рис. 2.5, в) строятся эпюры изгибающих моментов: – эпюра M 1 от действия X 1  1 (рис. 2.7, а); – эпюра M 2 от действия X 2  1 (рис. 2.7, б); – суммарная единичная эпюра M S  M 1  M 2 (рис. 2.7, в); – грузовая эпюра M F0 от действия всей заданной нагрузки (рис. 2.7, г, д). Расчет перемещения от действия единичного фактора X1 направлении удаленной связи : 11    l  M1 M1 1 1 2  1 1 2  dz    6  6   6 2    6  3   6 2  EI EI1  2 3  EI 2  2 3  1 1 2 1  72 144  252  144 72 144     ;   12  3   12   144   EI 2  2 3 2 2  EI1  EI1 EI 2 EI 2 EI1  12   21    l M1 M 2 1 1 2   1 1 dz     6  6  1    12  3   1  EI EI1  2 3   EI 2  2  18 12 1  12  24   ; 18     EI1 EI 2 EI1  2 EI1 в  22    l M2 M2 1 1  6  1  1  1  1  3  2  1  dz  EI EI1 EI 2  2 3   6 1 1  1  6,5 .   6    EI1 EI 2 EI1  2  EI1 Проверка правильности вычисления выполняется в соответствии с формулой (2.4): δij  δ11  δ12  δ 21  δ 22   l коэффициентов 252 24 24 6,5 210,5     ; EI1 EI1 EI1 EI1 EI1 MS MS 1 1 2  6 2  1  1  2  5  5  1  5  5  1  dz    6  6   6  EI EI1  2 3  6 EI1   1 1 2  1 1 2    6  3   6 2    11  3   11  EI2  2 3  EI 2  2 3  72 42 72 121 1  72 121  210,5      .  72  42   EI1 EI1 EI 2 EI 2 EI1  2 2  EI1 Коэффициенты в канонических уравнениях вычислены верно. Расчет свободных слагаемых канонических уравнений энергетическим методом: M 1 1 1  1 2  2 1F    M F 1 dz   90  3  6   3    180  6   6   EI EI1  2 3  2 3  3 l 1 1 2 1 2  33 1 1 2 12   90  3   6   36  3   6     6   216  3   12  EI 2  2 3 2 3 12 2 2 3  1  33 1 675  2160  1 540  216  81  2592  162   12   12   12 2 EI 2  EI1  2835 3591 1  3591  4630,5   ;  2835   EI1 EI 2 EI1  2  EI1 3 M 1  1 2  1 1 12  3  1 1   2 F    M F 2 dz    216  3  1     180  6 1  EI EI1  2 3 12 2   EI 2  2 l  540 229,5 1  229,5  654,75 .    540   EI1 EI 2 EI1  2  EI1 Проверка правильности вычисления свободных слагаемых канонических уравнений выполняется в соответствии с формулой (2.6):  iF  1 F   2 F  4630,5 654,75 3975,75   ; EI1 EI1 EI1 M F M S dz  1  1  90  3 2  6  1  3   1  180  6 2  5  1  1        EI EI1  2 3  2 3  3 3 l  3 1 1 2 1 2 12  3  1  6  1  216  3  2  11    90  3   6   36  3   6  EI 21  2 3 2 3 12 2 2 3  33 1  1 12 675  1620  1 540  216  81  2376  148,5     11  12 2  EI1 EI 2  2295 3361,5 1  3361,5  3975,75 .    2295   EI1 EI 2 EI1  2  EI1 Свободные слагаемые канонических уравнений определены верно. 5. Найденные значения коэффициентов δij и свободных слагаемых  iF подставляются в уравнения (2.10), и после умножения на величину EI1 окончательно получается система двух линейных алгебраических уравнений: 252 X1  24 X 2  4630,5  0;    24 X1  6,5 X 2  654,75  0. (2.11) Решение системы уравнений (2.11): X 1  13,547кН ; X 2  50,709кНм . Следует помнить, что за неизвестную величину Х1 принималась горизонтальная составляющая реакции в опоре А, за неизвестную Х2 – реактивный момент в опоре В. С вычислением величин Х1 и Х2 раскрыта статическая неопределимость заданной рамы. 6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов в заданной статически неопределимой раме выполняется с использованием принципа независимости действия сил в линейно деформируемой системе (2.7): M  M1 X1  M 2 X 2  M F0 . Суммирование ординат эпюр изгибающих моментов (рис. 2.8, а, б, в) производится в характерных сечениях (в начале и в конце каждого участка). Правильность построения окончательной эпюры изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе (рис. 2.8, г) оценивается двумя проверками: а) статическая – любой узел рамы должен находится в равновесии (рис. 2.9, а, б); б) деформационная выполняется по формуле (2.8):  l  l MSM dz  0 ; EI MSM 3  2  40,641  3   2  40,641  3  2  6  8,718  dz  EI 6 EI1  40,641  6  8,718  3   50,709  5  48,009  1)  6 2  50,709  1  2  48,009  5  6 EI1 1 1 2 1 2   8,718  3   6   45,282  3   6  EI 2  2 3 2 3   3 1 1 2  3 1  12 3   6   2,727  3   11  12 3   11  12 2 2 3 12 2   = 300,384 279,954 40,113    EI1 EI1 EI 2 1  40,113  0,3735 .   300,384  279,954   EI1  2  EI1 Погрешность П  0,3735 100  0,124 % ( 2 %) в пределах точности 300,384 инженерных расчётов. 7. Из условия равновесия каждого участка рамы (рис. 2.10) с учетом действующих изгибающих моментов и внешних нагрузок (в соответствии с формулой 2.9) строится эпюра поперечных сил Q (рис. 2.11). 8. По готовой эпюре поперечных сил из условия равновесия узлов рамы (рис. 2.12, а, б) строится эпюра продольных сил N (рис. 2.13). Рекомендуется начинать рассматривать равновесие более простых узлов, где сходится по два элемента рамы. При рассмотрении равновесия сложных узлов, где сходится три и более элементов, усилия в некоторых элементах принимаются уже известными из расчетов простых узлов. 9. С целью выполнения окончательной проверки всего расчета рама отсекается от опор, и рассматривается условие ее равновесия (рис. 2.14):  x  0; F  Q12  Q 57  30  13,547  16,453  0;  y  0;  q  6  N13  N 57  Q6  12  6  2,906  50,185  18,909  0; M A  0;  F  3  q  6  6  M B  N57  6  Q6  9   30  3  12  6  6  50,709  50,185  6  18,909  9  0. Решение верно.