Прямые методы формирования ММ РЭУ

Модели и методы анализа проектных решений Лекция 7 – Прямые методы формирования ММ РЭУ Введение Рассмотрим более общий подход к формированию ММ РЭУ, основанный на применении топологических матриц и законов Ома, Кирхгофа. Рассмотрим следующие методы формирования ММ РЭУ 1. Табличный метод 2. Модифицированный табличный метод 3. Модифицированный метод узловых потенциалов 4. Метод шаблонов (модифицированный метод узловых потенциалов c проверкой) 2 Табличный метод Идея табличного метода заключается в объединении топологических и компонентных уравнений цепи. В качестве топологических уравнений используются уравнения для токов и напряжений ветвей, выраженные через матрицу инциденций. При таком подходе все токи и напряжения ветвей и напряжения узлов рассматриваются как неизвестные переменные. Допустим, что цепь имеет b ветвей и n независимых узлов, содержит R-, L-, С-элементы, а также зависимые и независимые источники тока и напряжения. Уравнение Кирхгофа для токов, запишется в виде А⋅Ib = 0. (1) Напряжения ветвей связаны с напряжениями узлов выражением Ub – At⋅ Un,=0 (2) где Ub, Ib – напряжения и токи ветвей; Un – напряжения узлов. 3 Табличный метод Компонентные уравнения в самом общем случае могут быть записаны как ⎡Wb1 ⎤ ⎡ Y1 ⎤ ⎡ K1 ⎤ ⋅ − ⋅ = U I b b ⎢W ⎥ ⎢K ⎥ ⎢Z ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ b2 ⎦ – соответственно проводимости и импедансы ветвей; где Y1, Z2 К1, К2 – безразмерные константы; Wb1, Wb2 – токи и напряжения независимых источников, в том числе источников, учитывающих влияние начальных условий на конденсаторах и катушках индуктивности. Для компактности воспользуемся краткой формой компонентных уравнений: Yb⋅Ub – Zb⋅Ib = Wb (3) Yb - матрица проводимостей ветвей, Zb - матрица сопротивлений ветвей, Ub – вектор напряжений на ветвях, Ib – вектор токов через ветви Заметим, что для различных типов ветвей элементы матриц Yb и Zb могут принимать конкретное значение: +1, –1, либо 0, a элементы вектора Wb – некоторое конкретное значение, либо 0. 4 Табличный метод В табл. 1 представлены значения элементов Yb, Zb, Wb для некоторых типов ветвей. Таблица 1 – Компонентные уравнения двухполюсников Заметим, что в табл. 1 конденсатор представлен как проводимость pCb, а индуктивность – как сопротивление pLb. 5 Табличный метод Табличную систему уравнений можно представить в виде системы уравнений Ub – At⋅ Un=0, Yb⋅Ub – Zb⋅Ib = Wb, (4) А⋅Ib = 0 или, по другому, в блочной матричной форме b b b⎡1 ⎢ b ⎢Yb n ⎢⎣ 0 Zb A n − A t ⎤ ⎡Ub ⎤ ⎡ 0 ⎤ b ⎥ 0 ⎥ ⋅ ⎢ I b ⎥ = ⎢ Wb ⎥ b ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣U n ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ n (5) или в общем виде T⋅X = W. (6) Как следует из структуры уравнений, блочная матрица Т имеет на главной диагонали квадратные матрицы. 6 Табличный метод В качестве примера рассмотрим простую RC-цепь С3 1 J1 2 1 2 С3 R2 G4 R2 J1 G4 Матрицу инциденций данной схемы можно записать в следующем виде: J1 R2 A= С3 G4 1 ⎡− 1 1 ⎢ 2 ⎣0 1 0⎤ 0 − 1 1⎥⎦ Используя матрицу инциденций и табл. 1 компонентных уравнений ветвей, в соответствии с (5) получим следующую табличную систему уравнений: 7 Табличный метод ⎡1 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ b b b⎡1 ⎢ b ⎢Yb n ⎢⎣ 0 Zb A 1 1 pC3 G4 n − A t ⎤ ⎡Ub ⎤ ⎡ 0 ⎤ b ⎥ 0 ⎥ ⋅ ⎢ I b ⎥ = ⎢ Wb ⎥ b ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣U n ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ n 1 0 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ −1 0 ⎥ ⎢⎢ u2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −1 1 ⎥ ⎢ u3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −1⎥ ⎢ u4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ i1 ⎥ ⎢ J1 ⎥ 1 ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − R2 ⎥ ⎢ i2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i −1 ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎥ ⎢ i4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 1 1 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −1 1 ⎥⎦ ⎣⎢U 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ 8 Табличный метод В реальных схемах, кроме двухполюсных элементов, используются и другие более сложные элементы, например управляемые источники тока или напряжения, поэтому расширим таблицу компонентных уравнений Таблица 2 – Компонентные уравнения идеальных элементов для табличного метода Yb⋅Ub – Zb⋅Ib = Wb 9 Табличный метод Для иллюстрации табличного метода в качестве примера с управляемыми источниками рассмотрим схему C4 1 C4 1 G2 G3 3 4 2 Е1 U6 C5 G2 4 G3 3 2 -- C5 E1 U7=μU6 U6 U7 + Ввиду громоздкости полной матрицы табличной системы уравнений запишем лишь матрицу инциденций схемы E1 G2 G3 С 4 С5 U 6 U 7 ⎡− 1 1 ⎢ 0 −1 1 1 A=⎢ ⎢0 0 −1 0 ⎢ 0 −1 ⎣0 1 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 − 1⎦ 10 Табличный метод и ее компонентные уравнения ⎡1 ⎢ G 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ G3 pC4 pC5 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎡ E1 ⎤ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ − 1 ⎥ ⎢i ⎥ ⎢ 0 ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢u 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢i3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎥ ⋅ ⎢u 4 ⎥ + ⎢ ⎥ ⋅ ⎢i4 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢u 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢i5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢u6 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢i6 ⎥ ⎢ 0 ⎥ μ − 1⎥⎦ ⎢⎣u 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣i7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ Из примера видно, что матрица табличной системы уравнений получается чрезвычайно разреженной (т.е. содержит большое число нулевых элементов). Для сравнения различных методов введем коэффициент (показатель) заполнения матрицы: D = число ненулевых элементов/общее число элементов. Для данного примера табличная система размерностью 18х18 элементов имеет 39 ненулевых элементов. Следовательно, D=39/182 ≈ 0,012 = 12%. 11 Табличный метод Главный недостаток табличного метода заключается в большом размерности системы уравнений и необходимости использования специальных алгоритмов решения систем уравнений с разреженными матрицами коэффициентов . К сожалению, структура матрицы уравнений табличного метода такова, что она затрудняет использование простых алгоритмов для работы с матрицами с симметричной структурой. 12 Модифицированный табличный метод в результате решения табличной системы уравнений сразу определяются и напряжения ветвей Ub, и токи ветвей Ib, и напряжения узлов Un. В тоже время напряжения ветвей легко вычислить из узловых напряжений: Ub = At⋅Un. В связи с этим можно исключить из табличной системы переменную Ub, преобразуя соответствующим образом исходную систему (4). Т.е., если подставить первое уравнение из (4) во второе, то получим или в матричной форме Yb⋅At⋅Un + Zb⋅Ib = Wb, А⋅Ib = 0. n b ⎡Yb ⋅ A t ⎢ n⎣ 0 (7 а) (7 б) b Zb ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡ Wb ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ A ⎦ ⎣ Ib ⎦ ⎣ 0 ⎦ Эти соотношения представляют собой модифицированную табличную систему уравнений. Модифицированная табличная система сохраняет все основные достоинства табличного метода, но имеет меньшую размерность. Так, размер матрицы коэффициентов равен (b+n)×(b+n), где b – число ветвей, а n – число независимых узлов. Снижение размерности упрощает решение системы линейных уравнений. 13 Модифицированный табличный метод Табличный и модифицированный табличный методы позволяют представить практически любые линейные и нелинейные ветви и в некоторых случаях (реактивные ветви при преобразовании алгебраических уравнений в дифференциальные) представлять ветви либо проводимостью, либо сопротивлением. Однако, размерность системы уравнений остается довольно высокой. В связи с этим для эффективной работы с табличными методами требуются специальные алгоритмы для работы с разреженными матрицами. Стандартный метод узловых потенциалов (узловых проводимостей) был рассмотрен нами ранее. Займемся теперь модификацией узлового метода с целью обеспечения возможности составления системы уравнений цепи с произвольными идеальными элементами. 