Прямоугольный волновод

Лекция § 12. Прямоугольный волновод 12.1. Основные соотношения для поля Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис. 12.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда – идеальный диэлектрик с параметрами  и  . В такой направляющей системе могут существовать волны Е и Н и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 12.1 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а  b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При a > b стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода. Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую Emz или H mz соответственно. Составляющие Emz и H mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца: 2w 2w 2    w  0 , x 2 y 2 (12.1) где функция w равна Emz для Е-волн и H mz – для Н-волн,    k 2   2 , а  – коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (12.1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода. Для решения уравнения (12.1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию 2 i ( wt –  z ) w в виде w  w ( x, y, z,t )  w ( x, y)  e . Очевидно, что функция w ( x, y) также удовлетворяет уравнению (12.1). Представим ее в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: w 0 ( x, y)  X ( x)  Y ( y) . (12.2) Перейдем в (12.1) к функции w ( x, y) и подставим (12.2). После деления обеих частей уравнения на произведение X ( x)  Y ( y) получаем: 1 d 2 X 1 d 2Y  2   2   2 . (12.3) X dx Y dy Так как переменные х и у являются независимыми, то левая часть уравнения (12.3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d2X d 2Y 2   X    y2Y  0 , где  x и и x 2 2 dx dy  y – некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству:  x2   y2   2 . Решая полученные уравнения, находим (12.4) X (x)  A  sin ( x x)  B  cos ( x x),   Y (y )  C  sin ( y y )  D  cos ( y y ),  (12.5) где А, В, С и D – некоторые, пока также неизвестные, постоянные. В случае Е-волн ( Ez  0 , H z  0 ) функция w  Emz . Составляющая Emz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия: w0  0, y   0 , w0  x, 0   0 , (12.6) w0  a , y   0 , w0  x, b   0 , (12.7) где 0  x  a, 0  y  b. Равенства (12.6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0, из которых следует, что В = 0 и D = 0. Из условий (12.7) вытекают равенства A  sin ( x a)=0 и C  sin ( yb)=0 . Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе Emz  0 , что в случае Е-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения sin( x a)  0 и sin( yb)  0 . Из (12.8) находим значения постоянных x  x (12.8) и y: m , m = 1, 2, …; a y  m , n = 1, 2, … b (12.9) Отметим, что в случае Е-волн значения m = 0 и n = 0 не годятся, так как при этом случае Emz  0 во всех точках внутри волновода. Поперечные составляющие векторов поля выражаются через Emz соотношениями (11.19) и (11.20). Введем обозначение А  С  Е0 z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе: Emv (x,y,z )  Ev0 (x,y )e i z , v  x,y,z ,   H mv (x,y,z )  H v0 (x,y )e i z , v  x,y,z ,  (12.10a) где  m x   n y  Ez0 (x,y )  E0 z sin   sin  ,  a   a    m   m x   n y  Ex0 (x,y )  i 2 E0 z   cos   sin  ,   a   a   b         n  m  x n  y        Ey0 (x,y )  i 2 E0 z   sin   cos  ,    b   a   b   (12.10б)   n   m x   n y   H x0 (x,y )  i 2 E0 z   sin   cos  ,    b   a   b      m   m x   n y   H y (x,y )  i 2 E0 z   cos   sin  ,   a   a   b   H z0 (x,y )  0.  Подчеркнем, что индекс m в формулах (12.10а) и (12.10б) имеет совершенно разный смысл. В (12.10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (12.10б) индекс m – натуральное число, определяющее значение постоянной x как это следует из формулы (12.9). Значение постоянной  находится из формул (12.4) и (12.9):  m   n         .  a   b  2 2 (12.11) Зная , из (11.13) определяем критическую длину волны: 2 2 2ab кр    . (12.12) 2 2  (mb) 2  (na) 2 m n      a  b Коэффициент фазы  вычисляется по формуле (11.14). Прежде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн, описываемого выражениями (12.10), выведем формулы для поля Е-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно. В случае Н-волн ( H z  0 , Ez  0 ) функция w  Hmz . Решение уравнения (12.1) строится так же, как для Е-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные . составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем: Emy x 0  0 , Emy x a  0, Emx y 0  0 , Emx y b  0. (12.13) Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует . преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора E m выражаются через H mz соотношением (11.14). Из этого соотношения и краевых условий (12.13) после перехода к функции w  õ, y  получаем: w0 x w0 x x 0 w0  0, y  0, xa w0 y 0, (12.14) 0. (12.15) y 0 y b Равенства (12.14) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0, из которых следует, что А=С=0, т.