Расчет параметров движения механической системы

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Пример выполнения РГР (Д-3) 1 Постановка задачи Дана механическая система, состоящая из нескольких тел. r1 P, Q1, Q2 – вес тел; Оr 2 r1, r2 – радиусы соосных блоков; r3 – радиус сплошного однородного диска; ρ1 – радиус инерции соосных Q2, k Q1, ρ1 блоков; С r3 k – коэффициент трения качения; P  (альфа) – угол наклона плоскости. Задано дополнительное усилие (сила или момент) Заданы начальная скорость и координата груза P. Найти законы движения тел механической системы 2 Общая методика решения и оформления РГР 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1-й лист. Титульный. 2-й лист. Исходная механическая система, исходные данные. 3-й лист. Вывод с обоснованием уравнений кинематических связей и таблица кинематических связей. 4-й и последующие листы. Разбить систему на отдельные тела. Составить силовую схему для каждого тела (указать силы и моменты, действующие на тело при движении). Записать дифференциальные уравнения движения тел, используя основные теоремы динамики системы; Последовательно исключая неизвестные величины, свести решение системы ДУ к одному уравнению в аналитической форме и решить его. 3 Вводим согласованное направление движения тел в системе (это важно!) и обозначаем параметры движения системы 1 Q1, ρ1 r1 Оr 2 x2 Q2, k С x P  r3 2 4 Обоснование кинематических связей 1 r1 Поскольку нити нерастяжимые, то скорости точек одного участка нити равны. 3 Оr 2 2 Q1, ρ1 x2 4 С 1 x МЦС P Q2, k r3  Получаем еще два уравнения связи 1r2  2  2r3 (2) x2  2 r3 (3) 2 V1  V2 (1) x  1r1 (1) V3  V4 (2) При плоскопараллельном движении для любой точки V  hмцс V4  2  2r3 VC  2r3 5 Таблица кинематических связей (вывод приведен ранее) Тело Координаты Груз x x 1  r1 xr2 2  2r1r3 xr2 x2  2r1 Соосный блок Диск Скорости Ускорения x x x 1  r1 xr2 2  2r1r3 xr2 x2  2r1 x 1  r1 xr2 2  2r1r3 xr2 x2  2r1 Аналогичные уравнения кинематических связей можно получить для вторых производных и для параметров движения 6 Внутренние силы системы r1 Оr 2  T  T1  T1 Q1, ρ1 С  T P T  T T1  T1 Q2, k r3  7 Разбиваем систему на отдельные тела. Уравнение движения груза  T  P x Груз движется поступательно. Можно считать его материальной точкой. По 2-му закону Ньютона: mx   Fx P x  P  T (1) g 8 Уравнение движения соосных блоков 1 y1  YO r1   T  XO Оr 2  T1 x1 Q1 Центр масс не движется. По теореме о движении ЦМ x1 : mxO   Fx y1 : myO   Fy Соосные блоки представляют собой единое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О. Как расположена ось? Записываем дифференциальное уравнение вращения тела.  I zO   M zO ( Fk ) Q1 2 1 1  T r1  T1r2 (2) g x1 : 0   X O  T1cos  (3) y1 : 0  YO  Q1  T   T1sin  (4) 9 Уравнение движения однородного диска  T1 x2 С  r3  N k 2   Fсц Q2 Однородный диск совершает плоскопараллельное движение. По условию диск движется, испытывая трение качения. Вспомните, какие силы действуют на катящееся тело при наличии трения качения? M тр .