14 Модифицированный узловой метод Рассмотрим метод, совмещающий достоинства узлового и табличного методов. Идея этого метода заключается в разбиении всех элементов цепи (ветвей) на три группы: 1) ветви, которые можно описать через проводимости (ток через них не будет определен); 2) ветви, которые нельзя описать через проводимости, либо те элементы, ток в которых необходимо определить (через эти элементы будет определен ток); 3) ветви независимых источников тока (ток через них задан). В результате решения системы уравнений мы будем искать напряжения узлов Un и токи ветвей второй группы I2. Напряжения ветвей можно определить позже по уравнению связи напряжений ветвей и узлов Ub = Аt⋅Un, а токи ветвей первой группы – на основании компонентных уравнений I1 = Y1⋅U1. 15 Модифицированный узловой метод Итак, упорядочим элементы оговоренным выше образом и запишем уравнения Кирхгофа для токов в виде ⎡ I1 ⎤ [A1 A 2 A3 ]⋅ ⎢⎢I 2 ⎥⎥ = 0 ⎢⎣J1 ⎥⎦ Уравнения Кирхгофа для напряжений упорядочиваются аналогично: t ⎡ U1 ⎤ ⎡ A1 ⎤ ⎢ U ⎥ = ⎢A t ⎥ ⋅ U ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ n ⎢⎣ U J ⎥⎦ ⎢ A 3t ⎥ ⎣ ⎦ Это же уравнение можно расписать тремя уравнениями: t U1 = A1t ⋅ U n; U2 = A 2t ⋅ U n ; UJ = A 3 ⋅ U n . Последнее уравнение используется для расчета напряжения на источниках тока. Компонентные уравнения для ветвей первой группы, как отмечалось выше, можно записать в виде I1 = Y1⋅U1. 16 Модифицированный узловой метод Запишем компонентные уравнения ветвей второй группы: Y2⋅U2 + Z2⋅I2 = W2, (8) где W2 содержит ненулевые элементы только для источников напряжения. Перепишем уравнения Кирхгофа для токов в виде А1⋅I1 + A2⋅I2 = – A3⋅J. В этих уравнениях напряжения на ветвях первой группы выразим через узловые напряжения: А1⋅Y1⋅A1t ⋅ U n + A2⋅I2= – A3⋅J, Y2⋅ A 2t ⋅ U n + Z2⋅I2 = W2. Или в матричном виде: ⎡ A1 ⋅ Y1 ⋅ A1t ⎢ t ⎣ Y2 ⋅ A 2 A 2 ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡− A 3 ⋅ J ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ Z 2 ⎦ ⎣ I 2 ⎦ ⎣ W2 ⎦ 17 Модифицированный узловой метод Из метода узловых проводимостей известно, что А1⋅Y1⋅ A1t = Yn1; – А3⋅J= Jn, где Yn1 – матрица узловых проводимостей ветвей первой группы; Jn – вектор эквивалентных узловых источников тока. Конечная форма уравнений модифицированного метода узловых потенциалов примет вид ⎡ Yn1 ⎢Y ⋅ A t ⎣ 2 2 A 2 ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡ J n ⎤ ⋅ = Z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣ W2 ⎥⎦ Таким образом, модифицированная узловая система представляет собой обычную узловую матрицу, построенную из ветвей первой группы, дополненную по принципу модифицированных табличных уравнений уравнениями ветвей второй группы. Вектор свободных членов соответственно представляет собой вектор эквивалентных узловых источников тока, дополненный источниками напряжениями ветвей второй группы. Для формирования блока Y2⋅A 2t из двухполюсных ветвей достаточно в транспонированной матрице инциденций заменить ±1 на ±y. 18 Модифицированный узловой метод Модифицированная узловая система уравнений сохраняет достоинства как узловой, так и табличной систем уравнений, т.е. пониженная размерность системы сочетается с гибкостью представления различных типов ветвей. Для иллюстрации метода в качестве примера с управляемыми источниками рассмотрим знакомую уже схему C4 1 C4 1 G2 G3 3 C5 E1 U6 C5 4 G3 3 2 4 2 Е1 G2 U7=μU6 U6 U7 19 Модифицированный узловой метод Матрица инциденций и компонентные уравнения ветвей второй группы (независимый источник напряжения Е1 и источник напряжения U7 управляемый напряжением U6) имеет следующий вид: E1 U 6 U 7 1 ⎡− 1 2⎢0 A2 = ⎢ 3⎢0 ⎢ 4⎣0 1 2 3 4 ⎡U ⎤ E1 ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎡0 0 0⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ E1 ⎤ U U 6 ⎢0 0 0 0 ⎥ ⋅ ⎢ 2 ⎥ + ⎢0 1 0 ⎥ ⋅ ⎢ I 6 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ U 7 ⎢⎣0 0 μ − 1⎥⎦ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ I 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣U 4 ⎦ 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 − 1⎦ Полная система уравнений для рассматриваемого примера примет следующий вид: ⎡ G2 ⎢− G ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ −1 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 − G2 −1 0 G2 + G3 + pC4 − G3 − pC4 − G3 G3 + pC5 − pC4 pC4 1 1 μ 1 0 ⎤ ⎡U1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎥ ⎢⎢U 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎥ U 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 1⎥ ⋅ ⎢U 4 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ I1 ⎥ ⎢ E1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ I6 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ I 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ Заметим, что коэффициент заполнения матрицы для этого метода равен D = 17/49 = 0,3469 = 34,7 %, что существенно больше, чем у табличного метода (было 12%). 20 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Модифицированный метод узловых потенциалов исключает из рассмотрения напряжения ветвей Ub и токи ветвей первой группы Ib1. При этом, однако, остаются лишние переменные, известные нам заранее (например, ток ветви ХХ источника тока, управляемого напряжением, либо напряжение ветви КЗ источника тока, управляемого током). Модифицированный узловой метод с проверкой свободен от этого недостатка, в нем также не используется матрица инциденций. Все это делает его весьма привлекательным для реализации в виде алгоритма для компьютера Как и в модифицированном узловом методе, все ветви делятся на три группы. Внешне структура уравнений модифицированного узлового метода с проверкой также остается неизменной. Ветви независимых источников тока вносятся в первую часть вектора свободных членов. Ветви первой группы заносятся в блок, являющийся обычной подматрицей узловых проводимостей. Компонентные уравнения ветвей второй группы заносятся в дополнение блока узловой матрицы. Уравнения для напряжений, исходя из принятой структуры уравнений, заносятся в дополнительные строки, а для токов – в дополнительные столбцы. 21 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Для примера, пусть источник напряжения включен между узлами i и j. Ток, протекающий от узла i к узлу j, обозначим как I. Тогда уравнение для напряжения и тока можно записать в виде Ui – Uj = E, Ii = I , Ij = – I. В результате в текущую m-ю строку и столбец внесутся +1 и –1, а в m-ю компоненту вектора свободных членов запишется значение ЭДС Е: Ui U j m i ⎡ 1⎤ j⎢ − 1⎥ , ⎢ ⎥ ⎥⎦ m ⎢⎣1 − 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ E ⎥⎦ Представление элементов РЭУ в модифицированном узловом методе с проверкой показано в табл. 3 далее. 22 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Таблица 3 – Представление идеальных элементов в модифицированном узловом методе с проверкой 23 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) 24 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) 25 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) 26 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) 27 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Для иллюстрации метода в качестве примера с управляемыми источниками рассмотрим знакомую уже схему C4 1 C4 1 G2 G3 3 C5 E1 C5 U6 4 G3 3 2 4 2 Е1 G2 U7=μU6 U6 U7 В результате получим следующую систему уравнений: ⎡ G2 ⎢− G ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 * здесь − G2 −1 G2 + G3 + pC4 − G3 − pC4 − G3 G3 + pC5 − pC4 pC4 μ 1 0 ⎤ ⎡U1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎥ ⎢⎢U 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − 1⎥ ⎢U 4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ I1 ⎥ ⎢ E1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣ I7 ⎦ ⎣ 0 ⎦ мы