е. X ( x)  B cos ( x x) и Y ( y)  D cos ( y y ) . Так как B  0 и D  0 (в противном случае H z  0 ), то из соотношений (12.15) вытекают уравнения (12.8). Следовательно, x  m , m = 0, 1, 2, …, a y  n , n = 0, 1, 2, … b (12.16) В отличие от (12.9) в случае Н-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая H z не зависит . от переменных х и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в прямоугольном волноводе: H mv (x,y,z )  H v0 (x,y )e i z , v  x,y,z ,   Emv (x,y,z )  Ev0 (x,y )e i z , v  x,y,  где (12.17a)  m x   n y  H z0 (x,y )  H 0 z cos   cos  ,  a   b    m   m x   n y  H x0 (x,y )  i   H 0 z sin   cos  ,   a   a   b          n   m x   n y   H y0 (x,y )  i  H cos sin ,     b  0 z  a   b   (12.17б)    n   m x   n y  Ex0 (x,y )  i   H 0 z cos   sin  ,    b   a   b      m   m x   n y   Ey0 (x,y )  i H sin cos ,    a  0 z  a   b    Ez0 (x,y )  0.  Аналогично случаю Е-волн в формулах (12.17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (12.17б) m связано с постоянной x соотношением (12.16). Легко показать, что поперечное волновое число  и критическая длина волны кр в случае Н-волн также определяются формулами (12.11) и (12.12) соответственно. Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (12.10) и (12.17) в прямоугольном волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов m и n. Каждая пара значений индексов m и n определяет свои волны, которые обозначают Emn (в случае Е-волн) или H mn (в случае Н-волн). При этом у Е-волн m  1 и n  1, а у Нволн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн x = 2a/m и y = 2b/n в направлениях осей Х и Y соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (x / 2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси Х. Аналогично индекс n равен числу полуволн (y/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 – от координаты х, а при n = 0 – от координаты у). Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и H вдоль оси Z описывается i z множителем e . Распространение волны происходит только при  < кр (предполагается, что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12.12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах a и b значение кр уменьшается. Наибольшую кр среди всех возможных волн при a > b имеет волна Н10. Соответствующая ей кр равна 2а. При а = b наибольшую кр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую кр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при a > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Длина волны в волноводе , фазовая скорость vф и скорость распространения энергии vэ вычисляются соответственно по формулам (11.17), (11.18) и (11.43), одинаковым для Е- и Н-волн. Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по формуле (11.21), а Нволн – по формуле (11.26). Формулы (12.9), (12.10), (12.16) и (12.17) позволяют рассчитать и изобразить графически структуру поля (линии векторов E и H ) любой из волн Еmn или Hmn, распространяющихся в волноводе. В качестве примера на рис. 12.2 и 12.3 показаны структуры полей волн Е11 и Н10 соответственно в некоторый фиксированный момент времени в случае  < кр для трех сечений волновода. С течением времени картины, изображающие структуру полей в продольных сечениях (сечениях 2 и 3 на рис. 12.2 и 12.3), перемещаются вдоль оси Z с фазовой скоростью соответствующей волны. Отметим, что, зная структуру поля волны Е11, легко построить структуру поля волны Emn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Е21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 12.4). Для построения структуры волны Emn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11, а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10. Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис. 12.5. При >кр волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов E и H которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае   i |  | и ei z  e| |z . Напомним, что анализ проводится в предположении отсутствия потерь.