Расчет электрических цепей при несуисоидальных периодических ЭДС, напряжениях и токах

Ãëàâà âîñüìàÿ Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿõ è òîêàõ 8.1. Ìåòîä ðàñ÷åòà ìãíîâåííûõ óñòàíîâèâøèõñÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè äåéñòâèè ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ðàññìàòðèâàëèñü ñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè. Îäíàêî â äåéñòâèòåëüíîñòè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ïðîöåññå êðèâûå ïåðèîäè÷åñêèõ ÝÄÑ, òîêîâ è íàïðÿæåíèé â òîé èëè èíîé ìåðå îòëè÷àþòñÿ îò ñèíóñîèäû. Ïåðèîäè÷åñêèå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæàò ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ, îñíîâíóþ, èëè ïåðâóþ, ãàðìîíèêó, èìåþùóþ ïåðèîä, ðàâíûé ïåðèîäó ñàìîé ôóíêöèè, è âûñøèå ãàðìîíèêè, ÷àñòîòà êîòîðûõ â öåëîå ÷èñëî ðàç áîëüøå ÷àñòîòû ïåðâîé ãàðìîíèêè. Íàïðèìåð, äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ÝÄÑ ìîæåì íàïèñàòü e (t) = E 0 + E 1m sin(wt + y 1 ) + E 2 m sin(2wt + y 2 ) + + E 3 m sin(3wt + y 3 ) +K + E km sin(kwt + y k ) +K Çäåñü E0 — ï î ñ ò î ÿ í í à ÿ ñ î ñ ò à â ë ÿ þ ù à ÿ ÝÄÑ; E1m sin (wt + y1) — î ñ í î â í à ÿ, èëè ï å ð â à ÿ, ã à ð ì î í è ê à; Ekm sin (kwt + yk) — â û ñ ø à ÿ ã à ð ì î í è ê à ïîðÿäêà k (k-ÿ ãàðìîíèêà); Ekm — àìïëèòóäà è yk — íà÷àëüíàÿ ôàçà k-é ãàðìîíèêè. Çàìåòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå âîçìîæíî äëÿ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì Äèðèõëå, ò. å. èìåþùèõ çà ïîëíûé ïåðèîä êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà è êîíå÷íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ. Ýòèì óñëîâèÿì âñåãäà óäîâëåòâîðÿþò ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè â ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ öåïÿõ.  îáùåì ñëó÷àå ðÿä Ôóðüå ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ, íî, êàê ïðàâèëî, îáû÷íî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ íåêîòîðûì êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðÿäà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå öåëåñîîáðàçíî åãî ÷ëåíû ïðåäñòàâèòü ÷åðåç ñèíóñû è êîñèíóñû áåç íà÷àëüíûõ ôàç. Èìååì E km sin(kwt + y k ) = E km cos y k sin kwt + E km sin y k cos kwt = B k sin kwt + C k cos kwt. Òàêèì îáðàçîì, ¥ ¥ k =1 k =1 e(t) = E 0 + å B k sin kw t + å C k cos kw t. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ E0 è êîýôôèöèåíòû Bk è Ck, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòèêè, îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë T E0 = T T 1 2 2 e (t)d t; B k = ò e (t)sin kwtd t; C k = ò e (t)cos kwtd t. ò T 0 T 0 T 0 336 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé Èìåÿ Bk è Ck, íåòðóäíî âû÷èñëèòü àìïëèòóäó è íà÷àëüíóþ ôàçó k-é ãàðìîíèêè: E km = B k2 + C k2 è tg y k = C k B k . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ. Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû äëÿ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è êîýôôèöèåíòîâ Bk è Ck ïîçâîëÿþò íàéòè ýòè âåëè÷èíû, êîãäà ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè. Íåðåäêî ìû ðàñïîëàãàåì êðèâûìè ÝÄÑ, òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ, çàäàííûìè â âèäå ãðàôèêîâ.  ýòîì ñëó÷àå ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñðåäíþþ çà ïåðèîä îðäèíàòó êðèâîé, à äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk è Ck ñóùåñòâóåò ðÿä ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ. Íàïðèìåð, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåííûìè ôîðìóëàìè Bk = Ck = 2 T T 2 T T 2 p æ wT p ö æ wT ÷÷ sin çç kn p ø è ö ÷÷ ; ø æ wT p ö æ wT ÷÷ cos çç kn p ø è ö ÷÷ . ø ò f (t)sin kw td t » p å f ççè n n =1 2 p ò f (t)cos kw td t » p å f ççè n n =1 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äåëèì ïåðèîä T íà p ðàâíûõ èíòåðâàëîâ è â p òî÷êàõ äåëåíèÿ æ wT ö îïðåäåëÿåì îðäèíàòû f çç n ÷÷ çàäàííîé ãðàôè÷åñêè êðèâîé, ïîëàãàÿ è p ø n = 1, 2, 3, . . ., p.  