устранили строку и столбец для ветви XX U6 ИНУН Коэффициент заполнения для этого примера составляет D = 15/36 = 0,4167 = 41,7 %. I6 ) 28 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Таким образом, модифицированный метод узловых потенциалов с проверкой позволяет дополнительно уменьшить порядок системы уравнений и повысить плотность заполнения матрицы коэффициентов без потери полезной информации. Как и в табличном, модифицированном табличном и модифицированном узловом методах, можно по своему усмотрению менять представление ветвей схемы (представляя их проводимостью или сопротивлением). Это дает нам возможность получать математические модели линейных цепей в виде алгебраических систем уравнений, удобных для применения преобразования Лапласа, и которые легко преобразовать в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для последующего расчета переходных характеристик в линейных цепях. Замечание: Для формального преобразования алгебраической системы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (обратное преобразование Лапласа) недопустимо появление операторного выражения 1/р в матрице коэффициентов системы уравнений. 29 Модифицированный узловой метод с проверкой (метод шаблонов) Это условие равносильно требованию (при расчете временных характеристик интегрированием дифференциальных уравнений) при формировании ММ конденсаторы представлять своими проводимостями jωC, а катушки индуктивности – реактивными сопротивлениями jωL. Начальные условия в виде напряжений на конденсаторах C⋅U0 и токов через индуктивности L⋅I0 учитываются в векторе свободных членов системы уравнений W. В результате матрица коэффициентов системы уравнений может быть разделена на действительную G и мнимую pC части T⋅X = (G + pC)⋅X = W. Применив преобразование Лапласа к этому выражению, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида: С⋅X' = – G⋅X + W, которую можно решать известными численными методами (например, методом Рунге-Кутты) 30 Пример решения задачи Для представленной схемы записать матрицу коэффициентов Т и правую часть W системы уравнений T⋅X= W ММ электрической цепи, построенной на основе: R5 L2 L4 2 1 а) табличного метода, б) модифицированного табличного метода, в) модифицированного метода узловых потенциалов. 3 R6 C3 E1 1 Формируем исходные матрицы E1 C3 R5 R6 R5 L2 L4 1 0⎤ ⎡− 1 0 − 1 0 1 A = ⎢ 0 1 0 0 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 1 0 − 1⎥⎦ E1 C3 G5 G6 L2 ⎡0 ⎢ −1 ⎢ ⎢ −1 Zb = ⎢ −1 ⎢ ⎢ − pL2 ⎢ ⎣ L4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − pL4 ⎦ E1 C3 G5 2 L2 3 C3 R6 E1 G6 ⎡1 ⎢ − pC 3 ⎢ ⎢ 1 / R5 Yb = ⎢ 1 / R6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ L2 L4 ⎡ E1 ⎤ ⎤ ⎢0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0⎥ ⎥ W = ⎢ ⎥ b ⎥ ⎢0⎥ ⎥ ⎢0⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣0⎦ L4 31 2 Формируем табличную систему уравнений R5 b b⎡1 ⎢ b ⎢Yb n ⎢⎣ 0 b Zb A n 2 L2 1 − A t ⎤ ⎡Ub ⎤ ⎡ 0 ⎤ b ⎥ 0 ⎥ ⋅ ⎢ I b ⎥ = ⎢ Wb ⎥ b ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎦ ⎢⎣U n ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ n b=6 n=3 L4 3 C3 R6 E1 ⎡1 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢ − pC3 ⎢ 1 / R5 ⎢ 1 / R6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎤ ⎡ u E1 ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢u C 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 − 1⎥ ⎢u R 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 − 1⎥ ⎢u R 6 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢u L 2 ⎥ ⎢ ⎥ −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 − 1 1 ⎥ ⎢u L 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ iE1 ⎥ ⎢ E1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⋅ ⎢ iC 3 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ R5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ iR 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ L2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ i L4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ U1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢U 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣U3 ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 1 −1 −1 −1 − pL2 1 −1 −1 1 − pL4 1 −1 1 1 1 −1 1 −1 Коэффициент заполнения для этого примера составляет D = 34/225 = 0,1511 = 15,1 %. 