кач Nk Записываем уравнения плоскопараллельного движения тела (записать теоретические формулы – на слайде нет места) Q2 x2  T1  Fсц  Q2 sin  (5) x2 : g Q2 r32 2  T1r3  Fсц r3  Nk (7)10 y2 : 0  N  Q2 cos (6) g 2 Система уравнений движения P x  P  T (1) g Q1 2 1 1  T r1  T1r2 (2) g x1 : 0   X O  T1cos  (3) y1 : 0  YO  Q1  T   T1sin  (4) Q2 x2  T1  Fсц  Q2 sin  (5) x2 : g y2 : 0  N  Q2 cos (6) 2 Q2 r3 g 2 2  T1r3  Fсц r3  Nk (7) 11 Уравнения кинематических связей Координаты Скорости Ускорения x x x x 1  r1 xr2 2  2r1r3 xr2 x2  2r1 12 Система уравнений движения Уравнения кинематических связей P x  P  T (1) x xr2 g     ( 8 )    (9) 1 2  Q1 2 r1 2r1r3 1 1  T r1  T1r2 (2) g xr2 x2  (10) 0   X O  T1cos  (3) 2r1 0  YO  Q1  T   T1sin  (4) Q2 массы тел m, m1, m2 x2  T1  Fсц  Q2 sin  (5) • Обозначим (это не обязательно). g • Силы, равные по модулю, заменим одним обозначением. 0  N  Q2 cos (6) • Оставляем только ДУ. 2 Q2 r3 (6) находим N и подставляем 2  T1r3  Fсц r3  Nk (7) • Из в (7) g 2 13 Подготовка системы к решению mx  mg  T (1) m1121  Tr1  T1r2 (2) m2 x2  T1  Fсц  m2 g sin  (5) m2r32 2  T1r3  Fсц r3  m2 gk cos (7) 2 x 1  (8) r1 xr2 2  (9) 2r1r3 xr2 x2  (10) 2r1 В (2) В (7) В (5) 14 Подготовка системы к решению mx  mg  T (1) 2 x m11  Tr1  T1r2 (2) r1 Для исключения T умножим (1) на r1 и сложим с (2) Полученное уравнение обозначим (11) xr2 m2  T1  Fсц  m2 g sin  (5) Для исключения Fсц 2r1 умножим (5) на r3 и сложим с (7) Полученное уравнение обозначим (12) xr2  T1r3  Fсц r3  m2 gk cos (7) 2 2r1r3 2 m2 r3 15 Подготовка системы к решению mxr1  mgr1  Tr1 (1) Умножили (1) на r 2 x m11  Tr1  T1r2 (2) r1 2 x m11  mxr1  mgr1  T1r2 (11) Сложили (1) и (2) r1 1 16 Подготовка системы к решению xr2 r3 m2  T1r3  Fсц r3  m2 g sin r3 (5) 2r1 Умножили (5) на r3 xr2  T1r3  Fсц r3  m2 gk cos (7) 2 2r1r3 2 m2 r3 xr2 r3 m2 r32 xr2  m2  2T1r3  m2 g sin r3  m2 gk cos (12) 2 2r1r3 2r1 Сложили (5) и (7) 17 Подготовка системы к решению x   mxr1  mgr1  T1r2 (11) r1 m1 12 xr2 r3 m2 r32 xr2  m2  2T1r3  m2 g sin r3  m2 gk cos (12) 2 2r1r3 2r1 В уравнениях (11) и (12) осталась неизвестная Т1 Исключаем ее и получаем уравнение с 1-й неизвестной Для этого домножим (11) на 2r3 и (12) на r2 и сложим. 18 Подготовка системы к решению x  2r3mxr1  2r3mgr1  2r3T1r2 (11) r1 xr2r2r3 m2r32 xr2r2  m2  2T1r3r2  m2 g sinr3r2  m2r2 gk cos (12) 2 2r1r3 2r1 2r3m112 xr22 r3 m2 r3 xr22 2 x  m2  2r3m11  2r3mxr1  2 2r1 2r1 r1 2r3mgr1  m2 g sin r3r2  m2 r2 gk cos  (13)  3r2 2 r3  2 r3 x  m2  2m1 1  2mr1r3   4r1 r1   2mgr1r3  m2 g sin  r3r2  m2 r2 gk cos  Не забудьте учесть дополнительное усилие (14) 19 Подготовка системы к решению  3r2 2 r3  2 r3 x  m2  2m1 1  2mr1r3   4r1 r1   2mgr1r3  m2 g sin  r3r2  m2 r2 gk cos  (14) Для удобства и простоты обозначим 2 3r2 r3 2 r3 A  m2  2m11  2mr1r3 4r1 r1 B  2mgr1r3  m2 g sinr3r2  m2r2 gk cos Ax  B  Доп. усилие (14) Дальнейшее решение ДУ зависит от вида Fдоп 20