ñâÿçè ñ ðîñòîì áûñòðîäåéñòâèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ðàçðàáîòêîé ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ïðîöåññîðîâ äëÿ ðåàëèçàöèè ðàçëîæåíèÿ êðèâûõ â ðÿä Ôóðüå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê â êðèâûõ òîêà â ëèíåéíûõ öåïÿõ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå âûñøèõ ãàðìîíèê â êðèâûõ ÝÄÑ è íàïðÿæåíèé óñòðîéñòâ, ïèòàþùèõ ýòè öåïè. Õàðàêòåðíûì ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ïèòàíèå öåïè îò âûïðÿìèòåëÿ, â íàïðÿæåíèè íà âûõîäå êîòîðîãî íàðÿäó ñ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ñîäåðæèòñÿ ïåðåìåííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ. Íî è îáû÷íûå ãåíåðàòîðû ïåðåìåííîãî òîêà õîòÿ è êîíñòðóèðóþòñÿ òàê, ÷òîáû ÝÄÑ â èõ îáìîòêàõ áûëè êàê ìîæíî áîëåå áëèçêèìè ê ñèíóñîèäàëüíûì, âñå æå âñëåäñòâèå íåêîòîðûõ êîíñòðóêòèâíûõ îñîáåííîñòåé, íàïðèìåð íàëè÷èÿ çóáöîâ, èìåþò ÝÄÑ, ñîäåðæàùèå â íåêîòîðîé ìåðå âûñøèå ãàðìîíèêè. Âûñøèå ãàðìîíèêè â êðèâûõ òîêà ìîãóò âîçíèêàòü òàêæå âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïàðàìåòðû ñàìîé öåïè èçìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå ïåðèîäà. Åñëè ýòî èçìåíåíèå ïàðàìåòðîâ ïðîèñõîäèò ïî çàäàííîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè âðåìåíè è íå çàâèñèò îò òîêà, òî öåïü îñòàåòñÿ ëèíåéíîé. Åñëè æå èçìåíåíèå ïàðàìåòðîâ âîçíèêàåò âñëåäñòâèå èõ çàâèñèìîñòè îò òîêà, òî öåïü ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé. Ýòîò ïîñëåäíèé ñëó÷àé áóäåò ðàññìîòðåí â ÷àñòè 3, ïîñâÿùåííîé íåëèíåéíûì öåïÿì. Äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ïðèìåíèì ïðèíöèï íàëîæåíèÿ. Îñíîâûâàÿñü íà íåì, ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé ìåòîä ðàñ÷åòà ìãíîâåííûõ òîêîâ â ýòèõ öåïÿõ ïðè äåéñòâèè â íèõ ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ èëè íàïðÿæåíèé. Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 337 Ðàñêëàäûâàåì çàäàííûå ïåðèîäè÷åñêèå íåñèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ èëè íàïðÿæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå: e = e0 + e1 + e2 + e3 +K + ek +K ; u = u 0 + u1 + u 2 + u 3 +K + u k +K Íàõîäèì êàê ôóíêöèè âðåìåíè ìãíîâåííûå òîêè i0, i1, i2, i3, . . ., ik, . . ., âîçíèêàþùèå â íåêîòîðîé âåòâè öåïè ïîä äåéñòâèåì â îòäåëüíîñòè êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ÝÄÑ e0, e1, e2, e3, . . ., ek, . . ., èëè íàïðÿæåíèÿ u0, u1, u2, u3, . . ., uk, . . . . Ñóììèðóÿ íàéäåííûå òàêèì ïóòåì ìãíîâåííûå òîêè, ïîëó÷àåì èñêîìûé òîê â ðàññìàòðèâàåìîé âåòâè öåïè: i = i0 + i1 + i2 + i3 +K + ik +K Òàê êàê êàæäàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, ëèáî ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé âðåìåíè, òî äëÿ ðàñ÷åòà êàæäîé èç íèõ â îòäåëüíîñòè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû âñå ìåòîäû, èçëîæåííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ. Âåñüìà öåëåñîîáðàçíî äëÿ ðàñ÷åòà êàæäîé ñèíóñîèäàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé â îòäåëüíîñòè âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì. Îäíàêî ñóììèðîâàòü ïîëó÷åííûå êîìïëåêñíûå òîêè äëÿ îòäåëüíûõ ãàðìîíèê íåëüçÿ, òàê êàê îíè èìåþò ðàçíûå ÷àñòîòû. Ñóììèðîâàòü ìîæíî ëèøü ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ, âûðàæåííûå êàê ôóíêöèè âðåìåíè. Ïîëüçóÿñü ýòèì ìåòîäîì, îïðåäåëèì òîê i â ïðîñòåéøåé íåðàçâåòâëåííîé öåïè ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè r, L, C ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå â ñëó÷àå, êîãäà íàïðÿæåíèå u íà çàæèìàõ öåïè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé íåñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé âðåìåíè. Ïðåäñòàâèì íàïðÿæåíèå u â âèäå ðÿäà u = u 0 + u1 + u 2 + u 3 +K+ u k +K, ãäå u0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, à uk = Ukm sin (kwt + yuk) — k-ÿ ãàðìîíèêà íàïðÿæåíèÿ. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà â ýòîé öåïè ðàâíà íóëþ, ò. å. i0 = 0, òàê êàê êîíäåíñàòîð ïîñòîÿííûé òîê íå ïðîâîäèò. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå k-é ãàðìîíèêè òîêà ik = I km sin(kwt + y uk - j k ), ïðè÷åì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè I km = kwL - U km 1 ö æ r 2 + ç kwL ÷ kwC ø è 2 è j k = arctg r 1 kwC . Èñêîìûé òîê îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé: i = i1 + i2 + i3 +K + ik +K Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå xk = kwL –1/(kwÑ), à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå zk = r 2 + x k2 , è óãîë ñäâèãà jk = arctg (xk/r) çàâèñÿò îò ïîðÿäêà ãàðìîíèêè. Ïîýòîìó ôîðìà êðèâîé òîêà i íå áóäåò ïîäîáíà ôîðìå êðèâîé ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ u. 338 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàçâåòâëåííîé öåïè ðàññìîòðèì öåïü, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 8.1. Îïðåäåëèì òîê i íà âõîäå öåïè. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà îïðåäåëÿåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå èç ñîîòíîøåíèÿ i0 = Ðèñ. 8.1 u0 , r1 + r2 ãäå u0 — ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ u. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ òîêà âîñïîëüçóåìñÿ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì. Ñ ýòîé öåëüþ ïðåäñòàâèì â êîìïëåêñíîé ôîðìå k-þ ãàðìîíèêó uk = Ukm sin (kwt + yuk) ïðèëîæåííîãî ê çàæèìàì öåïè íàïðÿæåíèÿ u. Èìååì êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó k-é ãàðìîíèêè â âèäå U& km = U km e jyuk . Íàéäåì êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè äëÿ k-é ãàðìîíèêè. Óñëîâèìñÿ ïåðâûì èíäåêñîì ó ñîïðîòèâëåíèÿ îáîçíà÷àòü ïîðÿäîê ãàðìîíèêè, à âòîðûì èíäåêñîì, ïîñëå çàïÿòîé, — íîìåð âåòâè, äëÿ êîòîðîé çàïèñûâàåòñÿ òî èëè èíîå ñîïðîòèâëåíèå. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ñîïðîòèâëåíèå Zk âñåé öåïè ðàâíî Z k ,2 Z k ,3 Z k = Z k ,1 + , Z k ,2 + Z k ,3 ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé íà ðèñ. 8.1 Z k ,1 = r1 + jkwL1 ; Z k ,2 = r2 + jkwL 2 ; Z k ,3 = r3 - j 1 . kwC 3 Êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà k-é ãàðìîíèêè èñêîìîãî òîêà âû÷èñëÿåòñÿ â âèäå U& U e jyuk U j( y - j ) I&km = km = km jj = km e uk k = I km e jyik . k Zk zk zk e Òåïåðü íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ k-ãàðìîíèêè òîêà: ik = Ikm sin (kwt + yik). Ïðèäàâàÿ èíäåêñó k âñå çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå îñíîâíîé (k = 1) è âûñøèì (k = 2, 3, . . .) ãàðìîíèêàì, èìåþùèìñÿ â êðèâîé íàïðÿæåíèÿ, ïîëó÷èì âñå ñîîòâåòñòâóþùèå èì ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå òîêà. Âåñü èñêîìûé òîê íàéäåòñÿ â âèäå ñóììû: i = i0 + i1 + i2 + i3 +K + ik +K 8.2. Çàâèñèìîñòü ôîðìû êðèâîé òîêà îò õàðàêòåðà öåïè ïðè íåñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè Ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîäåðæàùåé èíäóêòèâíûå êàòóøêè è êîíäåíñàòîðû, çàâèñèò îò ÷àñòîòû, è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷íûì äëÿ ðàçíûõ ãàðìîíèê. Ïîýòîìó åñëè ê çàæèìàì òàêîé öåïè ïðèëîæåíî ïåðèîäè÷åñêîå íåñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå, òî êðèâàÿ òîêà â öåïè îòëè÷àåòñÿ ïî ôîðìå îò êðèâîé íàïðÿæåíèÿ. Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 339 Êðèâàÿ òîêà i ïîäîáíà êðèâîé íàïðÿæåíèÿ u òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè öåïü îáëàäàåò îäíèì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì r, îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ ÷àñòîò.  òàêîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ ãàðìîíèê Ikm = Ukm/r è, ñëåäîâàòåëüíî, Ikm/I1m = Ukm/U1m, ò. å. êðèâûå òîêà è íàïðÿæåíèÿ ïîäîáíû äðóã äðóãó. Ñîáëþäåíèå òàêîãî óñëîâèÿ íåîáõîäèìî â öåïÿõ âîëüòìåòðîâ, â ïàðàëëåëüíûõ öåïÿõ âàòòìåòðîâ è îñîáåííî â öåïÿõ âèáðàòîðîâ îñöèëëîãðàôîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ çàïèñè êðèâûõ íàïðÿæåíèÿ.  òî÷íîñòè äîñòè÷ü ýòîãî óñëîâèÿ íåâîçìîæíî, òàê êàê ïðèíöèïèàëüíî âñÿêàÿ öåïü îáëàäàåò èíäóêòèâíîñòüþ è åìêîñòüþ. Îäíàêî, ïðèìåíÿÿ ñïåöèàëüíûå ñïîñîáû íàìîòêè äîáàâî÷íûõ ñîïðîòèâëåíèé, â òàêèõ öåïÿõ óäàåòñÿ ñóùåñòâåííî ñíèçèòü èõ èíäóêòèâíîñòü è åìêîñòü è ïðèáëèçèòüñÿ ê òðåáóåìûì óñëîâèÿì. Êðîìå òîãî, åñëè ñå÷åíèå ïðîâîëîêè íàìîòêè ìàëî, òî ìîæíî ïðè íå î÷åíü âûñîêèõ ÷àñòîòàõ ïðåíåáðå÷ü ÿâëåíèåì ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà è ñ÷èòàòü, ÷òî àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îäèíàêîâî äëÿ âñåõ ãàðìîíèê íå ñëèøêîì âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî êàòóøêó ñ èíäóêòèâíîñòüþ L è r = 0. Åå ñîïðîòèâëåíèå ïðè ÷àñòîòå kw k-é ãàðìîíèêè ðàâíî z k = kwL, ò. å. ðàñòåò ñ âîçðàñòàíèåì ïîðÿäêà ãàðìîíèêè. Ñîîòâåòñòâåííî, U I km 1 U km . I km = km è = kwL I 1m k U 1m Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäû âûñøèõ ãàðìîíèê, âûðàæåííûå â äîëÿõ ïåðâîé ãàðìîíèêè, â êðèâîé òîêà ìåíüøå, ÷åì â êðèâîé íàïðÿæåíèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî êàòóøêà ñãëàæèâàåò êðèâóþ òîêà. Ýòèì ïîëüçóþòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ ñãëàæèâàíèÿ êðèâîé òîêà ïîñëå âûïðÿìèòåëåé, âêëþ÷àÿ â öåïü ìåæäó âûïðÿìèòåëåì è ïðèåìíèêîì èíäóêòèâíóþ êàòóøêó. Íàïðÿæåíèå íà âûõîäå âûïðÿìèòåëÿ îáû÷íî ñîäåðæèò, êðîìå ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé, åùå ðÿä ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Êàòóøêà íå îêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà, íî åå ñîïðîòèâëåíèå âûñøèì ãàðìîíèêàì òîêà òåì áîëüøå, ÷åì âûøå ïîðÿäîê ãàðìîíèêè. Ðàññìîòðèì òåïåðü êîíäåíñàòîð áåç ïîòåðü. Åãî ñîïðîòèâëåíèå zk = 1/(kwC) óáûâàåò ñ ðîñòîì ïîðÿäêà ãàðìîíèêè. Èìååì U I km I km = kwCU km è = k km , U 1m I 1m ò. å. â êîíäåíñàòîðå ñîäåðæàíèå ãàðìîíèê, âûðàæåííûõ â äîëÿõ ïåðâîé ãàðìîíèêè, â êðèâîé òîêà áîëüøå, ÷åì â êðèâîé íàïðÿæåíèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî êîíäåíñàòîð èñêàæàåò êðèâóþ òîêà ïî ñðàâíåíèþ ñ êðèâîé íàïðÿæåíèÿ. Äëÿ ñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùåé ó÷àñòêè ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, êàòóøêè è êîíäåíñàòîðû, íà ôîðìó êðèâîé òîêà áóäåò âëèÿòü êîíôèãóðàöèÿ öåïè. Åñëè, íàïðèìåð, â öåïè äëÿ ãàðìîíèêè ïîðÿäêà k = q èìååò ìåñòî ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé, òî ñîïðîòèâëåíèå öåïè äëÿ ýòîé ãàðìîíèêè ìèíèìàëüíî, è, ñîîòâåòñòâåííî, ýòà ãàðìîíèêà â êðèâîé òîêà áóäåò âûäåëÿòüñÿ. Ïðîñòåéøåé òàêîé öåïüþ ÿâëÿåòñÿ öåïü èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ êàòóøêè L è êîíäåíñàòîðà C. Ýòèì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ïðåèìóùåñòâåííîå ïðîõîæäåíèå ãàðìîíèêè ïîðÿäêà q îò èñòî÷íèêà íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u ê ïðèåìíèêó, âêëþ÷èâ íà ïóòè ìåæäó íèìè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå 340 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé êàòóøêó è êîíäåíñàòîð (ðèñ. 8.2) è ïîäîáðàâ L è C òàê, ÷òîáû ñîáëþäàëîñü óñëîâèå qwL = 1/(qwC). Åñëè âåòâü èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøêè L è êîíäåíñàòîðà C, íàñòðîåííóþ â ðåçîíàíñ ïðè ÷àñòîòå qw, âêëþ÷èòü ïàðàëëåëüíî ïðèåìíèêó, ïðè÷åì äî ýòîé âåòâè åùå âêëþ÷èòü èíäóêòèâíóþ êàòóøêó L0 (ðèñ. 8.3), òî ãàðìîíèêà òîêà ïîðÿäêà q íå ïðîéäåò â ïðèåìíèê, òàê êàê äëÿ ýòîé ÷àñòîòû ïðèåìíèê áóäåò çàøóíòèðîâàí âåòâüþ L, C, èìåþùåé ïðè ðåçîíàíñå âåñüìà ìàëîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Ãàðìîíèêà ïîðÿäêà q, ñîäåðæàùàÿñÿ â íàïðÿæåíèè u, âñÿ áóäåò ïðèëîæåíà ê çàæèìàì êàòóøêè L0. Îñòàëüíûå ãàðìîíèêè òîêà, âñòðå÷àÿ çíà÷èòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå âåòâè L, C, ïðîõîäÿò â ïðèåìíèê. Åñëè íàïðÿæåíèå u ñîäåðæèò ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþ, òî âûçûâàåìàÿ åþ ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ïðîéäåò öåëèêîì â ïðèåìíèê, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå âåòâè L, C äëÿ íåå áåñêîíå÷íî, à èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè L0 ðàâíî íóëþ. Òàêîé ìåòîä øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ íà âûïðÿìèòåëüíûõ ïîäñòàíöèÿõ, ïèòàþùèõ êîíòàêòíóþ ñåòü ýëåêòðè÷åñêèõ æåëåçíûõ äîðîã. Íàïðÿæåíèå ïîñëå âûïðÿìèòåëÿ ñîäåðæèò, êðîìå ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé, òàêæå ðÿä ãàðìîíèê. Ïîñëå âûïðÿìèòåëÿ è êàòóøêè L0 âêëþ÷àþò âåòâè L, C ïî ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 8.4, íàñòðàèâàÿ ýòè âåòâè â ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòû ãàðìîíèê, êîòîðûå õîòÿò íå äîïóñòèòü â êîíòàêòíóþ ñåòü. Ðèñ. 8.2 Ðèñ. 8.3 Ðèñ. 8.4 Ðèñ. 8.5 Åñëè â öåïè äëÿ ãàðìîíèêè ïîðÿäêà q èìååò ìåñòî ðåçîíàíñ òîêîâ, òî ñîïðîòèâëåíèå öåïè äëÿ ýòîé ãàðìîíèêè ìàêñèìàëüíî è, ñîîòâåòñòâåííî, ýòà ãàðìîíèêà â êðèâîé òîêà áóäåò îñëàáëåíà. Ïðîñòåéøåé òàêîé öåïüþ ÿâëÿåòñÿ öåïü èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøêè L è êîíäåíñàòîðà C. Ýòèì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ, ÷òîáû çàòðóäíèòü ïðîõîæäåíèå ãàðìîíèêè ïîðÿäêà q îò èñòî÷íèêà íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u ê ïðèåìíèêó, âêëþ÷èâ íà ïóòè ìåæäó íèìè êîíòóð èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 8.5) è ïîäîáðàâ L è C òàê, ÷òîáû ñîáëþäàëîñü óñëîâèå qwC = 1/(qwL). Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïðåèìóùåñòâåííîãî ïðîïóñêà èëè çàäåðæàíèÿ òîêîâ îïðåäåëåííûõ ÷àñòîò, íîñÿò íàçâàíèå ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê è õ ô è ë ü ò ð î â. Çäåñü áûëè ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðîñòåéøèõ ôèëüòðîâ, ïðîïóñêàþùèõ èëè çàäåðæèâàþùèõ òîêè îïðåäåëåííûõ äèñêðåòíûõ ÷àñòîò.  äàëüíåéøåì ðàññìîòðèì ôèëüòðû, ïðîïóñêàþùèå èëè çàäåðæèâàþùèå òîêè â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíå ÷àñòîò. 8.3. Äåéñòâóþùèå ïåðèîäè÷åñêèå íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè, íàïðÿæåíèÿ è ÝÄÑ Äåéñòâóþùèé ïåðèîäè÷åñêèé òîê ìû îïðåäåëèëè â § 4.2 â îáùåì âèäå êàê åãî ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå çíà÷åíèå çà ïåðèîä: Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 341 T 1 2 i dt . T ò0 I = Ðàñêëàäûâàÿ i(t) â ðÿä Ôóðüå, èìååì T T 1 1 I = ò i 2 dt = ò (i0 + i1 + i2 +K + ik +K ) 2 dt = T 0 T 0 2 = k =¥ 1 T åT ò i k =0 2 k dt = k =¥ åI 2 k T s =¥ T q =¥ 1 1 å T ò ik2 dt + å T ò iq is dt = k =0 q=0 k =¥ s =0 = I 02 + I 12 + I 22 +K + I k2 +K, k =0 òàê êàê ïðè q ¹ s T T ò iq is dt = ò I qm I sm sin(qwt + y q )sin(swt + y s )dt = = T üï ìï T 1 I qm I sm í ò cos[(q - s)wt + y q - y s ] dt - ò cos[(q + s)wt + y q + y s ] dt ý = 0. 2 ïþ ïî 0 Äåéñòâèòåëüíî, çäåñü ïðè q ¹ s ïîëó÷àåì èíòåãðàëû îò ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé çà öåëîå ÷èñëî (q – s) è (q + s) ïåðèîäîâ. Òàêèå èíòåãðàëû ðàâíû íóëþ. Èòàê, èìååì k =¥ åI I = 2 k = I 02 + I 12 + I 22 +K + I k2 +K, k =0 ò. å. äåéñòâóþùèé ïåðèîäè÷åñêèé íåñèíóñîèäàëüíûé òîê ðàâåí êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñóììû êâàäðàòîâ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé âñåõ ãàðìîíèê. Àíàëîãè÷íî íàõîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ: U = k =¥ åU 2 k è E = k =0 k =¥ åE 2 k . k =0 8.4. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ è íàïðÿæåíèÿõ Ñîõðàíÿÿ îáùåå îïðåäåëåíèå äëÿ àêòèâíîé ìîùíîñòè êàê åå ñðåäíåå çíà÷åíèå çà ïåðèîä (ñì. § 4.6), èìååì T P = T 1 1 ui dt = ò (u 0 + u1 + u 2 +K + u k +K )(i0 + i1 + i2 +K + ik +K )dt = ò T 0 T 0 k =¥ T s =¥ T q =¥ 1 1 = å ò u k ik dt + å ò u q is dt = k =0 T 0 q=0 T 0 s =0 k =¥ 1 T åT òu k =0 i dt = k k k =¥ åP , k k =0 342 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé òàê êàê ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, T òu i dt = 0 ïðè q ¹ s. q s Òàêèì îáðàçîì, P = k =¥ åP k = P0 + P1 + P2 + K + Pk +K = k =0 = U 0 I 0 + U 1 I 1 cos j1 + U 2 I 2 cos j 2 + K + U k I k cos j k + K , ò. å. àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ è íàïðÿæåíèÿõ ðàâíà ñóììå àêòèâíûõ ìîùíîñòåé ïîñòîÿííîé è âñåõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ äëÿ êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí íåñïðàâåäëèâ, è äëÿ ìãíîâåííûõ òîêîâ, íàïðÿæåíèé è ìîùíîñòè èìååì i2 ¹ å ik2 , u2 ¹ å uk2 è p = ui ¹ å pk , òàê êàê ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé iqi s, uqu s è uqi s ïðè q ¹ s íå ðàâíû íóëþ. Îäíàêî èíòåãðàëû îò ýòèõ ïðîèçâåäåíèé çà öåëûé ïåðèîä T îáðàùàþòñÿ â íóëü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè ôóíêöèé, âõîäÿùèõ ñîìíîæèòåëÿìè â ýòè ïðîèçâåäåíèÿ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ è íàïðÿæåíèÿõ, êàê è ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ, ââîäÿò ïîíÿòèå î êîýôôèöèåíòå ìîùíîñòè, îáîçíà÷àÿ åãî ïðè ýòîì ÷åðåç l è îïðåäåëÿÿ èç ñîîòíîøåíèÿ P = UIl, ò. å. k =¥ P l= = UI åP k k =0 k =¥ åU k =0 2 k k =¥ åI . 2 k k =0 Âåëè÷èíà l ðàâíà åäèíèöå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè öåïü îáëàäàåò îäíèì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, íå çàâèñÿùèì îò ÷àñòîòû è îò òîêà. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ l < 1.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà íàïðÿæåíèå è òîê èçìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó, ò. å. êîãäà îòñóòñòâóþò ïîñòîÿííûå ñîñòàâëÿþùèå è âûñøèå ãàðìîíèêè, êîýôôèöèåíò ìîùíîñòè, êàê áûëî ïîëó÷åíî â § 4.6, ðàâåí êîñèíóñó ðàçíîñòè ôàç j ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà (l = cos j). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîÿâëåíèå âûñøèõ ãàðìîíèê â êðèâûõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ êîýôôèöèåíòà ìîùíîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì, êîãäà òîê è íàïðÿæåíèå ïðè òåõ æå äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ ñèíóñîèäàëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, óæå õîòÿ áû â ýòîì îòíîøåíèè ïîÿâëåíèå âûñøèõ ãàðìîíèê íåæåëàòåëüíî. Ïîýòîìó ñòðåìÿòñÿ êîíñòðóèðîâàòü ãåíåðàòîðû ïåðåìåííîãî òîêà òàê, ÷òîáû êðèâàÿ ÝÄÑ â íèõ áûëà ïî âîçìîæíîñòè áëèçêà ê ñèíóñîèäå. Íàëè÷èå âûñøèõ ãàðìîíèê ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé è ðÿäà äðóãèõ íåæåëàòåëüíûõ ÿâëåíèé. Îíî ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè ðåçîíàíñà äëÿ îäíîé èç âûñøèõ ãàðìîíèê Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 343 è, ñîîòâåòñòâåííî, ê ïîÿâëåíèþ ïåðåíàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè, ê íåæåëàòåëüíîìó âëèÿíèþ ãàðìîíèê çâóêîâîé ÷àñòîòû íà ðàäèî- è òåëåôîííóþ ñâÿçü, ê âîçíèêíîâåíèþ â òðåõôàçíûõ äâèãàòåëÿõ ìàãíèòíûõ ïîëåé, âðàùàþùèõñÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ðîòîðà (íàïðèìåð, ïðè k = 5, 11, . . .) è, ñëåäîâàòåëüíî, âûçûâàþùèõ òîðìîæåíèå ðîòîðà è äîáàâî÷íûå ïîòåðè â äâèãàòåëÿõ. Îäíàêî îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî âî âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ óñòðîéñòâàõ âñåãäà íåîáõîäèìî ñòðåìèòüñÿ ê ïîëó÷åíèþ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Ýòî, áåçóñëîâíî, îòíîñèòñÿ ê ìîùíûì ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèì óñòðîéñòâàì. Îäíàêî â ìàëîìîùíûõ óñòðîéñòâàõ àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ è ðåãóëèðîâàíèÿ, à òàêæå â ðÿäå ñïåöèàëüíûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ, ýëåêòðîèçìåðèòåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì êàê ðàç ïîëó÷èòü ôîðìû êðèâûõ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, îòëè÷àþùèåñÿ îò ñèíóñîèäàëüíûõ, ò. å. ñîäåðæàùèå âûñøèå ãàðìîíèêè. Íåêîòîðûå èç òàêèõ óñòðîéñòâ áóäóò ðàññìîòðåíû â ãëàâàõ î íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. 8.5. Îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê â òðåõôàçíûõ öåïÿõ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôàçíûå ÝÄÑ ñèììåòðè÷íî óñòðîåííîãî òðåõôàçíîãî ãåíåðàòîðà ñîäåðæàò âûñøèå ãàðìîíèêè. Êðèâûå ÝÄÑ âî âñåõ ôàçàõ ïî ôîðìå îäèíàêîâû è ñäâèíóòû â êàæäîé ïîñëåäóþùåé ôàçå îòíîñèòåëüíî ïðåäûäóùåé íà óãîë 2p/3, ãäå 2p — ïåðèîä âñåé êðèâîé ÝÄÑ, ðàâíûé ïåðèîäó ïåðâîé ãàðìîíèêè. Òàê êàê ïåðèîä k-é ãàðìîíèêè â k ðàç ìåíüøå ïåðèîäà ïåðâîé ãàðìîíèêè, òî óãîë ñäâèãà k-é ãàðìîíèêè â ïîñëåäóþùåé ôàçå ïî îòíîøåíèþ ê ïðåäûäóùåé ôàçå ðàâåí k2p/3. Òàêèì îáðàçîì, âñå ãàðìîíèêè, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí ÷èñëó ôàç, ò. å. êðàòåí òðåì (k = 3, 6, 9, 12, 15, . . .), ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë, ðàâíûé 2p, óìíîæåííûé íà öåëîå ÷èñëî, ò. å. ýòè ãàðìîíèêè íàõîäÿòñÿ â ôàçå äðóã ñ äðóãîì è îáðàçóþò ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû íóëåâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ k – 1 äåëèòñÿ íà òðè (k = 4, 7, 10, 13, . . .), îáðàçóþò, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû ïðÿìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ k + 1 äåëèòñÿ íà òðè (k = 2, 5, 8, 11, . . .), îáðàçóþò ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû îáðàòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èç ýòèõ ñâîéñòâ âûòåêàåò ðÿä îñîáåííîñòåé ïîâåäåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê â òðåõôàçíûõ öåïÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáìîòêè ãåíåðàòîðà ñîåäèíåíû òðåóãîëüíèêîì. Ñóììà ïåðâûõ ãàðìîíèê ôàçíûõ ÝÄÑ â êîíòóðå òðåóãîëüíèêà ðàâíà íóëþ. Ýòî èìååò ìåñòî òàêæå äëÿ âñåõ âûñøèõ ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå êðàòåí òðåì. Ãàðìîíèêè æå, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí òðåì, ñîâïàäàþò ïî ôàçå âî âñåõ ôàçíûõ îáìîòêàõ, è èõ ñóììà íå ðàâíà íóëþ. Ýòà ñóììàðíàÿ ÝÄÑ âûçûâàåò â êîíòóðå òðåóãîëüíèêà òîê äàæå ïðè îòñóòñòâèè íàãðóçêè ãåíåðàòîðà. Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â îáìîòêàõ âñëåäñòâèå ïðîòåêàíèÿ ýòîãî òîêà êîìïåíñèðóþò âûçûâàþùèå òîê ÝÄÑ. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ îáìîòêè íå ñîäåðæàò ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí òðåì. Òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî ïðè ñîåäèíåíèè îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðà òðåóãîëüíèêîì, åñëè ôàçíûå ÝÄÑ â îáìîòêàõ òðàíñôîðìàòîðà ñèììåòðè÷íû. Îáû÷íî, 344 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî, ñòðåìÿòñÿ ñîåäèíèòü ëèáî îáìîòêó ãåíåðàòîðà, ëèáî îäíó èç îáìîòîê òðàíñôîðìàòîðà â òðåóãîëüíèê ñ öåëüþ ïîãàñèòü ãàðìîíèêè, èìåþùèå ïîðÿäîê, êðàòíûé òðåì, âíóòðè ýòîé îáìîòêè è íå äàòü èì âûõîäà â îñòàëüíóþ öåïü.  ÝÄÑ ñèììåòðè÷íî óñòðîåííîãî ãåíåðàòîðà îòñóòñòâóþò ÷åòíûå ãàðìîíèêè, òàê êàê êðèâûå, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, íå ñîäåðæàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê, ÷òî áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ïîýòîìó ïðè ñîåäèíåíèè òðåóãîëüíèêîì íà âûõîäíûõ çàæèìàõ, êðîìå ïåðâûõ, ìîãóò áûòü âûñøèå ãàðìîíèêè ïîðÿäêîâ k = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, . . . Åñëè îáìîòêè ãåíåðàòîðà èëè òðàíñôîðìàòîðà ñîåäèíåíû çâåçäîé, òî ïðè ñèììåòðèè ôàçíûõ ÝÄÑ â ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèÿõ òàêæå îòñóòñòâóþò ãàðìîíèêè, ïîðÿäîê êîòîðûõ êðàòåí òðåì, õîòÿ â ôàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ ýòè ãàðìîíèêè ñîäåðæàòñÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû ðàçíîñòÿì ôàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ïîýòîìó îòíîøåíèå äåéñòâóþùèõ ëèíåéíîãî è ôàçíîãî íàïðÿæåíèé â ýòîì ñëó÷àå ìåíüøå 3. Ïîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç U1, U2, U3, ... äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ãàðìîíèê ôàçíîãî íàïðÿæåíèÿ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ íå êðàòåí òðåì, â 3 áîëüøå ôàçíûõ, ïîëó÷àåì 3 U 12 + 0 + U 52 + U 72 + 0 + U 112K Uë = < Uô U 12 + U 32 + U 52 + U 72 + U 92 + U 112 K 3. Ïðè îòñóòñòâèè íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà â ëèíåéíûõ òîêàõ è òîêàõ ïðèåìíèêà íåò ãàðìîíèê ñ ïîðÿäêîì, êðàòíûì òðåì, òàê êàê ýòèõ ãàðìîíèê íåò â ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâåííî, íåò ýòèõ ãàðìîíèê è â ôàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ ïðèåìíèêà, äàæå åñëè îí ñîåäèíåí çâåçäîé.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìåæäó íåéòðàëüíûìè òî÷êàìè ãåíåðàòîðà è ïðèåìíèêà ïîÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå òðîéíîé ÷àñòîòû, êîòîðîå ìîæåò äîñòèãàòü îïàñíûõ äëÿ æèçíè çíà÷åíèé. Ïðè íàëè÷èè íåéòðàëüíîãî ïðîâîäà ïî íåìó è, ñîîòâåòñòâåííî, ïî ëèíåéíûì ïðîâîäàì çàìêíóòñÿ òîêè òðîéíîé ÷àñòîòû. Âñå ýòè íåæåëàòåëüíûå ÿâëåíèÿ èñ÷åçàþò, åñëè ãàðìîíèêè ñ ïîðÿäêîì, êðàòíûì òðåì, ïîãàøåíû â îäíîé èç îáìîòîê ãåíåðàòîðà èëè òðàíñôîðìàòîðà, ñîåäèíåííûõ òðåóãîëüíèêîì. Èíîãäà â òðàíñôîðìàòîðå äëÿ ýòîé öåëè ñîçäàþò íå èìåþùóþ âûâîäîâ ñïåöèàëüíóþ îáìîòêó, ñîåäèíåííóþ â òðåóãîëüíèê. Ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà î ïîëó÷åíèè âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ â òðåõôàçíîì äâèãàòåëå ìû îãðàíè÷èëèñü ó÷åòîì ïåðâûõ ãàðìîíèê òîêîâ â îáìîòêàõ. Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî (k – 1) äåëèòñÿ íà òðè, èìåþò òó æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî è ïåðâàÿ ãàðìîíèêà. Îíè ñîçäàþò ïîëå, âðàùàþùååñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è ïîëå îñíîâíîé âîëíû, íî ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ. Ãàðìîíèêè, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî (k + 1) äåëèòñÿ íà òðè, ñîçäàþò ïîëÿ, âðàùàþùèåñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. 