32 3 Формируем модифицированную табличную систему уравнений n R5 b b ⎡Yb ⋅ A t ⎢ n⎣ 0 b=6 n=3 Zb ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡ Wb ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ A ⎦ ⎣ Ib ⎦ ⎣ 0 ⎦ 2 L2 1 3 C3 R6 E1 ⎡ −1 ⎢ 0 ⎢ ⎢− 1 / R5 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ − pC3 1 / R5 1 / R6 −1 1 −1 −1 −1 −1 − pL2 −1 1 1 −1 1 1 −1 ⎡1 ⎢ − pC 3 ⎢ ⎢ 1 / R5 Yb ⋅ A T = ⎢ 1 / R6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎡ E1 ⎤ ⎥ ⎢U ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ i E1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⋅ ⎢iC 3 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − pL4 ⎥ ⎢iR 5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢i R 6 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢i L 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ − 1 ⎥⎦ ⎢⎣iL 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0⎤ ⎤ ⎡− 1 0 ⎥ ⎢0 1 0⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 0 1⎥ ⎥ ⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 −1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 1 − 1⎦ 1⎦ ⎣ 0 L4 Коэффициент заполнения для этого примера составляет D = 23/81 = 0,2839 = 28,4 %. При формировании матрицы Yb⋅A-1 вместо ±1 в матрице А появляются ±y соответствующих элементов из Yb 33 4 Формируем модифицированную узловую систему уравнений R5 Выделим элементы в 3 группы: 1. которые можно записать как проводимости: С3, R5, R6 2. которые нельзя записать как проводимости: E1, L2, L4 3. источник тока: нет 1 L2 L4 0⎤ ⎡− 1 1 A2 = ⎢ 0 − 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦ ⎡0 Z 2 = ⎢0 − pL2 ⎢ ⎢⎣0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ − pL4 ⎥⎦ L4 3 C3 R6 E1 Сформируем матрицы А2, Y2 и Z2 E1 2 L2 ⎡1 0 0⎤ Y2 = ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ R5 L2 2 L4 1 Сформируем матрицу Yn1 ⎡ 1 / R5 Yn1 = ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣− 1 / R5 − 1 / R5 ⎤ ⎥ pC3 ⎥ 0 1 / R5 + 1 / R6 ⎥⎦ 3 C3 E1 R6 34 4 Формируем модифицированную узловую систему уравнений R5 Результирующая система имеет вид: ⎡ Yn1 ⎢Y ⋅ A t ⎣ 2 2 2 L2 A 2 ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡ J n ⎤ ⋅ = Z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣ W2 ⎥⎦ 1 L4 3 C3 R6 E1 ⎡ 1 / R5 ⎢ 0 ⎢ ⎢− 1 / R5 ⎢ ⎢ −1 ⎢ 1 ⎢ ⎣ 0 − 1 / R5 −1 pC 3 1 / R5 + 1 / R6 1 −1 −1 −1 − pL2 1 0 ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 1 ⎥ ⎢U 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 1 ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ iE1 ⎥ ⎢ E1 ⎥ 0 ⎥ ⎢i L 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − pL4 ⎦ ⎣iL 4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ Коэффициент заполнения для этого примера составляет D = 17/36 = 0,4722 = 47,2 %. 35 5 Проверка Создадим схему в Micro-CAP E1=1 В, L2=2 нГн, С3=3 нФ, L4=4 нГн, R5=5 Ом,R6=6 Ом Частота: 1/(2π) ГГц = 0.159155 ГГц Введем значения элементов в систему уравнений T⋅X=W − 1/ 5 −1 1 0 ⎤ ⎡U 1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 1/ 5 ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎢U 2 ⎥ ⎢0⎥ j3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 / 5 0 1 / 5 + 1 / 6 0 − 1 ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ − 1 ⎢ ⎥ ⎢ i E 1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 1 −1 0 − j2 0 ⎥ ⎢ i L 2 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 − j 4 ⎦ ⎣ i L 4 ⎦ ⎣0 ⎦ 1 ⎣ 0 Решим полученную СЛАУ Х = T-1⋅W и сравним с результатами моделирования в Micro-CAP 36 5 Проверка Результаты моделирования в Micro-CAP (режим Dynamic AC): |X| angle (X), в градусах ======================================= U1 1 -180 U2 0.255751929917 8.968096588063 U3 0.451239702979 -127.329202305224 IE1 