8.6. Î ñîñòàâå âûñøèõ ãàðìîíèê ïðè íàëè÷èè ñèììåòðèè ôîðì êðèâûõ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ Ïðè íàëè÷èè òîãî èëè èíîãî âèäà ñèììåòðèè â êðèâûõ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ 345 Âàæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ êðèâûõ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ (ðèñ. 8.6), ïðè êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (t) = - f (t + T 2), ò. å. îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóâîëíà ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì ñäâèíóòîé íà ïîëîâèíó ïåðèîäà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóâîëíû. Ðèñ. 8.6 Ðèñ. 8.7 Åñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, ðÿä Ôóðüå íå ñîäåðæèò ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è ÷åòíûõ ãàðìîíèê, òàê êàê äëÿ íèõ íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïðèâåäåííîå ðàíåå óñëîâèå ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñäâèãó ôóíêöèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïåðâîé ãàðìîíèêè íà T/2 ñîîòâåòñòâóåò ñäâèã ÷åòíûõ ãàðìîíèê íà öåëîå ÷èñëî ïîëíûõ ïåðèîäîâ, è çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíèê íå ìåíÿþò ñâîåãî çíàêà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðèâàÿ ñîäåðæèò òîëüêî íå÷åòíûå ãàðìîíèêè. Ýòî ïîëîæåíèå èìååò èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå. Îñíîâûâàÿñü íà íåì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ñèììåòðè÷íîì óñòðîéñòâå âðàùàþùèõñÿ ãåíåðàòîðîâ ÝÄÑ â èõ îáìîòêàõ íå ñîäåðæàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê, à òàêæå åñëè óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ òîêà ïî öåïè îäèíàêîâû â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ, òî ïðè ñèììåòðè÷íîé ÝÄÑ è òîê íå áóäåò ñîäåðæàòü ÷åòíûõ ãàðìîíèê.  ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ òîêà â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ âñåãäà îäèíàêîâû. Ýòè óñëîâèÿ ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâû â öåïÿõ ñ èçìåíÿþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè, íàïðèìåð â íåëèíåéíûõ öåïÿõ ñ âûïðÿìèòåëÿìè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ è ÷åòíûå ãàðìîíèêè â êðèâîé òîêà. Ïðèìåðîì ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ òðàïåöåèäàëüíîé ôîðìû, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 8.7. Ðàçëîæåíèå åå â ðÿä Ôóðüå èìååò âèä f (t) = 2A T æ 1 1 ö ç sin wt sin wt + 2 sin 3wt sin 3wt + 2 sin 5wt sin 5wt +K ÷ , 2 p tè 3 5 ø ÷òî ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåäåííûìè ðàíåå ôîðìóëàìè äëÿ Bk è Ck. Ïðè t = T/4 ïîëó÷àåì ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, è ðàçëîæåíèå ïðèíèìàåò âèä f (t) = 8A æ 1 1 ö ç sin wt - 2 sin 3wt + 2 sin 5wt -K ÷ . 3 p2 è 5 ø Ïðè t = 0 ïîëó÷àåì ïðÿìîóãîëüíóþ êðèâóþ, äëÿ êîòîðîé 346 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé f (t) = 4A æ 1 1 ö ç sin wt + sin 3wt + sin 5wt +K ÷ . 2 3 5 p è ø Èç ýòèõ ðàçëîæåíèé âèäíî, ÷òî â íèõ îòñóòñòâóþò ïîñòîÿííûå ñîñòàâëÿþùèå è ÷åòíûå ãàðìîíèêè. Ðèñ. 8.9 Ðèñ. 8.8 Ìîæåò áûòü ñèììåòðèÿ êðèâûõ äðóãîãî õàðàêòåðà. Íà ðèñ. 8.8 èçîáðàæåíà êðèâàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Èçîáðàæàåìàÿ åþ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ f(t) = f(–t). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì B1 = B 2 = B 3 = K = B k = K = 0 è ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå èìååò âèä f (t) = A 0 + C1 cos wt + C 2 cos 2wt + C 3 cos 3wt +K + C k cos kwt +K Åñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 8.9), òî f(t) = –f(–t).  ýòîì ñëó÷àå A 0 = C1 = C 2 = C 3 = K = C k = K = 0 è ðÿä Ôóðüå èìååò âèä f (t) = B1 sin wt + B 2 sin 2wt + B 3 sin 3wt + K + B k sin kwt + K Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óñëîâèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì ñàìèõ êðèâûõ, òîãäà êàê ðàññìîòðåííûå îñòàëüíûå âèäû ñèììåòðèè ñâÿçàíû ñ âûáîðîì íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè. 8.7. Ïðåäñòàâëåíèå ðÿäà Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå  ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ïðåäñòàâèòü ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Ýòî îñîáåííî ïîëåçíî áóäåò ïðè ðàññìîòðåíèè â ãë. 11 ÷àñòîòíîãî ìåòîäà àíàëèçà ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ðàíåå ðÿä Ôóðüå áûë ïðåäñòàâëåí â âèäå k =¥ f (t) = A 0 + å (B k sin kwt + C k cos kwt). k =1  âûðàæåíèÿõ äëÿ A0, Bk è Ck íàì áóäåò óäîáíåå âçÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ íå îò 0 äî T, à îò —T/2 äî +T/2. Áóäåì èìåòü +T 2 A0 = 1 2 f (t)dt; B k = ò T -T 2 T +T 2 ò -T 2 f (t)sin kwt dt; C k = 2 T ïðè÷åì w = 2p/T — óãëîâàÿ ÷àñòîòà ïåðâîé ãàðìîíèêè. +T 2 ò -T 2 f (t)cos kwt dt,