0.717357630962 103.314786168573 IL2 0.626629859806 91.822957797794 IL4 0.165054434719 -52.853313301978 Результаты расчетов: 37 Заключение. По итогам лекции 7 студенты должны знать: 1. Формирование ММ цепи на основе топологических матриц и законов Ома и Кирхгофа 2. Правила выбора элементов для формирования ММ РЭУ прямыми методами 3. Принципы получения ММ линейных цепей на основе прямых методов Должны уметь решать задачи на: 1. Формирование ММ линейных РЭУ на основе табличного, модифицированного табличного и модифицированного узлового методов 38 Спасибо за внимание! Ваши вопросы … Следующая лекция: Анализ цепей на постоянном токе (расчет статических характеристик) 39 Создадим схему в Micro-CAP V1=1 В, R1= 1 Ом, R2=5 Ом, R3=1 Ом, L1= 3 нГн С1 = 1 нФ, с2 = 5 нФ m = 0.5 (ИНУН E1) Частота анализа: F=1 ГГц p = j*2*pi*F - оператор I группа: R1 R2 R3 C1 C2 II группа: V1 L1 E1 V(5) V(4) III группа: нет Сформируем блоки матрицы T (b2 = 4 n = 5) и вектора W ⎡ Yn1 ⎢Y ⋅ A t ⎣ 2 2 A 2 ⎤ ⎡U n ⎤ ⎡ J n ⎤ = ⋅ Z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣ W2 ⎥⎦ Матрица узловых проводимостей Yn1 для элементов 1 группы 1 ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ − ⎢ R1 R1 ⎢ 1 ⎛ 1 ⎥ 1 ⎞ ⎢− + pC1 + pC 2 ⎟ − pC 2 − pC1⎥ ⎜ + ⎠ ⎢ R1 ⎝ R1 R 2 ⎥ Yn1 = ⎢ ⎥ 1 1 ⎞ ⎛ 0 ⎥ − pC 2 + pC 2 ⎟ − ⎜ ⎢ 0 R3 ⎝ R3 ⎠ ⎢ ⎥ 1 1 ⎢ 0 0 ⎥ − ⎢ ⎥ R3 R3 − pC1 pC1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 40 Матрицы для элементов 2 группы E1 L1 V 5 V 4 1 ⎡− 1 0 0 0 ⎤ 2⎢ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ A2 = 3 ⎢ 0 − 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 4 ⎢ 0 0 0 − 1⎥ 5 ⎢⎣ 0 0 − 1 0 ⎥⎦ E1 L1 V 5 V 4 ⎡1 ⎢0 Y2 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0⎤ 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 m − 1⎦ E1 L1 V 5 V 4 ⎡0 ⎢0 − pL1 Z2 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 0⎦ Векторы переменных Х и задающих источников W ⎡ U1 ⎤ ⎢U ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢U3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢U 4 ⎥ X = ⎢U 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ IV 1 ⎥ ⎢ I L1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ IV 5 ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ V4⎦ ⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ W = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢V1 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 ⎢0 T Y2 ⋅ A2 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡ Yn1 Система уравнений T X=W: ⎢ t ⎣Y2 ⋅ A 2 0 ⎤ ⎡− 1 0⎥ ⎢0 ⎥⋅⎢ 0 0 0⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 m − 1⎦ ⎣ 0 1 0 0 0 −1 0 ⎤ ⎡− 1 0⎥ ⎢0 ⎥=⎢ 0 − 1⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 1 − m⎦ 0 0 0 0 −1 0 A2 ⎤ ⋅X = W Z 2 ⎥⎦ 41 Пример код в среде MATLAB % задаем элементы E1 = 1; R1 = 1; R2 = 5; R3 = 1; L1 = 3; C1 = 1; C2 = 5; m = 0.5; % частота для анализа f = 1; p = j*2*pi*f; % матрица узловых проводимостей элементов 1 группы Yn1 = [ 1/R1 -1/R1 -1/R1 1/R1+1/R2+p*(C1+C2) -p*C2 0 -p*C1 -p*C2 1/R3+p*C2 -1/R3 -1/R3 1/R3 -p*C1 0 p*C1]; 42 Пример код в среде MATLAB % матрицы для элементов 2 группы A2 = [-1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 ]; Y2 = [1 0 0 0 010 0 000 0 0 0 m -1 ]; Z2 = [ 0 000 0 -p*L1 0 0 010 0 0 0]; % система уравнений модиф. узловым методом T = [Yn1 A2; Y2*A2' Z2 ]; W = [0 0 0 0 0 E1 0 0 0]'; % решаем СЛАУ X = T\W; % выводим результат на экран [abs(X) angle(X).*(180/pi)] 43 Пример Результаты расчетов в MATLAB V1 1.0000 180.0000 V2 0.5874 -178.7501 V3 0.5882 -177.8357 V4 0.2937 -178.7501 V5 0.5874 -178.7501 ————————————— IV1 0.4129 178.2220 IL1 0.0312 -87.8357 IV5 0 IV4 0.2945 3.0761 ————————————— модуль фаза 44 Пример Результаты расчетов в Micro-CAP (Dynamic AC) напряжения узлов V1 V2 V3 V4 V5 1.0000 0.5874 0.5882 0.2937 0.5874 180.0000 -178.7501 -177.8357 -178.7501 -178.7501 45 Пример Результаты расчетов в Micro-CAP (Dynamic AC) токи ветвей второй группы IV1 IL1 IV5 IV4 0.4129 178.2220 0.0312 -87.8357 0.2945 3.0761 46